华南理工大学高等数学统考试卷下07期中卷答案

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华南理工大学高等数学统考试卷下07期中

2007-2008高等数学下册期中考试试卷姓名：班级：成绩单号：一、填空题（45⨯）1、[4分] 与直线112211-=+=+z y x 及112x y t z t =⎧⎪=+⎨⎪=+⎩都平行，且过原点的平面方程为。

2、[4分]设()()(),,sin ,arctan ,,z f u v u xy v y f u v ===可微，则,z z x y ∂∂∂∂各为。

3、[4分]设2x y u e =，则2u x y∂=∂∂ 。

4、[4分] 设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向。

5、[4分]曲面1xy yz zx ++=在点()3,1,2-处的切平面方程为，法线方程为。

二、（8分）设(,)f s t 具有连续的偏导数，且(,)0f s t ≠，方程(,)0y z f x x=确定了z 是,x y 的函数，试求z z x y x y∂∂+∂∂ 三、（8分）设arctan 1x y z xy-=+，求(dz 四、[8分] 求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、[8分]设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于点()1,2,5-，求,a b 之值。

六、 [8分] 计算二重积分{}max ,1Dxy dxdy ⎰⎰，其中:02,02D x y ≤≤≤≤七、[8分] 计算10010x dx +⎰⎰八、[8分] 计算()22I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω为平面曲线220y z x ⎧=⎨=⎩ 绕z 轴旋转一周的曲面与平面8z =所围的区域。

九、 [8分] 设由曲面22z x y =+与2z =所围成的立体中每点的密度与该点到xoy 平面距离成正比，试求该立体的质量M十、计算()222357x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中:0z Ω≤≤十一、 [8分]1=上求一点()0000,,M x y z ，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大十二、 [附加题5分] 计算积分C⎰，式中曲线C 是y =在02x a ≤≤上的一段弧。

2017级工科数分(下)期中考试卷(附解答)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2017—2018学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个大题，满分100分，考试时间90分钟。

10分，共60分）设函数f 有二阶连续偏导数,求函数22,x z f x y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.解:12212222211122223212,4112+24+210z f x f x yf f z x f x y y y y y f x xxyf f f y y y ∂''=⋅+⋅∂''∂∂∂-'=⋅+⋅∂∂∂∂'⎛⎫''''''=--- ⎪⎝⎭计算 2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰:()22421221322sin724210xy yx x dx dy dx dyyyx dy dx yπππππ+==+⎰⎰⎰⎰分分计算体密度为ρ=:z ∑=与1z =所围成立体的质量。

解：在球坐标下1z =即1cos 1,cos z r r ϕϕ===，z ∑=：cos sin r r ϕϕ==，进而tan 1,cos 04πϕϕϕ=≥⇒=。

z ∑=：1z =交线即221,1x y z +==得立体投影域22:1xy D x y +≤含原点。

从而立体1:02,0,04cos r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，2分用球坐标计算质量()1/cos 2/4201/cos /430sin 72sin 1106m d d r r drd r dr ϕππϕπθϕϕπϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算()221(1)Lx dy ydx x y ---+⎰，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点()1,0在L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。

华南理工大学高等数学统考试卷下03期中dx

2003-2004高等数学下册期中考试试卷（电材、新材）姓名：班级：成绩单号：一、单项选择题1、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件； (B) 必要条件而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件；2、[3分] 设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y∂∂-=∂∂ (D) y z y x z x ∂∂-=∂∂ 3、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为 (A) 2a π (B)22a π (C) 0 (D) 22a π-4、[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx (A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2； (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4； (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210(D) 05、[3分]设1,1,:3-===x y x y D 围成的有限区域，而1D 为D 的第一象限部分，则()⎰⎰=+-D x dxdy y e xy )(sin 2(A) ⎰⎰-12sin 2D x ydxdy e (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ()⎰⎰-+12sin 4D x dxdy y e xy (D) 06、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 二、填空题1、[3分]设)cos()2cos()1(),()cos(y x y x e y x f xy +--+=π，则=')4,(ππy f 。

