第04讲 函数图像与性质

第04讲 函数图像与性质

【知识点衔接】

1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质（a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项） 问题[1] 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？

问题[2] 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

由于y ＝ax 2

＋bx ＋c ＝a (x 2

＋b x a )＋c ＝a (x 2

＋b x a

＋224b a )＋c －24b a （配方法）

224()24b b ac

a x a a

-=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平

移得到的。

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

[1]当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最小值 ． [2]当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最大值 ．

2．二次函数的三种表示方式 （1）．一般式： ； （2）．顶点式： ； （3）．交点式： ．

3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 4.反比例函数的图象与性质：

函数k

y x

=

(k ≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随x 的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y 随x 的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x

=与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【温故知新】

1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点

（3，－1）；

（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知抛物线的顶点为（1，3-），且与y 轴交于点（0，1）；

（4）已知抛物线与x 轴交于点M （3-，0），（5，0），且与y 轴交于点（0，3-）； （5）已知抛物线的顶点为（3，2-），且与x 轴两交点间的距离为4．

3．选择题：

（1）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ）

A ．（－1，4）

B .（－1，－4）

C .（1，－4）

D .（1，4）

（2）函数y ＝－x 2＋4x ＋6的最值情况是 （ ）

A .有最大值6

B .有最小值6

C .有最大值10

D .有最大值2

（3）函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ）

A .－3≤y ≤1

B .－7≤y ≤1

C .－7≤y ≤11

D .－7≤y ＜11

4.已知函数2

,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

5.已知函数，，a x 23422

≤≤-+-=x x y 其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

6. 已知函数，，2x 23a 42

≤≤-+-=x x y 其中a 为实数，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最

小值时所对应的自变量x 的值．

7. 已知函数，，2x 23a 42

≤≤-+--=x x y 其中a 为实数，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和

最小值时所对应的自变量x 的值．

8. 当，1x +≤≤a a 时，求函数215

22

y x x =--的最小值(其中a 为常数)

9.在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封xg (0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x

的函数．这个函数的解析式为

80,

(0,20]160(20,40]240,

(40,60]320(60,80]400,

(80,100]

x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩

)

y (图2.2－9

4321

（符号函数sgn (x )=⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>0

100

1

x x x ,图像会画了吗？）