高中数学人教A版必修第一册《指数函数的图像和性质》 教案

第四章 指数函数与对数函数

4.2 指数函数

4.2.2 指数函数的图像和性质

教学设计

一、教学目标

1.运用描点法画指数函数的图象，用图象来研究指数函数的性质，达到直观想象和数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

2.结合实例，体会从一般到特殊研究问题的方法，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题，达到直观想象和逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 二、教学重难点 1.教学重点

指数形式的函数的图象、性质的应用. 2.教学难点

指数函数性质的归纳、概括及其实际应用. 三、教学过程 （一）新课导入

复习指数函数的概念.

一般的，函数( 0,1)x

a a >≠且y=a 叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域为R . 思考：指数函数对于底数的要求是什么?为什么要这样要求?0﹤a <1和a ＞1时的性质有什么不同呢?

学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a 的限制条件.

下面我们进一步研究指数函数.首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质.

教师引导学生画出2x

y =的图像，请同学们完成x ,y 的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数2x

y =的图像（图4.2-4）.

为了得到指数函数( 0,1)x

a a >≠且y=a 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图像进行观察. （二）探索新知 探究一：指数函数的图像

教师提问：画出函数1()2x y =的图象，并与函数2x

y =的图象进行比较，它们有什么关系?能否利用函数2x

y =的图象，画出函数

1

()2x

y =的图象? 学生思考，教师引导学生画出图像.

因为1

()2x y ==-2x ，点（x ，y ）与点（-x ，y ）关于y 轴对称，所以函数2x

y =图象上任意一点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P 1（-x ，y ）都在函数

1

()2x

y =的图象上，反之亦然. 由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.根据这种对称性，就可以

利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数2x

y =的图象，画出

1

()2x

y =的图象（图4.2-5）.

探究二：指数函数的图像的性质

教师提问：选取底数a （a >0，且a ≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数( 0,1)x

a a >≠且y=a 的值域和性质吗?

教师总结，如图4.2-6，选取底数a 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y =a x 的图象按底数a 的取值，可分为01两种类型.因此，指数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.

一般地，指数函数的图象和性质如表4.2-3所示.

探究三：指数函数的性质应用 例1：比较下列各题中两个值的大小. (1) 2.5

3

1.7,1.7; (2) 23

0.8--

(3) 0.3

3.1

1.7,0.9.

教师让学生完成例题，要求尽可能使用多种方法求解，看看哪种方法最简便，实用性最强.

学生思考讨论 教师总结方法：

分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），0.31.7和 3.1

0.9不能看作某一个指数函数的两个函数值，可以利用函数y=1.7x 和y=0.9x

的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.

解：（1） 2.51.7和3

1.7可以看作函数 1.7x

y =当x 分别取2.5和3时所对应的两个函数值，因为底数1.7大于1，所以指数函数 1.7x y =为增函数，又因为2.5小于3，所以 2.531.7<1.7；

（2）同理，因为0﹤0.8﹤1，所以指数函数0.8x

y =是减函数.因为—2<3-，所以

230.8<0.8--.

（3）由指数函数的性质可知，

0.303.101.7>1.71,0.9<0.91

==，所以0.3 3.1

1.7<0.9.

例2：如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.

（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?

分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.

（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.

解：（1）观察图4.2-7.发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一-番所需的时间约为20年.

（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.

教师讲解:例2是针对指数函数的实际应用题，体现了指数函数与实际生活紧密结合的特点，使学生学习“有用的数学”. （三）课堂练习

1.在同一直角坐标系中画出函数3x

y =和

1()3x

y =的图像，并说明它们的关系. 2.比较下列各题中两个值的大小. （1

） （2） 3.5

2.30.3

,0.3--；

（3）0.5

1.2

1.2,0.5. （四）小结作业 小结：

本节课我们主要学习了哪些内容? 1.指数函数的图像和性质； 2.指数函数图像性质的应用. 四、板书设计

1.复习指数函数的概念；

2.指数函数的图像与性质；

3.指数型函数的应用.