第一章 量子力学基础 (3)
第一章量子力学基础
第一章量子力学基础1.1 量子力学的实验基础从十八世纪起，物理学迅速发展、完善起来，逐步成为严谨的经典物理学体系。
牛顿力学体系光电磁学经典物理力学麦克斯韦方程式热力学吉布斯-玻兹曼统计应用这些经典物理学理论，人们成功地解释了当时发现的实验现象，这种状态一直持续到十九世纪80年代。
但在十九世纪末，相继发现了一些用经典物理学无法解释的实验事实，经典物理学遭到了无法克服的困难。
经典物理学无法解释的代表性实验有黑体辐射、光电效应和氢原子的线状光谱等，这些实验现象的解释导致旧量子论的产生。
1.1.1黑体辐射与普朗克（planck）量子假设黑体辐射是最早发现与经典物理学相矛盾的实验现象之一。
黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能发射各种波长光的物体。
带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。
小孔在吸收能量的同时也不断地辐射能量，特别是在空腔在高温时更加明显。
从小孔辐射出来的电磁波是一个连续谱，它比同样温度下任何其他物体表面的辐射都强，这种空腔辐射便是黑体辐射。
在一定温度下，小孔单位面积每秒辐射频率ν到ν＋dν范围内电磁波的能量Eνdν，Eν表示黑体辐射的能量密度，以Eν对ν作图，得到能量分布曲线。
如：图1-1所示。
图1-1 黑体在不同温度下辐射的能量分布曲线随着温度的升高，总辐射能量E （即曲线包罗的面积）急剧增加，E 与热力学温度T 符合下列关系：E=δ4T (δ=5.67×82410W m K ---⋅⋅)称为斯忒蕃公式。
每条曲线都有一个峰值对应于辐射最强的频率，相应的max λ随温度升高而发生位移，满足下式：max λT=2.9×310-m.K称为维恩位移定律。
Rayleigh-Jeans （瑞利-金斯）从能量连续的经典力学出发，推出黑体辐射平衡时在频率范围ν到ν＋dν内：238kT E d d cνπννν= 从上式可知，Eν正比于2ν，Eν对ν作图应为一条抛物线，它只在低频区与实验曲线近似相符，在高频区（紫外区）则因实验结果随ν增大，Eν趋于零严重不符（紫外灾难：即波长变短时能量趋于无穷大，而不象实验结果那样趋于零。
(01) 第一章 量子力学基础3
+
n=2
n=1
+
-
E2 E1
n=1
ψ22(x)
ψ12(x)
一维势箱中粒子的波函数、能级和概率率密度
势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态 时， l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能 级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包 含正弦波一个半周期……。随着能级升高，波函数 的节点越来越多。而概率分布函数告诉我们自由粒 l x 子在势箱中出现的概率大小。例如：基态时，粒子 2 在 处出现概率最大。而第一激发态，粒子在 l x 2 处出现几率为0，在 x l , 3l 处出现几率最大。
l nπ 1 nπ 2
2 l c 2 1 2
c 2
2 l
2 nx 箱中粒子的波函数 n ( x) sin l l
讨论：
ψ4(x)
+
n=4
n=4
-
+
+
E4
ψ42(x)
n=3
ψ32(x)
n=3
ψ3(x)
+
E3
n=2
ψ2(x)
一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道效 应. 当势垒为有限高度(V0) 和厚度时，入射到势垒上的粒 子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透势垒，似乎 是从隧道中钻出来的:
这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的. 量子力学 隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极 管、超导Josophson结、α衰变现象. 某些质子转移反应也 与隧道效应有关. 对于化学来讲，意义最大的恐怕是基于
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
-第1章-量子力学基础详细讲解汇总
第1章、 量子力学基础1.1 量子力学和量子光学发展简史1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化：h εν=1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子：E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===）1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率：()/mn m n E E h ν=-1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波：E h ν=，h p λ=1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学1926, Schrödinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ，波动方程- Schrödinger 方程，波动力学:()(),,ir t H r t tψψ∂=∂ 1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2,r t ψ为概率密度，()2,1dr r t ψ=⎰1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论1927， Dirac ，电磁场的量子化 1928， Dirac ，相对论性波动方程至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。
尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schrödinger 猫态 1935， EPR 佯谬1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、量子光学新发展：量子信息科学：量子通信、量子计算等。
第一章量子力学基础
RH 1 1 ～ 1 1 ＝ 2 ＝ RH 2 2 2 hc n1 n2 n n 2 1
～
实物微粒的波粒二象性
德布罗意假说： ε＝ hν＝hu/λ p = h/λ ρ= K|Ψ|2 or ρ∝|Ψ|2
h/ p
h 2meT 1.226nm T / eV
ν/1014s-1
黑体辐射实验曲线
黑体辐射的解释
瑞利· 金斯公式 （麦克斯韦理论） ： 8 2 kT E ( , T )d d 3
c
普朗克· 金斯公式：
左
8h 3 d E ( , T )d c 3 e h / kT 1
维恩公式
（统计热力学理论） ：
第一章 量子力学基础
量子力学产生的背景 经典物理学的困难与旧量子论的诞生；实 物微粒的波粒二象性；不确定关系。 量子力学基本原理 波函数与微观粒子的状态；力学量和算符； 量子力学的基本方程；态叠加原理；电子自旋。 量子力学基本原理的简单应用 势箱中运动的粒子；线性谐振子；量子力 学处理微观体系的一般步骤与量子效应。
黑体辐射
黑体辐射模型
5 4
m-2 E (vT)/10-9J·
λБайду номын сангаас
2000K
3
维恩位移定律
T定，辐射频率：v v+dv 辐射能量：E(v,T)dv。辐射最强的 频率λmax随温度升高而发生位移： λmaxT=2.9×10－3 m· K
2
1500K
1
1000K
0 0 1 2 3
斯忒蕃公式
总辐射能量：E=σT4
爱因斯坦光子学说（1905年）
光是一束光子流。每一种频率的光能量都有一最小单位， 即为光子的能量ε： ε＝ hν 光的能量是量子化的，不连续的。 一束光的能量是hν的N微粒形式出现的集合体。 即: E = Nhν 光子密度： ρ= LinΔΝ/Δτ=dN/dτ Δτ→0 光子的能量和动量： 相对质能联系定律： εo = mc2，m = hν/c2 ＝h/cλ， 动量： p = mc = hν/c , p = h/λ 光子与电子相碰时服从能量守恒和动量守恒定律 hν＝W + T = hνo + ½ mv2，T = ½ mv2 = hν- hνo 光波强度与光子密度的关系：I = ρhν, ρ= dN/dτ I = Eo2/8π＋Ho2/8π＝Ψ2/4π (麦克斯韦方程） ρhν= Ψ2/4π ρ= K|Ψ|2
结构化学基础总结
结构化学基础总结第一章：量子力学基础知识一、3个实验1、黑体辐射实验：（1）黑体：被认为是可以吸收全部外来辐射的物体，是理想的辐射体。
理想黑体可以吸收所有照射到它表面的电磁辐射，并将这些辐射转化为热辐射，其光谱特征仅与该黑体的温度有关，与黑体的材质无关。
可见光：400-700nm（2）假设：黑体吸收或发射辐射的能量是不连续的，而是分子一份一份的，即，量子化的。
E=hμ2、光电效应实验和Einstein光子学说：光量子化和光的波粒二象性本质。
（1）Einstein提出来了光量子（光子）。
波的性质：衍射、干涉。
E=hμ粒子的性质：反射、折射。
P=h/λ光子的动能与入射光的频率成正比，与光的强度无关。
（2）Heisenberg不确定度关系：Δq∙Δp≥ℏΔq坐标不确定量；Δp动量不确定量；q广义坐标单缝衍射：某粒子坐标确定得愈精确，其相应动量就愈不确定。
h可作为区分宏、微观粒子的标准：宏观h=0，微观h不能看作0。
3、氢原子光谱与Born氢原子模型：（1）氢原子光谱：指的是氢原子内之电子在不同能级跃迁时所发射或吸收不同波长、能量之光子而得到的光谱。
氢原子光谱为不连续的线光谱，自无线电波、微波、红外光、可见光、到紫外光区段都有可能有其谱线。
根据电子跃迁的后所处的能阶，可将光谱分为不同的线系。
（2）在卢瑟福模型的基础上，玻尔提出了电子在核外的量子化轨道，解决了原子结构的稳定性问题，描绘出了完整而令人信服的原子结构学说。
定态假设：原子的核外电子在轨道上运行时，只能够稳定地存在于具有分立的、固定能量的状态中，这些状态称为定态（能级），即处于定态的原子能量是量子化的。
此时，原子并不辐射能量，是稳定的。
激发态：原子受到辐射、加热或通电时，获得能量后电子可以跃迁到离核较远的轨道上去，即电子被激发到高能量的轨道上，这时原子处于激发态。
处于激发态的电子不稳定，可以跃迁到离核较近的轨道上，同时释放出光子。
二、量子力学基本假设1、假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。
-第1章-量子力学基础详细讲解
1.3.4 表象变换 设有两个表象A和B，其基矢分别为、。 （a）态矢的表象变换 在表象A中，可将任意态矢展开为 ，； 在表象B中，可将同一个态矢展开为 ，。 所谓态矢的表象变换，就是要建立和之间的关系。
（1.28） （1.29）
， （1.30） 其中
（1.31） 矩阵称为表象A和表象B之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
