1.6 向量在轴上的射影

《解析几何》教案

页眉内容《解析几何》教案第一章向量与坐标本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。

（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.本章教学内容：§1.1 向量的基本概念一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量.三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.四、向量间的几种特殊关系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然，，零向量的反向量还是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.注意：应把向量与数量严格区别开来：①向量不能比较大小，如没有意义；②向量没有运算，如类似的式子没有意义.§1.2 向量的加法一向量的加法：定义1设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作（图1-1）这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：定义2作，以的终点为起点作，联接（图1-2）得（1-2）该方法称作向量加法的三角形法则.（图1-2）向量加法的三角形法则的实质是：将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：定理1 向量的加法满足下面的运算律：1、交换律, （1.2-2）2、结合律. （1.2-3）证交换律的证明从向量的加法定义即可得证.下证结合律 .自空间任一点O开始依次作则有，所以.由定理1知，对三向量相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作.二向量的减法定义3 若，则我们把叫做与的差，记为显然，,特别地，.由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设、，以与为邻边作一平行四边形，则对角线向量.例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.证必要性设三向量、、可以构成三角形（图1-3），（图1-3），那么,即.充分性设，作那么，所以，从而，所以、、可以构成三角形.例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证设四边形的对角线、交于点且互相平分（图1-4）因此从图可看出：，所以，∥，且，即四边形为平行四边形.（图1-4）§1.3 数量乘向量定义1.3.1设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向相同；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反.特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知：.据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：定理1.3.1. 数量与向量的乘法满足下面的运算律：1) 1·=2)结合律, (1.3-1)3)分配律, (1.3-2)4) . ( 1.3-3)证 1)据定义显然成立.2)显然，向量、、的方向是一致，且= == .3）分配律如果或中至少有一个为0，等式显然成立；反之ⅰ)若,显然同向，且所以ⅱ）若不妨设若则有由ⅰ)可得，所以对的情形可类似证明.一个常用的结论：定理3. 若( 为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行且，则( 是数量).设是非零向量，用表示与同方向的单位向量.由于与同方向，从而与亦同方向，而且,即.我们规定：若，. 于是.这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式.十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.例1 设AM是三角形ABC的中线，求证.（图1-5）证如图1-5，因为，所以但因而，即.例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设△ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则所以，且.§1.4 向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合.定理1.4.1如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得， (1.4-1)并且系数被，唯一确定.证若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定存在实数使得（见1.3节中1.3.5的证明）.再证的唯一性：如果，那么，而，所以，.定理1.4.2如果向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即， (1.4-2)并且系数被，唯一确定.证：（图1-6）因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么由定理1.4.1有，其中中有一个为零；如果与都不共线，把它们归结共同的始点，并设，，，那么经过的终点分别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理 1.4.1，可设，所以由平行四边形法则得，即.反之，设，如果中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.如果，那么，从向量加法的平行四边形法则知与都共面，因此与共面.最后证的唯一性.因为=，那么，如果，那么，将有，这与假设矛盾，所以.同理，这就证明了唯一性.定理1.4.3 如果向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得，(1.4-3)并且系数x,y,z被，唯一确定.证明方法与定理1.4.2类似.定义1.4.2对于个向量，若存在不全为零的实数，使得， (1.4-4)则称向量线性相关.不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：.定理1.4.4在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.证设向量线性相关，则存在不全为零的实数使得，且中至少有一个不等于0，不妨设，则；反过来，设向量中有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即，即.因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.定理1.4.5 如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.证设中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.则有，因为不全为零，所以线性相关.推论如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关类似地可证明下面的定理：定理1.4.6 两向量与共线线性相关.定理1.4.7 三向量与共面线性相关.定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.例1 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，，使得，且，其中是任意取定的一点.证（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，所以，.任取一点所以，所以，.取，，则，，.（充分性）若对任一点有非负实数，，使得，且则，所以与共线，即在直线上.又，所以在线段上.例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是.证共线,线性相关，即存在不全为0的实数，使，(1.4-5)即.又因为不共线即线性无关，故方程有非零解.§1.5 标架与坐标一空间点的直角坐标:平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.1、空间直角坐标系过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：(图1-7)右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向.三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点叫做坐标原点.注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右.当然，它们的实际夹角还是.2、坐标面与卦限三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与面.三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.(图1-8)3、空间点的直角坐标取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标.依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为.反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点.这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系.定义1 我们把上面有序数组叫点在此坐标系下的坐标，记为.二空间两点间的距离公式定理1设、为空间的两点，则两点间的距离为(1.5-1)证过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图所示(图1-9)是直角三角形，故，因为是直角三角形，故，从而；而，，，故.