华南理工大学高等数学统考试卷下

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《高等数学（下）》试卷A15分，每小题3分）若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（））(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（））0； (B) 1； (C)12； (D)不存在已知曲面()22:10z x yz ∑=--≥，则222dS ∑=（））2π； (B) π； (C) 1； (D)12π 已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（））L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内；L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交）、用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （） (A) 2ax ；（B ）2ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22()x ax bx c ++（本大题共15分，每小题3本分）. arctanxz y=，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L⎰的值等于３. 交换积分次序后，ln 1(,)e x dx f x y dy =⎰⎰４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域五、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧六、（本题7分）计算()()3133xy xy Lye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线七、（本题6分）设函数()22220,0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在，2、(),f x y 在点()0,0处不可微八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数()321111321nn x x x n +-++-++的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]-上()()321111321nn S x x x x n +=-++-++()()()21,00,arctan 1S x S S x x x '===+ 十二、（非化工类做，本题7分）设函数()f x 以2π为周期，它在[,]ππ-上的表达式为()1,00,0,,1,0x f x x x πππ<<⎧⎪=±⎨⎪--<<⎩求()f x 的Fourier 级数及其和函数在x π=-处的值解：()021120,sin n n n a b nxdx n πππ⎡⎤--⎣⎦===⎰ ()f x 的Fourier 级数为411sin sin 3sin 535x x x π⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦和函数在x π=-处的值为0十一、（化工类做，本题7分）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和212:123y z L x +--== 证明：12//L L ，并求由1L 和2L 所确定的平面方程十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，计算()()()1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰一1B 2D3B 4B5B二122ydx xdyx y-+21e - 310(,)ye e dyf x y dx ⎰4 5-512,021x y z --== 三解：2221458y y I dy xydx +-==⎰⎰四、解：11201,.22DI z dz or d zdz πππσ===⎰⎰⎰⎰五、解：32xyD I dv dxdy πΩ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰六、解：4(31)22aaDI dxdy x dx ab a π-=++=+⎰⎰⎰七、解：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x →-==,()()()00,0,00,0lim 0y y f y f f y→-==,0,00,0limx y f x y f x f y∆→∆→∆∆-∆-∆22200lim()x y x yx y ∆→∆→∆∆=∆+∆极限不存在故不可微八解：22212111222,2z z y x f f xf x yf f y y x x ∂∂'''''''=+=+-∂∂∂ 九、解：()()1x xx e p x e -=，求10xx e y y e-'+=得x x e y ce -+=从而通解为xx e x y ce e -+=+十解：设切点()000,,x y z ，切平面方程为0002221xx yy zz a b c++=，四面体体积为2220006a b c V x y z =令2222221x y z F xyz a b c λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭2200x y z x F yz a F F F λλ⎧=+=⎪⎨⎪===⎩()000,,x y z =⎝⎭ 十一、证：{}{}121,2,3,1,2,3s s =--=-，故12//L L由这两条直线所确定的平面方程为210x y +-=十二解：()()22,,xy y x x x ϕϕ'==()()()1,120,012xy dx y x dy ϕ+=⎰1.产品成本是指为制造一定数量、一定种类的产品而发生的以货币表现的（）。

07高数下(含答案)2022

2007（2）工科高数考试试卷一、填空题（每小题3分，共计15分）(,)(0,0)22211lim______.2sin ________.3ln()________.4''6'100________.5()2[,)10()0()x y xx y xyz z y x y x yx y dxdy y y y f x x f x xx f x πππππ→+≤=∂=++=∂∂+-+=---≤<⎧=⎨≤<⎩⎰⎰、、设则、二重积分的符号为、微分方程的通解为、设为周期为的周期函数，它在上的表达式为若的傅立叶级()(0)()________.2s x s s π+=数的和函数为，则二、选择题（每小题3分，共计15分）11011110011110001(,)()(,)()(,)()(,)()(,)x x x y y dx f x y dy A dy f x y dxB dy f x y dxC dy f x y dxD dy f x y dx-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、二次积分等于（）2221132222000212133202:1,0,()4sin cos ()sin ()sin cos ()sin cos x y z z I zdVA d d r drB d d r drC d d r drD d d r drππππππππθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθϕϕϕΩΩ++≤≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、设则三重积分等于（）1131131()(1)()(1)sin11()(1)()(1)(sin)6nnn n nnnn n n A B n n C D nπ∞∞==∞∞==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（）4(,)(,)()()()()()()()()LD D DDD L L P x y Q x y D Pdx Q dy PQ QP A dxdyB dxdyyx yx PQ QP C dxdy D dxdyxy xy+=∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 、设有界闭区域由分段光滑曲线所围成，取正向，函数，在上具有一阶连续偏导数，则（）12125()'()()0()''()'()0()''()'()()()''()'()0y y y y A y p x y q x B y p x y q x y C y p x y q x y f x D y p x y q x +++=++=++=++=、下列方程中，设，是它的解，可以推知也是它的解的方程是（）三、求解下列问题（每小题7分，共计49分）1322()().i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求2233352(,1,)24z x y =----、已知小山的高度为，那么在处登山，最陡的方向是多少？2114.yxdx edy -⎰⎰、计算二次积分22225(0)(0).x y z a a z h h a zdS ∑∑++=>=<<⎰⎰、设为球面被平面截得的顶部，计算211(2)6(1)21n nn x n +∞=--+∑、求级数的收敛域。

