集合与区间
高等数学 第一章
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、 函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、 函数的周期性 四、 函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域 有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节 函数的定义
一、 基本概念 二、 函数概念
一、函数概念
1 函数定义 定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定 的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按 照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫 做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个 数值时, 对应的函数值总是只有一个的 函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的 去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },
【4-2】初高中数学衔接--集合间的关系、区间的概念
子集关系的理解应用
写出满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d}的所有集 合A.
解析：满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d}集合分别为： {a，b}；{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，c，d}．
跟踪训练
2．已知{x|x2－1＝0} 的子集．
A⊆{－1,0,1}，试写出集合A
Байду номын сангаас
跟踪训练 1．指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}． 解析：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A. (2)等边三角形是三边相等的三角形，故A B. (3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，
2．若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：A B(或 B A)
例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是 ______________．
1．A⊆B或B⊇A 2.A B(或B A)
3．若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同， 则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
2．空集中没有元素，为什么还是集合？
解析：产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概 念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如方程的解能 够组成集合，这个集合叫做方程的解集，对于 ＝0，x2＋4＝ 0等方程来说，它们的解集中没有元素，也就是说确实存在 没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有任何 元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的 集合叫空集．由此看出，空集的概念是一个规定．
集合区间的开闭的题
集合区间的开闭的题
题目：设集合A = {x | x > 0}，集合B = {x | -1 < x < 1}，求集合A与集合B的交集A∩B的开闭性。
答案：集合A与集合 B 的交集A∩B = {x | 0 < x < 1}，所以集合A∩B 是一个开区间。
解释：集合A表示的是所有大于0的数，集合B表示的是所有在-1和1之间的数。
交集A∩B包含了所有在0和1之间的数，所以它是一个开区间。