特别地，点与坐标原点的距离为.三空间向量的坐标定义2 设是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，使得，那么我们把这组有序的实数，叫做向量在此坐标系下的坐标，记为或.定理2设向量的始终点坐标分别为、，那么向量的坐标为. (1.5-2)证由点及向量坐标的定义知，所以=.由定义知.定理3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.证设，，那么=+=，所以. (1.5-3)类似地可证下面的两定理：定理4设，则.定理5 设，，则共线的充要条件是.(1.5-4)定理6三非零向量，，共面的充要条件是. (1.5-5)证因为不共面，所以存在不全为0的实数使得，由此可得因为不全为0，所以.§1.6 向量在轴上的射影一、空间点在轴上的投影：设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影.(图1-10)二、向量在轴上的投影：定义1设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.(图1-11)这里，的值是这样的一个数：(1)即，数的绝对值等于向量的模.(2)当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，.三、空间两向量的夹角：设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作.(图1-12)若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.类似地，可规定向量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角.四投影定理：定理1.6.1向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦.即, (1.6-1)(图1-13)证过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有故由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量.当非零向量与投影轴成锐角时，向量的投影为正.定理1.6.2对于任何向量都有. (1.6-2)证取，那么，设分别是在轴上的投影，那么显然有，因为所以，即.类似地可证下面的定理：定理1.6.3对于任何向量与任何实数有. (1.6-3)§1.7 两向量的数性积定义1.7.1 对于两个向量a和b 把它们的模|a|,|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量和的数量积记作ab,即ab=|a||b|cos .由此定义和投影的关系可得 ab|b|Prj b a=|a|Prj a b .数量积的性质(1) a·a=|a| 2,记a·a a 2，则a2|a| 2.(2) 对于两个非零向量a、b 如果a· b=0 则a b反之如果a b 则a· b 0.定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直则a b a· b 0.定理1.7.2 数量积满足下面运算律：(1)交换律 a· b= b·a(2)分配律( a b)c a c b c( (3)a)· b a·(b )(a·b)(a)·(b )(a·b) 、为数证（1）由定义知显然.(2)的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c（3）可类似地证明.例1试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中 ∠BCA||=a ||=b ||=c要证c 2a 2+b 2 2 a b cos记a b =c 则有 c a b从而 |c|2c c(a b)(a b)a2-2ab+b2|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2+b 2 2 a b cos数量积的坐标表示 :定理1.7.3设a{a x a y a z } b{b x b y b z }则a·b a x b x a y b y a z b z证a· b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z定理1.7.4设a={},则向量a的模|a|=.证由定理1.7.2知|a|2=a2=，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 设a={}，则a的方向余弦为cos=,cos,cos；且，其中分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角.证因为ai=|a|cos且ai=，所以 |a|cos=，从而 cos=.同理可证 coscos且显然两向量夹角的余弦的坐标表示定理1.7.6设(a ^ b)则当a0、b0时有.证因为a·b|a||b|cos，所以.例2 已知三点M (11 1) 、A (22 1) 和B (21 2) 求AMB解从M到A的向量记为a从M到B的向量记为b则AMB就是向量a与b的夹角 .a{11 0} b{10 1}因为a b1110011所以从而.§1.8 两向量的向量积定义1.8.1 两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做a b或,它的模|a b||a||b|sin,它的方向与a和b垂直并且按a,b,a b确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,a b｝.从定义知向量积有下列性质：(1) a a0(2) 对于两个非零向量a，b如果a b0则a//b；反之如果a//b则a b0.定理1.8.1 两不共线向量a与b的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a b0.证当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a b|=|a||b| sin(a、b)=0，从而a b0；反之，当a b0时，由定义知，a=0，或b=0，或a//b，因零向可看成与任向量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律(1) 反交换律a b b a，(2) 分配律(a b)c a c b c，(3) 数因子的结合律 (a)b a(b)(a b) (为数).证（略）.推论: c (a b) c a c b定理1.8.4 设a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k，则a b(a y b za zb y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k证由向量积的运算律可得a b(a x i a y j a z k)(b x i b y j b z k)a xb x i i a x b y i j a x b z i ka yb x j i a y b y j j a y b z j k a z b x k i a z b y k a z b z k k由于i i j j k k0i j k j k i k i j所以a b(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j（a x b y a y b x）k.为了帮助记忆利用三阶行列式符号上式可写成a yb z i+a z b x j+a x b y k a y b x k a x b z j a z b y i(a y b z a z b y)i(a z b x a x b z)j(a x b y a y b x)k例1设a(2 11)b(11 2)计算a b解=2i j2k k4j i i5j 3k例2已知三角形ABC的顶点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积由于(222)(124)因此4i6j2k于是例3 设刚体以等角速度绕l轴旋转计算刚体上一点M的线速度解刚体绕l轴旋转时我们可以用在l轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向设点M到旋转轴l的距离为a再在l轴上任取一点O作向量r并以表示n与r的夹角那么a|r| sin设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为|v||n|a|n||r| sinv的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有v n r§1.9 三向量的混合积定义1.9.1 给定空间的三个向量，我们把叫做三向量的混合积，记做或.定理1.9.1三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时.证由于向量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是.根据数性积的定义，其中是与的夹角.当构成右手系时，，，因而可得.当构成左手系时，，，因而可得.定理1.9.2三向量共面的充要条件是.证若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，从而.反过来，如果，即，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面.定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即.证当共面时，定理显然成立；当不共面时，混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，又因轮换的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.推论:.定理1.9.4设，，，那么.证由向量的向性积的计算知，再根据向量的数性积得===.推论: 三向量共面的充要条件是.例1设三向量满足，证明：共面。