工科数学分析学期期中考试卷(附解答) (3)

3.
计算体密度为ρ=
:z ∑=与1z =所围成立体的质量。

4. 计算
()22
1(1)L
x dy ydx x y ---+⎰
，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：
（1）点
()1,0在
L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。

5. 设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的下侧，计算第二类曲面积分
2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑
=++-⎰⎰
6. 求球面2
2
2
4x y z ++=含在圆柱面2
2
2x y x +=内部的那部分面积。

三、证明题（每小题12分，共24分）
7. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
,22222
2y x y x y
x xy y x f
证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微
8. 给定曲面,0,,,x a y b F a b c z c z c --⎛⎫
=
⎪--⎝⎭
为常数，其中(),F u v 有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点
四、应用题（共16分）
9. 求椭球面
2
221
4
z
x y
++=在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截
距平方和最小。

没答案 2009-2010高数下期中考试答案 2

华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；2．本试卷满分100分，考试时间90分钟。

题号一二三四总分得分评卷人一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)1. 设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂２．设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且1ϕ'≠-.求dz ._____________ ________学号学院专业座位号( 密封线内不答题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………３．求函数(),arctan xf x y y=在点()0,1处的梯度.４．设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，求点P 的轨迹C 。

二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值６．设函数(),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。

确定的,a b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂7．已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。

三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分)８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()122,y dyf x y dx -⎰⎰.９．设函数f 连续，若()()2222,uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域D 为第一象限2221x y u ≤+≤与0arctany v x ≤≤的部分，求F u∂∂１０．计算二重积分()3Dx y d x d y +⎰⎰，其中D 由曲线21x y =+与直线20x y +=及20x y -=围成。

华南理工大学大二理学专业高等数学试卷合集及答案

高等数学〔下〕试题集t在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面},,1x y -应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，11,2x =-=，由于切点在曲面上()221121122z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ ()()21210,210y z x y z +--=---=473y z+==-和平面:4223x y z ∏--=则〔 B 〕、L 与∏平行，但L 不在∏内、L 不与∏垂直，L 不与∏平行 23z xy +=在点()1,2,0处的法线方程是直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和2112:123x y z L -+-==，12,L L 所确定的平面方程。

()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的{}21,2,3S =-，因为12//S S ，所以12//L L设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以2022000A B C D A D B C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩所求方程为210x y --+=二。

多元函数[](){}221.201042,116,18.z x y gradz ==+9点的梯度[]()()44222.2010(,)21,1,1,1.f x y x y x xy y =+-----的极值点是[]()()2010:(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.f x y f f x y=3. 证明处连续与存在但在处不可微()()()()()0:10(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim (0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim (,)0,0.x y x y x x y x y f f x y f x f f f xf f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→===∆-==∆⎡⎤∆-∆+∆解因为所以处连续.=0,同理所以与存在因为,所以在处不可微[]()2010,cos ,sin ,u x y x r y r u ux y r y xθθθ==∂∂-∂∂4. 设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.cos ,sin arctan ,sin cos cos ,sin ,,.yx r y r r xr r x y x r y r u u u x y y x θθθθθθθθθθ====∂∂∂∂===-=∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂解:由得到从而于是5.[2021]00009916x x y y xy →→→→-+==-6.[2021] ()()()23322222200110,1x x y y y xyu du dx dy dx xyxy====-==+=++处7.[2021] 设22,y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂。

华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.

华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。

. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。

椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。

确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。

华南理工大学高等数学统考试卷下04期中卷答案.