集合区间的开闭问题是数学中的基本问题之一，它涉及到集合论的基本概念和性质。
下面我举一个例子来说明如何求解集合区间的开闭问题。
假设我们有一个集合A={x|x=2n,n∈Z}，表示所有可以表示为整数倍的2的数的集合。
现在我们需要确定集合A的区间开闭性。
根据集合A的定义，我们知道集合A中的元素x都是偶数。
因此，如果我们考虑以2为底的对数函数log_2(x)，则当x在集合A中时，log_2(x)也是偶数。
换句话说，集合A中的所有元素都可以表示为某个以2为底的偶数的对数。
现在我们来考虑集合A与以2为底的负无穷大log_2(x)的交集。
由于log_2(x)随着x趋近于负无穷大而趋近于负无穷大，因此这个交集的元素将只包含负无穷大。
换句话说，
集合A与以2为底的负无穷大log_2(x)的交集是一个空集。
综上所述，集合A是一个开集，因为它包含了所有的偶数；而集合A与以2为底的负无穷大log_2(x)的交集是一个空集，因此它不是一个开集。
集合区间法
集合区间法
集合区间法是一种思考和求解问题的方法，特别适用于涉及到一组区间的操作和计算。
在集合区间法中，我们将问题中涉及到的区间表示为一个集合，并根据问题的要求来进行相关的操作。
集合可以使用数学上的集合表示，比如使用大括号 {} 来表示一个集合，集合中的元
素使用逗号分隔。
集合区间法的主要思想是将集合中的元素按照区间的范围进行排序，这样可以更方便地进行操作和计算。
在解决问题时，我们可以使用集合的交集、并集、差集等操作来找到问题的答案。
例如，如果问题涉及到一组区间的合并，我们可以先将区间按照起始位置进行排序，然后从小到大遍历区间，如果当前遍历到的区间和前一个区间有重叠部分，则进行合并操作，并更新当前区间的范围。
这样可以得到合并后的区间。
集合区间法还可以用于求解区间的交集、差集、并集等操作问题。
对于求解区间交集的问题，我们可以将所有的区间按照起始位置进行排序，然后从小到大遍历区间，找到所有区间的重叠部分，作为交集的结果。
总之，集合区间法是一种有效的思考和求解问题的方法，特别适用于涉及到一组区间的操作和计算。
它可以帮助我们更好地理解和解决这类问题，并给出准确的答案。
集合与区间真的一样吗
集合与区间真的一样吗摘要：函数单调性的定义告诉我们，它是一个局部性的概念，只能在函数定义域内的某个区间上进行研究，不能随便将单调性相同的单调区间取并集。
所以我们在研究三角函数有关问题时，一定要注意集合与区间的区别，加以适当的使用。
关键词：集合；定义域；单调区间；并集；三角函数[引子]集合与区间的联系：集合是指将某些指定的对象集在一起，而区间是通过集合定义的，它们都是表示整体等的一类概念，如无特别要求，它们之间是可以通用的（详见人教版高中数学新教材《必修一》第19页），比如：①不等式(x+5)(x-8)≤0{x|-5≤x≤8}=[-5,8]②函数f(x)=3x-1+1-2x的定义域为{x|13≤x≤12}=[13,12]③函数f(x)=x2-2x+6在{x|x≥1}上是增函数或表示为函数在区间[1，+∞]上是增函数。
但是，集合与区间的通用性却在《三角函数》一章中遇到了阻力，他们实际上是有区别的！下面就笔者的浅显看法简而论之，不当之处，恳请指正。
[预备知识] 单调区间一般不能取并集函数单调性的定义告诉我们，它是一个局部性的概念，只能在函数定义域内的某个区间上进行研究，不能随便将单调性相同的单调区间取并集。
如函数f(x)=1x的单调性，（-∞，0）与（0，+∞）都是函数的单调减区间，但我们不能将之表述为“函数在取x1=-2,x2=2,按照上述说法：∵x1＜x2且函数f(x)是增函数∴f(x1)＞f(x2)而f(x1)=-12,f(x2)=12,可得f(x1)＜f(x2),这与f(x1)＞f(x2)矛盾，（-∞，0）∪（0，+∞）上为减函数，否则，所以我们不能随便将函数的几个单调性相同的单调区间取并集。
1.集合与区间在《集合》一章中的区别若是叙述a={x|2m≤x≤m+1}，则集合a可能是空集，因为当m＞1时，集合a可以是空集；但是叙述a=[2m,m+1]时，就要注意集合a不可能是空集了，而且还多了一个条件：m<1。
集合的运算与区间
集合的运算与区间一、集合的定义集合是数学中的基本概念，它是由确定的事物（称为元素）组成的整体。
对于任一给定的元素，要么属于某一集合，要么不属于。
集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示，例如：集合A={a,b,c}，其中a,b,c为元素。
二、集合的运算集合的运算主要有交集、并集和差集三种。
