第七章-3K元素
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
集合的概念与表示(7类必考点)-2022-2023学年高一数学(苏教版2019必修第一册)
专题1.1 集合的概念与表示【考点1：集合的含义】 (1)【考点2：元素与集合的关系】 (2)【考点3：集合中元素的个数】 (3)【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】 (5)【考点5：有限集与无限集】 (7)【考点6：常用数集与点集】 (9)【考点7：集合的表示方法】 (10)【考点1：集合的含义】【知识点：集合】把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．1．（2022春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误，对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确，对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，故选：B．2．（2021秋•湖北月考）判断下列元素的全体可以组成集合的是（）①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③n的近似值；④不大于5的自然数．A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】由集合元素的特征可知：集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出．【解答】解：“好学校”不具有确定性，n的近似值不具有确定性，因此①③不能组成集合；直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此②④能组成集合．故选：C．3．（2021秋•城关区校级月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（）A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：一切很大的数，B：好心人，C：漂亮的小女孩，描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项D：方程x2﹣1＝0的实数根为±1，元素是确定的，具体的，是正确的．故选：D．4．（2021秋•威宁县校级月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（）A．数轴上离原点距离很近的所有点B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生D．与△ABC大小相仿的所有三角形【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：数轴上离原点距离很近的所有点，元素不能确定，故A不能表示集合；对于B：太阳系内的所有行星，元素是确定的，能表示集合，故B正确；对于C：某高一年级全体视力差的学生，元素不能确定，故C不能表示集合；对于D：与△ABC大小相仿的所有三角形，元素不能确定，故D不能表示集合．故选：B．【考点2：元素与集合的关系】【知识点：元素与集合的关系】(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．1．（2022•长沙模拟）已知集合A＝{{∅}，∅}，下列选项中均为A的元素的是（）（1）{∅}；（2）{{∅}}；（3）∅；（4）{{∅}，∅}．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【分析】由元素与集合的关系逐一判断即可．【解答】解：集合A ＝{{∅}，∅}，则{∅}∈A ，∅∈A ，{{∅}}⊆A ，{{∅}，∅}＝A ，故选：B ．2．（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（ ）①12∈Q ；②√2∉R ；③0∈N *；④π∈Z ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：①12∈Q 正确，②√2∉R 不正确，③0∈N *不正确，④π∈Z 不正确． 故选：A ．3．（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（ ）A ．﹣2∈{0，1}B ．32∈ZC ．π∈RD ．5∈∅【分析】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，﹣2∉{0，1}，32∉Z ，π∈R ，5∉∅，可知C 正确． 故选：C ．【考点3：集合中元素的个数】1．（2022•全国一模）已知集合A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】由集合B 中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B 中的所有元素，则答案可求．【解答】解：由A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，当x＝2时，y＝4，5，6，当x＝3时，y＝5，6，当x＝4时，y＝6，所以B＝{（2，4），（2，5），（2，6），（3，5）（3，6），（4，6）}，所以B中所含元素个数为6个．故选：D．2．（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．【解答】解：由题意知，P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6个元素，故选：D．3．（2021秋•芜湖期末）集合A＝{x∈N*|x﹣5＜0}中的元素个数是（）A．0B．4C．5D．6【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣5＜0}＝{1，2，3，4}，故集合A中有4个元素，故选：B．4．（2021秋•三元区校级月考）如果集合M＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（）A．4B．2C．1D．0【分析】当m＝0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m的值，由此得出结论【解答】解：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，可得判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m＝2，∴实数m的所有可能值的和为0+2＝2，故选：B．【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】【知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性】（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．1．（2021秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0B．1或﹣27C．1D．﹣27【分析】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．【解答】解：依题意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故选：B．2．（2021•南充模拟）若集合S＝{a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．故选：D．3．（2021秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，√5}B．{﹣2，−√5}C．{±2，±√5}D．{2，−√5}【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合．【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．由x2﹣3≠2解得x≠±√5．∴x不能取得值的集合为{±2，±√5}．故选：C．4．（2021•郓城县校级一模）在集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中，a的值可以是（）A．0B．1C．2D．1或2【分析】对于集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三个元素必须互不相同，由此限定参数a的取值范围，即利用集合中元素的互异性即可解决本题．【解答】解：当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互异性知：选A．故选：A．5．（2022•江西）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．6【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6；故选：D．6．（2021秋•市中区校级期中）含有三个实数的集合可表示为{a，ba，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±1【分析】对于{a，ba，1}，根据集合元素的互异性，可得a≠1，a≠0；进而由集合相等，可得b＝0；代入两个集合中，可得a的值，由此可得答案．【解答】解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则有a＝0或ba=0；又由a≠0；故b＝0；代入集合中．可得{a，1，0}＝{a2，a，0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝﹣1；则a2009+b2009＝﹣1，选B．【考点5：有限集与无限集】1．（2021秋•覃塘区校级月考）下列集合中有限集的个数是（）①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1B．3C．2D．4【分析】分析给定四个集合中个数是否有限，进而可得答案．【解答】解：①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集；②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集．④所有小于2的整数构成的集合为无限集，故选：B．2．（2021秋•青羊区校级期中）以下集合为有限集的是（）A．由大于10的所有自然数组成的集合B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合C．由24与30的所有公约数组成的集合D．由24与30的所有公倍数组成的集合【分析】由集合的定义，对于一些比较简单的命题，可用简单的列举法进行排除，即可得到正确答案【解答】解：对于A：大于10的所有自然数：11、12、13…，一直到+∞，有无数个满足条件的自然数，所以A不合题意对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆，即满足条件的点，是圆上的点，而圆上有无数个点，所以B不合题意对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．有有限个，所以C满足题意对于D：设m＝240×n（n∈N+），则m都可以是24与30的公倍数，所以24与30的公倍数有无数个，D不合题意故选：C．3．（2021秋•兴宁市校级月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】由于面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．故选：C．4．（2021•涿鹿县校级开学）设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于1050的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是（）A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论．【解答】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集，N＝{小于1050的正整数}，是有限集，P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集，Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集，故选：B．5．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】集合A：周长为4cm的正方形的边长1cm，这样的正方形只有1个，是有限集；集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，是无限集．【解答】解：集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．6．（2021秋•杨浦区校级期中）若整数集Z的子集S满足条件：对任何a，b∈S，都有a﹣b∈S，就称S是封闭集．下列命题中错误的是（）A．若S是封闭集且S≠{0}，则S一定是无限集B．对任意整数a，b，S＝{n|ax+by，x，y∈Z}是封闭集C．若S是封闭集，则存在整数k∈S，使得S中任何元素都是k的整数倍D．存在非零整数a，b和封闭集S，使得a，b∈S，但a，b的最大公约数d∉S【分析】由封闭集定义可分析出A，B，C正确．【解答】解：由封闭集定义可得0∈S，若非零整数k∈S，则0﹣k即﹣k∈S，进一步得k﹣（﹣k）＝2k∈S和﹣k﹣k＝﹣2k∈S，从而±3k，±4k，±5k，…都在S中，可知A，C正确，对于B，由ax1+by1∈S，ax2+by2∈S，可得（ax1+by1）﹣（ax2+by2）＝a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）∈S，可知B正确，故选：D．【考点6：常用数集与点集】1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是（）A．第一象限的点集B．第二象限的点集C．第三象限的点集D．第四象限的点集【分析】利用不等式的性质可得：x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．进而判断出集合的意义．【解答】解：由x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．