黑龙江省大庆市2017-2018学年高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
黑龙江省大庆2017届高三数学(理)上学期期末考试试卷(有答案)
大庆铁人中学高三年级上学期期末考试数 学 试 题试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合}0,2{<==-x y y A x，}{21x y x B ==，则=⋂B A ( ) A ．),1[+∞B ．),1(+∞C ．),0(+∞D ．),0[+∞2、若复数z 满足i z i +=+2)21(，则复数z 的虚部为（ ） A ．552 B ．i 552 C ．552-D ．i 552-3、正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知01527104=+-+a a a 错误！未找到引用源。
，则=13S ( ) A ．39-B ．5C ． 39D ． 654、下列说法正确的是（ ）A ．若053,:2>++∈∀x x R x p ，则053,:0200<++∈∃⌝x x R x pB ．“若3πα=，则21cos =α”的否命题是“若3πα=，则21cos ≠α” C ．已知B A ,是ABC ∆的两个内角，则“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件D ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件5、已知直线m l ,，平面βα,且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题中，正确命题的个数为( ) (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若m l ⊥，则βα// (3) 若βα⊥，则m l ⊥ (4) 若m l //，则βα⊥ A ．1 B ．2 C ．3 D ．46、为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos 2y x =的图像( )A ．向右平移6π个单位B ．向左平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位 7、若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）A ．524 B ．528 C ．5 D ．68、如图，在ABC ∆中，D BC BAC AD BAC AC AB 于的角分线交是∠=∠==,60,3,2 ,则AC AD ∙的值等于（ ） A ．517B ．533C ．6D ．527 9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A.83B. 4C. 2D.4310、在三棱锥ABC S -中，,1260SA ABC AB AC SA BAC ⊥===∠=平面，，,则三棱锥ABC S -的外接球的表面积是（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π11、如图，21,F F 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于B A ,两点，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．332 D ．712、已知函数()),0(11)(+∞∈+-+=x x e x x f x，且)(x f 在0x 处取得最小值，则以下各式正确的序号为（ ）①1)(00+<x x f ②1)(00+=x x f ③1)(00+>x x f ④3)(0<x f ⑤3)(0>x f A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、dx x x )21(12+-⎰= .14、若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：1nmpp m n n p m b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论： .15、已知抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F ，且倾斜角为 60的直线与抛物线交于B A ,两点，若6=AF ，则=BF .16、关于x 的函数)0(co s 22)4s i n (2)(223≠++++++=t xx tx t tx x x f π的最大值为m ，最小值为n ，且2017=+n m ，则实数t 的值为 .三、解答题：（第17题10分，18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）已知)cos ,(cos ),cos ,sin (x x n x x m ωωωω-=+=113，n m x f ∙=)(，其中0>ω，若)(x f 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π. （1）求)(x f 的对称中心； （2）若m x f x g +=)()(在区间],[20π上存在两个不同的零点，求实数m 的取值范围.18、（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，且0sin 3cos =--+c b C a C a .（1）求A 的大小；（2）若3=a ，求ABC ∆面积的取值范围.19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*∈=+N n a S n n ,22.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 21log =，nn b b c n n n ++=+11，求数列{}n c 的前n 项和为n T .20、如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=，平面11AACC ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=.（1）求证：1BD AA ⊥；（2）求二面角B D C A --11的平面角的余弦值.21、椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ，P 是椭圆上的一点，已知21F PF ∆内切圆半径为1，内心为I ，且221=+∆∆PIF PIF S S .（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆的左焦点1F 做两条互相垂直的弦CD AB ,+的最小值.22、（本小题满分12分）已知函数n m x x e x f x++++=)ln(2)(2在点))0(,0(f 处的切线方程为03)1(=+-+e ey x e . （1）求)(x f 的解析式；（2）若当0≥x 时，32)(2++≥ax x x f 成立，求实数a 的取值范围.大庆铁人中学高三年级上学期期末考试数 学 试 卷 答 案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13、14π+ 14、()()()0p n m p n m m a a n a a p a a -+-+-= 15、 2或18 16、20172三、解答题：（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）()3sin cos (1cos )(1cos )1cos 2sin 2171221sin(2)362f x m n x x x x xx x ωωωωωωπω=⋅=++-+=+-=-+、分因为)(x f 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π，且0>ω， 2===4484T ππωω所以，即1分sin(2)=0,6212k x x k Zπππ-=+∈当时，解得:所以)(x f 的对称中心为(,0),6212k k Z ππ+∈分（2）1()sin(2)62f x x π=-+的单调递增区间为[0,]3π，单调递减区间为[,]32ππ， 因为m x f x g +=)()(在区间],[20π上存在两个不同的零点， 所以()f x m =-在区间],[20π上有两个不等的实数根， 3(0)0,(),()18322f f f ππ===分331,1.1022m m ≤-<-<≤-即分18、因为0sin 3cos =--+c b C a C a 由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=+ 化简得1cos sin 3=-A A 所以1sin()362A π-=分因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πA ，所以)3,6(6πππ-∈-A所以66ππ=-A ，即3π=A 6分（2）22sin aR A=== 7分 2sin 2sin 4sin sin()32sin(2)196bc R B R C B B B ππ=⋅=⋅+=-+分因为ABC ∆是锐角三角形,,621sin(2)(,1]62(2,3]1sin (2424ABC B B bc S bc A πππ∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴-∈∴∈==∈ 11分所以ABC ∆的面积的取值范围是 12分19、（1）由*∈=+N n a S n n ,221=n 时，1122a a =+，21=∴a 1分2≥n 时，1122--=+n n a S ……………………………①n n a S 22=+………………………………②②-①得1122---=-=n n n n n a a S S a 所以21=-n na a 4分 所以{}n a 是以2为首相，2为公比的等比数列，所以{}n a 的通项公式为⨯∈=N n a n n ,2，6分 （2）n n ab 21log =n1=， 7分nn b b c n n n ++=+11 10分=+++=n n c c c T 211111113121211+-=+-++-+-n n n 12分20、(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，连接A 1O ， ∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD, 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD=AC, BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ∵AA 1⊂平面AA 1C 1C∴BD ⊥AA 1 4分(2)在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD . 6分以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则),,(),,,(),,,(),,,(00332000330011-D C B A设),,(z y x n =1为平面D C A 11的法向量, ),,(),,,(303020111--==A C A∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=03302z x y ,取1=x ,得),,(1011-=n 8分 设),,(z y x n =2为平面D BC 1的法向量, ),,(),,,(00323231-=-=BD BC∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-0320323x z y x ,取3=y ,得),,(2302-=n 10分 ∴714212121=<||||,cos n n n n ∴二面角B D C A --11的平面角的余弦值为71412分21、（1）设所求椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>因为21F PF ∆内切圆半径为1，且221=+∆∆PIF PIF S S.121222111212222221,1,21443PIF PIF S S PF r PF r a a e c b x y ∆∆+=⨯+⨯=⨯⨯=∴==∴==+=分又所求椭圆方程为分（2）①设直线AB 的方程为1(0)x my m =-≠，直线CD的方程为11x y m=--， 直线AB 与椭圆方程联立可得：22(34)690m y my +--= 解得弦长2212134m AB m +==+ 6分同理可得弦长221121134m CD m+=+ 7分+=2212134m m +++221121134m m ++=221212113411m m ++-++ 设21(0,1)1t m =∈++=2121212(43)8434(3)(4)12t t t t t t t t -+++==+-+--++ 当148,127t m AB CD ==±+即时，的最小值为 10分 ②当0m =+=2227b a a+= 11分 综上：487AB CD +的最小值为. 12分22、（1）由题意知mx x e x f x+++='1)( ⎪⎩⎪⎨⎧+='=e e f f 1030)()(，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++e e m n m 11131ln ，所以⎩⎨⎧==1n e m 4分 （2）32)(2++≥ax x x f 对于0≥∀x 恒成立 即02≥--++ax e x e x )ln(对于0≥∀x 恒成立令2--++=ax e x e x F x)ln()(,a ex e x F x-++='1)( 21)()(e x e x F x +-=''，当0≥x 时,1≥xe 112≤+)(e x所以0>'')(x F 对于0≥∀x 恒成立，所以)(x F '在),[+∞0单调递增 6分a eF x F -+='='110)()(min1）当011≥-+a e ，即ea 11+≤时，0≥')(x F 且尽在0=x 时等号成立，所以)(x F 在),[+∞0单调递增，从而00=≥)()(F x F ，满足题意 8分2）当011<-+a e 即ea 11+>时， 00<')(F ，011>+=-++='ae a a e e a F a ln ln )(ln ln 且)(x F '在),[+∞0单调递增，所以)ln ,(a x 00∈∃，使得00=')(x F ， 10分当),(00x x ∈时，0<')(x F ，所以)(x F 在),(00x 单调递减 当),(+∞∈0x x 时，0>')(x F ，所以)(x F 在),(+∞0x 单调递增 因此，当),(00x x ∈时，00=<)()(F x F ，不合题意 综上所述：ea 11+≤ 12分。
黑龙江省大庆市2017-2018学年高三第一次模拟考试数学(理科)试卷 Word版含解析
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．若复数x满足x+i= ，则复数x的模为（ ）
A． B．10C．4D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣ 在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．
【解答】解：由题意可得 （x3+2x）dx=（ x4+x2） = ，
∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x= 在[﹣1，1]上根的个数，
②若“p∧q”为假，则p、q均为假；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件．
A．OB．1C．2D．3
【分析】①根据含有量词的的否定判断．②根据复合与简单之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：①全称的否定是特称，∴“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，
黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(六) Word版含解析