0 yx
πy
解答：改变积分顺序，
6
ππ
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6
6
dy
cos
xdx
=
6
dx
x
cos
xdy
=
6
cos
xdx
=
1
0 yx
0 0x
0
2
二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）
πx 6
1．函数 f (x, y) = 3 x 2 y 在点（0，0）处（ B ）
（A ）不连续；
（B）连续，但偏导数 f（x′ 0，0）和 f（y′ 0，0）不存在；
高等数学
2004~2005 学年第二学期期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
一．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
→→
→
→
→→
→→
1．已知向量 a 与 b 垂直，| a |= 3，| b |= 4 ，则|（3 a− b）×（a− 2 b）|=
解答：
⎜⎛
3
→
a−
→
b
⎟⎞
×
⎜⎛
→
a−
2
→
b
⎟⎞
=
�� − 6a × b − b × a
+
2cos β
，其中 cosα，cos β
为l
的方向余弦；
（D） f（x，y）在点（0，0）处沿 x 轴负方向的方向导数为 −1。
∫∫ 3．设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (x, y)dxdy ，其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1
D
所围成的区域，则 f (x, y) =（ C ）

高数下期中考(2007)A答案

解:
16．设，是由曲面与所围成的闭区域，在上连续．试分别将此三重积分表示成直角坐标、柱坐标和球坐标下的三次积分．
解:直角坐标系：
柱坐标系：
球坐标系：
8．若则（A）
（A）（B）
（C）（D）
9．设函数连续，区域，则等于（D）
（A）（B）
（C）（D）
10．设为连续函数，且，其中是由围成的区域，则等于（C）
（A）（B）（C）（D）
三．解答题：本大题共6小题,每小题10分共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．选择题：本大题共5小题,每小题4分,共20分．
6．直线与平面的位置关系是（C）
（A）直线在平面内；（B）平行但不在平面内；
（C）垂直；（D）相交但不垂直．
7．函数在点处连续是它在该点偏导数存在的（B）
(A)充分必要条件；(B)既非充分又非必要条件；
(C)必要而非充分条件；(D)充分而非必要条件．
11．求与两直线及都平行且过原点的平面方程．
解:平面方程为：
12．证明不存在．
解:由于与有关，所以原式极限不存在。
13．已知，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求．
解: ．
14．求抛物线和直线之间的最短距离．
解:
令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）+（2）得，。代入（3）得
所以最短距离：
15．求其中是由圆和所围成的平面区域．