1.交集交集指的是两个或多个集合中共同的元素构成的集合。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A与B的交集为{2,3}。
交集的运算符号为∩。
2.并集并集指的是两个或多个集合中所有元素构成的集合。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A与B的并集为{1,2,3,4}。
并集的运算符号为∪。
3.差集差集指的是从一个集合中去掉另一个集合中的元素后所得到的集合。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A与B的差集为{1}。
差集的运算符号为-。
三、区间区间表示数的范围，分为开区间和闭区间两种。
1.闭区间闭区间表示一个集合，包括某两个端点及其之间的所有元素。
闭区间的表示方法为[a,b]，其中a为左端点，b为右端点。
例如：闭区间[1,5]表示的是包括1和5以及它们之间的所有整数。
2.开区间开区间表示一个集合，包括某两个端点之间的所有元素，但不包括这两个端点。
开区间的表示方法为(a,b)，其中a为左端点，b为右端点。
例如：开区间(1,5)表示的是不包括1和5但包括它们之间的所有整数。
四、集合的应用1.集合的运算可以用于求解问题。
例如：小明有10本数学书，其中有3本也是物理书。
那么小明一共有多少本书？数学书和物理书分别有多少本？解：设数学书的集合为A，物理书的集合为B，则根据题目可知A∩B=3，A∪B=10。
根据集合的运算，我们可以得到 A的元素个数为 A-A∩B = 10-3 = 7，B的元素个数为 B-A∩B = 10-3 = 7。
2.区间的应用广泛，特别是在数学和物理中常用到。
高一数学集合的表示方法区间法
高一数学集合的表示方法区间法高中数学是学习数学的基础，其中有一门重要的科目就是集合论。
集合论是把抽象的数学概念表现出来方便进行运算的一种组合学。
其中，表示集合的方法包括：非负封闭的集合的表示、集合的表示的方法和考虑数据的表示法，其中最好的表示方法就是区间法。
区间法是一种从一组数据中分析出一些符合要求的数据，并找出它们之间的关系和规律的一种表示法。
作为一种表示法，它广泛地应用在集合论和概率论中。
在集合论中，它可以用来表示真实的数据或抽象的数学概念。
要表示数据，我们要先把它们排列起来，然后根据表示数据的范围，给出它们的一个范围。
可以把集合中的某些元素表示成区间形式。
例如，集合A = {1,2,3,4,5}，这时，可以用[1,5]来表示它。
另外，[1,4]表示集合A中不包括5，即A = {1,2,3,4}；[2,5]表示A中不包括1，即A = {2,3,4,5}。
此外，区间法还可以用来表示一些抽象的数学概念，例如曲线。
曲线一般表示为x的函数，但它也可以表示为一个区间，由x的上限和下限组成。
假设有一条一次函数y=x+2，这时，就可以用[2,+∞]来表示它。
这样，我们就可以把范围较宽的曲线转变成区间，从而使计算变得更加容易。
另外，区间法还可以用来分析数据。
它最大的特点就是，可以根据数据的范围，给出它们之间的关系和规律。
比如，如果需要分析一组从1到5的数据，我们可以把它们表示成[1,5]，从而可以得到实际关系，比如等差数列或其他相关的规律。
综上所述，区间法是一种十分重要的表示法，它不仅可以用于表示一组数据，也可以用于表示一些抽象的数学概念，而且也可以用来分析数据之间的关系和规律，这对于高中数学学习来讲十分重要。
因此，高中生在学习数学时应当充分利用区间法，以便于更好地理解数学中的一些抽象的数学概念。
集合r的区间
集合r的区间集合R是一个包含所有实数的集合，它是数学中一个非常重要的概念，涉及到了许多数学分支领域的研究。
在实际应用中，我们常常需要对集合R中的一些元素进行分类和描述，而区间是一种常用的描述方式。
本文将介绍集合R中的区间概念及其相关性质。
一、区间的定义和分类区间是指在数轴上由两个实数端点所确定的一段连续的实数集合。
根据端点是否包含在区间内，可以将区间分为以下四类：1. 闭区间：包含端点的区间，用方括号表示，如[a,b]表示包含a和b的区间。
2. 开区间：不包含端点的区间，用圆括号表示，如(a,b)表示不包含a和b的区间。
3. 左闭右开区间：包含左端点但不包含右端点的区间，用半开半闭区间表示，如[a,b)表示包含a但不包含b的区间。
4. 左开右闭区间：包含右端点但不包含左端点的区间，用半开半闭区间表示，如(a,b]表示包含b但不包含a的区间。
二、区间的性质1. 区间的长度：一个区间的长度是指它的端点之间的距离，即b-a。