态矢量的归一化条件为 （1.23）
在连续变量表象中，完备性条件为 （1.24）
任意态矢量可展开为 （1.25a）
其中 （1.25b）
是态矢在表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续 表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
（1.26） 可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一 组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量 表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐 标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我 们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算 符等。
算符在量子态中的期望值（平均值）记为 （1.12a）
平均值为c数。若将态矢量按（1.11a）式用算符的本征态展开，则平均 值的计算如下：
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态： 光子数态（photon-number state） ，其密度算符为 （1.51）
其中为光子数。 相干态（coherent state），其密度算符为 （1.52）
（1.18） 其中 。例如，坐标和动量的对易关系为
其不确定度关系为
（5） 全同粒子假设 作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有 的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是 全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒 子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交 换要么是对称的，要么是反对称的。 研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零 或正整数（，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（，…）。玻 色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对 粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对 称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统 计。
第一章 量子力学基础-3
h2
h2
d ⎡ 2 nπ ⎛ nπ x ⎞ ⎤ =− 2 × cos ⎜ ⎢ ⎟⎥ l 8π m dx ⎣ l ⎝ l ⎠⎦ h2 h2 =− 2 nπ ⎡ nπ ⎛ nπ x ⎞ ⎤ sin × × − ⎜ ⎟⎥ l ⎢ l l 8π 2 m l ⎝ ⎠⎦ ⎣ h2
2 2 n 2π 2 2 ⎛ nπ x ⎞ n h ψn sin ⎜ = 2 × ⎟= 2 2 l 8π m l ⎝ l ⎠ 8ml
• 当x≤0，或者x≥l 此时，V = ∞ Hamiltonian算符：
Ⅰ V=∞ 0
Ⅱ V=0 l x
Ⅲ V=∞
2 2 2 d d ˆ =T ˆ +V ˆ =− H +∞ = − +∞ 2 2 2 8π m dx 2m dx
h2
Schrödinger方程：
⎛ ⎞ h2 d 2 + ∞ ⎟ψ = Eψ ⎜− 2 2 ⎝ 8π m dx ⎠
第一章 量子力学基础
2、花菁染料的吸收光谱 结构式： R2N (CH=CH )rCH=NR2 π电子总数：2r+2+2=2r+4 最高占据能级：ni=(2r+4)/2=r+2 最低空能级：nj=r+3
ΔE = En j − Eni = hν ⇒ ν =
n 2h2 E= 8ml 2
En j − Eni h
第一章 量子力学基础
− 根据品优函数的连续性和单值性以及边界条件： 当x=0时， ψ (0) = c1 cos(0) + c2 sin (0) = 0
∴c1 = 0
⎡⎛ 8π 2 mE ⎞ 12 ⎤ ⎡⎛ 8π 2 mE ⎞ 12 ⎤ ⎟ ⎟ ⋅ l ⎥ + c2 sin ⎢⎜ l⎥ = 0 当x=l 时， ψ (l ) = 0 ⋅ cos⎢⎜ 2 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢⎝ h ⎥ ⎢⎝ h ⎥ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
第01章量子力学基础
18
1.1.3 实物微粒的波粒二象性
实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子（m0≠0） 如电子、质子、中子、原子、分子等。
（1）德布罗意（de Broglie）假设
实物微粒也具有波性。实物微粒所具 有的波就称为物质波或德布罗意波 (de Broglie Waves)。
1929年
De Broglie
E： 黑体辐射的能量
E
T=1500K T=1000K
Ed ：频率在 到 d 范围 内、单位时间、单 位表面积上辐射的 能量
۞ 随温度的升高， E增 大，极大值也向高 频移动.