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

华南理工大学《复变函数》试卷含答案

华南理工大学《复变函数》试卷含答案2007考卷(A 、B),考试范围是：第一章到第六章第一节,即$1.1-$6.1,有星号内.考试范围是：第一章到第五章,有星号内容不考.诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-A 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每空4分,共20分） 1. 设复数21=z , 则.___________=z2. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析,C 是D 内任意一条简单正向闭曲线,则积分()__________.Cf z dz =?3. 设C 为沿原点0=z 到点i z +=1地直线段, 则2______________.Czdz =?4. 幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 地收敛半径为__________.R =5．函数zz f 1cos1)(=在孤立奇点2211ππ+=z 处地留数Res 1[(),]_______.f z z =. 选择题（每题4分,共20分） 1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 地轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2．若曲线20082007:=Z C ,则积分34(1)(1)Cdz z z -+?地值是( )．(A) 2007 (B) 2008 (C) 0 (D) 13. 设),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,下列函数为D 内解析函数地是( )．(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ??-??4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心地圆环内地罗朗展开式有m 个, 那么)(=m ．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． (A) 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；(B) 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；(C) 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；(D) 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 求解方程083=+z . 四. (10分) 计算复数 Ln (34)i -+．五.(10分) 计算积分221(1)(4)Cdz z z ++?, 3:2C z =,C 为正向曲线．六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<="">七. (10分) 计算积分+πθθ20cos 35d ．八. (5分) 计算2()1ze f z z =-在∞处地留数．. (5分) 计算积分152243 (1)(2)Cz dz z z ++?,:3C z =,C 为正向曲线． ,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-B 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每小题4分,共20分）设z=(1+i)100,则Imz= . 设C 为正向圆周|ξ|=2,f(z)=sinπζζζ3-?zd C,其中|z|<2,则'=f ()1 . 罗朗级数∑∑∞=∞=--+-10)21()1()2(1n n n nnz z 地收敛圆环为__________, 和函数为__________．积分||71______________1cos z zdz z =+=-?． . 函数)(z f w =在区域D 内解析,D z ∈0且0)(0≠'z f ,则)(z f w =在0z 具有两个性质______________,______________,此时称)(z f w =在0z 是保形地.二. 单项选择题（每小题4分,共20分）1. 方程2Re 1z =所表示地平面曲线为（）．A. 圆B. 直线C. 椭圆D. 双曲线2. 若函数()f z 在正向简单闭曲线C 所包围地区域D 内解析,在C 上连续,且z a =为D 内任一点,n 为正整数,则积分1()()n C f z dz z a +-?等于（）． A.(1)2()(1)!n if a n π++B.2()!if a n π C. ()2()n ifa πD.()2()!n i f a n π3. 1-=z 是函数4cot (1)zz π+地（）．A. 3阶极点B. 4阶极点C. 5阶极点D. 6阶极点4. 设()Q z 在点z=0处解析,)1()()(-=z z z Q z f ,则Res [(),0]f z 等于（）．A. (0)QB. (0)Q -C. (0)Q 'D. (0)Q '-5. 设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． A. 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；B. 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；C. 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；D. 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 将zzz f sin )(=在圆环∞<<||0:z D 内展开成罗朗级数．四. (10分) 计算留数Res 6,0shz z ??地值．五.（10分）设()cos f z z z =,计算积分()if z dz ?．六. (10分) 计算积分34(1)(1)Cdzz z -+?,其中C ：|1|1z -=地正向．七. (10分) 在指定区域,把函数()f z 展开为洛朗级数．ln ()(1)zf z z =-,0|1|1z <-< 八. （5分）设1()sinf z z i=-, （1）求)(z f 在0||z i <-<+∞地洛朗级数；（2）在扩充复平面求)(z f 所有孤立奇点处地留数．九. （5分）设33(1)(3)()(sin )z z f z z π+-=, （1）求()f z 地所有孤立奇点并判断其类型；（2）求Res [](),3f z ． A 卷参考答案：一．（20分）（1）1 （2）0 （3）2 （4）2（5）2214125(2)2πππ=+ 二．（10分）（1）B （2）C （3）B （4）C （5）B 三（10分）解：因为388(cos sin ),z i ππ=-=+所以, 222(cossin),0,1,2.33k k z i k ππ++=+=（6分）即方程有三个解：11z=,22z =-,31z =-（10分）四．（10分）解：根据对函数地定义有(34)ln 34(34)Ln i i iArg i -+=-++-+ （6分）4ln 5(arctan 2)3i k ππ=+-+0,1, 2...k =±± （10分）五．（10分）解：令221()(1)(4)f z z z =++ ,则()f z 在Ｃ内有两个一阶极点,i i -,由留数定理得()2(Re [(),]Re [(),])cf z dz i s f z i s f z i π==-?（6分）2(()()()())lim lim z iz ii z i f z z i f z π→→-=-++＝０（10分）六．（10分）解：七.（10分）解：令1211,,cos 0.5(),21053cos [5 1.5()]231032(31)(3)i i i i z z z z e dz e id e e d dz iz z zidz z z idzz z θθθθθθπθθ-======+=+++-=++-++?则从而有在1z =内被积函数只有一个奇点13-,且为一阶级点,所以 23232221ln(2)ln[1(1)][(1)0.5(1)(1)...]3111(1)(1)(1)...1(1)(2)ln(2)1.(1)11[10.5(1)(1)...][1(1)(1)...]3510.5(1)(1)...6z z z z z z z z z z ln z z z z z zz z z z z z -=--=--+-+-+==--+---++---=--=-+-+-+--+--=-+---+所以132212Re [,]053cos (31)(3)3223(3)2z d i i s z z ii z πθπθππ=--=-+++-=+=八．（10）分解：()f z 在复平面内有两个奇点1,-1,根据留数定理有11Re [(),](Re [(),1]Re [(),1]22122z z z z s f z s f z s f z e e z z e e ==-∞=-+-=--=-+九．（10分）解：设152243()(1)(2)z f z z z =++,则()f z 得所有有限奇点均在3z =内部,由留数定理得： 1()2Re [(),]2Re [(),]nkk f z i s f z z i s f z ππ===-∞∑?另一方面：2152232422430224311Re [(),]Re [(),0]21()1Re [.,0]11(1)(2)1Re [,0](1)(12)1(1)(12)1z s f z s f z z s z z z s z z z z z =-∞==++=++=++= 所以所求积分为：2i πB卷答案：。