例如，[1,5]的长度为4，(2,7)的长度为5。
2. 区间的包含关系：对于两个区间，如果一个区间的所有元素都在另一个区间内，则前者被包含在后者中。
例如，[1,5]包含[2,4]，(2,7)包含(3,5)。
3. 区间的交集和并集：对于两个区间，它们的交集是它们共同包含的元素所构成的区间，它们的并集是它们所有元素所构成的区间。
例如，[1,5]和[3,7]的交集是[3,5]，它们的并集是[1,7]。
4. 区间的奇偶性：一个区间的奇偶性是指它包含的整数的个数的奇偶性。
例如，[1,5]包含3个整数，是奇数个，因此它是奇区间。
(2,7)包含4个整数，是偶数个，因此它是偶区间。
5. 区间的稠密性：一个区间是稠密的，当且仅当它包含无限多个有理数和无理数。
例如，(0,1)是一个稠密的区间，因为它包含无限多个有理数和无理数。
三、区间的应用区间在数学中广泛应用于各种分析和描述问题，包括但不限于以下几个方面：1. 函数的定义域和值域：对于一个函数，它的定义域和值域都是一个区间。
集合区间的开闭的题
集合区间的开闭的题一、集合区间的概念与分类集合区间是指实数轴上的一段区间，根据端点是否包含在区间内，可以分为开区间、闭区间和半开区间。
1.开区间：设区间(a, b) ，则a 和b 都不属于该区间，即{x | a < x < b}，用圆括号表示。
2.闭区间：设区间[a, b] ，则a 和b 都属于该区间，即[a, b] = {x | a <= x <= b}，用方括号表示。
3.半开区间：分为左半开区间和右半开区间。
左半开区间用符号"(-，b)" 表示，右半开区间用符号"(a，+)" 表示。
二、开区间与闭区间的定义及区别1.定义：开区间和闭区间是根据区间的端点是否包含在区间内来进行区分的。
2.区别：开区间不含端点，闭区间含端点。
在数学运算和函数分析中，开区间和闭区间有不同的性质和应用。
三、常见集合区间问题及解题方法1.求解区间长度：求解区间(a, b) 的长度，可以使用公式|b - a|。
2.判断一个点是否在区间内：将该点与区间的端点进行比较，若在区间内，则返回True，否则返回False。
3.区间合并：将两个或多个区间合并为一个新的区间。
例如，区间(a1, b1) 和区间(a2, b2) 合并为区间(min(a1, a2), max(b1, b2))。
4.区间截取：根据给定条件，从原区间中截取一个子区间。
例如，若给定区间为(0, 10)，要求截取长度为5 的闭区间，结果为[0, 5]。
四、应用实例与题目解析1.实例：已知区间(2, 6)，求解x 的取值范围使得3 < x < 5。
解析：将已知区间与不等式3 < x < 5 进行比较，可得答案为(3, 5)。
2.实例：已知区间[0, 10]，求解x 的取值范围使得x^2 <= 9。
解析：将已知区间与不等式x^2 <= 9 进行比较，可得答案为[-3, 3]。
集合区间及其表示方法
集合区间及其表示方法
嘿，你知道集合区间不？这玩意儿就像一个魔法盒子，能把好多东西装进去呢！集合区间到底咋表示呢？其实超简单！如果是一个连续的区间，咱就用两个数来表示，比如说[a,b]，这就代表从a 到b 这个区间里的所有数。
那要是开区间呢，就用(a,b)，这里面可就不包括a 和b 这两个数啦！这就好比一个有门有窗的房间，关上门窗就是闭区间，打开门窗就是开区间。
在使用集合区间的时候，有啥要注意的呢？哎呀，可千万别搞错区间的开闭情况呀！要是弄错了，那可就麻烦大啦！就像你本来想去一个温暖的地方，结果却走到了冰天雪地，那得多悲催呀！
那集合区间的过程安全不？稳定不？放心吧！只要你按照正确的方法来，那绝对稳稳当当的。
这就跟走在平坦的大路上一样，只要你不瞎跑乱跳，就不会有啥危险。
集合区间有啥应用场景呢？那可多了去啦！比如说在数学里，求函数的定义域、值域啥的，经常要用集合区间来表示。
在实际生活中，也有很多地方能用到呢！比如表示温度的范围、时间的区间等等。
这多方便呀！就像有了一把万能钥匙，能打开好多扇门呢！
咱来举个实际案例吧！比如说，你要表示一群人的年龄在18 到30 岁之间，那就可以用集合区间[18,30]来表示。
这样一下子就清楚了，多棒呀！
集合区间就是这么厉害！它简单易懂，应用广泛，还很安全稳定。
你还等啥呢？赶紧用起来吧！我的观点结论是：集合区间超好用，大家一定要掌握它。
集合与区间
2、区间的分类：有限区间、无限区间。 3、区间的表示方法： x>0, x<0; x≥a, a<x<b; a≤x≤b 例如: 已知 集合 A={x| -2<x≤6,且x≠0;x≠3} 试用区间表示.