故集合M ＝{（x ，y ）|xy ＞0，x +y ＜0，x ∈R ，y ∈R }是第三象限的点集．故选：C ．2．（2021秋•安康月考）方程组{x +y =1x −y =3的解集是（ ）A ．{2，﹣1}B ．{x ＝2，y ＝﹣1}C ．{（x ，y ）|（2，﹣1）}D ．{（2，﹣1）}【分析】先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．【解答】解：由{x +y =1x −y =3得{x =2y =−1，即方程组构成的集合为{（2，﹣1）}，故选：D ．3．（2021秋•西城区期末）方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}【分析】解原方程组得出x ，y 的值，然后写出原方程组的解集即可．【解答】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．故选：C ．4．（2021秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}，则下列表示正确的是（） A ．{x ＝﹣1，y ＝3} B ．{（﹣1，3）} C ．{3，﹣1} D ．{﹣1，3}【分析】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答】解：{2y −x =7x +y =2，解得{x =−1y =3，所以A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}＝{（﹣1，3）}．故选：B ．【考点7：集合的表示方法】【知识点：集合的表示方法】列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系1．（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈N∗|63−x∈N∗}用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】根据x∈N*，63−x∈N∗可得出x的取值分别为1，2，从而得出A＝{1，2}．【解答】解：∵x∈N*，63−x∈N∗，∴A＝{1，2}．故选：B．2．（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【分析】化简集合，将元素一一列举出来即可．【解答】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故选：D．3．（2021秋•桂林期末）下列集合表示正确的是（）A．{2，4}B．{2，4，4}C．（1，2，3）D．{高个子男生}【分析】根据集合的表示，及元素的特性，即可得出结论．【解答】解：根据集合的表示，B不满足互异性，C应写在花括号内，D中元素不确定，故选：A．4．（2022春•南关区校级期末）集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x﹣3＜2}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．故选：A．5．（2021秋•宜春期末）在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是（）A．{x|x≤﹣3或x≥3}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|x≥3}【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足|x|≤3的x的集合．【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足|x|≤3的x的集合，解绝对值不等式可得：{x|﹣3≤x≤3}，故选：B．。
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 111 第1课时 集合的概念 作业
C．a＝1 D．a＝0或a＝20198．已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.关键能力综合练一、选择题1．以下各组对象不能组成集合的是()A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－7＝0的实数解D．周长为10 cm的三角形2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是()A．5 B．6C．7 D．83．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A 且x∉B，则x等于()A．2 B．3C．4 D．64．下列说法中，正确的个数是()①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.A．0 B．1C．2 D．35．(易错题)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或－2 D．－2或－36．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则() A．a＞－4 B．a≤－2C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2二、填空题7．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a ＝________.8．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有1．1 集合的概念第1课时 集合的概念必备知识基础练1．解析：①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.答案：B2．解析：当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a (a >0)，－a (a <0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B.答案：B3．解析：①②正确；③④⑤不正确．答案：B4．解析：∵63－x ∈N ，x ∈N ，∴当x ＝0时，63－x＝2∈N ，∴x ＝0满足题意；当x ＝1时，63－x＝3∈N ，∴x ＝1满足题意；当x ＝2时，63－x ＝6∈N ，∴x ＝2满足题意，当x ＞3时，63－x＜0不满足题意，所以集合A 中的元素为0,1,2.答案：0,1,25．解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z ，所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z ，所以－5∉A .答案：∈ ∉6．解析：由于C 中P 、Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而A 、B 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选C.答案：C7．解析：若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C.答案：C8．解析：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，∴a ≠1.当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.答案：－1关键能力综合练1．解析：因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．答案：B2．解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.答案：C3．解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．答案：B4．解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a∉N*，a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．答案：C5．解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.答案：C6．解析：∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.答案：D7．解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.答案：2或48．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④9．解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.答案：∈∈10．解析：因为x2∈A，所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．综上所述，x＝－1.学科素养升级练1．解析：①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A由元素－1,3组成．∴－1∈A,3∈A.答案：BC2．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a ＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：2013．证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A . 因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a ，所以集合A 不可能是单元素集．。
集合间的基本关系 课件-高中数学人教A版(2019)必修第一册
PART 3 真子集
真子集的定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 xA，称集合A是集合B的真子集。记作A⫋B，读作“A真 包含于B”。
规定：空集∅是任何集合的子集，空集是任何非空 集合的真子集.
性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 A A
(2)对于集合A，B，C，如果 A B, B C，那么 A C
则满足A⫋C⫋B的集合C的个数是（ B）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：因为 A {x | x2 3x 2 0} {1, 2}
B {x | 0 x 5, x N } {1, 2, 3, 4} 又因为A⫋C⫋B，
所以集合C可以是{1,2,3}或{1,2,4}.
练习 利用集合间的关系求值
已知M={2,a,b}, N={2a,2,b2}, 且M=N, 求a,b 的值。
解：因为M=N，所以有
a 2a b b2
或
a b2 b 2a
解得
a 0
b
1
或
a
1 4
b
1 2
练习 利用集合间的关系求值
已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x | 0 x 5, x N}
判断下列两个集合之间的关系：
（1）A {x | x 0}, B {x | x 1}A⫋B
（2）A {x | x 3k, k N},
B {x | x 6z, z N}
B⫋A
（3）A {x N | x是4与10的公倍数}, A=B
B {x | x 20m, m N}
例2 利用集合间的关系求值
2. Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种 图称为Venn图。
集合A与集合B的包含关系， 可用右图表示
高中数学 1.1.2集合的表示方法教学设计 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学教案
1.1.2 集合的表示方法整体设计教学分析教材借助实例给出了集合的表示方法——列举法和描述法，这是用集合语言表达数学对象所必需的基本知识．教学中要注意引导学生，通过实例，从观察分析集合的元素入手，选择合适的方法表示集合．注意引导学生区分两种表示集合的方法．学习集合语言最好的方法是运用．在教学中，要创造机会让学生运用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．三维目标1．掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：集合的表示法．教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．课时安排1课时教学过程推进新课新知探究提出问题①上节所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法？活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．②教师可以举例帮助引导：例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1,2,3，…，100}，自然数集N：{0,1,2,3,4，…，n，…}；区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次．又例如，不等式x－3＞2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示．可以表示为{x∈R|x－3＞2}或{x|x－3＞2}，这种表示集合的方法是描述法．③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．讨论结果：①方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等．②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只需去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}．③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．应用示例思路1例1用列举法表示下列集合：(1)A＝{x∈N|0＜x≤5}；(2)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．解：(1)A＝{1,2,3,4,5}；(2)B＝{2,3}．点评：本题主要考查集合表示法中的列举法．通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容．