2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（六）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1}C．[0，]D．[0，1]2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．103．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A．32 B．0.2 C．40 D．0.254．设p：﹣6≤m≤6，函数q：f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=146．执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A．3 B．5 C．8 D．137．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．π B．6πC．π D．π9．已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．910．已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）11．经过双曲线=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O是坐标原点，△OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设a=（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第4项为．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球体积为．15．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB﹣ccosB，•=2，则△ABC的面积为．16．已知P 为椭圆+=1上一个动点，过P 作圆（x ﹣1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ﹑B ，则•的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．等比数列{a n }中，a n =54．前n 项和前2n 项和分别为S n =80，S 2n =6560． （1）求首项a 1和公比q ；（2）若A 1=，数列{A n }满足A n ﹣A n ﹣1=a 1•，（n ≥2），设c n =tanA n tanA n ﹣1．求数列{c n }的前n 项和T n ．18．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X 元，求X 的分布列和数学期望． 19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． （Ⅰ）试证：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）设PA=k •AB ，且二面角E ﹣BD ﹣C 的平面角大于45°，求k 的取值范围．20．已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为，过点M （1，0）的直线1交椭圆C于A ，B 两点，|MA |=λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB |的取值范围．21．设函数f （x ）=（1﹣ax ）ln （1+x ）﹣bx ，其中a ，b 是实数．已知曲线y=f （x ）与x 轴相切于坐标原点．（1）求常数b 的值；（2）当0≤x ≤1时，关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相交于点E，若，BE＞DE，E为AC的中点，．（1）求证：AC平分∠BCD；（2）求∠ADB的度数．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1}C．[0，]D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中+y2=1，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]．故选：C．2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．【解答】解：∵===a+i，∴=a，=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A．32 B．0.2 C．40 D．0.25【考点】频率分布直方图．【分析】据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．【解答】解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A4．设p：﹣6≤m≤6，函数q：f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出关于q的m的范围，根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，∴△=m2﹣36＜0，解得：﹣6＜m＜6，∴q：﹣6＜m＜6，而p：﹣6≤m≤6，故p是q的必要不充分条件，故选：B．5．设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．6．执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A．3 B．5 C．8 D．13【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量C 的值并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得 A=1，B=1，k=3满足条件k ≤5，C=2，A=1，B=2，k=4 满足条件k ≤5，C=3，A=2，B=3，k=5 满足条件k ≤5，C=5，A=3，B=5，k=6不满足条件k ≤5，退出循环，输出C 的值为5． 故选：B ．7．在直角坐标系中，P 点的坐标为，Q 是第三象限内一点，|OQ |=1且，则Q 点的横坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠xOP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q 的横坐标．【解答】解：设∠xOP=α，则，，；故选：A ．8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．πB ．6πC ．πD ．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V 半圆锥+V 半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C ．9．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，则=（ ）A ．1B ．3C ．6D ．9【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得．【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得2×a3=3a 1+2a 2，即q 2﹣2q ﹣3=0， 解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q 2=9．故选：D ．10．已知a ，b 都是负实数，则的最小值是（ ）A ．B ．2（﹣1） C ．2﹣1 D ．2（+1）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值． 【解答】解：直接通分相加得==1﹣=1﹣因为a ，b 都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2分母有最小值，即有最大值那么1﹣可得最小值最小值：2﹣2故选B．11．经过双曲线=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O是坐标原点，△OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可以表示为•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠MON==，设FN⊥ON，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|ON|==a，则△OMN的面积可以表示为•a•atanθ==，解得a=2b，则e====．故选C．12．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数恒成立问题．【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=，所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整数k的最大值是4．故选：B．二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设a=（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第4项为﹣1280x3．【考点】二项式定理的应用．【分析】先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项．【解答】解：由于a=（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=4，=（4x2）6﹣r（﹣）r，则（4x2﹣）6的通项T r+1=（4x2）3（﹣）3=﹣1280x3，故（4x2﹣）6的展开式中的第4项为T3+1故答案为：﹣1280x3．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体．【解答】解：三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，设球的半径为R，则R2=（）2+（1﹣R）2，∴R=，∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=．故答案为：．15．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB﹣ccosB，•=2，则△ABC的面积为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求出cosB的值，结合向量数量积以及三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵bcosC=3acosB﹣ccosB，∴sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，则cosB=，sinB==，∵•=2，∴||•||cosB=2即ac=2，ac=6，则△ABC的面积为S=acsinB==2，故答案为：2．16．已知P为椭圆+=1上一个动点，过P作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A﹑B，则•的取值范围是[] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意设PA与PB的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案．【解答】解：如图，由题意设PA与PB的夹角为2θ，则|PA|=PB|=，∴•==．设cos2θ=t，则y=•==，∵P在椭圆的左顶点时，sinθ=，∴cos2θ=，此时•的最大值为∴•的取值范围是：[]．故答案为：[]．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．等比数列{a n}中，a n=54．前n项和前2n项和分别为S n=80，S2n=6560．（1）求首项a1和公比q；（2）若A 1=，数列{A n }满足A n ﹣A n ﹣1=a 1•，（n ≥2），设c n =tanA n tanA n ﹣1．求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ≠1，由a n =54，S n =80，S 2n =6560．可得：=54，=80，=6560，可得q n =81，解出即可得出．（2）由A 1=，数列{A n }满足A n ﹣A n ﹣1=a 1•=，（n ≥2），可得A n =．由tan（A n ﹣A n ﹣1）==tan，可得c n =tanA n tanA n ﹣1=（tanA n ﹣tanA n ﹣1）﹣1，利用“累加求和”即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵a n =54，S n =80，S 2n =6560．∴=54，=80，=6560，可得q n =81，解得a 1=2，q=3，n=4．（2）∵A 1=，数列{A n }满足A n ﹣A n ﹣1=a 1•=，（n ≥2），∴A n ==．∵tan （A n ﹣A n ﹣1）==tan =，∴c n =tanA n tanA n ﹣1=（tanA n ﹣tanA n ﹣1）﹣1，∴数列{c n }的前n 项和T n = [（tanA 2﹣tanA 1）+（tanA 3﹣tanA 2）+…+tan （A n ﹣A n ﹣1）]﹣n=（tanA n ﹣tanA 1）﹣n=﹣n ．18．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X 元，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由已知利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X分布列和E（X）．【解答】解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：…（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20．…XE（X）=++=．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（﹣1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则∴，取y=1，可得设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得，则．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB的方程y=k（x﹣1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，，即，∴，则a2=2b2，①把x=1代入，得y=，则，②联立①②得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），联立，得（1+2k2）y2+2ky﹣k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，③由|MA|=λ|MB|，得，∴（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），则﹣y1=λy2，④把④代入③消去y2得：，当λ∈[，2]时，∈[0，]．解得：．|AB|====．∴弦长|AB|的取值范围为．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣bx，其中a，b是实数．已知曲线y=f（x）与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性，从而求出a的范围即可；（3）问题等价于，结合（2），取，得：对于任意正整数n都有成立；令n=1000得证．【解答】解：（1）因为y=f（x）与x轴相切于坐标原点，故f'（0）=0，故b=1，（2），x∈[0，1]，．①当时，由于x∈[0，1]，有，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0），因此f（x）在x∈[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0，符合；②当a≥0时，由于x∈[0，1]，有，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0不符；③当时，令，当x∈[0，m]时，，于是f'（x）在x∈[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是．（3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式恒成立，等价变形，相当于（2）中，的情形，f（x）在上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；取，得：对于任意正整数n都有成立；令n=1000得证．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相交于点E，若，BE＞DE，E为AC的中点，．（1）求证：AC平分∠BCD；（2）求∠ADB的度数．【考点】弦切角．【分析】（1）由已知可证△ABE∽△ACB，即可得到∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，从而证明∠ACD=∠ACB，得到结论．（2）连接OA，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，连接OB，可求cos∠AOB=的值，进而可求∠AOB，及∠ADB的度数．【解答】解：（1）由E为AC的中点，，得．又∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，∴∠ACD=∠ACB，故AC平分∠BCD．（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，，连接OB，则，∴，∠AOB=60°．∴°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）直线方程与椭圆联立可得7x2+8x﹣8=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），消去参数θ可得：曲线．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：x﹣y+1=0．（2）联立，得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是．故线段AB的长为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求解即可．（2）求出m+n=2，利用1的代换，结合基本不等式求的最小值．【解答】解：（1）由f（x）＜2知|2x﹣1|＜2，于是﹣2＜2x﹣1＜2，解得，故不等式f（x）＜2的解集为．（2）由条件得g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，当且仅当时，其最小值a=2，即m+n=2．又，所以，故的最小值为，此时，．2016年10月17日。
黑龙江省大庆市2017届高三第二次教学质量检测(二模)理科综合化学试题
选择题26. （14分）（1）+6 （1分）（2）4FeO·Cr2O3+7O2+20NaOH＝8Na2CrO4+4NaFeO2+10H2O （2分）Na2CrO4NaFeO2（各1分）（3）NaFeO2+2H2O＝Fe(OH)3↓+NaOH （2分）H2SiO3 (或H4SiO4) （1分）（4）B、C （各1分）（5）①Cr2O72－+6Fe2++14H+＝2Cr3++6Fe3++7H2O （2分）②没有（2分）27. （14分）II．（1）若一段时间内漏斗内液柱高度不变（1分）吸收尾气，防止污染空气（1分）（2）Na2SO3+ H2SO 4(浓)＝Na2SO4+ SO2↑+ H2O （2分）1: 2（2分）（3）C （1分）控制H2SO4滴加速度(2分，或控制反应温度或降温；降低H2SO4的浓度,答案合理给分) SO2过量，溶液呈酸性，Na2S2O3与酸反应，生成黄色硫单质（2分）（4）冷却结晶（1分）III．过滤，用蒸馏水洗涤沉淀，再向沉淀物中加入足量的稀盐酸（2分）28. （15分）I．2ΔH1－ΔH2（2分）II．（1）< < （各1分）（2）A、D （各1分）（3）（a－b）/5mol/(L·s) （1分）（4）（2分，单位不写不扣分）（5）减小、增大（各1分）III．①4OH－－4e－＝2H2O+ O2↑ （2分）②阴极H+放电产生H2，OH－浓度变大并与HCO3－反应使CO32－再生。