练习： 1、选择题：23—27 2、19、
常见的几种数集的表示符号： N*（或N+）表示正整数集；N 表示自然数集； Z 表示整数集； Q表示有理数集；R表示实数集； R+（R－）表示正（负）实数集。 空集：不含有任何元素的集合叫做空集记作φ 全集：在研究集合与集合之间的关系时，所讨论的 集合往往都是某一给定的集合的子集，这个给 定的集合叫做全集，用符号U表示。
5、集合的分类： 按集合中元素个数的多少我们把集合分为有 限集合和无限集合。 有限集合：含有有限个元素的集合。 无限集合：含有无限个元素的集合。 例如： 所有的自然数；某班全体学生。书架 上所有的书。
6、集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的所有元素一一列举出来 并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列 举法。例如正偶数集{2，4，6，8…} （2）描述法：把集合中的元素的共同特性描述出 来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做 描述法。描述法的形式是{元素|元素的公共属 性}，例如正偶数集{x|x=2n，n∈N} （3）文氏图法：集合也可以用圆或封闭的曲线表 示，这种表示集合的方法具有直观性。
A { 2 , 4 , 6}
AB {1, 5}
B {3 ,6}
AB { 2 , 3 , 4 , 6 } A B { 2 , 3 , 4 , 6 }
A B { 6 },
A B { 6 },
A B AB; AB A B
区间和集合的关系
区间和集合的关系区间和集合是数学中常见的概念，它们在数学分析、代数、概率论等领域中有着重要的应用。
在本文中，我们将探讨区间和集合之间的关系。
让我们来了解一下什么是区间。
在数学中，区间是由一对实数构成的范围。
通常表示为[a, b]，其中a和b分别表示区间的下界和上界。
区间可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。
开区间表示不包含区间端点，闭区间表示包含区间端点，而半开半闭区间则包含一个端点而不包含另一个端点。
与区间相比，集合是由一组元素组成的。
集合可以是有限集合或无限集合，可以包含任意类型的元素。
集合的表示方法有多种，可以使用列举法、描述法、集合运算等。
区间和集合之间有着密切的联系。
事实上，区间可以看作是一种特殊的集合。
例如，闭区间[a, b]可以表示为集合{ x | a ≤ x ≤ b }，即所有满足不等式条件的实数x的集合。
同样，开区间(a, b) 可以表示为集合{ x | a < x < b }，半开半闭区间 [a, b) 可以表示为集合{ x | a ≤ x < b }。
区间和集合之间的关系也体现在集合运算中。
例如，交集运算可以用来求解两个区间的重叠部分。
如果有两个区间[a, b]和[c, d]，它们的交集可以表示为{ x | max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d) }。
这个交集就是两个区间中共同包含的实数的集合。
并集运算则可以用来求解两个区间的并集。
如果有两个区间[a, b]和[c, d]，它们的并集可以表示为{ x | a ≤ x ≤ b 或c ≤ x ≤ d }。
这个并集包含了两个区间中所有的实数。
补集运算可以用来求解给定集合中不属于某个区间的元素。
例如，如果有一个区间[a, b]，它的补集可以表示为{ x | x < a 或 x > b }。
这个补集包含了所有不在区间[a, b]中的实数。
除了集合运算外，区间还可以用来表示函数的定义域和值域。
例如，如果有一个函数f(x)，它在区间[a, b]上定义，那么函数的定义域就是区间[a, b]。