化学工程学院
6
Wien辐射波长分布类似于Maxwell分布
E( , T ) c1 exp(c2 / T )
化学工程学院
20
德布罗意波与光波不同：下列两式对于粒子正确吗？
p (m c) 1 2 E mc 2m 2m 2 hc 2 E h mc h mc hc
2
2
化学工程学院
21
（2）德布罗波波长的估算 动量为p的自由粒子，例如电子，当它的运动速度比光速小 得多时（v c） 1 2
汤姆逊实验——金-钒多晶 （G. P. Thomson）
G.P.Thomson 1937年
化学工程学院
24
戴维逊单晶电子衍射实验
电子在单晶金上的衍射
对Dovissn和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格（Bragg）
方程 2dh k l sin hkl n 和
12.26 V
1921年
化学工程学院
13
光电效应的解释
将频率为v的光照射到金属上，当金属中的一个电 子受到一个光子的作用时，产生光电效应，光子消失， 并把它的能量传给电子。电子吸收的能量，一部分用 于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为电子的 动能 1
量子计算与量子信息教材10年特别版
量子计算与量子信息教材10年特别版《量子计算与量子信息》教材10年特别版引言量子计算与量子信息是当代科学领域的一个重要分支，它利用量子力学的原理来处理和传输信息。
随着技术的不断发展和突破，量子计算和量子信息已经成为了解决某些计算和通信问题的有力工具。
本教材将介绍量子计算和量子信息的基本原理、算法和技术应用等方面的内容，旨在帮助读者全面了解和掌握这一领域的知识。
第一部分量子计算基础第一章量子力学基础本章将介绍量子力学的基本概念和数学工具，包括量子态、叠加态、纠缠态、算符和观测等内容。
通过学习本章内容，读者将对量子力学的基本原理有更深入的了解。
第二章量子比特和量子门本章将介绍量子计算的基本单位——量子比特（qubit），以及量子比特的表示方法和操作方法。
此外，本章还将讲解量子门的基本概念、作用和实现方法。
第三章量子算法本章将介绍量子计算中的一些重要算法，如量子搜索算法、量子因子分解算法和量子傅立叶变换等。
通过学习量子算法，读者将了解量子计算在某些问题上的优势和应用前景。
第二部分量子信息与通信第四章量子纠缠和量子隐形传态本章将介绍量子纠缠和量子隐形传态的概念和原理。
读者将了解到量子纠缠的奇特性质和量子隐形传态在信息传输中的应用。
第五章量子密码学本章将介绍量子密码学的基本原理和技术。
读者将了解到量子密码学在信息安全领域的重要性和应用前景。
第三部分量子计算和量子信息应用第六章量子计算机硬件本章将介绍量子计算机的硬件组成和实现方法，包括量子比特的实验实现和量子计算机的架构设计。
第七章量子通信和量子网络本章将介绍量子通信和量子网络的基本原理和技术。
读者将了解到量子通信和量子网络在保密通信、量子密钥分发、量子雷达等方面的应用。
第八章量子仿真和优化本章将介绍量子仿真和优化领域的基本原理和算法。
读者将了解到量子计算在复杂系统模拟和优化问题上的应用潜力。
结语本教材通过对量子计算和量子信息领域的基本原理和应用进行系统的介绍，帮助读者理解和掌握相关知识。
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
2017-10-12-LJ-第一章 量子力学基础
1926年，美国物理学家戴维孙 (Davisson)和革末 (Germer)的电子 衍射实验证实了电子的波动现象。经定量计算，证明了德布罗意公式 的正确性。
金晶体的电子衍射图 (Debye-Scherrer图)
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
改进的电子衍射实验
控制电子一个一个发射，起初并无衍射图案出现，经历一定时间 积累后，底片上仍出现衍射图象。 分析： 1. 因电子是不可分割的粒子，而实验中控 制单个电子通过晶体，说 明衍射图象不是由两个电子的实物波的干涉引起。 2. 图象呈现衍射花样，说明电子具 0 2 dx
根据 de Broglie 关系式(2)：
h p h mv
据此，方程变形为：
d 2Ψ m 2 v 2 2 Ψ x 0 2 dx
h 其中： 2
原子是一个保守体系。对一个在原子中运动的电子：
Ψ ( r ) V( r ) Ψ ( r ) E Ψ ( r )
2 2 2 2 2 2 2 2 m x y z
Ψ ( r ) V( r ) Ψ ( r ) E Ψ ( r )
2 2 V( r ) Ψ ( r ) E Ψ ( r ) 2m
卢瑟福的原子有核模型与经典的电磁理论有着深刻的矛盾。主 要表现为： 1. 按经典电磁理论，加速运动着的电荷(电子) 要向周围空间辐 射电磁波，所呈现的光谱应为连续光谱。 2. 由于电子绕核运动时不断向外辐射电磁波，电子能量不断减
少，逐渐接近原子核，最后落于核上。这样，原子应是一个不稳定
系统。 事实是：原子具有高度的稳定性，且原子光谱为线状光谱。这 与经典电磁理论得出的结论完全不同。
第一章.量子力学基础知识-3
假设Ⅲ：自轭算符的第二项重要性质
• 自轭算符的本征函数y1, y2, y3,...正交归一。 • Consider these two eigen equations： • Multiply the left of the 1st eqn by ψm* and integrate, then take the complex conjugate of eqn 2, multiply by ψn and integrate