（2分）35. （15分）（1）1s22s22p3（２分）C<N<O （1分）（2）sp3 （1分）11 （1分） D （1分）（3）极性（1分）氨分子之间存在氢键，膦分子之间为范德华力（2分）（4）正四面体（1分）（5）铜失去的是全充满的3d10电子，而镍失去的是4s1电子（2分）1:3 （1分）（2分，或，只列式不要求计算结果）36. （15分）（1）C7H10O3 （1分）碳碳双键、羟基（各1分）（2）消去反应（1分）（2分）（3）（2分）（4）催化剂、吸水剂（各1分） D （1分）（5）（2分）（2分）。
黑龙江省大庆市2017届高三第二次教学质量检测(二模)理科综合物理试题
大庆市高三年级第二次教学质量检测理科综合物理答案及评分细则14--18 DCBBC19.BC 20. AC 21. AD22.（6分）（1）AC (选对一项给2分，多选或错选不给分） （3分）（2）Tx x v B 2)(21∆+∆= （3分） 23.（9分）（1）甲；A ； D ；（共3分，每空1分）；（2）实物电路图如图1所示．（2分）（说明：电路图只要有一处错误就不给分）（3） 0.80w （2分） （0.78-0.82范围内均给分）(4) D （2分）24.（14分）【答案】（1）2d （2）d 3【评分细则】（1）根据牛顿第二定律：ma qE = 2分得出加速度：dv a 220= 粒子做类平抛运动：221at d =2分2分联立得： 1分（2）若加匀强磁场则带电粒子做匀速圆周运动由 rv m B qv 200= 2分 得： d r = 1分由几何关系可得粒子的运动轨迹如图，设轨迹圆心为O,则OO ´与OP 夹角为60°，由于OP=d ，可以得出落点与O 连线即为直径2d 2分则d d d x 3)2(22=-=2分25.（18分）【参考答案】（1）通过受力分析和平衡条件可得F=m A gtan α 2分 F=N 3310 1分 设A 下滑的加速度为a ，由牛顿第二定律得：a m F g m A A =+ααcos sin 2分 代入数据得：2/10s m a = 1分则下滑到斜面底端的速度由公式ax v A 22= 1分得s m ax v A /102== 1分（2）A 、B 相碰满足动量守恒： ()AB B A A A v m m v m += 2分得 s m v AB /5= 1分当弹簧伸长量最大时，A 、B 、C 三者具有共同速度v ，选A 、B 和C 为研究系统：由动量守恒定律()()v m m m v m m C B A AB B A ++=+ 1分得s m v /2= 1分 对系统由能量守恒定律()()222121v m m m v m m E C B A AB B A P ++-+= 1分 得J E P 15= 1分当弹簧恢复原长时C 的速度最大：选AB 、C 为系统：由动量守恒定律：C C AB B A AB B A v m v m m v m m +'+=+)()( 1分 系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：22221)21)21C C AB B A AB B A v m v m m v m m +'+=+（（1分代数解得s m v C /4= 1分33.（1）CDE(2)【答案】① 1.2×105Pa ②500J参考答案：（1）设活塞横截面积为S,封闭气体刚开始的温度为T 1，体积为L 1S,压强为p 1,当活塞恰好移动到气缸口时，封闭气体的温度为T 2，体积为L 2S,压强p 2=p 1, 则由盖-吕萨克定律可得2211T S L T S L = 2分 解得：K T 5002=,即C ︒227 1分因为227°C<327°C 所以气体接着发生等容变化，设当气体温度达到T 3=327°C 时，封闭气体的压强为p 3, 由查理定律可得：3322T p T p = 2分 解得：P 2=1.2×105Pa 1分（2）大气压力对气体所做的功为：S L L P W )(120--= 1分解得 J W 200-= 1分有热力学第一定律得：Q W U +=∆ 1分解得：ΔU=500J1分34.(1)（1）BCD （5分）（2）（10分）①1个波峰 ② v=1.0m/s解析①两波源之间连线上距C 质点在t =0到t =22s 内所经过的路程： s =s 1+s 2=128cm 1分两波源之间连线上C 质点在先经过A 波传播时振动的路程s 1为：s 1=2×4cm=8cm 1分距B 点x=19m 处的C 质点在后经过B 波传播时振动的路程s 2为s 2=120cm 1分相当于B波6个振幅 1分则B波传播到点C,使C质点振动了1.5个周期 1分质点C遇到从B发出的波在前进过程中波峰的个数为1个 1分②由图知T B=2s 1分B波传播的距离19m时间为：t=22-1.5×2=19s 1分传播速度为：v =x/t 1分V = 1.0m/s 1分。
2017-2018学年高三数学(二模理科)试题及答案
2018年高三二模数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合 A =｛ x | 3/ • x _2 空0｝， B 二｛ x | Io g2（2x _1）空0｝，贝A 门 B 二（）A . ( 2 -B( 2 1収| <x • Q x —< x 兰1 ,3 3C .1JDL「 1J2 {x | -1 < x <1} .1x | < x < \I23J42. 已知复数z满足z（3 +4i） =3 _4i , z为z的共轭复数，则z =（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 如图，当输出y =4时，输入的x可以是（）L —-/壽/*3屮A. 201 8B. 2017C. 2016D. 201 4a _ cos x4. 已知x为锐角，=、.3，则a的取值范围为（）sin xA. [ —2, 2]B. （1,、、3）C. （1, 2]D. （1, 2）5. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为A . LB . — c. I D . 128 16 41 66. (x? ■ x ■ 1)( _l /的展开式中，x 3的系数为()A. .3B. _2C. 1L a n = 0，设b n = lo g 2 ——，则数列｛ b n ｝的前n 项 a i和为(-1)( n - 2)2A. 6、、2 B . 6、、3 C. 8 D . 9A. 1009 B . 1 008 C.2D. 1f (x) =log 6(x - 1)，若 f (a) =1(a • [0 ,2020])，则 a的最大值是()A. 201 8 B . 2010 C. 2020 D11.已知抛物线y 2 =2px(p ■ 0)的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线 AB , C D 与抛物7.已知正项数列｛ a2—.aA. nB. n(n _1)8.如图，网格纸上正方形小格的边长为粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最9.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足 Sa i =1 , a n ■ an i = 2 n 1，^则 2017 二()201710.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数,f ( x) = f (1 2 _x)，当 x 三[0 , 6]时,201 1长棱的长度为( )线分别相交于A , B以及C , D，若1 1——+——B FAF=1，则四边形ACBD的面积的最小值为A. 18 B . 30C. 32 D . 36、 1 X12. 已知a .1，方程一e 亠x —a=0与In2x 」x —a=0的根分别为x ’ , x 2，贝2x 12 x 222 x 1x2的取值范围为（ ）A. （1, • ：:）B. （0, •二：）c. i 1, ：： D . i -,12 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.4 * * 4 4 4 .13. 已知 a =（1, m ）， b =1， a +b = J 7，且向量 a ， b 的夹角是 60，贝U m =.x _114. 已知实数x , y 满足x —2y 亠1空0，则z = x 亠3y 的最大值是.x y _ 32 2xy15. 已知双曲线 —-=1（a0,b . 0）的左、右焦点分别为 F 1 , F 2，过F ’且垂直于x 轴的a b直线与该双曲线的左支交于 A , B 两点，AF 2 , BF 2分别交y 轴于P , Q 两点，若.'PQF 2的周长为16，则丄的最大值为.a +116.如图，在三棱锥 P -ABC 中，PC _ 平面 ABC , AC _CB ,已知 AC = 2 , PB =2.6 ,三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 每个试题考生都必须作答.第22 , 23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60分.17.已知在「'ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且cos A a sin A cos C c sin A cos A = 0 ..第17〜21题为必考题,P -ABC 的表面积为.(1)求角A 的大小;(2)右 a =..3 ， B=—，求 F .ABC 的面积.1 2占 占N八、、： 八、、(1)是否存在一点 N ，使得线段MN / /平面B B 1C 1C ?在，请说明理由•(2)若点N 为AB i 的中点且C M _ M N ，求二面角M19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分的中点为P .(1)求直线OP 的斜率;(2)设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点 C ， D ，且与直线AF 交于点Q ，求证:■ ■呀 ■■玛■■視■■叫乘坐站数X 0 £X 兰 1010 £ x 兰 2020 £X 兰30票价(元)3 69段优惠政策，不超过 30站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁, 已知他们乘坐地铁都不超过 30站.甲、乙18.如图,在直三棱柱 AB^ -A 1B 1C 1 中，.B AC =90、，A B = A C = 2，点 M 为 A 1C 1 的中乘坐不超过(1)求甲、 1 1 10站的概率分别为11;甲、43乙两人付费相同的概率； 乙乘坐超过 20站的概率分别为 (2)设甲、 乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2x 丿 ——+— 2 a2y 2 =1(a b b - 0)的离心率为别为椭圆的上顶点和右焦点， L AOF 的面积为 1-，直线AF 与椭圆交于另一个点 B ，线段AB2若存在，指出点 N 的位置，若不存为AB i 上一动点.存在常数■，使得QC QD =怎QA QB .xe 21.已知函数f (x) ，g (x^ln x 1 .x(1)求函数f (x)的单调区间; (2)证明：x 3 f (x) . g(x).(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的极坐标为i 3,—，直线I 与曲线C 的交点为A ， B ，I 2丿23.［选修4-5 :不等式选讲］ 已知函数f(x) = x_1 + x_m(1)当m =3时，求不等式f (x) _5的解集;(2)若不等式f(x) _2m -1对R 恒成立，求实数 m 的取值范围(二)选考题：共 10分•请考生在22, 23题中任选一计分•22.［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1X = — — t2{( t 为参数)， V 3y = 3 t 、 2以坐标原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 J = 4 sin答案、选择题1-5: DABCB6-10: BCDAD 11 、12: CA、填空题1 3.二314. 7 15. - 16. 4 E • 2 63sin A (sin A co s C 亠co s A sin C )、，3 sin B cos A ,即sin A sin ( A 亠 C )=3 sin B cos A ，又sin (A 亠 C ) = sin B ,0，所以ta n A - - 3又A 5（0^：），所以(2)由(1)知A =，又B ，易求得1 2在.-：ABC中，由正弦定理得Jt sin—122 二'sin -----3所以b所以.SBC的面积为S1=—ab sin2.6 -「2 、、2 3 - J 3----------------- X-------- = ----------------18. （1）存在点N，且N 为 A B1的中点.证明如下:如图，连接A1B，BC1，点M ,N分别为A i C i，A i B的中点,所以M N为.-：A i BC i的一条中位线, M N / / BC ，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C三解答题、17. (1)由cos A a sin A cosC c sin A cos A =0及正弦定理得，M N 二平面BB C C，BC平面BB C C，所以M N / / 平面BB C C故二面角M -CN -A 的余弦值为cos ::: m , n 、二- 3 -0-2 .3 15 故二面角M — C N -A 的正弦值为2 2(2)设 A A 、二 a ，贝V CM = a - 1 ,2 2aa 20C N5 =44由CMAB 为x 轴，AC 为y 轴，AA i 为z 轴建立如图所示的空间直角•A r2y = o,m AC 0,得2 m AN=0, xz=0,L 2叫 一令x - _1，得平面 ANC 的一个法向量 m =(_1,0, .2)， 同理可得平面 M N C 的一个法向量为n = (3, 2, -、2)，=1由题意以点A 为坐标原点，坐标系，可得 设m = (x, y , z)为平面A N C 的一个法向量，则解得aA (0,0,0)，C (0,2,0)，故AN■■叫AC =(0,2,0)，CN1 51 51 51x=1219. ( 1)由题意知甲乘坐超过 10站且不超过20站的概率为乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111贝U P ( A)=—---4 34 3所以甲、乙两人付费相同的概率是设“甲、乙两人付费相同”为事件1x=12所以 X 的数学期望E (X ) =61111912 15 1 8 —635120. (1)因为椭圆的离心率为 所以22b所以 A(0,c)，F (c,0)，所以所以c =1，所以椭圆的方程为(2)由题意 :可X 的所有可能取值为1 11P (X二 =— ---4 3 1 2111 1 1P=9): 二+43 4 36111 11 1P=—X _ + X — + — X — =4 32 3 4 31 11 1 1P (X= 12)=X _ + — X — 二—, 4 32 3 41 11 P (X= 18)—X — ——236因此X 的分布列如下：12 ，15，31 3x 一，联立 g T +y =1,消去 y 得 3X 2_4X =y = —x 1,f 2AB 的中点P —28QB (t -1).9x =0 ,所以直线 OP (2)由 (1) 的斜率为32 _0知，直线AF 的方程为y - -x • 1直线OP 1 的斜率为一 2，设直线l 的方程为t(t -0).联立 一 x t,2 '得2 _2t3所以点的坐标为2t 1-x ■ 1,2t 1 f 2t _2 2 _2t ) ■叫 i‘2t +2 2t +2 \Q A,， QB ，…[33丿\33丿3所以 2 —2t2t + 1' i .2t —2 1 X1 + , X 1< 3 2t -14- X1 — I 3y 1 一3) = lT3丿所以QC直线AF 的方程为y 一 _x • 14，所以x 或3所以Bi-1，从而得线段 3所以 —4Q A 联立x 2=1,消去2tx - 2t 2一2 =0 ,t,由已知得.：：=4(32-2t )L"」0,逅'i 2丿I 2丿设 C ( x 1，则 y 1X [亠tX 1X 24tX,2 24t -4t21t -1 —x 2------ , 232e3，所以x f3{ 2t _2 'i2t _2 ' ♦t _1 /1 t _1 ' 1 + *2 + + 1 —X’ + *2 +I 3丿 I 3丿 I 2 3丿 l 2 3丿Q C Q D 25 5t -5 5(t -1) 二一X t X 2 • ---------- ( x 1 - x 2)-4 62 5 4t =—X —— 4 : -4 5t _5 X3 4t 5(t -1)-- +----------- 9 5 8 2(t -1).9所以QC QD 5 4—4 QA Q B .所以存在常数5，使得Q C4■■叫—4 ■Q B■■■+Q D2t -2 + ---- 321. ( 1)由题易知 x(x —1)ef '(x)==2「sin v ■ 2 "丿3「COS v ①. 22=x y ，「COST - x ，「sin v - y 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2 - y 2 -2-2 y = 0 ② I 1x 一2「_(2)将_代入②式，得『• 3-、3t • 3 =0 ,y 亠宀 I 2易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为匕,t 2，则由参数t 的几何意义即得M A + M B = J +t 2 =3>/3 .23. ( 1)当m =3时，原不等式可化为 x _1十x _3工5 .1当 x 三(—二，0) U (0 ,1)时，f '(x) ：：：0，当 x 三(1, •：:)时，f '(x) . 0 , 所以f ( x)的单调递减区间为(_：: ,0) U (0 ,1)，单调递增区间为(1, •：：). (2) g( x)的定义域为(0, •：：)，要证 x 3f (x) ■g (x)，即证—.xxe ln x ■ 1 由(1 )可知f (x)在(0,1)上递减，在(1, •：：)上递增，所以f (x) f (1) ln x - 1 设 h(x)—2 — 3 In x3 ， x . 0，因为 h '(x) x 2""3 当 x • (0,e 3)时，h'(x) 0，当 x • (e 3,；)时，h '(x) ::: 0， 所以h(x)在(0, e"3)上单调递增，在(e 3, •：：)上单调递减，所以 h( x) _ h(e 3)(x)■ g (x).22. (1) 把 J - 4 sinJTie+—展开得 Q = 2 sin V • 2、、3 COST 1 ，两边同乘 将T 22若 x <1U 1_x ・3_x_5，即 4_2x _ 5，解得 x 仝2若1 :：: x ：::3，则原不等式等价于 2 _5，不成立；9若 x _3，则 x _1 • x _3 _5，解得 X _—.2f1 9 1综上所述，原不等式的解集为：x | x 或x .I 22J(2)由不等式的性质可知 f ( x) = x 一1 + x _m m 一1 , 所以要使不等式f (x) 3 2m -1恒成立，则 m _1 ^2m —1 ,2所以 m 「1 _1「2m 或 m 「1 _2m -1，解得 m <,3r 21所以实数m 的取值范围是m | m 乞一.I 13J。