如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常明显地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所(1){－1,1}；(2)大于3的全体偶数构成的集合；(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线．解：(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即|x|＝1.于是这个集合可以表示为{x||x|＝1}．(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x＞3，且x＝2n，n∈N.于是这个集合可以表示为{x|x＞3，且x＝2n，n∈N}．(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描述为PA＝PB.于是这个集合可以表示为{点P∈平面α|PA＝PB}．点评：描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．并写成A＝{…|…}的形式．描述法适合表示有无数个元素的集合．注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示.例1用列举法表示下列集合：(1)小于5的正奇数组成的集合；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)方程x2－9＝0的解组成的集合；(4){15以内的质数}；(5){x|63－x∈Z，x∈Z}．活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素．明确各个集合中的元素，写在大括号内即可．提示学生注意：(2)中满足条件的数通常按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；(5)中3－x是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1,3}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6,9,12}；(3)方程x2－9＝0的解为－3、3，故用列举法表示为{－3,3}；(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}；(5)满足63－x∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6，－3,9}．点评：本题主要考查集合的列举法表示．列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合．用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.(1)二次函数y＝x2图象上的点组成的集合；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；(3)不等式x－7＜3的解集．活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点，如何表示数轴上的点，如何表示不等式的解．学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学．必要时，教师可提示学生：(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足y＝x2；(2)集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为x＜a的形式，则这些实数的特征是满足x＜a.解：(1)二次函数y＝x2上的点(x，y)的坐标满足y＝x2，则二次函数y＝x2图象上的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2}；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|＞6}；(3)不等式x－7＜3的解是x＜10，则不等式x－7＜3的解集表示为{x|x＜10}．点评：本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学1．(口答)说出下面集合中的元素：(1){大于3小于11的偶数}；(2){平方等于1的数}；(3){15的正约数}．答案：(1)其元素为4,6,8,10；(2)其元素为－1,1；(3)其元素为1,3,5,15.2．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12，13}，则a ＝________，c ＝________. 解析：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12，13}，那么12、13是方程的两根， 即有⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋13＝－5a ，12·13＝c a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，c ＝－1，那么a ＝－6，c ＝－1.答案：－6 －13．用列举法表示下列集合：(1)所有绝对值等于8的数的集合A ；(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A ＝{－8,8}；(2)B ＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．4．定义集合运算A⊙B＝{z|z ＝xy(x ＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：∵x∈A，∴x＝0或x ＝1.当x ＝0，y∈B 时，总有z ＝0.当x ＝1时，若x ＝1，y ＝2时，有z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，有z ＝12.综上所得，集合A⊙B 的所有元素之和为0＋6＋12＝18.答案：D5．分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27的解集． 解：因⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－7，用描述法表示该集合为{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝22x －3y ＝27}；用列举法表示该集合为{(3，－7)}．拓展提升问题：集合A ＝{x|x ＝a ＋2b ，a∈Z ，b∈Z }，判断下列元素x ＝0、12－1、13－2与集合A 之间的关系．活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x 化为a ＋2b 的形式，再判断a 、b 是否为整数．描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．解：由于x ＝a ＋b 2，a∈Z ，b∈Z ， ∴当a ＝b ＝0时，x ＝0.∴0∈A.又12－1＝2＋1＝1＋2， 当a ＝b ＝1时，a ＋b 2＝1＋2，∴12－1∈A. 又13－2＝3＋2， 当a ＝3，b ＝1时，a ＋b 2＝3＋2，而 3 Z ，∴13－2A. ∴0∈A，12－1∈A，13－2 A. 点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的表示法；(2)利用列举法和描述法表示集合的步骤．作业课本习题1—1A 2、3、4.设计感想集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用．同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适集合表示法．在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换．教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱．对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨．引导学生养成良好的学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标．备课资料[备选例题]例1 判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示．(1)被3除余1的自然数组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上的所有点组成的集合；(4)设a 、b 是非零实数，求y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合． 思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类．用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么．解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n ＋1(n∈N )．用描述法表示为{x|x ＝3n ＋1，n∈N }．(2)由题意得满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19，则此集合中的元素有7个，用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}．(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示．通常用有序数对(x ，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为{(x ，y)|y ＝x 2＋2x －10}．(4)当ab ＜0时，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1；当ab ＞0时，则a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0.若a ＞0，b ＞0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝3；若a ＜0，b ＜0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1.∴y＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合共有两个元素－1和3.则用列举法表示为{－1,3}．例2 定义A －B ＝{x|x∈A，x B}，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，试用列举法表示集合N －M.解析：应用集合A －B ＝{x|x∈A，x B}与集合A 、B 的关系来解决．依据定义知N －M 就是集合N 中除去集合M 和集合N 的公共元素组成的集合．观察集合M 、N ，它们的公共元素是2、3，集合N 中除去元素2、3还剩下元素6，则N －M ＝{6}．答案：{6}．。
广西柳州五年(2018-2022)中考化学真题分题型分层汇编-10物质构成和化学变化(填空题)
广西柳州五年（2018-2022）中考化学真题分题型分层汇编-10物质构成和化学变化（填空题）一、填空题1．（2021·广西柳州·统考中考真题）某学习小组进行探究性实验，先用铁和稀硫酸制备硫酸亚铁溶液，然后取少量硫酸亚铁溶液于试管中，滴入氢氧化钠溶液，有白色絮状沉淀Fe(OH)2生成，Fe(OH)2在空气中不稳定，迅速转变成红褐色沉淀Fe(OH)3。
(1)请写出铁和稀硫酸反应的化学方程式____________________________。
(2)硫酸亚铁溶液与氢氧化钠溶液在空气中反应最终生成红褐色沉淀，写出反应的化学方程式________________________________。
2．（2021·广西柳州·统考中考真题）元素及其化合物是初中化学的基础知识。
(1)图1是硒元素的原子结构示意图及该元素在周期表中的部分信息，硒元素的原子序数是________，x的数值是________。
(2)图2是以化合价为纵坐标、物质的类别为横坐标所绘制的“价类图”。
图中A～E是含氯元素的物质，每种物质中氯元素的化合价与纵坐标的数值对应。
盐酸是将上述物质________(填字母，从A～E中选填)溶于水得到的溶液；D物质的化学式是________；E 是“84”消毒液的主要成分，也可由HClO与NaOH反应生成，该反应的化学方程式是____________________________。
(3)ClO2和Cl2都可以用作自来水的杀菌消毒剂，它们的消毒原理是在高价态的氯元素变成Cl－的过程中杀死细菌。
氯元素化合价变化数与杀菌消毒能力成正比，计算相同质量的ClO2杀菌消毒能力是Cl2的________倍。
(精确到小数点后2位)3．（2022·广西柳州·中考真题）氮化镓是生产5G芯片的关键材料之一。
图1是元素在元素周期表中的相关信息图，图2是氮原子和原子的原子结构示意图。
苏教版新教材必修一高一数学期末复习(一)集合(含答案)
