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指数函数与对数函数
一、实数指数幕
1、实数指数幕：如果x—a (nFN+且n>l),则称x为a的n次方根。

当n为奇数时，正数a的n 次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

这时，a的n次方根只有一个，记作亦。

当n 为偶数吋，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别记作亦，一询。

它们可以写成土丽的形式。

负数没有_______ (填“奇”或“偶”)次方根。

例：填空：
(1)、(V8 ) 3二 ____ ； ( ) 3二 ____
⑶、VF= _______ ；V(-5)4 = ______ 。

巩固练习：
1、将下列各分数指数幕写成根式的形式：
2 _3
(1) / (2)八(bHO)
2、将下列各根式写成分数指数幕的形式：
(1)历(2) ~^= (aHO)
3、求下列幕的值：
(1)、(-5) °；(2)、(a-b) °；(3)、2_,；
2、实数指数幕的运算法则
a
②、―宀a"
④、｛ciby = a a ^b a
例1：求下列各式的值：
\_ _2 [ 2 ⑴、100^ ⑵、「亍⑶8几8亍
例2：化简下列各式：
(1)、al[a(2)、3V3>V3>V3
巩固练习：1、求下列各式的值：
3 (4)、(V7 ) 40
⑤、中
⑴、2一3.164
⑵、V2-V8
(3)2"3-45-0.255
2、化简下列各式：
(1)(3沪
⑵£尸
2 _5
(3)Q°•a3•rz0•a1 (aHO)
二、幕函数
1、幕函数：形如y = r (HER, (I HO)的函数叫做幕函数，其中x为自变量，a为常数。

例1、判断下列函数是否是幕函数：
⑴、y= X4(2)、y= x~3⑶、y=—
兀_
⑷、y=2‘(5)、s=4t (6)、y=(x+l)"“(7)^ y= x2+2x+l 巩固练习：观察下列幕函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域：
⑴、y = x； (2)、y= x2； (3)y= x_l；
1
三、指数函数
1、指数函数：形如y=Q (a>0,且aHl)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，a 为
常数，指数函数的定义域为R 。

例1：判断下列函数是不是指数函数？
(1)丁 = (_3)“ (2) y = 3x 4 (4) y= —
(5) y= T
(6) y= (—)x
(5丿
2
例1：已知指数函数尸a"的图像过点(2, 16)o
①求函数的解析式及函数的值域。

②分别求当x=l, 3吋的函数值。

例2：判断下列函数在(- 8, +<-)上的单调性 / ［、一龙
①y=0.5x ②y 二-
四. 对数
1、对数：如果a b =N(a>0, aHl),那么b 叫做以a 为底N 对数，记作log a N = b,其中,
函 数
y= a x (a>l)
图 y
%>i )
象
定义域 R 性
值域 (0, +8)
过定点
(0,1)
质
单调性 是R 上的增函数
y=a x (0<a<l)
y=a x (OVaCl,
7
......... v =l
J 〉
A
X
是R 上的减函数
"叫做对数的底数，简称底；"叫做真数。

log “N读作：“以a为底N的对数”。

我们把* =N叫做指数式，把log aN=b叫做对数式。

2、对数式与指数式关系：
指数幕真数对数
a b—Jog a N= b
____ 底数 ________
例1：将下列对数式改写成指数式：
(1) log 381=4；(2) log 5125=3；
例2：将下列指数式改写成对数式：
(1)、5*125,
丄
(2)、16了二2
3、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数oN(N>0)的常用对数log 10N可简记为IgN。

例如:log107可简记为lg7
4、自然对数：以e为底的对数，这里e二2. 718281…是一个无理数。

N (\>0)的自然对数log eN 可简记为In No
例如:loge5可简记为In 5
5、零和负数没有对数。

6、根据对数定义，可以证明:log a l=0； log a a=l (a>0,且aHl)
7、对数的运算性质：
(1)积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即
log a (MN) =log a M+log a N
(2 )商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即
M
10g a——=10g aM-10g a N
N
(3 )幕的对数：一个正数的幕的对数，等于幕指数乘以这个数的对数，即
logaM“=blog』其中，a>0, aHl, M>0, N>0
例：求出下列各式的值：
1、log 2 (4X8)
2、log 3 (9X27)
3、log 2—
4、log 5—
5、3 log 24
6、log 392
16 75
五、对数函数
1、 对数函数：函数y = logn （。