2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题Word版含解析
2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故选B.2. 复数的实数为( )A. B. C. 1 D. -1【答案】D【解析】∵复数∴复数的实数为故选D.3. 若满足，则的最大值为( )A. 1B. 3C. 9D. 12【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，此时，有最大值为.故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 执行下面的程序框图，则输出的=( )A. B.C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得程序的作用是求和.故选C.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. 6 C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示：其中，平面，，.∴，，∴该几何体的表面积为故选A.6. 在中，,为的中点，则=( )A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】∵为的中点∴，∵∴故选B.7. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为设“勾”为，“股”为，则，解得或.∵∴，即.∴∴小正方形的边长为∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为. 故选D.8. 函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数∴令，则.∴当时，，即函数的一个单调增区间为.故选A.9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点∴∵∴∵∴，则.∴，即.∵∴故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．10. 下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：④寿命超过的频率为0.3A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】若①正确，则对应的频率为，则对应的频率为，则②错误；电子元件的平均寿命为，则③正确；寿命超过的频率为，则④正确，故不符合题意；若②正确，则对应的频率为，则①错误；电子元件的平均寿命为，则③错误；寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.故选B.11. 已知函数，下列关于的四个命题；①函数在上是增函数②函数的最小值为0③如果时，则的最小值为2④函数有2个零点其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】∵函数∴∴令，得，即函数在上为增函数；令，得或，即函数在，上为减函数.∵函数在上恒成立∴当时，，且函数的零点个数只有一个.当时，，则要使时，则的最小值为2，故正确.综上，故①②③正确.故选C.12. 已知函数，若方程有解，则的最小值为( )A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】∵函数∴∵。
黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题 含答案,PDF
大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）参考答案1-12题：123456789101112B DCCABDAABCD13.6014.215.323π16.17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知981S =，根据等差数列性质可知：95199(4)81S a a d ==+=，所以149a d +=.…………1分因为11a =，所以2d =，…………2分所以21n a n =-.…………3分所以15[log 1]0b ==，…………4分145[log 27]2b ==，…………5分615[log 121]2b ==.…………6分（Ⅱ）当12n ≤≤时，13n a ≤≤（*n a N ∈），5[log ]0n n b a ==,共2项；…………7分当312n ≤≤时，523n a ≤≤，5[log ]1n n b a ==，共10项；…………8分当1362n ≤≤时，15123n a ≤≤，5[log ]2n n b a ==，共50项；…………9分当63200n ≤≤时，125399n a ≤≤，5[log ]3n n b a ==，共138项.………10分所以数列{}n b 的前200项和为201015021383524⨯+⨯+⨯+⨯=.…………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由列联表得：2235(157103)175 2.571817251068K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯．…………2分由于2.57 2.706<，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．…………4分（2）X 可取值0，1，2，3．…………5分343101(0)30C P X C ===，…………6分21463103(1)10C C P X C ===，…………7分12463101(2)2C C P X C ===，…………8分363101(3)6C P X C ===，…………9分所以X 的分布列为X0123P1303101216…………10分这3人中使用国产手机的人数X 的数学期望为13119()01233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题意可知，22222222BM AB AM =+=+=，22222222CM CD DM =+=+=,4BC =，…………2分所以，在△BCM 中，222BC BM CM =+，所以C M B M ⊥；…………3分因为平面ABM ⊥平面BCDM 且BM 是交线，CM ⊂平面BCDM …………5分所以CM ⊥平面ABM ，因为AB ⊂平面ABM ，所以AB CM ⊥…………6分解：（Ⅱ）设BM 中点为O ,BC 中点为N ,连接ON 所以//ON MC ，所以ON ABM ⊥平面.所以ON BM ON AO ⊥⊥，.因为AB AM =，所以AO ⊥BM以O 为坐标原点，分别以OB ON OA 、、所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图…………7分则(0,0,2)A 、(22,0)C 、2,0,0)B 、()2,0,0M -，从而(22,22,0)CB =-，(2,22,2)CA =-，(0,22,0)CM =-.设)1z y x n ，，（=为平面ABC 的法向量，则110200n CA x y z x y n CB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，可以取11,1,1)n =（…………9分设)(2z y x n ，，=为平面ACM 的法向量，则2202000n CA x y z y n CM ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩可以取2(1,01n =-，）…………11分因此，021=⋅n n ，有21n n ⊥，即平面ABC ⊥平面ACM ，故二面角B AC M --的大小为90︒.…………12分20（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得321442c aab ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，…………1分又222a b c =+，解得21a b ==，.…………2分所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=，…………5分()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，…………6分所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，…………8分因为212k k k =，所以()221212212121212k x x km x x m y y k k k x x x x +++===，即22228014k m m k-+=+，…………10分又0m ≠，所以214k =，…………11分又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率k 为定值12-.…………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()()()2ln 1f x x a x a R =+-∈，函数定义域为：{}0x x >()212212(1)ax ax f x a x x x-+'=+-=，…………1分令2()221g x ax ax =-+，由0a <可知，2480a a ->，从而()0g x =有两个不同解.…………2分令()0f x '=，则1102x =<，2102x =>…………3分当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，…………4分所以函数()y f x =的单调递增区间为10,2⎛ ⎝，单调递减区间为1+2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭.…………5分（Ⅱ）由题意得，当1x ≥时，ln 220x x e ax a e +-+-≥恒成立.令()ln 22xh x x e ax a e =+-+-，求导得()12xh x e a x'=+-，…………6分设()12x x e a x ϕ=+-，则()21x x e xϕ'=-，因为1x ≥，所以21,1x e e x≥≤，所以'()0x ϕ>，所以()x ϕ在[)1+∞，上单调递增，即()h x '在[)1+∞，上单调递增，所以()()112h x h e a ''≥=+-…………8分①当12ea +≤时，()0h x '≥，此时，()ln 22x hx x e ax a e =+-+-在[)1,+∞上单调递增，而()10h =，所以()0h x ≥恒成立，满足题意.…………9分②当12ea +>时，()1120h e a '=+-<，而()1ln 2220ln 2h a a a a'=+->，根据零点存在性定理可知，存在()01,ln 2x a ∈，使得()00h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()hx 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以有()()010h x h <=，这与()0hx ≥恒成立矛盾，…………11分所以实数a 的取值范围为1,2e +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.…………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan y x ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………1分圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得，24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+；…………3分2C 的平面直角坐标系方程为33y x =；…………5分（Ⅱ）分别将,36ππθθ==代入1C 的极坐标方程4cos 8sin ρθθ=+得：12ρ=+， (6)分24ρ=+…………7分则OMN ∆的面积为((11sin 24sin 82236OMN S OM ON MON ππ∆⎛⎫=⋅∠=⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭,所以OMN ∆的面积为8+.…………10分23.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式125x x ++-≥.当1x <-时，上式化为215x -+≥，解得2x ≤-；…………1分当12x -≤≤时，上式化为35≥，无解；…………2分当2x >时，①式化为215x -≥，解得3x ≥.…………3分所以()5f x ≥的解集为{}23x x x ≤-≥或.…………5分（Ⅱ）当[0,2]x ∈时，()3f x =，…………6分则当[0,2]x ∈，23x x a --≤恒成立.设2()g x x x a =--，则()g x 在[]0,2上的最大值为(2)2g a =-.…………8分所以(2)3g ≤，即23a -≤，得1a ≥-.…………9分所以实数a 的取值范围为[1,)-+∞.…………10分。
黑龙江省大庆市2018届高三下学期二模理科数学试题(附解析)
黑龙江省大庆市2018届高三下学期二模理科数学试题（附解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2,A =--{}0B x x =<，则()A B R=ð( )A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}12．复数21iZ i=-的实数为( ) A ．1i -+ B ．i C ．1 D ．1-3．若,x y 满足133515x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为( )A ．1B ．3C ．9D ．124．执行下面的程序框图，则输出的S =( )A ．1111+++...+2313B ．1111+++...+24624C ．1111+++ (24626)+D ．1111+++ (24628)+5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．B ．6C ．D ．6．在ABC ∆中，0,2,23AB BC AB BC ⋅===,D 为AC 的中点，则BD DA ⋅=( )A ．2B ．-2C ．D ．-7．在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A ．1-8B ．2C ．2D ．1-28．函数21()cos cos 2f x x x x =+-在下列某个区间上单调递增，这个区间是( )A ．-03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．-33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．263ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．已知12F F 、分别是双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1260F PF ∠=,12S F PF ∆=( )AB C D ．210．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:h )频率分布直方图，如图： 其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90； ②寿命在400-500的矩形的面积是0．2； ③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯④寿命超过400h 的频率为0．3 A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数2()x x f x e=，下列关于()f x 的四个命题；①函数()f x 在[]01，上是增函数 ②函数()f x 的最小值为0③如果[]0,x t ∈时max 24()f x e =，则t 的最小值为2 ④函数()f x 有2个零点 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知函数sin cos (),,sin cos 162x x f x x x x ππ+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，若方程()0f x a -=有解，则a 的最小值为( )A ．1B ．2CD ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式6(2)x y +展开式中42x y 的系数为 （用数字作答） 14已知0,0x y >>，若28=16x y ∙，则-1log292log 27x y ++ ．15．已知三棱锥,S ABC SA -⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，2,3SA AB ==,则三棱锥S ABC -外接球的体积为 ．16．已知点(4,0)A 及抛物线24y x =的焦点F ，若抛物线上的点P 满足2PA PF =，则=PF ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且191,81a S ==．记[]5log n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]50.9=0log 161=，． （1）求11461,,b b b（2）求数列{}n b 的前200项和．18．（12分）为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:（1）根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关; （2）在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数x 的分布列和数学期望．参考公式：2()=()()()()n nd bc K a c b d a b c d -++++ ()n a b c d =+++19．