江苏省南京市白下区2012届高三迎市二模模拟考试数学试卷

江苏省南京市2012届高三“市二模”模拟考试数学试卷注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟；2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在相应位置上。

1. 已知函数x x f cos )(=，则)(x f 的导函数)('x f = 。

2. 命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是 命题。

（填“真”或“假”之一）3. 若椭圆)90(1922<<=+m my x 的焦距为32，则=m 。

4. 抛物线x y 22=上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是 。

5. 下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是 。

（填写序号）①1->b a ②1+>b a ③22b a > ④33b a >6. 如图所示的“双塔”形立体建筑，已知ABD P -和CBD Q -是两个高相等的正三棱锥，四点D C B A ,,,在同一平面内，要使塔尖Q P ,之间的距离为50m, 则底边AB 的长为 m 。

7. 若n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则以下命题正确的是 .（填写序号） ①若α//m ，α⊂n ，则n m //； ②若α//m ，βα//，则β//m ；③若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ； ④若n m ⊥，α⊥m ，β⊥n ，则βα⊥8. 如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P的轨第6题图迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况） 9. 曲线x y =与xy 8=在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积为 。

10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为π12，则这个正三棱柱的体积为 。

11. 如图所示，在圆锥PO 中，已知2=PO ，⊙O 的直径2=AB ，点C 在弧AB 上，且60=∠COB °，则二面角C PA B --的余弦值是 。

12. 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 。

13. 已知函数x x x ax x f ln )()(2-+=在[)+∞,1上单调递增，则实数a 的取值范围是 。

14. 已知点P 是抛物线y x 42=上一个动点，过点P 作圆1)4(22=-+y x 的两条切线，切点分别为N M ,，则线段MN 长度的最小值是 。

二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分14分）设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交。

若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围。

16. （本小题满分14分）已知函数xec bx ax x f -++=22)()(在1=x 处取得极值，且在点))2(,2(f处的切线方程第8题图第11题图为0276=-+y x 。

（1） 求c b a ,,的值；（2） 求函数)(x f 的单调区间，并指出)(x f 在1=x 处的极值是极大值还是极小值。

17. （本小题满分14分）已知圆C 经过两点)6,2(),3,1(Q P --，且圆心在直线042=-+y x 上，直线l 的方程为0352)1(=-++-k y x k 。

（1） 求圆C 的方程；（2） 证明：直线l 与圆C 恒相交； （3） 求直线l 被圆C 截得的最短弦长。

18. （本小题满分16分）如图，平面⊥ABDE 平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4==BC AC ，四边形ABDE 是直角梯形，221,,//==⊥AE BD BA BD AE BD , N M O ,,分别为EM AB CE ,,的中点。

（1） 求证：//OD 平面ABC ； （2） 求证：⊥ON 平面ABDE ；（3） 求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值。

19. （本小题满分16分）如图，B A ,是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点，M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，若椭圆C 的离心率为21，且右准线l 的方程为4=x 。

