泛函分析第五章第二部分16-30

第五章习题第二部分16-30

16. 证明：n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n 维线性赋范空间。 [证明] 设X 是n 维线性赋范空间，{ x 1, x 1, ..., x n }是它的一个基． 令f i : X → X 表示i n

k k k i a x a f =∑=)(1，∀i = 1, 2, ...．

则∑∑==⋅≤==n k i k i i i i i n

k k k i x a x x x a a x a f 11

||||||||1

|||||||||||)(|，注意到∑==n

k i k x a x N 1||||)(也是X

上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得

||||)(x M x N ≤，所以||||||

|||)(|x x M

x f i i ≤，所以f i ∈ X *．下面证明{ f 1, f 1, ..., f n }是

X *的一组基。事实上，∀f ∈ X *，

∑∑∑∑∑∑=========n k n

j j j n k k k n k n j j j k k k k n k k k x a f x f x a f x f x f a x a f 1

1

1

1

1

1

))()(()()()()(，

所以∑==n k k k f x f f 1

)(。故X *

为有限维空间，且维数不超过n ．若01

=∑=n

k k k f c ，则

0))(()(1

1

===∑∑==i n

k k k n k i k k i x f c x f c c ，所以{ f 1, f 1, ..., f n }线性无关，故X *维数为n 。

17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。

[证明] 设X 是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X → X **是保范的线性同构，故X **必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X *必然也是无穷维的．

18. 设X 是赋范空间，M 为X 的子集，x ∈X 。证明：x ∈ cl( span(M ) )的充分必要条件为∀f ∈ X *，若f (M ) = 0则f (x ) = 0． [证明] 设x ∈ cl(span(M ))，则对∀f ∈ X *，若f (M ) = 0，由于f 是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M ))) = 0，从而f (x ) = 0．

反过来，设x ∈cl(span(M ))，则d (x , cl(span(M ))) > 0．由Hann-Banach 定理，存在f ∈ X *，使f (cl(span(M ))) = 0，且f (x ) = d (x , cl(span(M ))) > 0，得到矛盾．

19. 验证极化恒等式。

[证明] 我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的． || x + y ||2 - || x - y ||2 = < x + y , x + y > - < x - y , x - y >

= (< x , x > + < x , y > + < y , x > + < y , y > ) - ( < x , x > - < x , y > - < y , x > + < y , y >) = 4< x , y >．

20. 证明由内积导出的范数|| x || = < x , x >1/2满足范数定义的三个条件。 [证明] 前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上， || x + y ||2 = < x + y , x + y > = || x ||2 + < x , y > + >) + || y ||2 ≤ || x ||2 + 2 | < x , y > | + || y ||2 ≤ || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2．所以三角不等式成立．

21. 证明内积空间中的勾股定理。

[证明] 设x = x 1 + x 2，且x 1 ⊥ x 2．则< x 1, x 2> = < x 2, x 1> = 0，所以

|| x ||2 = || x 1 + x 2 ||2 = < x 1 + x 2, x 1 + x 2> = < x 1, x 1 > + < x 1, x 2 > + < x 2, x 1 > + < x 2, x 2> = < x 1, x > + < x 2, x 2> = || x 1 ||2 + || x 2 ||2．

22. 设X 是内积空间，X N M ⊆,，N M ⊥。证明：⊥⊆M N 。

[证明] 对N x ∈∀，因N M ⊥，得M x ⊥，故⊥∈M x ，所以⊥⊆M N 。

23. 设X 是内积空间，X N M ⊆,，N M ⊆。证明：⊥⊥⊆M N 。 [证明] 对⊥∈∀N x ，由N x ⊥，及N M ⊆，知M x ⊥，故⊥∈M x 。所以⊥⊥⊆M N 。

24. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。证明：⊥⊥=)(M M ，⊥⊥=)(M M 。 [证明] 对M x ∈∀，显然有⊥⊥M x ，从而⊥⊥∈)(M x ，故⊥⊥⊆)(M M 。若M x ∉，由投影定理，设21x x x +=，其中M x ∈1，⊥∈)(2M x ，且02≠x 。此时⊥∈M x 2，故有0||||,,,22222212≠>=>=<+>=<

⊥⊥=)(M M 。

由23题结果，⊥⊥⊇)(M M ，而对⊥∈∀M x ，M x ⊥，故M x ⊥，所以⊥∈)(M x ,因此⊥⊥⊆)(M M ，故有⊥⊥=)(M M 。

25. 设X 为内积空间，M 是X 的线性子空间，满足：对任何X x ∈，它在M 上的正交投影都存在。证明：M 是X 的闭线性子空间。

[证明] 对M x ∈∀，由于存在它在M 上的正交投影，故可设21x x x +=，其中

M x ∈1，⊥∈M x 2。由26题知⊥∈)(2M x ，而M x x x ∈-=12，故02=x ，所以M x x ∈=1，因此M M =，即M 为X 的闭子空间。

26. 设X 为内积空间，M 是X 的稠密子集，{ e n }是X 的标准正交系。证明：{ e n }完备的充要条件是在子集M 上，Parseval 等式成立．

[证明] 由{ e n }完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对∀x ∈X ，由

M 在X 中稠密，对任意的0>ε，存在M y ∈，使得2||||ε<-y x ，2||||||||22ε+≤y x 。而对于M y ∈，Parseval 等式成立，即∑∞

=><=122

|,|||||n n e y y ，存在自然数N 使得

2

|,|1

2ε<><∑∞

+=N n n

e

y 。下面估计2||||x ：

εεε

+>-<+><=+><≤+

≤∑∑==N

n n n N n n e y x e x e y y x 1

21

2

2

2

|,,||,|2

||||||||

ε+⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛>-<+><≤∑∑==2

1212|,||,|N

n n N

n n e y x e x （三角不等式）

ε+-+-⋅+><≤∑=2

12

||||||||||||2|,|y x y x x e x N n n （用21

2|||||,|u e u N

n n ≤><∑=放大）

εε

)14

||(|||,|1

2++

+><≤∑∞

=x e x n n ，