力学量与算符
• To every physical observable there corresponds a linear Hermitian operator. • To find this operator, write down the classical-mechanical expression for the observable in terms of Cartesian coordinates and corresponding linear-momentum components, • and then replace each coordinate x by the operator x. and each momentum component px by the operator -iћ∂/∂x.
假设Ⅰ：波函数
y一般是复数形式： y f+ig
y的共轭复数为： y *f-ig
那么：
y *y f2+g2
y *y是实数，有时也用y2来代替
假设Ⅰ：波函数
波函数y描述的波为概率波，在原子或分子Байду номын сангаас体系中， 称为原子轨道或分子轨道
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
[结构化学]第一章-量子力学基础详解
![[结构化学]第一章-量子力学基础详解](https://img.taocdn.com/s3/m/1233bc93192e45361066f5c3.png)
★光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。 根据相对论的质能联系定律=mc2，光子的质量为： m=h/c2，不同频率的光子具有不同的质量。
★光子具有一定的动量：p=mc=h/c=h/ (c=） ★光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。
=h，p＝h/
de Broglie(德布罗意）假设：
1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒
（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也 有 波 粒 二 象 性 .[ 微 观 粒 子 :10-10m 数 量 级 的 粒 子 ] 。 认 为 =h ， p=h/ 也适用于实物微粒，即以p=mv的动量运动的实物微粒， 伴随有波长为 =h/p=h/mv 的波。此即de Broglie关系式。 de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相 等；de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一 半 ： v=2u 。 对 于 实 物 微 粒 ： u= ， E=hν=hu/λ=h(1/2v)/λ=h(1/2v)/(h/mv)=p2/(2m)=(1/2)mv2 ,对于光： c=，E=pc=mc2
上述理论可解释当时常见物理现象，但也
发现了解释不了的新现象。
1. 黑体辐射与能量量子化
黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一 小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出 的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量 随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
量子力学基础
Gˆi (q,t) Gii (q,t)
其中Gi为常数。 将Ψ(q,t)描写的状态称为力学量的本征态，此式称 为力学量的本征方程；
Gi称为的第i个本征值； Ψ(q,t)为相应的本征函数
上一内容 下一内容 回主目录
返回
6/8/2020
1.1 基本假设----假设3
[,] 0,[ pˆ, pˆ] 0,[, pˆ] i
对易子的几个基本规则： [Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Hˆ ] [FˆGˆ , Hˆ ] [Fˆ , Hˆ ]Gˆ Fˆ[Gˆ , Hˆ ] [Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Hˆ Gˆ[Fˆ , Hˆ ]
第一章 量子力学基础
1.1 量子力学基本假设 1.2 算符 1.3 力学量同时有确定值的条件 1.4 测不准关系 1.5 Pauli原理
上一内容 下一内容 回主目录
返回
6/8/2020
1.1 基本假设—假设1
•假设1---状态函数和几率
（1）状态函数和几率
• 微观体系的任何状态可由坐标波函数Ψ(q,t)来表示。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
6/8/2020
1.1 基本假设---假设1
简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，且本
征值不变；非简并本征态的线性组合也仍是该体系的可
能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态.