沪教版高一数学上册1.1 区间的表示方法和集合相关概念 讲义
沪教版高一数学上册 1.1 区间的表示方法和集合相关概念讲义第一讲：集合与区间的概念及其表示法知识点一、区间的概念设a，b 是实数，且a＜b，满足a≤x≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，即，[,]{|}=≤≤。
如图：a b x a x ba，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，即R=-∞+∞。
(,)知识二、元素与集合：指定对象的全体叫“集合”，简称“集”，用大写英文字母A、B、C等表示，其中的每个对象叫“元素”，用小写英文字母a、b、c表示1.集合元素的特性：集合中元素的从属性要明确反例：大树、好人集合中元素必须能判定彼此反例：2，2集合中元素排列没有顺序如：{1,2,3}{2,1,3}=例1、判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式的解；x+>320若mm +-11 ∈{m},求实数m 的值。
练习5.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。
2.集合与元素的关系：若a 属于A ，记作a ∈A ；若b 不属于A ，记作b ∉A .“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。
[规定]（1）集合中相同元素只写一个代表；如：方程2(2)0x -=的解集{2}（2）集合与元素的关系（属于belong to ，不属于not belong to ）符号：a A ∈，a A ∉二者必居其一3.常见数集及其符号表示 数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N *或N ＋ Z Q R例4、用符号或填空：（1）2______ （2______ （3）0____∈∉N 2Q ∅（4）0______ （5）______ （6）0______ 练习6．0与集合{0}是什么关系？∅与集合{∅}呢？练习7、用符号或填空：（1） （2）（3） （4）4.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
集合区间表示法
集合区间表示法集合区间表示法是一种用来表示数的范围的方法。
它在数学中被广泛使用，特别是在集合论和数理逻辑中。
集合区间表示法使用一对括号或方括号来表示数的范围，并用逗号分隔起始值和结束值。
在集合区间表示法中，有四种常见的表示方法：闭区间、开区间、半开半闭区间和无穷区间。
下面将分别介绍这四种表示方法。
闭区间是指包含起始值和结束值的区间，用方括号表示。
例如，[1, 5]表示从1到5的所有实数。
闭区间表示法中的两个值可以是任意实数，包括整数、小数和负数。
开区间是指不包含起始值和结束值的区间，用圆括号表示。
例如，(1, 5)表示从1到5之间的所有实数，但不包括1和5。
开区间表示法中的两个值也可以是任意实数。
半开半闭区间是指包含起始值但不包含结束值的区间，用一个方括号和一个圆括号表示。
例如，[1, 5)表示从1到5之间的所有实数，包括1但不包括5。
半开半闭区间表示法中的两个值可以是任意实数。
无穷区间是指没有结束值的区间，用一个方括号或圆括号和一个加号表示。
例如，[1, +∞)表示从1到正无穷大的所有实数。
无穷区间表示法中的起始值可以是任意实数，而结束值则为正无穷大。
除了表示实数范围，集合区间表示法还可以用来表示整数范围。
例如，[1, 5]可以表示从1到5之间的所有整数，而(1, 5)则表示从2到4之间的所有整数。