(完整版)华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a =5-． 2．设1()e d x yxf x y =⎰，则1()f x dx =⎰12e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分567d d d d d d sx y z y z x z x y ++=⎰⎰Ò 3 ． 4．设幂级数nnn a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为()2,4-．5．微分方程2434exy y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．二、选择题1．函数22222222sin 2(),0,(,)0,2,x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ D ）．（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则zx∂=∂（ B ）．（A ）sec(1)tan(1)xy xy --；（B ）sec(1)tan(1)y xy xy --；（C ）2tan (1)y xy -；（D ）2tan (1)y xy --．3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．（A）02d Rx y ⎰；（B）08d Rx y ⎰；（C）d RRx y -⎰；（D）4d R Rx y -⎰．4．若0n a ≥，1nn kk S a==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．（A ）充分必要条件；（B ）充分条件，但非必要条件；（C ）必要条件，但非充分条件；（D ）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d yx x=的（ C ）．（A ）通解；（B ）特解；（C ）是解，但既非通解也非特解；（D ）不是解．三、求曲面e e4x y zz+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．解：{}{}022M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2xy x y z z z zx y n z z z z ⎧⎫=--=--⎨⎬⎩⎭r 切平面为()ln 2ln 22ln 212ln 20x y z x y z -+---=+-= 法线为1ln 2ln 22ln 2z x y --=-=-四、求通过直线 0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:L x y z ==．解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++= 即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-r第一个平面平行于直线1:L x y z ==，即有{}{}111,1,11,1,1210,2n s λλλλ⋅=+-⋅=+==-r r从而第一个平面为{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ⎛⎫⎛⎫--++-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r 第二个平面要与第一个平面垂直，也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ⋅=-⋅+-=+-++=-+==r r从而第二个平面为4220x y z ++-=五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240x y -+=相切．解：直线2240x y -+=为2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==，特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--===方程通解为312xx y c ec e =+，由定解的初值条件122c c +=3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=从而1215,22c c =-=，特解为31522x x y e e =-+ 六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂ 试求出函数()f u ．解：因为()()()()222sin ,sin sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )xx x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂ ()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,uur r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑++⎰⎰Ò，其中∑是球体2222x y z z ++≤与锥体z ≥Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为222222122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ⎧++=⎧+=⎪⇒===⇒⎨⎨==⎩⎪⎩原式()222xy z dv Ω=++⎰⎰⎰，投影域为22:1D x y +≤，用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式)()2111122222rrd rdr rz dz r r z zπθπ=+=+⎰⎰⎰()(12220211r r r r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰()()()113134220013122t t dt r r r dr ππ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()11532452200221113125345t t r r r ππ⎡⎤⎛⎫=--⋅-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21181127022154551010πππππ⎡⎤⎛⎫=--+--=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭另解：用球坐标:02,0,02cos 4πθπϕρϕΩ≤≤≤≤≤≤原式()2cos 24222000sin 2cos sin d d d πϕπθϕρϕρϕρϕρ=+⎰⎰⎰()2cos 443302sin 2cos sin d d πϕπϕρϕρϕϕρ=+⎰⎰()545735022cos cos 2cos cos 5d ππϕϕϕϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰1684579494216555658t t t t dt ππ⎛⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎭⎝6831161010t t π⎛=- ⎝2710π=八、试将函数2()e d xt f x t -=⎰展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．解：()220n=01()e d d n!n xxt n f x t t t ∞-⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭∑⎰⎰()()()21n=01,,!21nn x x n n ∞+-=∈-∞+∞+∑九、判断级数)0,0(1>>∑∞=βαβαn nn 的敛散性．解：()11lim lim 1n n n n n nu n u n ααβρββ++→∞→∞==⋅=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散；当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y Lx x x y ++-⎰，其中L 为22(2)4x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界则原式11222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-⎰⎰()44200101122D dxdy x dx x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、求曲面S ：222124x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．解：问题即求d =在约束222124x z y ++=下的最小值可先求()()22,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222124x z y ++=下的最小值点取()()2222,,225124x z L x y z x y z y λ⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=()22222250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=0λ≠时212,41,,12x y z y y x z ====±==±，211521151111,,13,1,,123233d d +++---+⎛⎫⎛⎫==---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。