（12分）如图，在矩形ABCD中，2∆沿BM向AD=,M是AD的中点，将MABAB=,4上折起，使平面ABM⊥平面BCDM⊥;（1）求证：AB CM-的大小（2）求二面角-B AC M20．（12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：离心率为2，四个顶点构成的四边形的面积是4．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 均在第一象限，l 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，设直线l 的斜率为K ,直线,OP OQ 的斜率分别为1,2k k ，且212k k k =(其中O 为坐标原点)．证明: 直线l 的斜率为定值．21．（12分）已知函数2()ln (1)()f x x a x a R =+-∈． （1）当0a <时，求函数()y f x =的单调区间;（2）当1x ≥时，2()(1)x f x a x e e ≥--+恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆1C 的方程为22480x y x y +--=，直线2C 的极坐标方程为=6R πθρ∈（）．（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标方程;（2）若直线3C 的极坐标方程为=6R πθρ∈（）,设2C 与1C 的交点为3O M C 、，与1C 的交点为O N 、求OMN ∆的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()12f x x x =++- （1）求不等式()5f x ≥的解集（2）当[]0,2x ∈，时不等式2()f x x x a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围2018届黑龙江省大庆市高三第二次模拟考试卷数学（理）答 案一、选择题． 1-5：BDCCA 6-10：BDAAB 11、12：CD二、填空题．13．6014．215．323π16．三、解答题．17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d由已知9=81S ，根据等差数列性质可知：95199(4)81S a a d ==+= 所以149a d +=． 因为11a =，所以2d =所以21n n a =-所以[]15log 10b ==，[]145log 272b ==，[]615log 1212b ==（2）当12n ≤≤时，13n a ≤≤ )n a N *∈（，[]5log 0n bn a ==共两项； 当312n ≤≤时，[]5523,log 1n n n a b a ≤≤==，共10项； 当1362n ≤≤时，[]515123,log 2n n n a b a ≤≤==，共50项；当63200n ≤≤时，[]5125399,log 3n n n a b a ≤≤==，共138项． 所以数列{}n b 的前200项和为201015021383524⨯+⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）由列联表得：2235(157103)1752.571817251068k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 由于2.57 2.706<，所以没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关． (2)X 可取值0，1，2，3314(0)33010CP X C ===,21346(1)31010C C P X C ===,12146(2)3210C C P X C ===316(3)3610CP X C ===, 所以X 的分布列为这3人中使用国产手机的人数X 的数学期望为13119()0+1+2+33010265E X =⨯⨯⨯⨯= 19．解：（1）证明：由题意可知，BM ===4CM BC ====,所以，在BCM ∆KH ,222+BC BM CM =,所以CM BM ⊥；因为平面ABM ⊥平面BCDM 且BM 是交线，CM ⊂平面BCDM 所以CM ⊥平面ABM 因为AB ⊂平面ABM ，所以AB CM ⊥．解：（2）设BM 中点为O ,BC 中点为N ,连接ON所以//ON MC ,所以ON ⊥平面ABM 所以ON BM ⊥，ON AO ⊥． 因为AB AM =,所以AO BM ⊥以O 为坐标原点，分别以OB ON OA 、、所在直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系， 如图则(0A C B M 、、、，），从而CB =-, CA =-, (0,CM =-． 设1(,,)x y z =n 为平面ABC 的法向量，则110200CA x y z CB x y ⋅=-+=⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩n n ，可以取1(1,1,1)=n ． 设2(,,)x y z =n 为平面ACM 的法向量，则2202000CA x y z CM y ⋅=-+=⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩n n 可以取2(1,0,1)=-n ．因此，120⋅=n n ，有120n n ⊥=，即平面ABC ⊥平面ACM , 故二面角B AC M --的大小为90°．20．解：（1）由题意得21442c aab ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 又222=a b c +，解得2,1a b ==．所以椭圆C 的方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为11)22(,,(,)x y x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 222222=6416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆-+-=-+>，则212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++， 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为212k k k =，所以222121212121212()y y k x x km x x m k k k x x x x +++===，即22228014k m m k-+=+ 又0m ≠，所以214k =， 又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率k 为定值1-2．21．解：（1）因为2()1(1)()f x nx a x a R =+-∈，函数定义域为：}{0x x >21221'()2(1)ax ax f x a x x x-+=+-=，令2()221g x ax ax =-+，由0a <可知，2480a a -> 从而()0g x =有两个不同解．令'()0f x =，则21110,022x x ==+> 当(0,2)x x ∈时，'()0f x >；当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()y f x =的单调递增区间为102（，，单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）由题意得，当1x ≥时，1220x nx e ax a e +-+-≥恒成立． 令()122x h x nx e ax a e =+-+-， 求导得1'()2x h x e a x=+-， 设1()2x x e a x ϕ=+-，则21'()x x e xϕ=-， 因为1x ≥，所以21,1x e e x≥≤，所以'()0x ϕ>， 所以()x ϕ在[)1+∞，上单调递增，即'()h x 在[)1+∞，上单调递增， 所以'()'(1)12h x h e a ≥=+-①当12ea +≤时，'()0h x ≥， 此时，()122x h x nx e ax a e =+-+-在[)1+∞，上单调递增， 而(1)0h =，所以()0h x ≥恒成立，满足题意． ②当12ea +>时，'(1)120h e a =+-<， 而1'(12)22012h n a a a n a=+-> 根据零点存在性定理可知，存在0(1,12)x n a ∈，使得0'()0h x =． 当(1,0)x x ∈时，'()0,()h x h x <单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增． 所以有0()(1)0h x h <=，这与()0h x ≥恒成立矛盾，所以实数a 的取值范围为1+-2e ⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，．22．解：（1）直角坐标与极坐标互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan yx ρθ⎧⎪⎨=⎪⎩圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得，2-4cos 8sin 0ρρθρθ-=，所以1C的极坐标方程为y x =；（2）分别将==36ππθθ，代入1C 的极坐标方程=4cos 8sin ρθθ+得；1ρ2ρ则OMN ∆的面积为11sin (2(4sin()82236OMN S OM ON MON ππ∆=∙∠=⨯+⨯+⨯-=+所以OMN ∆的面积为23．解：（1）由题意知，需解不等式125x x ++-≥． 当1x <-时，上式化为-25x +≥，解得2x ≤-； 当12x -≤≤时，上式化为35≥，无解； 当2x >时，①式化为215x -≥，解得3x ≥． 所以()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥．（2）当[]0,2x ∈时，()3f x =，则当[]0,2x ∈，23x x a --≤恒成立． 设2()g x x x a =--，则()g x 在[]02，上的最大值为(2)2g a =-． 所以(2)3g ≤，即23a -≤，得1a ≥-． 所以实数a 的取值范围为[)-1+∞，．。
黑龙江省大庆市2017届高三数学下学期第二次段考试卷 理(含解析)
黑龙江省大庆市2017届高三数学下学期第二次段考试卷理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣2．已知集合A={x|x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（﹣1，3）C．3．将f（x）=cosωx（ω＞0），的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）是奇函数，则ω的最小值为（）A．6 B．C．D．34．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞115．等比数列{a n}中，a4a8=9，则a3+a9的取值范围是（）A．∪上的最大值为，当把f（x）的图象上的所有点向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到图象对应的函数g（x）的图象关于直线x=对称．（1）求函数g（x）的解析式：（2）在△ABC中．一个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知g（x）在y轴右侧的第一个零点为C，若c=4，求△ABC的面积S的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望．附：．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0），过C上一点的切线l的方程为x+2y﹣4=0．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点M（0，1）且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0．（1）若a＜0，f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数h（x）=x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈（0，），求证：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）将C1的方程化为普通方程，将C2的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，且t≠0），l与C1交于点A，l与C2交于点B，且|AB|=，求α的值．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣2x﹣3＜0，可得A=（﹣1，3），B=（﹣1，m），又x∈A是x∈B的充分不必要条件，可得A⊂B．即可得出．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，可得A=（﹣1，3），B=（﹣1，m），又x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A⊂B．则实数m的取值范围为m＞3．故选：A．3．将f（x）=cosωx（ω＞0），的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）是奇函数，则ω的最小值为（）A．6 B．C．D．3【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，求得ω的最小值．【解答】解：将f（x）=cosωx（ω＞0），的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=cosω（x﹣）的图象．若y=g（x）是奇函数，则ω=kπ+，k∈Z，则当k=0时，ω取得最小值为，故选：C．4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11【考点】E7：循环结构．【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件…经过第十次循环得到，此时的i 应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i＞10故选C5．等比数列{a n}中，a4a8=9，则a3+a9的取值范围是（）A．∪∪=π（42﹣4|y|）∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵由同时满足x≥0，x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，体积为•43﹣2••23=64π，∴Γ1的体积为32π．故答案为：32π．16．已知函数+1，则不等式f（2x﹣1）+f（x）＞2的解集为（，+∞）．【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【分析】由题意，f（﹣x）+f（x）=2，∴f（2x﹣1）+f（x）＞2可化为f（2x﹣1）＞f（﹣x），利用函数f（x）在R上单调递增，即可求解．【解答】解：由题意，f（﹣x）+f（x）=2，∴f（2x﹣1）+f（x）＞2可化为f（2x﹣1）＞f （﹣x），又2017x，﹣2017﹣x，ln（）均为增函数，∴函数f（x）在R上单调递增，∴2x﹣1＞x，∴x＞，∴不等式的解集为（，+∞），故答案为（，+∞）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在上的最大值为，当把f（x）的图象上的所有点向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到图象对应的函数g（x）的图象关于直线x=对称．（1）求函数g（x）的解析式：（2）在△ABC中．一个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知g（x）在y轴右侧的第一个零点为C，若c=4，求△ABC的面积S的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由题意可得2sin（ω）=，解得ω，利用平移变换规律可得g（x）=2sin（x﹣φ），利用正弦函数的对称性可得（﹣φ）=kπ+，k∈Z，结合范围0＜φ＜，可求φ，即可得解函数g（x）的解析式．（2）由题意可得2sin（C﹣）=0，解得C﹣=kπ，k∈Z，由题意可解得C，由余弦定理可得ab≤，利用三角形的面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在上的最大值为，∴2sin（ω）=，解得ω=，把f（x）的图象上所有的点向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到的函数g（x）=2sin[（x﹣φ）]=2sin（x﹣φ），∵函数g（x）的图象关于直线x=对称，∴（﹣φ）=kπ+，k∈Z，解得：φ=﹣2kπ，k∈Z，∴由0＜φ＜，可得：φ=．∴函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin[（x﹣）]=2sin（x﹣）．（2）∵函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为C，∴由2sin（C﹣）=0，解得C﹣=kπ，k∈Z，可得：C=2kπ+，k∈Z，令k=0，可得C=．∵c=4，∴由余弦定理可得：16=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab，解得：ab≤，∴S△ABC=absinC≤××=8．故△ABC的面积S的最大值为8．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望．附：．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…所以视力在5.0以下的频率为： =0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…，，，，∴X的分布列为：…X的数学期望…20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0），过C上一点的切线l的方程为x+2y﹣4=0．