3.2一元二次不等式及其解法

y
y = x 2 - 5x
= 0, x2 = 5 = 0, x2 = 5
o
5
x
观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时， 函数图象位于x轴上方，此时，y>0,
2 x - 5x > 0 即
当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时， y<0, 2 x - 5x < 0 即 y 所以，不等式的解集是，
(3) φ, φ, R; (4){2},{x≠2}, φ.
x1
x2 x1=x2
Δ>0
Δ=0
1
0
Δ<0
xR
x
解分别为： 或x > x 2
x x < x

x x1
，
及
根据上述方法，请将下表填充完整. 二次函数
y = ax2 + bx + c
Δ>0
y
Δ=0
y
Δ<0
y
y = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c
解不等式 4x2 - 4x +1 > 0 解：因为△=0,方程 4x2 - 4x +1 = 0 的解是 x1 = x2=1/2
所以，不等式的解集是
{x |x ≠ 1/2}.
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装 配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆） 与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
y = -2x2 + 220x
分析：一般来说，一次上网的时间不会超过 17小时.所以，不妨设一次上网的时间总小于17 小时.那么，一次上网在多长时间以内，去A网吧 合算？ 问：设该同学上网时间为x小时， (1)若该同学去A网吧，试写出所需费用的表达式？ (2)若该同学去B网吧，试写出所需费用的表达式？ (3)一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？
(a>0)的图像
x1
x2 x x1=x2 x x
一元二次方 有两相 程的根 异实根
有两相 等实根
无实根
ax2 + bx + c = 0 x ,x x < x x x = - b 1 2 1 2 1 2 2a
ax2 + bx + c > 0 { x | x < x 1
的解集
b { x|x } 或x > x 2 } 2a
(3){x︳-1≤x≤4且x≠0};
4 求函数y
x 4的定义域
2
(4){ x x 2或x 2 };
习题答案
3 5 1.(1) x x , 或x 2 2 (2) (3)
;
13 13 x x ; 2 2 x x 2, 或x 5 ;
由二次函数的图象，得不等式的解为：
50<x<60.
又因为x只能取正整数，所以，当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量 在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元 以上的收益 .
课堂小结
1、解一元二次不等式的步骤：
A = ax2 + bx + c (1) 将二次项系数化为 正号；
(4) x 0 x9
.
3 3 x x < 1 或 x < 1 + 时y>0， 当 3 3 3 3 当 x 1 - 3 < x < 1 + 3 时y<0;
(2){-5,5},{-5<x<5},{x>5或x<-5};
回顾知识
同学们在初中学习过一元一次不等式的解 法,你能说出一元一次函数，一元一次方程，一 元一次不等式之间的关系吗? 能通过观察一次 函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
一元一次函数，一元一次方程， 一元一次不等式之间的关系
新课导入
问题：某同学想上网查资料，现有两家网 吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元（不足1 小时的按1小时计算）; B网吧的收费原则为， 在用户上网的第1个小时内（含恰好1个小时） 收费1.7元，第2个小时内收费1.6元，以后每小 时减少0.1元（每天上网最多17小时）.
R
ax2 + bx + c < 0
的解集
x x
1
< x < x2}