高一第一学期期末复习（一）（集合）【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．思考：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系（1）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A ；A∩B＝A∪B ⇔ A＝B（2）若一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．【考点突破】一、集合的含义与表示1.下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2.设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为________．答案 3解析∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．综上可知x＝3.3.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．答案{0,2，－2}解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝－2,0,1,2，当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2,0.4.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是．答案 6解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.5.给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}； ②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3.答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．二、集合间的关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是数集还是点集，再进行相关的运算．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系．1.集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆ND ．N ⊆M答案 D 解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D. 2.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为____． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．3．已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}，则集合A 的真子集有 个．答案 7解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}，∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．三、集合的运算1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，利用数轴分析(或Venn 图)能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B = ．答案 [－1,2)解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．2.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B = ．答案 {(1,1)，(－2,4)}解析 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．3.设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,π]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________.答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0, π]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．4.(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R 答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． (∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．四、利用集合的运算求参数1.设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．2.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是 ．答案a >－1解析 在数轴上画出集合A ，B (如图)，观察可知a >－1.3.已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_____________．答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.4．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1<a ，∴A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．5.已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【重点突破】1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为 . 解：由题意知，A ＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12. 综上可知，a 的值为－13或12或0. 2. 设A 是由方程ax 2－3x ＋2＝0(a ∈R )的根组成的集合．(1)若A 是单元素集合，求a 的取值范围；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解 (1)若A 是单元素集合，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个实数根，当a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足题意．当a ≠0时，由题意知方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98.所以a 的值为0或98.(2)当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或98.当A 中有两个元素时，则a ≠0，且Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根．综上，a ≤98时，A 中至少有一个元素． (3)当A 中没有元素时，则a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0没有实数根． 当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或a ＝98. 综上，a ＝0或a ≥98时，A 中至多有一个元素．3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解 ∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ；(2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.4.已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．(2)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．5.设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解： 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．6.设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解 当A ∩B ＝∅时，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋4≤5，解得－1≤a ≤1. 即A ∩B ＝∅时，实数a 的取值范围为M ＝{a |－1≤a ≤1}．而A ∩B ≠∅时，实数a 的取值范围显然是集合M 在R 中的补集，故实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＞1}．【基本规律】1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.。
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1
【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题 【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整 数集
整数集
有理 数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z
学案3：1.1.1 第1课时 集合的概念
1.1.1第1课时集合的概念基础初探1.元素与集合的概念(1)集合：(2)元素：(3)集合的元素具有的三个特点：思考：根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？2．元素与集合的关系思考：元素与集合之间有哪些关系？3．空集思考：对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？4．两个集合相等5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有 元素的集合无限集：含有 元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号思考：N 与N ＋(或N *)有何区别？基础小测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (2)好听的歌能组成一个集合．( )(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．( )(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．( ) 2．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．(教材练习改编)已知集合M 中有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练}1．下列对象能构成集合的是( )①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A ．①②④ B ．②⑤ C ．③④⑤ D ．②③④2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________． 解题策略1．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a∉A D ．a ＋1∉A2．集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．解题策略判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 跟踪训练1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 解题策略根据集合中元素的特点求值的三个步骤跟踪训练1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－22．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件． (2)若－2∈M ，求实数x 的值．【补偿训练】集合P 由1，m ，m 2－3m －1三个元素组成，若3∈P 且－1∉P ，则实数m ＝________． 备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由； 跟踪训练设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．当堂检测1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( ) A ．充分接近π的实数的全体 B ．善良的人 C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．73．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，ba ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－24．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号).参考答案基础初探1.(1) 对象(2) 每个对象(3) 确定的不同的任意排列思考：提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．a∈A思考：提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．任何元素∅思考：提示：由空集的定义可知，a∉∅.4．完全相同5.（1）有限个无限个6．N N*或N＋思考：提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.基础小测1．(1) ×提示：集合中的元素是互不相同的．(2) ×提示：好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3) √提示：高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4) ×提示：因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．D【解析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．3【解析】由题意可知a ＋1＝4，即a ＝3.题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练} 1．D【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 2．±2【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 【补偿训练】C【解析】根据集合元素互异性： 假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件； 假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14 .类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理) 【典例】1.A【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5， 所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5， 所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5， 所以a 2∉A ，1a ＝12＋3 ＝3－2（2＋3）（3－2） ＝3 －2 <5， 所以1a ∈A .2．