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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a

b

b

a.
（2）结合律：
a

b

c

(a

b)

c
a

(b

c).
（3）
a

(a)

0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)

解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)

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第一章向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定义1.2.1 设已知矢量 a、 b ，以空间任意一点 O为始点接连作矢量 OA a， AB b得一折线 OAB，从折线的端点 O到另一端点 B的矢量 OB c , 叫做两矢量 a与b的和，记做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相加可由矢量的三角求形和法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数化,数量化.
第一章第二章第三章第四章向量与坐标轨迹与方程平面与空间直线柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章二次曲线的一般理论
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第一章向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间（） 1.4－2

解析几何课程简介

《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。

6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。

空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。

本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。

学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。

三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。

主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。

第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。

第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。

第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。

第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。

向量在轴上的射影的辨析

向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有图1图2例1 已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.二、问题辨析造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。

§6矢量在轴上的投影(射影)

§6 矢量在轴上的投影（射影）一空间两矢量的夹角：设有两矢量a 、b 交于点s (若a 、b 不相交，可将其中一个矢量平移使之相交)，将其中一矢量绕s 点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度ϕ(限定0ϕπ<<)称为a 、b 间的夹角，记作,a b ϕ<>=.(图1.17) 若a 、b 平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为0ϕ=；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为ϕπ=.类似地，可规定矢量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将矢量绕交点在矢量与数轴所决定的平面内旋转，使矢量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度(0)ϕϕπ≤≤称为矢量与数轴的夹角.(图1.18)二空间点在轴上的投影：设已知点A 及轴u ，过点A 作轴u 的垂直平面π，则平面π与轴u 的交点叫做点A 在轴u 上的投影.(图1.19)三矢量在轴上的投影：定义1 设矢量AB 的始点A 与终点B 在轴u 的投影分别为A '、/B ，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做矢量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.(图1.20) 这里，A B ''的值''A B 是这样的一个数：(1)、''''||||A B A B =即，数A B ''的绝对值等于向量A B ''的模.(2)、当A B ''的方向与轴u 的正向一致时，0A B ''>；当A B ''的方向与u 轴的正向相反时，0A B ''<.四投影定理：定理1 矢量AB 在轴u 上的投影等于矢量的模||AB 乘以轴u 与矢量AB 的夹角ϕ的余弦.即prj AB AB u =cos ϕ, (1.6-1)(图1.21)证过矢量AB 的始点A 引轴'u ，且轴'u 与轴u 平行且具有相同的正方向，那未轴u 与向量AB 的夹角等于轴'u 与向量的夹角，而且有u u prj AB prj AB '=prj AB AB AB u '=''=cos ϕ故 prj AB AB u =cos ϕ 由上式可知：矢量AB 在轴u 上的投影是一个数值，而不是矢量. 当非零矢量AB 与投影轴u 成锐角时，向量AB 的投影为正.定理2 对于任何矢量,a b 都有()u u u prj a b prj a prj b +=+. (1.6-2)证取,AB a BC b ==，那么AC a b =+，设''',,A B C 分别是,,A B C 在轴l 上的投影，那么显然有''''''AC A B B C =+，因为'''''',,l l l AC prj AC A B prj AB B C prj BC === 所以 u u u prj AC prj AB prj BC =+，即 ()u u u prj a b prj a prj b +=+.类似地可证下面的定理：定理3 对于任何矢量a 与任何实数λ有u u prj a prj a λλ=. (1.6-3)。