解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲” （1）转化为不等式的“标准”形式; （2）算△,解相应一元二次方程的根；
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，
写出不等式的解集.
解不等式
2x2 - 3x - 2 > 0
解：因为△>0,方程 2x2 - 3x - 2=0 的解是
ax + bx + c > 0
2
我们已经知道导入中的问题已经归结为求 一个一元二次不等式解的问题，那么怎样求得 下面式子的解集呢？
x - 5x < 0
2
我们先来考察它与二次函数
y x2 5x
与 x 2 5x 0 的关系. 容易知道：
x1 二次方程的有两个实数根： x1 二次函数也正有两个零点 ：
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ⅰ. △ >0时，求根x1<x2， A>0,x>x1或x<x2 A<0,x1<x<x2
A>0,x≠x1
ⅱ. △ =0时，求根x1＝x2，
A<0, φ
A=0,x=x1 A>0,R A≤0, φ
ⅲ. △ <0时，方程无解，
（3） 写出解集.
2、一元二次方程、一元二次不等式和二次 函数的关系. (1)二次方程的根是函数的零点，即二次 函数图象与x轴交点的横坐标; (2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次 不等式的解.
2 4 x - 3x +5 > 0
2
解：由题x2 - 3x + 5 = 0 对应的△=9-20<0 故 x - 3x + 5 = 0 无实数解 ∴原不等式的解集为R.
2
2、x是什么实数时， x2 + x -12 有意义？ 分析：要使式子有意义，则需 x 2 + x -12 0 故问题相当于解这个不等式. 解：由题 x2 + x -12 = 0 对应△=1+48>0，
根据上面的具体问题，我们可以得到，确定一 元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
2 y = ax + bx + c 与x轴的相关位置的情况， (1)抛物线
2 ax + bx + c = 0 的根的情况 . 也就是一元二次方程
2 y = ax + bx + c的开口方向，即a的符号. (2)抛物线
解： 一次上网的时间为x小时，则网吧A 收取的费用为1.5x(元) 网吧B收取的费用为
x（35-x）/20(元)
若要能够保证选择网吧A比网吧B所 需费用少，则 x（35-x）/20> 1.5x(0<x<17).
经整理得
x2 - 5x > 0
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求的 满足此不等式的解集，就得到了答案. 一元二次不等式的定义： 什么是一元二次 不等式？ 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为2次的不等式称为一元二次不等式.
其解集{x |x=-4或x=3}，
2 x 故 + x -12 0 的解集为
{x |x ≤ -4或x ≥ 3}.
3、计算下列各题.
1 - 2x2 x 5 0;
(1)R;
2 x
2
4x 4 0; (2){ x x 2 };
3 log2 x 2 log2 (3 x 4)
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大 约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托 车，根据题意，我们得到
-2x2 + 220x > 6000
2 移项整理，得 x -110x-3000 < 0
因为方程有两个实数根 x1=50,x2=60
(2)因为 x2 - 4x +1 = 0 的解集为
{x | x = 2- 3或x = 2 + 3}
x - 4x + 1 > 0 的解集为 所以，
2
{x | x < 2- 3或x > 2 + 3}
即， x<2-√3或x>2+√3时，y>0. (3)由(2)得即， 2-√3 < x< 2+√3时，y<0.
x1 =-1/2 ，x2 =2 所以，不等式的解集是 {x |x1<-1/2，或 x2 >2}
解不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 解：整理，得
x 2 - 2x + 3 < 0
因为△<0，方程x2 - 2x + 3=0 无实数解，
所以不等式 x2 - 2x + 3 < 0 的解集是φ.
从而，原不等式的解集是φ.
课堂练习
1、解下列不等式：
2 1 3x - 7x + 2 < 0
解：由题 3x2 - 7x + 2 = 0对应的△=49-24=25>0 其解为x1=1/3，x2=2
3x2 - 7x + 2 < 0的解集为{x |1/3<x<2}.
2 - 6x2 - x + 2 0
解：将原不等式变形为：6x2 + x - 2 0
我们是怎样确定一元二次方程 ax2 + bx + c = 0
的根的呢？
通过以前的知识，我们知道：ax2 + bx + c = 0 2 的根与他的判别式有很大关系. Δ = b - 4ac 即为 它的判别式，当 Δ > 0 时，有两个不同的实根； 当 Δ < 0 时，没有实根; 当 Δ = 0时，有一个实根. 同时我们知道，a<0可以转化为a>0，从而只要 考虑a>0的情况即可.
从而结合一元二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像，
y = ax2 + bx + c 与x轴的相关位置分三种情况：
y
y
y
x1
Байду номын сангаас
x2
x1=x2
0
Δ>0
x
Δ<0
Δ=0
通过以上分析，我们就可以分三种情况来 讨论对应的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集了 y y . y
3、数学思想的体现
数形结合的思想及化归思想.
高考链接
2 y = x - 4x +1 (2006 上海）x是什么实数时，函数
（1）等于0？（2）是正数？ （3）是负数？ 分析：将问题等价转化为 y = x 2 -4x + 1 y=0，y>0，及y<0时，求x取值. 解：(1)因为 x2 - 4x +1 = 0 的解集为 {x |x=2-√3或x=2+√3}， 即， x=2-√3或x=2+√3时，y=0.
x | 0 < x < 5.
y = x 2 - 5x
o
5
x
我们已经知道了具体一元二次方程的解法， 能不能由此推出一般一元二次不等式的解法？ 一元二次方程的一 2 ax般形式是什么？ + bx + c 0
ax + bx + c 0
2 2 2
ax + bx + c 0 ax + bx + c <0
6x2 + x - 2 = 0对应的△=1+48>0
其解 x1=-2/3，x2=1/2；
-6x2 - x + 2 0 的解集为
{x |x≤-2/3或x≥1/2}.
2 3 4x + 4x +1 < 0
解：由题 4x2 + 4x +1 = 0 对应的△=16-16=0； 则方程 4x + 4x +1 = 0 的解为x1=x2=1/2 ∴原不等式的解集为φ.