【数学】2017-2018年辽宁省朝阳市凌源实验高中、二高中联考高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源实验高中、二高中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+48．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源实验高中、二高中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．故选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．故选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：1﹣=．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a5=．则tan a5=tan=﹣．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，故选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为T r=•24﹣r（﹣x）r，+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，故选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，故选：B．8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：根据对数函数的单调性可得log 2018a＞log2018b正确，log b a＜log c a正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得x P+x Q=6，x P x Q=1，|PF|=x P+1，|QF|=x Q+1，|PF||QF|=x Q+x P+x P x Q+1=6+1+1=8，则+===1．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]﹣a n）=a n+1，【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1即na n﹣（n+1）a n=1，+1则有﹣==﹣，则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1 =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是﹣．【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至C点时z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．所以z=x﹣3y+1的最大值是：﹣3×+1=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB 1的法向量为，可取又平面B 1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），则k GE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），则h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x0，即f′（x0）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x0+a），当﹣a＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min=f（x0）=﹣2a﹣ln（x0+a）=x0+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x0+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min=f（x0）＞0，即函数f（x）无零点．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f （x ）+f （2+x ）≤4， 即为|x ﹣2|+|x |≤4，当x ≥2时，2x ﹣2≤4，即x ≤3，则2≤x ≤3； 当0＜x ＜2时，2﹣x +x ≤4，即2≤4，则0＜x ＜2； 当x ≤0时，2﹣x ﹣x ≤4，即x ≥﹣1，则﹣1≤x ≤0． 综上可得，不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤3}；（2）证明：g （x ）=f （x ）﹣f （2﹣x ）=|x ﹣2|﹣|x |， 由|x ﹣2|﹣|x |≤|x ﹣2﹣x |=2，当且仅当x ≤0时，取得等号， 即g （x ）≤2，则m=2，任意不相等的正实数a ，b ，可得 af （b ）+bf （a ）=a |b ﹣2|+b |a ﹣2| =|ab ﹣2a |+|ab ﹣2b |≥|ab ﹣2a ﹣ab +2b |=|2a ﹣2b |=2|a ﹣b |=m |a ﹣b |， 当且仅当（a ﹣2）（b ﹣2）≤0时，取得等号， 即af （b ）+bf （a ）≥m |a ﹣b |．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。