〉0,且GH1）就是对数函数。

是指数函数y = a x （。

〉0, 且QH1）的反函数。

2、 对数函数的图象和性质
性质1•对数函数）=logn 的图像都在Y 轴的右方.
性质2•对数函数y = 10gn 的图像都经过点（1, 0）
性质4•对数函数在（0,+oo ）上是增函数. 对数函数在（0,+oo ）上是减函数.
例1：求下列函数的定义域：
（"yrlogdX 2； （2） y = log“（4—F ）；（3） y = log rt
例2：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）log 3 5 和咤了； （2） log （） 5 3 log （） 5 7i ； （3）log“* 和 log“*,其中 G >0,QH 1
J
J
性质3•当x 〉l 吋，y 〉0； 当x 〉l 吋，y <0；
当0vxv 1 时，yvO.
当0vxv 1时，y>0・
对数函数y = log"兀(d > 1)
1、下列各式中正确的是（）
2、下列等式屮能够成立的是（ ）
A. y — (— 1)'
B. y = —2'
C. y = 7i x
D. y = a x+x (a > 0且a H 1)
8、 计算［(-扬)2”的结果是 ___________ 9、 V2-V2-V4=
, (3-)3 =
----------- 8 -------------------------
10、比较下列各题中两个实数的大小
综合练习
A. ab~
x B. a C. a~l D. (ab)-'
4、
3
在式子（2 + 3力刁中，x 的取值范围是（
)
A. xe R
2
2
2 B. X H ——
C.
X >——
D. x —
3
3
3
5、 幕函数y = x
1
耳必经过点（
）
A. (2,2)
B. (1,1)和(0,0)
C.
2 2
D. (1,3)
6^ 幕函数y = x 3的奇偶性为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C. 非奇非偶函数
D.减函数
7、 下列函数中， 为指数函数的是（ )
)
A. 0° = 1
C. ^x 2 + y 2 = (x+ y)3
D. ^/(-3)2 = V-^3
\_ \_ \_
3、设2 0,化简式子(a 3b~3y -(a-2b 2y \ab 5y 的结果是
( (2)
2一5与2”
z x -S /
、4
X + 1 丄
丄的定
义域是
2兀一3
. 3 3 3 A.{x x<-\^x>—} B.{x %<-l£Lx^^-} C.{x x<-\^x>^} D.{A : X <-\}
定义在R 上的偶函数/(x),在(O.+oo)上是增函数，则
已知fM = log “ x 的图象过点(5,3)，则a =
课后练习
函数y = 2、
A. /(3) </(-4) </(—%)
B. /(-^) </(-4) < /⑶
C ・ /⑶ </(—〃)</(—4)
D ・ /(-4) < /(-^) < /(3)
3、
式子(丄尸-16二的值为 A. -2 B. 2 C. D. -4
4、
式子(lg5)2+lg2>lg50的值为 A- 6 B. 4 C. 3 D. 1
5、
刖g”)则宀2)的值为
7
A. ------
10
3
B.——
5 3 C.— 5
7
D.—
10
6、 7、
A. y/5
B. >/3
C. 53
D.
若4<($ <16,则的取值范围是 A. 2< x <4
B • —4 < 兀 < —2
C • —4 < x v 2 D.
8、
对于0 < a <1，给出下列四个不等式: ① 10g“(l + d) V10ga (l + -) a
② log“(l + a)〉log“(l +丄) a
9、
③旷"v/" 其中成立的是
A.①与③
B.①与④
已知0.32 = a , log 20.3 = Z?, 203 = c,则下列正确的是
A. a> b> c
B. c> a> b
C. c> b> a
C.②与③ ( )
D.②
与④
D. b> c> a
la 12
10、已知 lg2=«, lg3=b,则一等于
Igl5
二、填空题
16、二次函数f （x ） = 2x 2+x-i ,则/（兀）的图像的对称轴是直线 _________________ 17>函数y = a x ~ + !.(« > 0且QH1)的图像必经过点 ______________________________ 18、 函数y = \[x _]的反函数是 _____________________________________________ 19、 4—10x2'+16 = 0 的解集是 _______________________________________________ 20log 2 [log 2(log 2 x)] = 1,则兀= _________________________________________________
三、解答题
21、计算
_丄 7
丄
3
B. 18
C. 9
D.
2a + b
A. --------------
\ + a + b
a + 2
b B. --------------
1 + a + b
2a+ b C. --------------
\ - a + b
11、当a>l 时，函数y = ^-^-是
a x -1 A.奇函数 12、器的值是
B •偶函数
C.既奇又偶函数
13、 2 A. 一
3
B. 1
C.
a + 2
b D. --------------
a + b
( )
D 非奇非偶函数 ( )_
D. 2
若 3G + 2/? = 2,贝図 x2^
A. 2 14、函数y =
B. 4
C.
1（2兀-1）的定义域
为
A. 6 +8)
B- [1, +oo)
c ・（「］
log 3 4 • log 4 8 • log 8 7 • log 7 m = log 318,那么〃=
( )
D. 16
(
)
D. ( — 8, 1)_
( )
A. 27
(1) 0.064 3-(--)° +16°75+0.012(2) log2(log2 32-log2- + log26) 22、解不等式与方程
(1)解不等式：(l)x2-2v+2 > 3'-2V(2)解方程：1 og2(^ + l) + log2x = log26
■]
23、已知函数/(x) = a x+b的图象过点(1,3),其反函数r'(x)的图象过(2,0),求函数
/*(兀)的解析式。

24、函数f(x) = \g[(a2 -4)x2 +(<7-2) x + l]的定义域为R,求a的取值范围。