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.2
三维无限深势阱中的粒子
由一维无限深势阱中粒子推广到三维无限深势阱中的 粒子，能量本征方程为： 粒子，能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
其中三个量子数n 是独立变化的. 其中三个量子数 x、ny、nz是独立变化的 若a=b=c，势阱成为正方体，能级成为: ，势阱成为正方体，能级成为:
(4) 能量（或概率密度）不随时间变化的状态为定态 能量（或概率密度）不随时间变化的状态为定态. 定态与驻波相联系” 若借用de Broglie“定态与驻波相联系”的说法，由de Broglie 定态与驻波相联系 的说法， 关系式λ=h/p和驻波条件 关系式 和驻波条件n(λ/2)=l也能得到能级公式： 也能得到能级公式： 和驻波条件 也能得到能级公式
电子自旋
1.3
阱中粒子的量子特征
1.3.1 一维无限深势阱中的粒子
一维无限深势阱中粒子是指: 一维无限深势阱中粒子是指 一个质量为m的粒子被置于阱外 一个质量为 的粒子被置于阱外 的粒子被置于 势能无穷大、阱内势能为零 即无限深） 的阱中， （ 即无限深 ） 的阱中 ， 沿 x方向 方向 运动. 对于某些实际问题， 运动 对于某些实际问题，例如 金属内的自由电子或共轭分子 电子， 的 π 电子 ， 无限深势阱中的粒 子模型可以作为一种近似模型. 模型可以作为一种近似模型.
微观粒子的自旋性质可以用自旋角动量量子数s表征 微观粒子的自旋性质可以用自旋角动量量子数 表征: 表征 s为半整数的粒子称为费米子 为半整数的粒子称为费米子(fermions) , 如电子、质 如电子、 为半整数的粒子称为费米子 为整数的粒子称为玻色子(bosons) , 如光子 子、中子等; s为整数的粒子称为玻色子 中子等 为整数的粒子称为玻色子 粒子、 介子等 介子等. 、α粒子、π介子等 粒子 电子的自旋角动量量子数s为1/2, 相应的自旋磁量子数 电子的自旋角动量量子数 为 ms有正、负1/2两个值，常用上下两种箭头或 、β分别代 有正、 两个值， 两个值 常用上下两种箭头或α、 分别代 表这两种自旋态(自旋没有经典类比.为方便起见, 表这两种自旋态 自旋没有经典类比.为方便起见,人们把 自旋没有经典类比 它设想成粒子绕自身某种轴转动. 它设想成粒子绕自身某种轴转动.但决不要把这当作真实 情况! 情况!):
(7) En=n2h2/（8ml2）表明：对于给定的 ， En与l2成反 表明：对于给定的n， （ 即粒子运动范围增大，能量降低.这正是化学中大π 比 , 即粒子运动范围增大 ， 能量降低 . 这正是化学中大 π 键 离域能的来源(下图分别是苯和丁二烯大π 离域能的来源(下图分别是苯和丁二烯大π轨道中能量最低 的轨道,它们都有离域化特征) 的轨道,它们都有离域化特征):
这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的. 这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的 量子力学 隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心， 隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极 衰变现象. 管、超导Josophson结、α衰变现象 某些质子转移反应也 超导 结 衰变现象 化学来讲， 与隧道效应有关. 对于化学来讲，意义最大的恐怕是基于 隧道效应有关 对于化学来讲 隧道效应发明的扫描隧道显微镜（ ），放大倍数 隧道效应发明的扫描隧道显微镜（STM），放大倍数 千 ），放大倍数3千 万倍， 分辩率达0.01nm，它使人类第一次真实地“看见” 万倍， 分辩率达 ，它使人类第一次真实地“看见” 了单个原子！这是 世纪 年代世界重大科技成就之一. 世纪80年代世界重大科技成就之一 了单个原子！这是20世纪 年代世界重大科技成就之一
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