第18题图（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标。

20. （本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=， （1） 若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（2） 若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3） 在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试数学参考答案一、填空题：1．sin x - 2．假 3．6 4．125．② 6． 7．③④第19题图8．椭圆 9．6 10．54 1112．()1,2 13．12a e≥ 14二、解答题：15．解：若p 真，即方程22167x y a a +=+-表示双曲线，则()()670a a +-<，67a ∴-<<． ………………………………5分 若q 真，即圆()2219x y +-=与圆()()22116x a y -++=相交，则17,a ∴-< ………………………………10分 若“p ⌝且q ”为真命题，则p 假q 真，67a a a ≤-≥⎧⎪∴⎨-<⎪⎩或6a -<≤-， ∴符合条件的实数a的取值范围是6a -≤-． ………………………………14分16．解：（1）()()()()22221x x f x ax b e ax bx c e --'=++++-()()222x ax a b x b c e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦， ………………………………4分 由题意，()()()1026215f f f '=⎧⎪'=-⎨⎪=⎩，即()()()()()12042264215a ab bc e a a b b c e a b c e ⎧-+-+-=⎡⎤⎣⎦⎪⎪-+-+-=-⎡⎤⎨⎣⎦⎪++=⎪⎩，1,5a c b ∴===； ………………………………8分（2）由（1）知，()()2251x f x x x e -=++，()()()()2223441x x f x x x e x x e --∴'=--+=-+-， ………………………………10分令()0f x '>，得41x -<<，()0f x '<，得41x x <->或，∴函数()f x 的单调递增区间为()4,1-，单调递减区间为(),4-∞-和()1,+∞．……13分由此可知，()f x 在1x =处的取值是极大值． ………………………………14分 17．解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=． …………………………2分由条件，得1930436260()2()4022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪++++=⎨⎪⎪-+⨯--=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为2242200x y x y +---=． ………………………………6分（2）由()12530k x y k -++-=，得()()3250k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，即直线l 过定点()3,1-，……………………………8分由()()22314321200+--⨯-⨯--<，知点()3,1-在圆内，∴直线l 与圆C 恒相交． ………………………………10分（3）圆心()2,1C ，半径为5，由题意知，直线l 被圆C 截得的最短弦长为………………14分18．（1）证明：如图1，取AC 中点F ，连接,OF BF ．O 是EC 中点，OF ∴是CAE ∆的中位线， //OF EA ∴，且12OF EA =， 又//DB EA ，且12DB EA =，//OF DB ∴且OF DB =，∴四边形ODBF 是平行四边形，//OD FB ∴．OD ⊄面,ABC FB ⊂面ABC ，//OD 平面ABC ．………………5分（2）证明：连接CM ，N 是EM 的中点，//ON CM ∴．平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE 平面ABC AB =，BD ⊂平面ABDE ，BD AB ⊥，BD ABC ∴⊥平面，CM ABC ⊂平面，,BD CM BD ON ∴⊥∴⊥．又ABC ∆是等腰直角三角形，AC BC =，M 是AB 的中点， CM AB ∴⊥，ON AB ∴⊥，由,,AB DB ABDE AB DB B ⊂=平面，ON ∴⊥平面ABDE ．……………………11分（3）解：建立如图2所示的空间直角坐标系．由条件，得()()()()0,0,0,,,0,M C E D -，)2O ∴，()()(2,2,2,0,22,2,22,MO MD CD ∴==-=--EOCBAD MNF图1设ODM 平面的法向量为(),,n x y z =， 由,n MO n MD ⊥⊥，2020z z +=∴-+=⎪⎩，取(n =-， 设直线CD 与平面ODM 所成角为θ，则6sin cos ,n CD θ=〈〉=∴直线CD 与平面ODM ． ………………………………16分 19．解：（1）由题意：2222124c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………6分（2）由（1）知，()()2,0,2,0A B -，设()00,M x y ，(),0R t ，则 直线AM 的方程为()0022y y x x =++， 令4x =，得0062y y x =+，即点P 的坐标为0064,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， …………………………9分 由题意，MQ PQ ⊥，1MQ PQ k k ∴⋅=-，00062124y y x x t +∴⋅=---，即()()20004226y t x x -∴=--+， …………………………12分 又()2222000031,4434x y y x +=∴=-，4364t -∴-=-，12t ∴=-． ∴直线PQ 与x 轴的交点R 为定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． …………………………………16分20．解：（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 列表如下：x12- 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 23 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f x '-0 +0 -()f x1()2f -极小值极大值由13()28f b -=+，24()327f b =+，12()()23f f ∴->，即最大值为133()288f b -=+=，0b ∴=． ………………………………5分（2）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln ,ln 0x x x x ∴<->即，22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x-≤-． ………………………………7分令()[]()22,1,ln x x t x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[]1,e 上为增函数，()()min 11t x t ∴==-，1a ∴≤-． …………………10分 （3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=，()()2320t f t t t ∴-++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解． …………………12分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=， 此方程无解；②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．………………16分。