0，1，2【解析】由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x >0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63－0 ＝2∈N ，当x ＝1时，63－1 ＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2. 跟踪训练 1．B【解析】12是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确． 2．解：因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】C【解析】k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103 ∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误． 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确． 类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：由题意可知，a ＝1或a 2＝a ， ①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0. 跟踪训练 1．D【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3. (2)因为－2∈M ，所以x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 若x 2－2x ＝－2， 则x 2－2x ＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0. 方程无解． 所以x ＝－2. 【补偿训练】4【解析】由题意，分两种情况：(1)若m ＝3，则m 2－3m －1＝－1，不满足题意． (2)若m 2－3m －1＝3，则m ＝4或m ＝－1， m ＝－1不满足题意，应舍去． 故m ＝4.备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a ∈A ， 又11－11－a＝1－a 1－a＝1－a －a＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素， 因为a ∈A ， 则11－a∈A ， 所以a ＝11－a，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数． 跟踪训练解：(1)由题意，由2∈A 可得11－2 ＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－()－1 ＝12 ∈A .所以集合A 中有元素－1，12.(2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)， 则11－x∈A ，x －1x ∈A ，且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ，故集合A 中至少有3个元素．当堂检测1．D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．A【解析】由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．A【解析】因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数， 所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．②④【解析】因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．。
cad2007基础教程(详细)
封面中文版AutoCAD 2007实用教程目录1目录中文版AutoCAD 2007实用教程.........................................................................................................- 1 -目录..................................................................................................................................... .. (1)第01xxAutoCAD 2007xx基础 (1)1.1教学目标 (1)1.2教学重点与难点 (1)1.2.1 AutoCAD的基本功能 (1)1.2.2 AutoCAD 2007的经典界面组成 (4)1.2.3图形文件管理 (7)1.2.4使用命令与系统变量 (9)1.2.5设置参数选项 (10)1.2.6设置图形单位 (10)1.2.7设置绘图图限...................................................................................................................11第02章绘制简单二维图形对象 (13)2.1教学目标....................................................................................................................................132.2教学重点与难点 (13)2.2.1绘图方法 (13)2.2.2绘制点对象 (15)2.2.3绘制直线 (15)2.2.4绘制射线 (15)2.2.5绘制构造线 (15)2.2.6绘制矩形 (15)2.2.7绘制正多边形 (15)2.2.8绘制圆 (15)2.2.9绘制圆弧 (16)2.2.10绘制椭圆 (16)2.2.11绘制椭圆弧..................................................................................................................... 16第03章选择与夹点编辑二维图形对象.. (19)3.1教学目标....................................................................................................................................193.2教学重点与难点 (19)3.2.1选择对象的方法 (19)3.2.2过滤选择 (19)3.2.3快速选择 (20)3.2.4使用编组 (20)3.2.5编辑对象的方法 (21)3.2.6使用夹点拉伸对象 (22)3.2.7使用夹点移动对象 (22)3.2.8使用夹点旋转对象 (23)3.2.9使用夹点缩放对象 (23)3.2.10使用夹点镜像对象........................................................................................................ 23第04章使用修改命令编辑对象 (25)4.1教学目标....................................................................................................................................25目录24.2教学重点与难点 (25)4.2.1删除对象 (25)4.2.2复制对象 (25)4.2.3镜像对象 (26)4.2.4偏移对象 (26)4.2.5阵列对象 (26)4.2.6移动对象 (27)4.2.7旋转对象 (27)4.2.8对齐对象 (27)4.2.9修剪对象 (28)4.2.10延伸对象 (28)4.2.11缩放对象 (28)4.2.12拉伸对象 (29)4.2.13拉长对象 (29)4.2.14倒角对象 (29)4.2.15圆角对象 (29)4.2.16打断对象 (30)4.2.17合并对象 (30)4.2.18分解对象 (31)4.2.19编辑对象特性.................................................................................................................31第05章规划和管理图层 (33)5.1教学目标............................................................................................................................. .. (33)5.2教学重点与难点 (33)5.2.1 “图层特性管理器”对话框的组成 (33)5.2.2创建新图层 (34)5.2.3设置图层颜色 (34)5.2.4使用与管理线型 (34)5.2.5设置图层线宽 (35)5.2.6管理图层...........................................................................................................................36第06章控制图层显示 (41)6.1教学目标............................................................................................................................. .. (41)6.2教学重点与难点 (41)6.2.1重画与重生成图形 (41)6.2.2缩放视图 (41)6.2.3平移视图 (42)6.2.4使用命名视图 (44)6.2.5使用鸟瞰视图 (44)6.2.6使用平铺视口 (45)6.2.7控制可见元素的显示.......................................................................................................46第07章精确绘制图形 (49)标............................................................................................................................. .. (49)7.2教学重点与难点 (49)7.2.1使用坐标系.......................................................................................................................49目录37.2.2设置捕捉和栅格 (52)7.2.3使用GRID与SNAP命令 (52)7.2.4使用正交模式 (53)7.2.5打开对象捕捉功能 (53)7.2.6运行和覆盖捕捉模式 (54)7.2.7使用自动追踪 (54)7.2.8使用动态输入.................................................................................................................. 55第08章绘制与编辑复杂二维图形对象.. (57)标....................................................................................................................................578.2教学重点与难点 (57)8.2.1绘制与编辑多线 (57)8.2.3绘制与编辑样条曲线 (59)8.2.4使用SKETCH命令徒手绘图 (60)8.2.5绘制修订云线 (60)8.2.6绘制区域覆盖对象.......................................................................................................... 60第09章使用面域与图案填充.. (61)9.1教学目标....................................................................................................................................619.2教学重点与难点 (61)9.2.1创建面域 (61)9.2.2面域的布尔运算 (61)9.2.3从面域中提取数据 (62)9.2.4设置图案填充 (62)9.2.5设置孤岛和边界 (63)9.2.6使用渐变色填充图形 (64)9.2.7编辑图案填充 (64)9.2.8分解图案.......................................................................................................................... 64第10章创建文字和表格 (67)10.1教学目标 (6)710.2教学重点与难点 (67)10.2.1创建文字样式 (67)10.2.2创建单行文字 (68)10.2.3使用文字控制符 (69)10.2.4编辑单行文字 (70)10.2.5创建多行文字 (70)10.2.6编辑多行文字 (71)10.2.7创建和管理表格样式 (71)10.2.8创建表格 (72)10.2.9编辑表格和表格单元..................................................................................................... 73第11章标注基础与样式设置.. (75)11.1教学目标 (7)511.2教学重点与难点 (75)11.2.1尺寸标注的规则 (75)11.2.2尺寸标注的组成............................................................................................................. 