这种现象就是所谓的“简并性”. 同一能级对应的状 这种现象就是所谓的“ 简并性” 态数为简并度. 简并通常与对称性有关， 态数为简并度 简并通常与对称性有关，对称性降低往往 会使简并度降低甚至完全解除. 所以， 会使简并度降低甚至完全解除 所以 ， 正方体势阱中粒子 的简并现象, 在三维的一般矩形势阱中就被解除了. 的简并现象 在三维的一般矩形势阱中就被解除了 过渡金属离子和具有C3轴以上对称性的分子常有简并 过渡金属离子和具有 轨道，电子在这些简并轨道上按不成对的方式平行排列， 轨道，电子在这些简并轨道上按不成对的方式平行排列， 可设计成构建分子铁磁材料的基块； 可设计成构建分子铁磁材料的基块；若除去某些基团而降 低分子对称性，轨道简并被解除，则铁磁性消失. 低分子对称性，轨道简并被解除，则铁磁性消失 在学过 第四章的群论基础知识后，对这一点将会有更深刻的理解. 第四章的群论基础知识后，对这一点将会有更深刻的理解
(8) 基态能量 1=h2/（ 8ml2 ） , 表明体系有一份 基态能量E （ 永远不可剥夺的能量，即零点能. 永远不可剥夺的能量，即零点能.这是不确定关系的 必然结果.在分子振动光谱、同位素效应和热化学数 必然结果.在分子振动光谱、 据理论计算等问题中,零点能都有实际意义. 据理论计算等问题中,零点能都有实际意义.
h2 2 2 E= (n x + n y + n z2 ) 8ma 2
一维无限深势阱中的粒子未曾有过的新现象出现了： 一维无限深势阱中的粒子未曾有过的新现象出现了： 具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数， 具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数， 却 可能具有相同的能量： 可能具有相同的能量：
定理： 定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数. 本征值的本征函数 证明: 证明
一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道 效应. 当势垒为有限高度( 和厚度时， 效应 当势垒为有限高度(V0) 和厚度时，入射到势垒上 的粒子能量E即使小于 0，也仍有一定的概率穿透势垒， 的粒子能量 即使小于V 也仍有一定的概率穿透势垒， 即使小于 似乎是从隧道中钻出来的: 似乎是从隧道中钻出来的
该粒子在阱外永不出现,可以 该粒子在阱外永不出现 可以 直接写出其零解; 直接写出其零解 只有在阱内才需 要建立Schrödinger方程并求解 方程并求解: 要建立 方程并求解
本征值与本征函数
nh En = 2 8ml 2 nπ x sin , ψ n ( x) = l l n = 1, 2,3,⋯⋯
(6) 能级差与粒子质量成反比 ， 与粒子运动范围的平 能级差与粒子质量成反比， 方成反比.这表明量子化是微观世界的特征. 方成反比.这表明量子化是微观世界的特征. 从这一规律定性地看更复杂的三维体系就不难理解： 从这一规律定性地看更复杂的三维体系就不难理解： 普通金属费米能级附近的准连续能级在纳米颗粒中会变为 离散能级，而半导体中本来存在的窄能隙在纳米颗粒中会 离散能级， 变宽. 当这种能级差大于热能、电场能或者磁场能时，就 变宽. 当这种能级差大于热能、 电场能或者磁场能时， 会呈现出与宏观物体不同的反常特性， 即量子尺寸效应. 会呈现出与宏观物体不同的反常特性 ， 即量子尺寸效应 . 例如，金属在超微颗粒时可变成绝缘体， 例如，金属在超微颗粒时可变成绝缘体，光谱线向短波长 方向移动，等等. 方向移动，等等.
(5) 体系的全部合理解构成正交归一完全集.即：任何 体系的全部合理解构成正交归一完全集 即 一个波函数都是归一化的， 一个波函数都是归一化的，任何两个不同波函数的乘积对 于坐标的积分都等于零； 于坐标的积分都等于零；用这一本征函数系的线性组合可 以表示任一个具有相同自变量、定义域、 以表示任一个具有相同自变量、定义域、边界条件的连续 函数. 函数
2
2
波函数和概率密度的图形表示
n=4
n=3 n=2 n=缚微观粒子的能量是量子化的 ， 由量子数表 ） 受束缚微观粒子的能量是量子化的， 最低能量状态为基态. 征. 最低能量状态为基态. （2） 每一个能级有对应的波函数. ） 每一个能级有对应的波函数. （3）波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. ）波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面， 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面，一 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高， 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高，能 量越高. 量越高.