集合区间表示法在数学中有着广泛的应用。
它可以用来表示函数的定义域和值域，表示不等式的解集，以及表示数列和级数的收敛区间。
在集合区间表示法中，起始值和结束值可以是任意实数，包括整数、小数和负数。
表示范围时，我们可以根据具体的问题选择合适的表示方法。
闭区间适用于需要包含起始值和结束值的情况，开区间适用于需要排除起始值和结束值的情况，半开半闭区间适用于需要包含起始值但排除结束值的情况，而无穷区间适用于表示没有结束值的情况。
集合区间表示法是一种简洁且灵活的方法，用于表示数的范围。
它在数学中有着广泛的应用，可以用来表示实数范围和整数范围，以及函数的定义域和值域，不等式的解集，数列和级数的收敛区间等。
区间知识点总结
区间知识点总结一、区间的概念区间是数轴上的一段连续的数的集合，通常用两个数来表示，这两个数分别称为区间的端点，通常含左不含右，即端点本身不属于区间。
区间又可以分为闭区间和开区间。
闭区间：包含端点的区间称为闭区间，用[ ]表示，例如[1, 5]表示从1到5的区间，包含1和5；开区间：不包含端点的区间称为开区间，用( )表示，例如(1, 5)表示从1到5的区间，不包含1和5。
二、区间的表示方法1. 集合表示法：用{}来表示，例如区间(3, 7) 可以写成{ x | 3 < x < 7}，表示x是大于3小于7的实数；2. 不等式表示法：用不等式符号来表示，例如对于闭区间[3, 7] 可以表示为3 ≤ x ≤ 7；3. 坐标表示法：对于二维平面上的区间，可以用坐标轴上的两个点坐标来表示，例如(3, 7)表示x轴上从3到7的区间。
三、区间的运算1. 包含关系：一个区间包含另一个区间的情况可以分为以下几种情况：- 若两个区间的交集为空，则称它们是不相交的；- 若两个区间的交集不为空，且其中一个区间的端点属于另一个区间，则称它们是相交的； - 若一个区间包含另一个区间的所有元素，则称后者是前者的子集。
2. 并集和交集：- 两个区间的并集就是包含这两个区间的所有元素；- 两个区间的交集就是同时属于这两个区间的所有元素。
3. 补集：对于给定的全集U，U中减去区间A中的所有元素所得到的区间称为A的补集，用U-A表示。
四、区间的性质1. 区间的长度：对于区间[a, b]，其长度等于b-a；2. 区间的包含关系：如果区间A包含区间B，那么A的端点肯定在B内，即A的左端点小于等于B的左端点，A的右端点大于等于B的右端点；3. 无穷区间：当一个区间的端点为无穷大时，则称该区间为无穷区间，例如[1, +∞)表示从1开始一直到正无穷的区间。
五、常用的区间集合1. 实数集合R：实数集合R是指所有的实数所构成的集合，通常用R表示；2. 自然数集合N：自然数集合N是指大于0的整数所构成的集合，通常用N表示；3. 整数集合Z：整数集合Z是指包括正整数、零和负整数所构成的集合，通常用Z表示；4. 分数集合Q：分数集合Q是指所有可表示为分数形式的实数所构成的集合，通常用Q表示；5. 有理数集合：有理数是指所有可以表示为有理分数形式的实数，通常用Q表示；6. 无理数集合：无理数是指不能表示为有理分数形式的实数。
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常见的几种数集的表示符号： N*（或N+）表示正整数集；N 表示自然数集； Z 表示整数集； Q表示有理数集；R表示实数集； R+（R－）表示正（负）实数集。 空集：不含有任何元素的集合叫做空集记作φ 全集：在研究集合与集合之间的关系时，所讨论的 集合往往都是某一给定的集合的子集，这个给 定的集合叫做全集，用符号U表示。
2、区间的分类：有限区间、无限区间。 3、区间的表示方法： x>0, x<0; x≥a, a<x<b; a≤x≤b 例如: 已知 集合 A={x| -2<x≤6,且x≠0;x≠3} 试用区间表示.