75目录411.2.3尺寸标注的类型 (76)11.2.4创建尺寸标注的基本步骤 (76)11.2.5创建标注样式 (76)11.2.6设置直线格式 (76)11.2.7设置符号和箭头格式 (77)11.2.8设置文字格式 (78)11.2.9设置调整格式 (79)11.2.10设置主单位格式 (80)11.2.11设置换算单位格式 (81)11.2.12设置公差格式...............................................................................................................81第12章标注尺寸与编辑标注对象 (83)12.1教学目标............................................................................................................................. (83)12.2教学重点与难点 (83)12.2.1线性标注 (83)12.2.2对齐标注 (83)12.2.3弧长标注 (83)12.2.4基线标注 (84)12.2.5连续标注 (84)12.2.6半径标注 (84)12.2.7折弯标注 (84)12.2.8直径标注 (84)12.2.9圆心标记 (85)12.2.10角度标注 (85)12.2.11引线标注 (85)12.2.12坐标标注 (85)12.2.13快速标注 (85)12.2.14形位公差标注 (86)12.2.15编辑标注对象...............................................................................................................86第13章三维绘制基础与简单图形的绘制 (89)13.1教学目标............................................................................................................................. (89)13.2教学重点与难点 (89)13.2.1建立用户坐标系 (89)13.2.2设立视图观测点 (90)13.2.3动态观察 (91)13.2.4使用相机 (91)13.2.5漫游与飞行 (92)13.2.6观察三维图形.................................................................................................................9313.2.7绘制三维点 (95)13.2.8绘制三维直线和样条曲线 (95)13.2.9绘制三维多段线 (95)13.2.10绘制螺旋线...................................................................................................................96第14章绘制三维网格和实体 (97)14.1教学目标............................................................................................................................. ......97目录514.2教学重点与难点 (97)14.2.1绘制平面曲面 (97)14.2.2绘制三维面 (98)14.2.3隐藏边 (98)14.2.4绘制三维网格 (98)14.2.5绘制旋转网格 (99)14.2.6绘制平移网格 (99)14.2.7绘制直纹网格 (99)14.2.8绘制边界网格 (100)14.2.9绘制多实体 (100)14.2.10绘制长方体 (100)14.2.11绘制楔体 (101)14.2.12绘制圆柱体 (101)14.2.13绘制圆锥体 (101)14.2.14绘制球体 (101)14.2.15绘制圆环体 (102)14.2.16棱锥面 (102)14.2.17拉伸 (102)14.2.18旋转 (103)14.2.19扫掠 (103)14.2.20放样 (103)第15章编辑和渲染三维对象 (105)15.1教学目标 (10)515.2教学重点与难点 (105)15.2.1三维移动 (105)15.2.2三维旋转 (106)15.2.3对齐位置 (106)15.2.4三维镜像 (106)15.2.5三维阵列 (106)15.2.6三维实体的布尔运算...................................................................................................10715.2.7分解实体 (108)15.2.8对实体修倒角和圆角 (109)15.2.9剖切实体 (109)15.2.10加厚 (109)15.2.11编辑实体面 (110)15.2.12编辑实体边 (110)15.2.13曲面与实体转换 (110)15.2.14提取边 (111)15.2.15标注三维对象的尺寸 (111)15.2.16设置三维对象的视觉样式 (111)15.2.17渲染对象.....................................................................................................................112第16章使用块、属性块、外部参照和Autocad设计中心.. (117)16.1教学目标............................................................................................................................. ....117目录616.2教学重点与难点 (117)16.2.1创建与编辑块 (117)16.2.2编辑与管理块属性 (118)16.2.3使用外部参照 (120)16.2.4进入AutoCAD设计中心............................................................................................122第17章输出、打印与发布图形 (123)17.1教学目标............................................................................................................................. . (123)17.2教学重点与难点 (123)17.2.1图形的输入输出 (123)17.2.2在模型空间与图形空间之间切换 (124)17.2.3创建和管理布局 (124)17.2.4使用浮动视口 (125)17.2.5打印图形 (126)17.2.6发布DWF文件 (128)17.2.7将图形发布到Web 页.................................................................................................128第1章AutoCAD 2007入门基础1第01章AutoCAD 2007入门基础AutoCAD是由美国Autodesk公司开发的通用计算机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)软件，具有易于掌握、使用方便、体系结构开放等优点，能够绘制二维图形与三维图形、标注尺寸、渲染图形以及打印输出图纸，目前已广泛应用于机械、建筑、电子、航天、造船、石油化工、土木工程、冶金、地质、气象、纺织、轻工、商业等领域。
2022-2023学年北师大版必修第一册 1
④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.
知识点2 集合的分类
1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:
含有 有限个元素 的集合叫作有限集,含有 无限个元素 的集合叫作无
限集.
2.把不含有任何元素的集合叫作 空集
2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代
表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号
表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形
式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.
3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”
解学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不
是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
= 0, = 1,
故学生甲正确.
= 0, = 1.
变式探究
= ,
若把例3中的集合改为A= (,) = 2 ,哪位同学解答正确?
解代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
半开半闭区间
[a,b)
{x|a<x≤b}
半开半闭区间
(a,b]
数轴表示
这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示
属于 区间的端点,用空心点表示 不属于 区间的端点.
2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“ 无穷大 ”,“-∞”读作“负无
穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合
集合-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．（2023·全国·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．-3．（2023·全国·高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-4．（2023·全国·高考真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z ð．故选：A ．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．126．（2022·全国·高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉【答案】A【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A7．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）8．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【A 级基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．（2024·北京顺义·二模）设集合24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U A =ð（）A ．[]2,0-B ．{}0C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】DA ．(]0,2B ．31,2⎛⎤ ⎥C ．()0,2D ．30,2⎛⎤4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合{}{}1,2,2,3A B ==，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合{}{}3N 0log 2,21,Z A x x B x x k k =∈<<==+∈∣∣，则A B = （）A ．{}1,3,5,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【分析】先求出集合A ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}{}3N0log 2N192,3,4,5,6,7,8A x x x x =∈<<=∈<<=∣∣，所以{}3,5,7A B = .故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合{}2,1,4,8A =-，{}2,B x y x A y A =-∈∈∣，则B 中元素的最大值为（）A ．4B ．5C ．7D ．10【答案】C【分析】根据B 中元素的特征，只需满足()2max minx y-即可得解.【详解】由题意，()()222max maxmin817x y x y -=-=-=.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A ．4M ÎB ．1M ∉C ．2M ∈D ．3M∉8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个9．（2024·全国·模拟预测）若集合{}()(){}28,158A x x B x x x =∈<=+->-Z ，则()A B ⋂=R ð（）A ．{}0,1,2B ．{0x x ≤<C ．{1x x ≤≤D ．{}1,210．（2024·四川泸州·三模）已知集合2230A x x x =--<，{}0,B a =，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞C ．()3,1-D ．(][),31,-∞-⋃+∞11．（2024·北京东城·一模）如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．AB ⋂B ．A B⋃C ．()U A B ⋂ðD ．()U A B ⋃ð【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-≤=∈∈∣∣，则（）A ．AB B= B ．Z B ⋂的元素个数为16C ．A B B⋃=D ．A Z I 的子集个数为64取值可能是（）A ．3-B ．1C ．1-D ．014．（2024·广西·二模）若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合{}22,4,10A a a a =-+，且3A -∈，则=a .【答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得a 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为3A -∈，所以23a -=-或243a a +=-，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，23a -=，243a a +=-，集合A 不满足元素的互异性，所以1a =-舍去；当3a =-时，经检验，符合题意，所以3a =-．