向量在轴上的射影

z
R(0,0, z)
r
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ，通过 A 作垂直于轴 l 的平面，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
P37
1
《解析几何》
－Chapter 1
§6 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影空间一向量在轴上的射影向量的射影定理
r
在三个坐标轴上的分向量：
OP xi , OQ yj, OR zk.
只考虑 r 与 x 轴的关系，有
r在 x 轴上的分向量 OP xi ,
且 x r cos.
空间一点在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.

09-13全国大学生高等数学竞赛真题及标准答案(非数学类)-无标准答案

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分,共2０分）1.计算=--++⎰⎰y x yx x y y x D d d 1)1ln()(________＿___，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f __＿＿＿____＿__.3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__＿_______.4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy _＿____________＿＿．二、（５分)求极限x enxx x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（１5分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（１5分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界,试证:（１)⎰⎰-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ; （２)2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe.五、(１0分）已知x x e xe y 21+=，x x exe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.。

认识射影：什么是射影？如何计算射影长度？

射影是一个在数学和几何学中经常使用的概念，尤其在与线性代数、解析几何和解析力学等领域有紧密的联系。

以下是对射影概念的详细解释以及如何计算射影长度的阐述，字数满足2000字以上的要求。

### 什么是射影？射影可以简单理解为一种“投影”或“映射”的操作，它描述了一个向量或点在另一个向量或平面上的投影情况。

以下从几个方面详细解释射影的概念：1. **向量的射影*** 定义：给定两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的射影是一个与$\vec{b}$平行的向量，记为$\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a}$。

* 计算：设$\vec{b}$的单位向量为$\vec{e}$（即$\vec{e} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$），则$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的射影长度为$|\vec{a}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。

因此，$\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = |\vec{a}|\cos\theta\vec{e} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$，其中$\vec{a} \cdot \vec{b}$是向量的点积。

2. **点的射影*** 定义：给定一个点$A$和一个平面$\alpha$，点$A$在平面$\alpha$上的射影是平面$\alpha$上离点$A$最近的一点，记为$A'$。

* 性质：线段$AA'$与平面$\alpha$垂直，即$AA' \perp \alpha$。

* 计算：如果已知点$A$的坐标和平面$\alpha$的方程，可以通过解方程组或向量运算来找到射影点$A'$的坐标。

解析几何_向量的线性关系与向量的分解PPT

则 a b .如果 b 0,由定理1.4.1知,a , b 共
线.若 b 0,则 a , b 共线. 必要性设 a , b 共线,若b 0 ,则任取 0 ,
有0ab0,即 a , b 线性相关.若b 0 , 由定
理1.4.1,存在 ,使 a b,即1ab0, 所
以 a , b 线性相关.
如果 r 和 e1,e2,e3 中任意两个都不共面. 将 r,e1,e2,e3归结为到共同始点 O ,并设 OPr ,
O E i e i( i 1 ,2 ,3 ),过 r 的终点作三平面分别与
平面 O E 2 E 3 ,O E 3 E 1 ,O E 1 E 2 平行,且分别和直线 O E 1 ,
OE2,OE3相交于 A,B,C 三点,如图.则有
e1
y y' x' x
e2.
由定理1.4.1可知 e1 , e2 共线,矛盾. 同理有 y y '.
定理1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面, 那么空间任意向量 r 可以由向量 e1,e2,e3 线性表示, 或说空间任意向量 r 可以分解成向量 e1,e2,e3 的线性组合，即
r x e 1 y e 2 z e 3 .
余向量的线性组合.设这个向量为 a n ,即
a n 1 a 1 2 a 2 n 1 a n 1 ,
则 1 a 1 2 a 2 n 1 a n 1 ( 1 ) a n 0 .
因为 10,所以 a1,a2, ,an线性相关.
定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量
线性相关那么这一组向量就线性相关.
N P n N A n ( O A O N ) n ( a b ) ,
p a m ( b a ) ( 1 m ) a m b ,