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点M（0，1）且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由，得，由椭圆C与直线l相切，点（2，）在椭圆C上，求出a，b，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线的方程为y=kx+1（k≠0），联立，得（4k2+1）x2+8kx﹣12=0．由此利用根判别式、韦达定理、角平分线性质，结合已知推导出存在点P（0，4）使得．【解答】解：（1）由，消去x并整理得，∵椭圆C与直线l相切，∴，化简得4b2+a2﹣32=0，①，又点（2，）在椭圆C上，∴=1，②，由①②得a2=1，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）y轴上存在点P，使得．理由如下：设直线的方程为y=kx+1（k≠0），联立消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx﹣12=0．△=（8k）2+4（4k2+1）×12=256k2+48＞0．设．假设存在点P（0，t）满足条件，由于，∴PM平分∠APB．由题意知直线PA与直线PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，即（*），y1=kx1+1，y2=kx2+1代入（*）并整理得2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）=0，∴，整理得3k+k（1﹣t）=0，即k（4﹣t）=0，∴当t=4时，无论k取何值均成立．∴存在点P（0，4）使得．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0．（1）若a＜0，f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数h（x）=x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈（0，），求证：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可；（2）先求出h（x1）﹣h（x2）=ln2+2lnx1﹣x12+，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．【解答】（1）解：f′（x）=a﹣=，F′（x）=e x+a，x＞0，∵a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，当﹣1≤a＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜﹣1时，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）．∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，∴ln（﹣a）≥ln3，解得a≤﹣3，综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．（2）证明：h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0），x1•x2=，则x2=，h（x1）﹣h（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣lnx2﹣x22+ax2=ln +22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）将C1的方程化为普通方程，将C2的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，且t≠0），l与C1交于点A，l与C2交于点B，且|AB|=，求α的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用参数方程与极坐标方程化简为普通方程即可．（2）曲线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（β为参数），可得普通方程为：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，可得：x2+y2=4x．（2）曲线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．．。
黑龙江省大庆中学2017-2018学年高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆中学2017-2018学年上学期期末高三数学（理科）试题考试时间：120分钟 分数：150分一、 选择题（共12个小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=( ) A ．{(1,1),(1,1)}- B ．{1} C． D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( ) A. i B. 1- C. i - D.13．等差数列{}n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( )A ．3-B ．52 C ．3 D ．25-5．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0402201y x y x y x ,则y x 2+的最大值为( )A ．132B ．6C ．11D ．106．已知直线n m ,和平面α，则n m //的必要非充分条件是( ) A ．n m ,与α成等角 B ．αα⊥⊥n m , C ．αα⊂n m ,// D ．αα//,//n m7.下列四个判断：①若两班级的人数分别是,m n ，数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②p ：01,2>-∈∀x R x ，则p 的否定是01,2≤-∈∃x R x ;③p ：),(2R b a ab b a ∈≥+q ：不等式x x >的解集是(－∞，0), 则‘p ∧q ’为假;④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=.其中正确判断的个数有： ( )A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )C ．D ．﹣ 1A ．2B ．1C ．21D ．1-9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．312+B ．328+C ．344+D ．1610．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,2,1,32===AC AB SA ,OBAC 60=∠, ⊥SA 面ABC,则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π11．过原点的直线l 与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右两支分别相交于A ，B两点，)0,3(-F 是此双曲线的左焦点，若4||||=+FB FA ，0=∙则此双曲线的方程是（ ）A ．1222=-y x B ．13422=-y x C ．1422=-y x D ．14822=-y x 12．设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=,其中0>x ,存在0x 使得54)(0≤x f 成立, 则实数a 的值是( )A ．51 B ． 52 C ．21 D ．1二、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)3,(),1,0(),1,3(k c b a =-==→→→,→→-b a 2与→c 共线，则k =__________．14. 已知⎰=62xdx a ,则axx )1-（的二项展开式中常数项为 . 15. 已知数列{}n a 中, 11=a ,231+=+n n a a ,则=n a ．16. 已知过定点)0,2(的直线l 与曲线22x y -=交于B A ,两点, O 为坐标原点,则AOB ∆面积最大时,直线的倾斜角是 .三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知ABC ∆是圆O (O 是坐标原点)的内接三角形,其中)23,21(),0,1(--B A ,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,(1)若点)22,22(-C ,求COB ∠cos ; (2)若点C 在优弧AB 上运动,求b a +的最大值.18．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,平面⊥BC A 1侧面11ABB A ,且21==AB AA .(1)求证: BC AB ⊥;(2)若直线AC 与平面BC A 1所成的角为6π,求锐二面角B C A A --1的大小.19．前不久，省社科院发布了2015年度“全省城市居民幸福排行榜”，我市成为本年度最“幸福城”．随后，我校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C相交于两点B A , （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21． 已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲已知函数()|1||f x x x a =-+-（1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。
2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．34．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，9] C．[1，9] D．[9，+∞）6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．1267．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．568．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，则S 6= ．14．已知实数x 、y 满足约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为 ．16．下列命题正确是 ，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f （x ）的周期为4，则函数f （x ）的图象关于（2，0）对称；②若a ∈（0，1），则a 1+a ＜a ；③函数f （x ）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a 使f （x ）=lg （ax+）为奇函数．三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，B=+A ．（1）求cosB 的值； （2）求sin2A+sinC 的值．18．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA 1，E 、F 分别是CC 1，BC 的中点． （1）求证：平面AB 1F ⊥平面AEF ； （2）求二面角B 1﹣AE ﹣F 的余弦值．19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意， =（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在 x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A5．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，9] C．[1，9] D．[9，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p的不等式，根据充分必要条件的定义求出m的范围即可．【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，故p：﹣2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则1+m≥10，解得：m≥9；故选：D．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为T=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，r+1令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．故选：C．8．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解： =2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，利用从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，可得=，即可得出结论．【解答】解：设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，∴=，∴x=2或3，故选C．11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），A 1（x1，﹣y1），则可设直线AB的方程为y=x﹣1联立方程，可得x2﹣6x+1=0则有x1+x2=6，x1x2=1，直线A1B的斜率k====，∴直线A1B的斜率为，故选C．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln 与y=lntan 是同一函数；④在椭圆+=1（a ＞b ＞0），左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同于A ，B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值． A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，函数f （x ）=xlnx ﹣x 2在定义域内单调，不存在实数k ，使得方程xlnx ﹣x 2+k=0有两个不等实根；②，a 2+b 2=2c 2≥2ab ，cosC=则角C 的最大值为；③，函数y=ln与y=lntan 的定义域不同，不是同一函数；④，设A （﹣a ，0），B （a ，0），P （m ，n ），则b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2⇒a 2n 2=b 2（a 2﹣m 2）⇒直线PA 与直线PB 斜率之积为（定值）．【解答】解：对于①，函数f （x ）=xlnx ﹣x 2在定义域内单调，不存在实数k ，使得方程xlnx ﹣x 2+k=0有两个不等实根，正确；对于②，∵a 2+b 2=2c 2，∴a 2+b 2=2c 2≥2ab ，cosC=，则角C 的最大值为，故错；对于③，函数y=ln与y=lntan 的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设A （﹣a ，0），B （a ，0），P （m ，n ），则b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2⇒a 2n 2=b 2（a 2﹣m 2）⇒直线PA 与直线PB 斜率之积为（定值），故正确．故选：A ．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，则S 6= ．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 3=，a 2+a 4=，∴a 2+a 4==q （a 1+a 3）=q ，解得q=．∴=，解得a 1=2．则S 6==故答案为：．14．已知实数x 、y 满足约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 20 ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z 为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y ，发现其过（0，2）时z 有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z 为目标函数z=2x+4y ，可看成是直线z=2x+4y 的纵截距四倍，画直线0=2x+4y ，平移直线过A （2，4）点时z 有最大值20 故答案为：20．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是平放的直三棱柱，可还原为长方体，利用外接球的直径是长方体对角线的长，求出半径．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是平放的直三棱柱，且三棱柱的底面为直角三角形，高为12；可还原为长宽高是12、8、6的长方体，其外接球的直径是长方体对角线的长，∴（2R）2=122+82+62=244，即R2=61，∴半径为R=．故答案为：．16．下列命题正确是①③，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1⇒a=±1．【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1⇒a=±1，故错．故答案为：①③三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1 C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…设AB=AA1=1，则，EF=，．∴=，∴B1F⊥EF．又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设AB=AA1=1，则F（0，0，0），A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），， =（﹣，，1）．…由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，，1）．…设平面B1AE的法向量为，由，取x=3，得．…设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，﹣AE﹣F的余弦值为．…∴所求二面角B119．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．