故答案为：3-．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合(){}22,2,,x y x y x y +<∈∈Z Z 的真子集的个数是.17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为.18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A x x B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .19．（2024高三·全国·专题练习）设集合(){}2|1A x x a =-<，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据2A ∈且3A ∉得到不等式组，解得即可.【详解】由()21x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，即(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+，因为2A ∈且3A ∉，所以121213a a a -<⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得12a <≤，即实数a 的取值范围为(]1,2.故答案为：(]1,2四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．(1)当1a =时，求A B -与B A -；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．21．（2024高三·全国·专题练习）设M 是由直线0Ax By C ++=上所有点构成的集合,即{}(,)0M x y Ax By C =++=,在点集M 上定义运算“⊗”：对任意()11,,x y M ∈()22,,x y M ∈则()()11221212,,x y x y x x y y ⊗=+．(1)若M 是直线230x y -+=上所有点的集合,计算()()1,52,1⊗--的值．(2)对（1）中的点集M ,能否确定(3,)(,5)a b ⊗（其中,a b ∈R ）的值？(3)对（1）中的点集M ,若(3,)(,)0a b c ⊗<,请你写出实数a ,b ,c 可能的值．【B 级能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}2210,2log 10M x x P x x =->=-<，则M P ⋂=（）A ．12x x ⎧<<⎨⎩B ．142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}4x <<D ．{}24x x <<2．（2024·宁夏银川·一模）设全集{0,1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{Z 2}U A B x ===∈<，则集合{4,5}=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ∩ðD ．()()U U A B ⋂痧所以{}{}Z |041,2,3B x x =∈<<=，所以{}0,4,5,6U B =ð，所以(){}4,5U A B Ç=ð，故ABD 错误，故C 正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合{}24xA x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，然后根据A B ⋃=R ，即可求解.【详解】由24x >，得2x >，所以()2,A =+∞，因为(),B a =-∞，A B ⋃=R ，所以2a >，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知m ∈R ，n ∈R ，若集合{}2,,1,,0n m m m n m ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023m n +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且满足12k A A A U =U U L U ，那么称子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4个元素，则集合I 的所有划分的个数为（）A ．7个B ．9个C ．10个D ．14个二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意,A B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B⊕≠⊕R R痧三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合{}20A x x mx =+≤，1,13B m ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的最小值是.9．（2024·湖南·二模）对于非空集合P ，定义函数()1,,P f x x P ⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A x x B x t x t=<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为.【C 级拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),uA A A A x U x A x A x Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()A A x Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U UAB A B AB A B AB A B x Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABABABx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A B A BA B A Bx Ux A Bx A Bx A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A B AB A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B C x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C A B C A B C U x U x x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x M f x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==≤∈∈，12n S a a a =+++ 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+≤∈∈，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=.四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A ，B 是两个非空集合，如果对于集合A 中的任意一个元素x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，并且不同的x 对应不同的y ；同时B 中的每一个元素y ，都有一个A 中的元素x 与它对应，则称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一一对应，并称集合A 与B 等势，记作A B =.若集合A 与B 之间不存在一一对应关系，则称A 与B 不等势，记作A B ≠.例如：对于集合*N A =，{}*2N B n n =∈，存在一一对应关系()2,y x x A y B =∈∈，因此A B =.(1)已知集合(){}22,1C x y x y =+=，()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，试判断C D =是否成立?请说明理由；(2)证明：①()()0,1,=-∞+∞；②{}**N N x x ≠⊆.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析5．（2024·北京延庆·一模）已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.(1)若数列{}n a 为1,2,3，写出集合T ；(2)若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),512S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若n a n =，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12,,...,,...m b b b ，若2024m b ≤，求m 的最大值．若正整数()221t h k =+，其中*N,N t k ∈∈，则当1221t k +>+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()22122...2221...21221...212t t t t t t t t t t t h k k k k k =+=+++=-+-+++-++++++-++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()()2121...2121...112...2t t h k k k k k k k k k =++++++=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列n a n =，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足2024m b ≤有多少项，由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，所以m 的最大值为2013.。
专题43 化学用语(元素符号周围数字的含义)(二)-2019年中考化学冲刺之2年真题分类全解(解析版)
2019年中考化学冲刺之2年真题分类全解（第一编）专题42 化学用语（元素符号周围数字的含义）（二）一、选择题1．（2018湖南省娄底市，26，2分）掌握好化学用语，有利于化学学习，下列化学用语使用正确的是（）A．镁原子结构示意图： B.硝酸根离子：NO3C．两个水分子：2H2O D.氧化铁：FeO【答案】C【解析】本题考查的是化学用语，根据化学用语表示的意义来解答。
中质子数12大于电子数10，故表示镁离子结构示意图，而不是原子结构示意图，故A错；硝酸根离子带一个单位负电荷，故表示为：NO3-，故B错；水分子是由2个氢原子和1个氧原子构成的，故水的化学式为：H2O，在化学式前面加上数字表示分子的个数，故两个水分子：2H2O，故C正确；氧化铁中氧元素的化合价为+3价，故化学式为：Fe2O3，而FeO表示氧化亚铁，故D错。
【知识点】化学用语。
2．（2018山东省青岛市，题号17，分值2）下列对化学用语中“2”所表示意义的理解，正确的是A．Ca2+中的“2”表示钙元素的化合价为+2 价B．H2中的“2”表示两个氢原子C．2Mg 中的“2”表示两个镁元素D．2NH3中的“2”表示 2 个氨分子【答案】D【解析】此题主要考查的是化学用语的含义。
由分子构成的化学式前面的数字表示该分子的数目。
A．右上角的数字表示离子所带的电荷数，所以Ca2+中的“2”表示1个钙离子带2个单位正电荷，故错误；B．右下角的数字表示分子中原子的个数，所以H2 中的“2”表示1个氢分子中有2个氢原子，故错误；C．元素符号前面的数字表示原子的个数，所以2Mg 中的“2”表示两个镁原子，故错误；D．由分子构成的化学式前面的数字表示该分子的数目，所以2NH3中的“2”表示 2 个氨分子，故正确。
【知识点】化学用语的含义。
3.（2018河北省，题号4，分值2）下列化学用语所表达的意义正确的是（）A.Al3+—铝离子B.B.2K—2个钾元素C.C. F2—2个氟原子D.D. 2SO3—3个二氧化硫分子【答案】A【解析】A书写离子符号时，先写出元素符号，然后在元素符号的右上角标上离子所带电荷数，先写个数再写正负，“1”省略不写，故A选项正确；B、元素不能论个数，只能表示种类，2K表示的是两个氢原子，故B选项错误；C、在元素符号的前后加上数字表示原子的个数，因此两个氟原子应该表示为2F，故C选项错误；D、在化学式前面加上数字表示分子的个数，因此2SO3应该表示为2个三氧化硫分子，故选项错误。
3个钾原子用化学用语表示
3个钾原子用化学用语表示化学是一门研究物质变化和性质的科学，而钾元素则是化学元素周期表中的一种金属元素，其化学符号为K。
在钾元素的原子结构中，其原子核中含有19个质子和19个中子，而其电子层结构为2,8,8,1。
那么，如果我们要用化学用语表示3个钾原子，需要用到哪些概念呢？下面，我们就来探讨一下这个问题。
一、钾原子的化学符号钾元素的化学符号为K，这是由其拉丁名称“kalium”（意为钾）得来的。
在元素周期表中，钾元素位于第4周期第1族，其原子序数为19。
因此，用化学符号表示3个钾原子时，可以写为3K。
二、钾原子的电子层结构钾原子的电子层结构为2,8,8,1，这意味着其最外层电子数为1个。
这个电子也被称为“化学价电子”，因为它参与了钾原子与其他元素形成化合物的化学反应。
在化学式中，我们用“e-”表示电子，因此，3个钾原子的电子层结构可以写为3K：2,8,8,3e-。
三、钾原子的离子化当钾原子失去一个电子时，它会形成一个带正电荷的离子，称为钾离子（K+）。
因为钾原子失去了一个负电荷的电子，所以它的电荷变成了+1。
在化学式中，我们用“+”表示正电荷，因此，3个钾原子的离子化可以写为3K -> 3K+ + 3e-。
四、钾原子的化合物钾原子与其他元素形成的化合物有很多种，其中比较常见的是钾氯化物（KCl）和钾硫酸盐（K2SO4）。
在钾氯化物中，钾离子和氯离子（Cl-）形成了离子键，因此化学式为KCl。
在钾硫酸盐中，钾离子和硫酸根离子（SO42-）形成了离子键，因此化学式为K2SO4。
在化学式中，我们用“-”表示负电荷，因此，3个钾原子形成的钾氯化物可以写为3K+ + 3Cl- -> 3KCl，而形成的钾硫酸盐可以写为3K+ + SO42- -> K2SO4。