向量在轴上的射影的辨析

向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有图1图2例1 已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.二、问题辨析造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。

解析几何全册课件

e
e
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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a

第一章向量与坐标

OC － OB ＝λ( OA － OB ), 所以 BC ＝λ BA , 从而 BC // BA . 故 A，B，C 三点共线.
§1.5 标架与坐标
1. 在空间直角坐标系{O; i , j, k }下，求 P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
取 E，F，G 分别为 AB，BC，CA 之中点，则有 PE ＝ 1 ( PA + PB ).从而 2
同理可证 BP ＝2 PG , AP ＝2 PF .故 P 为△ABC 的重心.
CP ＝2 PE .
4. 证明三个向量 a ＝－ e1 +3 e2 +2 e3 , b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ，c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
KL 1 AC. KL 与 AC 方向相同；在ΔDAC 中，NM 1 AC.
2
2
NM 与 AC 方向相同，从而 KL＝NM 且 KL 与 NM 方向相同，
所以 KL ＝ NM .
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：
(1) AB 、 CD ; (2) AE 、 CG ;(3) AC 、 EG ; (4) AD 、 GF ; (5) BE 、 CH . [解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；
OA1 ＋ OA3 ＝λ OA2 , OA2 ＋ OA4 ＝λ OA3 , ……
OAn−1 + OA1 ＝λ OAn , OAn ＋ OA2 ＝λ OA1 , 所以 2( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝λ( OA1 + OA2 +… + OAn ), 所以 (λ－2)( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝ 0 . 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0. 所以 OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .

解析几何,吕林根,课后习题解答一到五课后习题答案

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？（1）-=+ （2+=+ （3）-=+ （4+= （5）=- 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体A B C D E F G（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

向量坐标知识点总结

解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。

类似于物理的正交分解。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

射影定理向量

射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在向量空间中起着至关重要的作用。

本文将从几个不同的角度来介绍射影定理，并探讨它在实际问题中的应用。

我们需要明确射影定理的定义。

射影定理是指在一个向量空间中，任意一个向量都可以唯一地分解成两个部分：一个部分是与给定的向量空间的基向量张成的子空间正交的向量，另一个部分是与基向量张成的子空间的向量。

这个定理的重要性在于它使我们能够将一个向量分解成两个部分，从而更好地理解向量的性质和特点。

射影定理在计算机图形学中有着广泛的应用。

在三维计算机图形中，我们经常需要将三维空间中的点投影到二维平面上，以便在屏幕上显示。

射影定理提供了一种有效的方法来进行这种投影。

通过将三维点的坐标与一个透视投影矩阵相乘，我们可以得到其在二维平面上的投影坐标。

这种投影可以使得图像更真实地呈现在屏幕上，提高了计算机图形的逼真度。

射影定理还在信号处理中起着重要的作用。

在数字信号处理中，我们常常需要将信号从高维空间投影到低维空间中进行处理。

射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。

通过将信号与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现信号的降维处理。

这种降维可以大大减少信号处理的计算量，提高信号处理的效率。

射影定理还在统计学中有着广泛的应用。

在统计学中，我们经常需要将高维数据集投影到低维空间中进行分析。

射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。

通过将数据集与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现数据的降维处理。

这种降维可以使得数据的分析更加简洁和高效。

射影定理不仅在计算机图形学、信号处理和统计学中有着广泛的应用，还在其他许多领域中发挥着重要的作用。

例如，在机器学习中，射影定理可以用来进行特征选择和降维处理，从而提高学习算法的性能。

在人工智能中，射影定理可以用来进行模式识别和图像处理，从而实现人机交互的目标。

射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。