华南理工大学高等数学96届统考卷下

华南理工大学高等数学96届统考卷下
1996等数学下册统考试卷及解答一、据题目要求解答下列各题（共13）
1、设在上连续，试将化为二次积分。

解：，原式2、在面中求向量，使它垂直于向量且与向量有相同的模。

解：由已知可设，则解得，故二、计算下列各题（本大题分2小题，共13分）
1．将展成以为周期的傅立叶级数。

解：为奇函数，而2．计算，其中是由柱面及平面围成的区域。

解：原式3．设，求.解：或先求两个偏导数再写出来三、（本大题7分）求在极坐标下，曲线一周的长度。

解：
四、（本大题6分）研究级数的敛散性。

解：当时，所以原级数收敛当时，一般项不趋向0，所以原级数发散五、（本大题7分）试确定可导函数，使方程成立。

解：当，方程两边求导，（也可用分离变量法求，试试！）
由初值条件六、（本大题6分）设，求函数对变量的全微分.。

解：
，从而七、（本大题8分）计算解：
在极坐标下即为八、（本大题9分）求微分方程满足的特解。

解：对应的特征方程，令，则代入原方程得比较系数得：，所以由初值条件从而九、（本大题10分）计算，是球面满足那部分的上侧。

解：求出交线知道，补曲面取下侧可封闭之（再右对称性）
（或直接转化为重积分计算也可以，）
十、（本大题10分）在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解：设为所求的点，则在条件下最小令则，得点十一、（本大题8分）判定级数的敛散性解：所以正项级数的收敛。

华南理工大学大二理学专业高等数学试卷及答案 (2)

华南理工大学2021~2021学年第二学期高数期末考试题一. 填空题 (每题4分,共20分)(){}221.42,16,181.z x y gradz ==+9点的梯度()()44221,1,1,12.(,)2.f x y x y x xy y =+-----的极值点是22223..LL x y a a π+==⎰假设为圆周的右半部分,则()()221,0,14.sin 20.x A e yi xy z j xzy k divA+=设=++,则()()()22123222125.3,3,3222266,.3xxy y x y x e x x y x y x y x y C x C e ==+=++'''---+-=-=++设都是方程的解则该方程的通解为二. (此题8分)计算三重积分()222222,1.x y z dv x y z Ω++Ω++=⎰⎰⎰其中是由所围成的闭球体21220sin 45d d r r drππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰原式三. (此题8分)()():(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.x y f x y f f =证明处连续与存在但在处不可微()()()()()00001lim0(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim (0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim (,)0,0.x y x x y x y x y x y f f x y f x f f xf f f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→===∆-=∆=⎡⎤∆-∆+∆因为所以处连续.=0,同理所以与存在因为,所以在处不可微四. (此题8分)(),cos ,sin ,u x y x r y r u ux y r y xθθθ==∂∂-∂∂设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.cos ,sin arctan ,sin cos cos ,sin ,,.x r y r yr xr r x y x r y ru u u x y y x θθθθθθθθθθ====∂∂∂∂===-=∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂由得到从而于是五. (此题8分)计算()()()()()()2222,:111121L xdy ydxL x y x y x y -+-+-=+=⎰其中为圆周按反时针方向闭曲线按反时针方向()()()()()()()()222222222221111,0,0,21:,,2L L l x y Q P x y x y xdy ydx x y x y l x y xdy ydx xdy ydxx y x yεεεπ--+-=∂∂≠∂∂-=++=+=--==++⎰⎰⎰圆周按反时针方向由于=,,利用格林公式闭曲线按反时针方向作小圆取顺时针方向则在复连通区域上用格林公式有六. (此题8分)计算224.ydS x y z x y ∑∑++=+⎰⎰,是平面被圆柱面=1截出的有限部分22:4,:0()Dz x y dS xoy x y ydS ∑∑=--=∑+≤==⎰⎰⎰⎰在面的投影区域为D 1则对称性七. (此题8分) 计算曲面积分2,.I yzdzdx dxdy z ∑=+∑=⎰⎰其中为上半球面{}()()2222:,,,,cos ,cos :422212Dz n x y z y dzdx dxdy dxdy z xoy D x y I yzdzdx dxdy y dxdyy dxdy αγπ∑∑∑====∑+≤=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰取上侧即法向量利用对坐标的转换在面的投影区域为则八. (此题6分)sin .dy y xdx x x +=求微分方程的通解cos .C xy x-=通解为:九. (此题6分)22.x y y y e '''+-=求微分方程的通解1212x x x y C eC e e -=++通解为:十. (非化工类做)(此题6分)()12111.4n n nn xn -∞-=-⋅∑求幂级数的收敛域[]2,2-收敛域为十一. (非化工类做)(此题7分)2(),2.xf x x x=+-将函数展开成麦克劳林级数并确定其成立区间()()120111,1,1232n n n n x x x x x ∞-=⎡⎤=-+∈-⎢⎥+-⎣⎦∑ 十二. (非化工类做)(此题7分)[)()2,1,0,(),1,0,.f x x f x x πππππ--≤<⎧-=⎨≤<⎩设函数是以为周期的周期函数它在上的表达式为将其展开成傅立叶级数并确定其成立范围()141()sin 21,0,,2,3210,,2,3,()n f x n x x n x f x πππππππ∞==-≠±±±-=±±±∑时的傅立叶级数收敛于0.十.(化工类做) (此题6分)求微分方程()()222336640.xxy dx x y y dy ++=+的通解32243x x y y C ++=通解为:十一. (化工类做) (此题7分)计算2,.Lxds L y x y x ==⎰其中为直线及抛物线所围成区域的整个边界()1111122Lxds x ==-+⎰⎰⎰+十二. (化工类做) (此题7分)22.1y y y'''+-求微分方程=0的通解 1211y C x C =-+通解为。