【解答】解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；圆锥曲线的定值问题．【分析】（1）利用点在椭圆上，椭圆的离心率，求解a ，b ，得到椭圆方程．（2）假设存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3．设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用韦达定理，结合A 、F 、B 共线，通过k=k AF =k BF ，求出k 1+k 2，然后推出k 1+k 2=2k 3．即可．【解答】解：（1）由点在椭圆上得，①②由 ①②得c 2=4，a 2=8，b 2=4，故椭圆C 的方程为…..（2）假设存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3．由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣2）③代入椭圆方程并整理得（1+2k 2）x 2﹣8k 2x+8k 2﹣8=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有④…在方程③中，令x=4得，M （4，2k ），从而，，．又因为A 、F 、B 共线，则有k=k AF =k BF ，即有…所以k 1+k 2===⑤…将④代入⑤得k 1+k 2=，又，所以k 1+k 2=2k 3．故存在常数λ=2符合题意…21．已知函数f （x ）=ax+lnx ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当a=﹣1时，求f （x ）的最大值；（2）若f （x ）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a 的值；（3）设g （x ）=xf （x ），若a ＞0，对于任意的两个正实数x 1，x 2（x 1≠x 2），证明：2g （）＜g （x 1）+g （x 2）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f （x ）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f （x ）求导，对a 进行分类讨论并判断其单调性，根据f （x ）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g ′（x ）为增函数，不妨令x 2＞x 1，构造函数，利用导数即可证明【解答】解：（1）易知f （x ）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f （x ）=﹣x+lnx ，，令f ′（x ）=0，得x=1．当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0；当x ＞1时，f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数． f （x ）max =f （1）=﹣1．∴函数f （x ）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，（2）∵．①若，则f ′（x ）≥0，从而f （x ）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数∴令，则，∴a=﹣e2，（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．，只需求得f（x）【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g （x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．．【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，=6，所以m≤6．即f（x）min（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．2017年3月22日。
2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测(二模)理科数学试题_及答案
大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数 学（理科）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}log 42x B x ==，则A B ⋃= （A ）{}2,1,2- （B ）{}1,2 （C ）{}2,2- （D ）{}2（2）11i-的共轭复数为 （A ）1i +（B ）1i -（C ）1122i +（D ）1122i -（3）已知tan 2α=，则2sin 2cos αα的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D 6（4）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为 （A ）324π+ （B ）244π+ （C ）4123π+ （D ）4243π+（5）执行如图所示的程序框图，输出的T =（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62（6）下列说法不正确的是（A ）命题”若00x y >>且，则0x y +>” 的否命题是假命题（B ）命题“0x R ∃∈，20010x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”（C ）“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件（D ）0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减（7）已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值是（A ）2z x y =- （B ）2z x y =+ （C ）12z x y =-- （D ）2z x y =-+（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（A ）29 （B ）31 （C ）33 （D ）36 （9）函数cos622x xx y -=-的图像大致为（10）已知函数()x f x x a =，若11162a <<，则()f x 零点所在区间为（A ）1(0,)4（B ）11(,)164（C ）11(,)42（D ）1(,1)2（11）如图，已知椭圆C 的中心为原点O ,(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||||4OP OF PF ==且，则椭圆的方程为（A ）221255x y += （B ）2213616x y +=（C ）2213010x y += （D ）2214525x y +=（12）设函数223()cos 4sin 3(),| t |1,2x f x x t t t x R =++-∈≤其中将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 的单调递增区间为（A ）1(,]3-∞-和[1,)+∞ （B ）1[1,]3-- （C ）1[,)3+∞ （D ）1[,1]3-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分） （13）10(2)x e x dx +=⎰_______． （14设两个非零向量a r 与b r ，满足||||2||a b a b a +=-=r r r r r，，则向量a b+r r 与a b -r r的夹角等于_______．（15）函数log (2)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，则22m n +的最小值为_______． （16）若实数,x y 满足方程112x y x y x e e +--+=+（e 是自然对数的底），则xy e =_______．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足777S =，且1a ，3a ，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（1）求角C 的值；（2）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围． （19）如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 底面为矩形，AC BC= ，O 为AB的中点，OF EC ⊥．（1）求证：OE FC ⊥； （2）若2,3AB AC ==F CE B --的余弦值（20）抛物线2:2(0)M y px p =>准线过椭圆:N 22415x y +=的左焦点，以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与抛物线M 在第一象限的图像以及y 轴的正半轴相交于点A B 和，直线AB 与x 轴相交于点C(1)求抛物线M 的方程(2)设点A 的横坐标为a ，点C 的横坐标为c ，抛物线M 上点D 的横坐标为2a +，求直线CD 的斜率 （21）已知函数2()ln(1),f x x ax x a R =++-∈． （1）当14a = 时，求函数()y f x =的极值（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆为圆的内接三角形，AB AC =，BD 为圆的弦，且//BD AC ，过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若6AE =，5BD =，求线段CF 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点3)A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++．（1）若关于x 的不等式()0g x ≥的解集为[5,1]--，求实数m 的值； （2）若()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13．e 14．120︒ 15．2 16．1三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =. ② ……………………2分联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分所以31n a n =-. ……………………6分 （Ⅱ）因为2na nb =，所以311282n n n b -==⋅， ……………………8分所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分由等比数列前n 项和公式得，324(18)24187n n n T +--==-. (12)分18.（本小题满分12分） 解：（I ）因为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以abc C 4cos 2=， (1)分又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分所以21424cos 2===ab ab ab c C ，……………………4分 因为(0,)C π∈，……………………5分 所以3π=C . ……………………6分 （Ⅱ）3()sin()cos cos )623f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-， ……………………8分由已知2,2==ωπωπ，……………………9分 则()),3f A A π=-因为2sin 2sin sin C A B =，3π=C ，所以232sin sin()34A A π⋅-=，整理得1sin(2)64A π-=. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以cos(2)6A π-=. ……………………10分()))366f A A A πππ=-=--1)cos(2)]662A A ππ=---⋅① 113())42428f A -=⋅-=，② 113())42428f A +=⋅+=， 故()f A 的取值范围是33{}88-+. ……………………12分19（本小题满分12分）（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF . 因为OF ⊂面ABEF，于是OC OF ⊥. ……………………2分又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分 所以OE FC⊥. ……………………6分（Ⅱ）由（I ）得，2AB AF =，不妨设1,2AF AB ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。
黑龙江省大庆市2017届高三数学下学期第二阶段考试4月试题文
()3,0黑龙江省大庆市2017届高三数学下学期第二阶段考试（4月）试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|lg(3)B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{}|12x x <<B ．{}|13x x <<C ．{}|23x x <<D ．{}|3x x <2.已知复数()341i i z i-=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.已知在区间使”的概率为（ ）之间任取一实数x ，则A ．B ．C ．D ．4.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人。
为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．12,24,15,9B ．9,12,12,17C ．8,15,12,5D ．8,16,10,65.已知等比数列{}n a 满足:21,35311=++=a a a a ，则=++753a a a ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．846.阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知0a >，曲线21()2f x ax ax=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为k ，则当k 取最小值时a 的值为（ ）A ．12B ．23C.1 D ．28.函数x x x f ln sin )(⋅=的部分图象为（ ） A ．B ．C ．D ．开始 0k =k ＝k ＋131n n =+150?n >输出k ,n结束是 否输入n1log 2<x9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． B ．4C ．8D ．10.已知函数)(x f y =对任意自变量x 都有)2()(x f x f -=，且函数)(x f 在[1,)+∞上单调．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(20126a f a f =，则{}n a 的前2017项之和为( )A ．0 B. 2017 C. 2016 D ．403411.<<九章算术>>中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为 （ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a ∥()a b -，则a b ⋅= .14.实数x ，y 满足1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则43z x y =+的最大值为 ．15.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC = ．16.在平面直角坐标系xOy 中，过动点P 分别作圆0122:221=++++y x y x C 和圆0964:222=+--+y x y x C 的切线PB PA ,(B A ,为切点)，若PB PA =，则OP 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求f (x )的单调递增区间.18.某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号依次为1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 12 3 45频率a 0.20.45b c(1)若所抽取的205的恰有2件， 求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为x 1，x 2，x 3，等级编号为5的2件产品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． (1)求证：AB ∥EF ；(2)若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥AEF P -的体积； 20.已知抛物线（）的焦点为，点是抛物线上横坐标为3的点，且到抛物线焦点的距离等于4， (1)求抛物线的方程；F D CP E(2)过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值.21.已知函数2ln 21)(x xx f +=． (1)求)(x f 的最大值；(2)令x ax x g ln 2)(2-=，当0>x 时，)(x f 的最大值为M ，M x g =)(有两个不同的根，求a 的取值范围；(3)存在),1(,21+∞∈x x 且21x x ≠，使2121ln ln )()(x x k x f x f -≥-成立，求k 的取值范围。
黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题 理
黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题 理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题，共150分，共3页。
