小学五年级奥数完全平方数

第八讲 完全平方数

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……

判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：

分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝21

2a ＝1＋3＝4＝22

3a ＝1＋3＋5＝9＝23

4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24

………

n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2

)1(1n n ⨯-+＝2n

毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方）

【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）

一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？

【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？

练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？

练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。

【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？

一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？

【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；

第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；

第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；

第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；

第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；

一般地，第n 秒，凡编号为n 的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；

那么第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。

练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？

练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？

【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？

一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？

课后作业：

1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：

……

他们发现：

1＝1，1＋3＝22＝4，1＋3＋5＝23＝9，1＋3＋5＋7＝24＝16……

那么第100个图有 个点，第n 个图有 个点。

也就是说：从1开始的连续n 个奇数的和，等于 。

2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、

3、5、7、9……，擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。那么擦掉的奇数是多少？

3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？

4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？

5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。

6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问：这时面向教官的同学有多少个？

7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？

8、1～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？

9、求一个能被180整除的最小完全平方数。

10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？

11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4×……×12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？

大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100﹪。现介绍其方法如下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025，55×55＝3025，65×65＝4225，75×75＝5625，85×85＝7225，95×95＝9025。上面这组计算经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位数字乘以十位上的数字加1得出。如:85×85＝7225中的72是由8×9得出的。又如65×65＝4225中的42是由6×7得出的。现在我们来研究大于100小于10000的完全平方数的开平方:

例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7的平方＝49＜57＜64＝8的平方。所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。又因为 5776＞5625＝75×75，且个位是6 ，而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的平方，所以5776的算术平方根的个位上的数字是6；所以5776的算术平方根是76。

例2:求6724的算术平方根解:①分节:67，24 ②观察67在那两个平方数之间64＜67＜81 ③取小定十位: 十位上的数字是8 ④与85的平方＝7225比较定个位: ∵ 6724＜7225且个位是4，而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方∴6724的算术平方根个位上的数字是2 所以6724的算术平方根是82 例3:求1369的算术平方根解:①分节:13，69 ②观察取小:∵9＜13＜16，∴3是十位上的数字