练习： 1、选择题：23—27 2、19、
A { 2 , 4 , 6}
AB {1, 5}
B {3 ,6}
பைடு நூலகம்
AB { 2 , 3 , 4 , 6 } A B { 2 , 3 , 4 , 6 }
A B { 6 },
A B { 6 },
A B AB; AB A B
四、区间
1、区间的概念：设R为实数集合，a，b∈R且a<b, 将满足不等式a<x<b的所有实数x的集合,叫做以a,b 为端点的开区间,记作(a,b).即 (a,b)={x| a<x<b}; 将满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集合,叫做以a,b 为端点的闭区间,记作[a,b].即 [a,b]={x| a≤x≤b} 将满足不等式a<x≤b(或a≤x＜b)的所有实数x的集合, 叫做以a,b为端点的半开区间,记作(a,b]或[a,b).即 (a,b]={x| a<x≤b}; [a,b) ={x| a≤x＜b} 以上四种区间为有限区间,有限区间右端点与左端 点的差b-a叫做区间的长度.
二、集合与集合之间的关系
1、子集： 对于两个集合A与B，如果集合B的任何 一个元素都是集合A的元素，那么，集合B叫做集 合A的子集。 2、真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中 至少有一个元素不属于B，那么集合B叫做集合A 的真子集。 规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集 合的真子集。 3、集合的相等：对于两个集合A与B，如果A是B的 子集，同时，B是A的子集，则称集合A与集合B相 等。
例如 : 已知 : U {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A {1, 3 , 5 }, B {1, 2 , 4 , 5 } 求 : A B , AB , A , B , AB , A B , A B , A B .
A B {1, 2 , 3 , 4 , 5}
4、集合的元素的性质： （1）确定性。要构成集合，元素必须明确无误。例如 “好学生”，这种元素因其好的标准不明，无法构成 集合。 （2）互异性。集合中的元素必须是互不相同的，即同一 元素在一个集合中只能出现一次。 例如 {-1，-1，2}是错误的，应为{-1，2} （3）无序性。集合中元素的排放位置与元素之间的先后 顺序无关。例如：{1，2，3}与{3，2，1}是同一集合。
三、集合的运算及性质：
1、交集：由集合A与集合B的所有公共元素所组成的集合， 就叫做A与B的交集，记作A∩B。 用描述法表示为： A∩B={x| x∈A且x∈B} 2、并集：由集合A或集合B的所有元素所组成的集合，就叫 做A与B的并集，记作A∪B。 用描述法表示为： A∪B={x| x∈A或x∈B} 3、补集：已知全集U，集合A是U的子集，由U中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做集合A在集合U的补集。记作A， 读做A补。
3、元素与集合的关系： 对于给定的集合A，元素a； （1）若a是集合A的元素，就说元素a属于集合A 记作“a∈A”，读作：“a属于A” （2）若a不是集合A的元素，就说元素a不属于 集合A，记作“a∈A”，读作：“a不属于A” 说明：对于确定的集合A和元素a，要么a∈A， 要么a∈A，二者必居其一且只居其一。 例如:选择题 26.
第四讲 集合与区间
一、集合的基本概念
1、集合：将一些具有确切含义的若干事件 （对象）的全体叫做集合，简称集。一 般用大写字母A、B、C…等表示集合。 2、元素 ：将集合里的各个事件（对象） 叫做集合的元素。一般用小写字母a、b、 c…等表示。 例如：龙岗电大全体班级；小于10的正偶 数；某厂全体女职工等等。
4、集合运算的性质：
(1 ). A A U ( 3 ). U ( 2 ). A A ( 4 ). A A
例如 : 已知 : U {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A {1, 3 , 5 }, B {1, 2 , 4 , 5 } 求 : A B , A B , A , B , AB , A B
5、集合的分类： 按集合中元素个数的多少我们把集合分为有 限集合和无限集合。 有限集合：含有有限个元素的集合。 无限集合：含有无限个元素的集合。 例如： 所有的自然数；某班全体学生。书架 上所有的书。
6、集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的所有元素一一列举出来 并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列 举法。例如正偶数集{2，4，6，8…} （2）描述法：把集合中的元素的共同特性描述出 来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做 描述法。描述法的形式是{元素|元素的公共属 性}，例如正偶数集{x|x=2n，n∈N} （3）文氏图法：集合也可以用圆或封闭的曲线表 示，这种表示集合的方法具有直观性。