考试时间：120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}1381xx A =≤≤，(){}22log 1x x x B =->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-2．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对 应的复数为z ，则z =（ ）A ．5 C ．．3．命题[0,1]m ∀∈，则12m x x+≥的否定形式是 （ ） A. [0,1]m ∀∈，则12m x x +< B.[0,1]m ∃∈，则12m x x+≥ C. (,0)(1,)m ∃∈-∞+∞，则12m x x +≥ D.[0,1]m ∃∈，则12m x x+<4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则6a 等于（ ） A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．05． 二项式()()*∈+N n x n1的展开式中2x 项的系数为15，则=n （ ）A ．4B ．5C ．6D ． 76．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示 4月1日的AQI 指数值为201．则下列叙述不正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的 (1,2,,15)i a i =分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ． 8D ．98．已知222{(,)}A x y x y π=+≤，B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域．若向区域A 内随机 投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ）A ．2π B ．4πC ． 32πD ．34π9. 设点(),P x y 在不等式组12060x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内，则x y z =的取值范围为（ ）A ．()5,2B ．[)5,2 C.(]5,2 D ．[]5,210. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（ ）A ．43 B ．492 D．6 11．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且 AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12] 12. 已知函数f （x ）=，若存在x 1、x 2、…x n满足==…==，则x 1+x 2+…+x n 的值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数()214f x x b =-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b+的最小值为 ________.14. 设直线过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，与C 交于A 、B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．15．把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．（用数字作答） 16．已知函数，点O 为坐标原点，点，向量=（0，1），θn 是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为C B a C c B b A a sin 332sin sin sin sin .c ,b ,a =-+且满足 .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值. 18．（本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体 育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝23，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，,D E 分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且2DEF S ∆=，离心率12e = . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求OAB22S B F A F ∆的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数x x e x f xcos sin )(-=，x e x x x g 2cos )(-=，其中e 是自然对数的底数.（Ⅰ）判断函数)(x f y =在)2,0(π内零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）]2,0[1π∈∀x ，]2,0[2π∈∃x ，使得不等式m x g x f ≥+)()(21成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1->x ，求证：0)()(>-x g x f .请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l 的极坐标πcos()204θ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有 点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C .PA QDBC（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲： 已知函数()||f x x a =-（Ⅰ）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取 值范围．2017届高三仿真模拟数学试卷(理工类)参考答案一，选择题 AADCC CDDCD BC二，填空题 13． 14. 3 15．16 16． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43 三、解答题 17. 解：(1)222sin sin sin ,cos sin sin 2a A b B c C a b c C C B C ab +-+-=∴==，即tan 3C C π=∴=.(2) 由三角形中线长定理得：()22222224a bc c +=+=+，由三角形余弦定理得：222c a b ab =+-， 消去2c 得:22442,3ab a b ab ab -=+≥≤（当且仅当a b =时，等号成立），即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈. 因为3.030 3.841<，所以没有理由认为 “体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X ⎛⎫⎪⎝⎭:，从而X 的分布列为()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19.（Ⅰ）证明 如图所示，取PA 的中点N ，连接QN ，BN .在△PAD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，所以QN ∥AD ，且QN ＝12AD .在△APD 中，PA ＝2，PD ＝23，PA ⊥PD ，所以AD ＝PA 2＋PD 2＝4，而BC ＝2，所以BC ＝12AD .又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又BN ⊂平面PAB ，且CQ ⊄平面PAB , 所以CQ ∥平面PAB . （Ⅱ）如图，取AD 的中点M ，连接BM ；取BM 的中点O ，连接BO 、PO .由(1)知PA ＝AM ＝PM ＝2, 所以△APM 为等边三角形， 所以PO ⊥AM . 同理BO ⊥AM.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,所以PO ⊥BO.如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，则AC →＝(3，3,0).因为Q 为DP 的中点，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，所以AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，32.设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AC →，m ⊥AQ →，可得⎩⎨⎧m ·AC →＝3x ＋3y ＝0，m ·AQ →＝52y ＋32z ＝0，令y ＝－3，则x ＝3，z ＝5. 故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5).A设直线PD 与平面AQC 所成角为θ.则sin θ= |cos 〈PD ，m 〉|＝||||PD PD ⋅mm ＝.从而可知直线PD与平面AQC 20. 解答（Ⅰ）依题意得222121()22c a a b c a c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯-⨯=⎪⎩ ，---------------------------------3分 解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故所求椭圆方程为22143x y += ----------------------------------5分 （Ⅱ）由（1）知2(1,0)F ，设1122(,)(,)A x y B x y ，AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆的方程，整理得22(34)690t y ty ++-=，122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩， -----------------------8分12112OAB S y y ∆=⨯⨯-，21AF y =，22BF =，OAB22S B F A F∆2292(1)t +==32≥， -----------------------11分当且仅当0t =时上式取等号. 22OABAF BF S ∆∴的最小值为32。
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2017-2018学年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣ B．1 C．D．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，s s5名学生学分的标准差，则（）．1＞2．1＜2C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣ B．5 C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③B．②③C．②④D．③④9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，]B．[﹣1，]C．[0，]D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f（0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．（）6的展开式中，常数项为______．（用数字作答）14．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______．15．已知函数f（x）=，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣3y在D上的最大值为______．16．已知函数f（x）=x2cos，数列{a n}中，a n=f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{a n}的前100项之和S100=______．三、简答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列；（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点的距离为π，求f（A）的取值范围．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）已知[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30，35）岁的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（x+a）（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）当a=0时，若函数g（x）=f（x）+x2﹣mx（m≥）的极值点x1，x2（x1＜x2）恰好是函数h（x）=f（x）﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2016年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即M={x|x＜﹣1或x＞1}，∵N={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N={﹣2，2}，故选：D．2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】特称命题．【分析】已知若命题p：∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0．命题p是假命题，推出¬p是真命题，说明方程x2+2ax+a≥0恒成立，根据判别式与根的关系进行求解；【解答】解：∵若命题p：∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0，命题p是假命题，则¬p是真命题，说明x2+2ax+a＞0恒成立，∴△=4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1故选：A．4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）．1＞2．1＜2C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算甲班的平均数为=×（8+11+14+15+22）=14，乙班的平均数为=×（6+7+10+23+24）=14；甲班的方差为=×[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]=，乙班的方差为=×[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（23﹣14）2+（24﹣14）2]=，∴＜，标准差为s1＜s2．故选：B．5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据球的体积计算球的半径，由于球为棱柱的内切球，故球的大圆为棱柱底面三角形的内切圆，棱柱的高为球的直径．【解答】解：设球的半径为r，则=，解得r=．∵球与正三棱柱的三个侧面相切，∴球的大圆为棱柱底面正三角形的内切圆，∴棱柱的底面边长为2r=3．∵球与正三棱柱的两个底面相切，∴棱柱的高为2r=3．∴三棱柱的体积V==．故选：C．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足执行循环的条件，故a=，n=2，当n=2时，满足执行循环的条件，故a=5，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，故a=，n=4，当n=4时，满足执行循环的条件，故a=，n=5，…当n=2015时，满足执行循环的条件，故a=5，n=2016，当n=2016时，满足执行循环的条件，故a=，n=2017当n=2017时，不满足执行循环的条件，故输出的a值为，故选：C．8．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③B．②③C．②④D．③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，①函数的定义域为[0，+∞），函数为增函数，则函数不存在对称中心，所以①不是准奇函数．②若f（x）=﹣f（2a﹣x），则e x=﹣e（2a﹣x），∵e x＞0，﹣e（2a﹣x）＜0，∴e x=﹣e（2a﹣x），无解所以②不是准奇函数③f（x）=cos（x+1）存在对称中心，所以③是准奇函数④f（x）=tanx存在对称中心，则④为准奇函数，故选：D．9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，]B．[﹣1，]C．[0，]D．[1，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由B∈[，]，知cosB∈[﹣，]，设||=||=a，∵|+|=2，∴|+|2=4，∴a2+a2+2a2cosB=4，∴，由此能够求出•的取值范围．【解答】解：∵B∈[，]，知cosB∈[﹣，]，设||=||=a，∵|+|=2，∴|+|2=4，∴a2+a2+2a2cosB=4，∴，•==a2cosB==2﹣∈[﹣2，]．故答案为；A．11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设=λ，则cos∠MNQ=，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f（0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知条件构造辅助函数F（x）=，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可f（x）＞e2x﹣2的解集．【解答】解：由f（x）＞e2x﹣2，得f（x）+2＞e2x，得＞1，令F（x）=，则F′（x）==，∵f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，∴F′（x）＞0，∴F（x）=在R上单调递增，f（0）=﹣1，F（0）=1，∴原不等式等价于F（x）＞F（0），∴x＞0，故不等式f（x）＞e2x﹣2的解集为（0，+∞），故答案选：A．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。