综上所述，要用化学用语表示3个钾原子，我们需要知道其化学符号、电子层结构、离子化和化合物等概念。
这些概念在化学中都有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解物质的性质和变化。
原神《高等元素论》第1讲,元素基础知识
原神《高等元素论》第1讲，元素基础知识一、引言欢迎来到原神《高等元素论》系列课程的第一讲！在这个系列中，我们将深入探讨原神世界中的元素力量，揭示其神秘的背后，为广大冒险者提供宝贵的知识和技巧。
本讲将重点介绍元素的基础知识，帮助大家建立起对元素的整体认识。
二、元素的定义元素是原神世界中一种来源于天地自然的力量，贯穿于整个世界的方方面面。
在原神的世界观中，元素被分为七种，分别是火、水、雷、冰、风、岩和草。
每种元素都具有独特的特性和属性，能够影响环境、物体和生物。
三、元素的相互制约关系元素之间存在着相互制约的关系，这是原神世界运转的基础规则。
下面我们来逐一介绍各个元素之间的制约关系：1.火克制草：火属性的攻击能够对草属性造成额外伤害，将其克制。
2.草克制水：草属性可以吸收水属性的湿气，因此能够有效克制水属性的技能和攻击。
3.水克制火：水可以将火熄灭，因此水属性的技能和攻击对火属性角色具有很大优势。
4.雷克制风：雷属性的电能可以击碎风的力量，从而克制风属性。
5.风克制冰：风的力量能够将冰元素的速度减缓，使其克制冰属性。
6.冰克制岩：冰可以减弱岩石的硬度和抵抗力，因此对岩属性造成额外伤害。
7.岩克制雷：岩石本身承载着大地的力量，可以吸收和抵抗雷电，从而克制雷属性。
四、元素的应用领域元素的力量不仅仅局限于元素战斗中，在原神的世界中还有许多其他应用领域。
以下是元素在不同领域的应用：1.探索与解谜：冒险者可以通过使用元素技能来探索秘密洞穴、解开神秘谜题。
2.生产与制作：元素在炼金术、药剂制作和武器锻造等领域有广泛的应用。
3.攻击与防御：元素技能和元素反应可以为冒险者提供强大的攻击和防御能力。
4.治疗与恢复：某些元素技能可以治疗队友的伤势，提供恢复和支援。
五、元素的互动与协作元素之间的交互和互相合作，可以产生强大的元素反应，带来意想不到的效果。
以下是一些常见的元素互动与协作：1.火与风：火属性和风属性的协作可以产生火焰风暴，造成范围伤害。
1.1.1 集合的概念与表示(第1课时)2024-2025学年高一上学期数学北师大版必修第一册
自然数 正整数集N+或N*
有理数 整数集 Z
集Q
集N
负整数集
分数集
无理数集
0 组成的集合
思考辨析
正整数集和自然数集的区别是什么?
提示 自然数集中有0这个元素,正整数集中没有0这个元素.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)0∈N+.( × )
(2)33∈N.( √ )
(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;
(3)某校2024年在校的所有成绩好的同学;
(4)π的近似值的全体.
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能组成
集合;
(2)方程的解能组成集合;
(3)“成绩好”无明确的标准,因此不能组成一个集合;
(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,所以不能组成集合.
知识点2 元素与集合的关系
关系
属于
语言表述
元素a在集合A中
不属于 元素a不在集合A中
符号表示
a∈A
a∉A
读法
元素a属于集合A
元素a不属于集合A
名师点睛
1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况有且只有一种成立.
2.元素与集合之间只能用符号“∈”“∉”,表示元素与集合之间的从属关系,
具有方向性.
一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母
A,B,C,…表示.
集合中的 每个对象
叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…
表示.
名师点睛
组成集合的对象可以是数、图形、符号等,也可以是人或物等.
思考辨析
1.你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗?
3k重叠公式
3k重叠公式3k重叠公式是指一种特殊的数列，它满足每个元素都等于前三个元素之和。
这个公式在数学中有着重要的应用，可以用来解决一些实际问题。
下面我们来详细介绍一下3k重叠公式及其应用。
让我们来看一下3k重叠公式的定义。
假设数列的前三个元素分别为a、b、c，那么数列的第四个元素d就等于a+b+c，第五个元素e等于b+c+d，以此类推，第n个元素等于第n-3个、n-2个和n-1个元素之和。
在数学中，我们经常用数列来表示一些规律性的事物。
而3k重叠公式正是一种特殊的数列，它的规律非常明显，每个元素都等于前三个元素之和。
这个公式可以用来解决一些实际问题，比如计算物体的运动轨迹、预测未来的趋势等。
举个例子来说，假设有一个小球从高处落下，每次弹起的高度都是前三次弹起高度之和。
我们可以用3k重叠公式来计算出小球每次弹起的高度，从而得到它的运动轨迹。
这个问题可以简化为求解数列的第n个元素，我们只需要知道初始高度和前三次弹起高度，就可以通过3k重叠公式来计算出每次弹起的高度。
除了物体的运动轨迹，3k重叠公式还可以应用于金融领域。
比如我们想要预测未来某个时间点的股票价格，可以通过3k重叠公式来计算出未来的趋势。
假设我们已经知道了前三个时间点的股票价格，那么我们可以通过3k重叠公式来计算出未来的股票价格。
这样我们就可以根据这个模型来进行投资决策，从而获得更好的收益。
除了以上两个例子，3k重叠公式还可以应用于其他领域，比如天气预测、人口增长预测等。
总之，3k重叠公式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们解决一些实际问题。
在实际应用中，我们可以通过计算机程序来实现3k重叠公式的计算。
只需要给定初始条件，即前三个元素的值，然后通过循环计算即可得到数列的后续元素。
这样我们就可以快速准确地得到数列的任意元素，从而解决一些实际问题。
3k重叠公式是一种特殊的数列，它满足每个元素都等于前三个元素之和。
这个公式在数学中有着重要的应用，可以用来解决一些实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含钾硝酸盐
硝 酸 钾 KNO3 46.5
生产钾肥用的含钾矿物（续）
矿物名称 含钾硫酸盐
杂 卤 石 无水钾镁矾 钾 镁 矾 软钾镁矾 镁钾钙矾 钾 芒 硝 钾 石 膏 纤钾明矾 明 矾 石 K2SO4· MgSO4· 2CaSO4· 2H2O K2SO4· 2MgSO4 K2SO4· MgSO4· 4H2O K2SO4· MgSO4· 6H2O K2SO4· MgSO4· 4CaSO4· 2H2O 3K2SO4· Na2SO4 K2SO4· CaSO4· H2 O K2SO4· Al2(SO4)3· 24H2O K2Al6(OH)12· (SO4)4 15.5 22.6 25.5 23.3 10.7 42.6 28.8 9.9 11.4
2. 纤维作物的纤维长度和强度改善
3. 淀粉作物的淀粉含量增加
4. 糖料作物的含糖量增加 5. 果树的含糖量、维C和糖酸比提高，果实风 味增加
6. 橡胶单株干胶产量增加，乳胶早凝率降低
钾通常被称为品质元素
Attention： 过量施用钾肥的后果：破坏养分平 衡，造成品质下降；作物奢侈吸收，导 致浪费；
上为缺钾叶片， 下为缺镁叶片，
缺钾的叶缘症状更为明显
萝 卜 缺 钾 叶 片
自右至左缺钾加重，叶缘呈灼伤状
二、钾肥的种类、性质及施用
（一）钾盐矿资源与钾肥制造原理 1. 钾盐矿资源简介
钾盐矿种类 钾矿床：明矾石、钾长石和光卤石 内陆盐湖钾盐矿：如察尔汗盐湖 沿海盐场的盐卤：我国沿海地区的盐场
促进豆科根瘤菌的固氮作用
供钾对大豆生长、根瘤和固氮活性的影响
处理 地上部重量 单株根瘤数 单株根瘤重 固氮酶活性* (g/株) (g) (g)
－K ＋K
9.05 12.50
54.7 60.8
3.0 3.9
86.9 109.9
(Gomes, 1986)
*单位为μmolC2H2/g根瘤/h
供钾可增加每株的根瘤数、根瘤重，并提高 固氮酶的活性，从而促进根瘤菌固氮。
喜硫作物：洋葱、韭菜、十字花科
3. 草木灰 (plant ash)
1）烧制：植物燃烧后的残灰 2）成分和性质 成分：含有灰分元素，如Ca、Mg、P、 Fe和其它微量元素等。 其中Ca、K较多，P次之。
1,400
3,000
1,400
德国
白俄罗斯
830
544
480
240
以色列
美国
1,200
290
108
83
▼ 我国钾矿资源极贫乏，全国总储量约为2亿多吨
(折K2O约1亿多吨)
我国钾盐矿藏
中国最大的钾镁盐湖——察尔
汗盐湖(面积达5000多平方公里 的大盐湖，是世界上海拔最高的 内陆盐湖), 位于青海西部的柴达 木盆地， 氯化钾储量为１.45亿 吨，占中国已探明总储量的97％。 据《农民日报》2001.9.21报道： 新疆罗布泊钾盐储量1.74亿吨， 被国家计委确定为国内两大钾肥 生产的化工基地。
施钾对大麦品质的影响
处理 NP NPK 胱氨酸 (％) 0.18 0.20 蛋氨酸 (％) 0.14 0.20 酪氨酸 (％) 0.36 0.42 色氨酸 淀粉 可溶性糖 (％) (％) (％) 0.12 44.9 9.36 0.14 46.5 10.40
钾对作物品质影响的例子：
1. 油料作物的含油量增加
第三节
钾素营养与钾肥
主要内容
• 一、植物的钾素营养
• 二、钾肥的种类、性质和有效施用
• 三、缓解磷肥供应不足的途径
一、植物的钾素营养
（一）植物体内钾的含量、形态与分布 1. 含量
植物体内含钾 (K2O)： 植株干重的0.3%~5%，高于磷，有时超过氮。 钾是植物体中含量最多的金属元素 钾首先分布在细胞质内，直至最适水平，在细胞质 中浓度相对稳定。
外叶叶缘焦 枯
缺轻 钾度
缺严 钾重
叶缘焦枯，有 褐色斑点
叶缘焦枯，叶 脉间变为黄色， 而叶脉仍保持 绿色
缺 钾 番 茄
果实导管部分呈 黑褐色，称为条 腐病 夏季缺钾时，果蒂 周围的果皮显黄绿 色，容易发生日灼
左为正常果实，
右为缺钾果实，有绿背
番 茄 缺 钾
缺钾果实着色不均匀， 有时有棱角，果实发育 不良，汁液少，内空， 多为等外果
（五）植物缺钾的一般症状
1. 缺钾时，植株生长缓慢、矮化。 2. 老叶先出现症状，再逐渐向新叶扩展； 3. 双子叶植物叶脉间先失绿，沿叶缘开始出现黄化或有褐色 的条纹或斑点，并逐渐向叶脉间蔓延，最后发展为坏死组 织； 4. 单子叶植物叶尖先黄化，随后逐渐坏死。 腐胺积累 5. 根系生长停滞，活力差，易发生根腐病。
(4) 用量：K2O 60～90kg/hm2
2. 硫酸钾 (potassium sulphate)
1）成分与性质 成分：K2SO4，含K2O 50%~54%(含K43.8%, S17.6%) 性质：白色或淡黄色结晶；
溶于水，呈化学中性； 吸湿性小；不易结块 生理酸性肥料
硫酸钾
2）施用
适合各种作物和土壤，可作基肥、追肥、种肥 及根外追肥。
制造方法 生产钾肥用的含钾矿物
矿物名称
含钾氯化物
钾 盐 钾 石 盐 光 卤 石 钾盐镁矾 碳酸芒硝 KC1 KCl+NaCl KC1· MgCl2· 6H2O KCl· MgSO4· 3H2O KCl· 9Na2SO4· 2Na2CO3 63.1 6 ~38 17.0 18.9 3.0
化
学
式
K2O (%)
速效性钾肥
青海盐湖钾肥 股份有限公司
——“盐桥”牌氯化 钾
含杂质
氯 化 钾
施用
(1) 方法：可作基肥、追肥施用，不宜作种肥。 (2) 土壤：在酸性和中性土壤作基肥时，应与磷矿
粉、有机肥、石灰等配合施用，一方面防止酸 化，另一方面促进磷矿粉中磷的有效化。
(3) 作物：适宜一般作物；
含有 47.6%C1- ，特别适于棉花、麻类等纤维 作物，因为C1-对提高纤维含量和质量有良好的 作用；不宜忌氯作物，如马铃薯、甘薯、甜菜 、柑桔、烟草、茶树等。
在酸性土壤上应与有机肥、石灰等配合施用； 在通气不良的土壤中尽量少用。
穴施
注意：
硫酸钾的价格比氯化钾昂贵，因此通常情况 下应尽量选用氯化钾，减少施肥的投资，增加经 济效益。 但对于缺硫或硫含量不很丰富的土壤、 需硫较多的作物、对 氯敏感的作物、需优 缺硫的水稻土
先保证品质的作物等
均应优先选用硫酸钾。
加拿大 36%
占世界的三分之二。近
年西欧生产量逐年减少，西欧 20% 以德国和法国最为明显。
俄罗斯 27%
主要进口国：中国（14%）、印度（8%）
4. 钾肥制造简介
历史与现状
历史：最原始的施钾方法是使用草木灰；
自1860年起，德国开采钾盐矿制得氯化钾 和硫酸钾，开始了钾肥的工业化生产。 目前，世界各国生产的钾95％用作肥料。 钾肥品种中，氯化钾约占95％， 硫酸钾约占5％； 硝酸钾、碳酸钾少量
Sweet potato
Potato
Sugarcane
Banana
主要农作物不同部位中钾的含量 (%)
作物 小麦 部位 籽粒 茎秆 含K O 2 作物 水稻 部位 籽粒 茎秆 含K O 2
0.61 0.73 0.90
1.10
0.30 0.90 1.81
2.28
棉花 玉米 谷子
籽粒
茎秆
马铃薯 糖用甜菜 烟草
⑶钾能促进叶片对CO2的同化。 •电子传递
•ATP合成
4. 促进光合产物的合成和运输
Sucrose 运输部位？
+ K
H+
H+
H+-蔗糖 共运载体
蔗糖
韧 皮 部 蔗 糖 装 载 模 式 图
K活化H+-ATP酶，使H+向质外体泵出，促 进蔗糖向筛管装载。
钾激活淀粉合成酶，促进淀粉合成。因此， 淀粉含量高的作物（如薯类作物）需钾较多。
6、增强植物的抗逆性
抗旱；
抗盐；
抗高温； 抗病； 抗寒；
抗倒伏；
抗早衰；
渗透调节功能
钾通常被称为抗逆元素
（三）植物对钾的吸收和运输
1. 吸收
主动吸收
占主导地位, 具有自动调节功能 钾 的 吸 收 速 率 高亲和载体
钾离子通道 被动吸收
被动吸收
外界K＋浓度过 高时，吸收曲线呈
主动吸收
0.10 0.20 10.0 K+浓度 20.0
气孔状态 张开 关闭 K+ 424 20 Cl22 0 渗透压 bar* 35 19 气孔孔径 (µm) 12 2 (10-14mol)
K+ 调节细胞水势
• 蒸腾作用，CO2交换
3.促进光合作用，提高CO2的同化率
影响气孔开闭，调节CO2透入叶片和水分蒸 腾的速率
⑴钾能促进叶绿素的合成；
⑵钾能改善叶绿体的结构；
“二重图型”
大麦在不同浓度的KCl 溶液中吸收K+的速率
（四）钾对作物产量和品质的影响
钾充足，不但能使作 物产量增加，而且可以改 善作物品质。
提高产品的营养价值；延长产品的贮存期，耐搬 运和运输； 对蔬菜和水果类作物，能改善产品外观，使水果 色泽更鲜艳，汁液含糖量增加；口味、气味改善。 “色、香、味”俱全
化
学
式
K2O (%)
盐卤
可溶性钾矿 含钾矿物 难溶性钾矿
分离提纯 钾肥产品 KCl, K2SO4 分解提纯
含钾矿物生产钾肥的示意图
（二）常用钾肥的性质和施用
1. 氯化钾 (potassium chloride)
成分和性质