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2007-2008高等数学下册期中考试试卷
姓名：班级：成绩单号：
一、填空题（45⨯）
1、[4分] 与直线112211-=
+=+z y x 及1
12x y t z t
=⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
都平行，且过原点的平面方程为 0
x y z -+=
2、[4分]设()()(),,sin ,arctan ,,z f u v u xy v y f u v ===可微，则
,
z z
x y
∂∂∂∂各为2112
cos ,cos 1f yf xy xf xy y
+
+
3、[4分]设2
x y
u e
=，则
2
u x y
∂=∂∂()2
2
21x y
x x y e
+
4、[4分] 设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向{}3,1,2
5、[4分]曲面1xy yz zx ++=在点()3,1,2-处的切平面方程为5220x y z ++-=，法线方程为
3121
5
2
x y z -+-==
二、（8分）设arctan
1x y z xy
-=+
，求(dz
解：()()2
2
2222
111y dx x dy
dz x y x y
+-+=
+++
，(24
dx dy
dz -=
三、（8分）设(,)f s t 具有连续的偏导数，且(,)0f s t ≠，方程(,)0y z
f x x
=确定
了z 是,x y 的函数，试求z z x
y
x
y
∂∂+∂∂
解：1
2
2
2
0xdy ydx
xdz zdx
f f x
x
--+=，解出()1212
yf zf dx xf dy dz xf +-=
从而z z x
y
z x
y
∂∂+=∂∂
四、[8分] 求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度及沿梯度方向上函
数的方向导数
解：{}{}0
2,2,23,2,2,1M gradu x y z gradu =-=-，则沿梯度方向上函数的方向导
数为{}0
2,2,13M gradu
=
-=
五、[8分]设直线
0:30
x y b L x ay z ++=⎧⎨
+--=⎩在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相
切于点()1,2,5-，求,a b 之值。

解：由曲面得切平面法向量{}()
{}1,2,52,2,12,4,1x y --=--
从而有切平面方程为2450x y z ---=
由直线0
:30x y b L x ay z ++=⎧⎨
+--=⎩得：3
,(1)31
1y x b x b z b y a y z b a =--⎧+++==⎨
-=++--⎩
从而2410,5s n a a ⋅=--+-==-
；()()240350,2b b b --⋅----==- 六、 [8分] 计算二重积分{}m ax ,1D
xy dxdy ⎰⎰，其中:02,02D x y ≤≤≤≤
解：用1xy =将区域划分为两个
{}1
2
2
m ax ,111(1)D
D D D
D xy dxdy dxdy xydxdy dxdy xy dxdy =+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()2
22
1
1
2
34(1)414
ln 24
D x
xy dxdy dx
xy dy
=+
-=+
-=+⎰⎰⎰
⎰
七、[8分]
计算10
1
x
dx +⎰⎰
解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易
原式4
cos 2
D
d r r rdr π
θ
θ=
=
⋅⋅=
⎰⎰
⎰
⎰
八、[8分] 计算()22I x y dv Ω
=+⎰⎰⎰，其中Ω为平面曲线220y z
x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周
的曲面与平面8z =所围的区域。

解：由交线2228
x y z
z ⎧+=⎨=⎩知在xoy 面上的投影域为22:16D x y +≤
用柱坐标计算2
24
8
2
2
10243
r
I d r rdr
dz π
θπ=
=
⎰
⎰⎰
九、 [8分] 设由曲面22z x y =+
与2z =-该点到xoy 平面距离成正比，试求该立体的质量M
解：由交线22
2z x y z ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩xoy 面上的投影域为22
:1D x y +≤ 用柱坐标计算2
2120
34
r
r
I zdv d rdr
zdz πμμθμπ-Ω
=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
十、计算()222357x y z dxdydz Ω
++⎰⎰⎰
，其中:0z Ω≤≤
解：令22221:x y z R Ω++≤，由对称性
原式=
()()1
1
2
22
2
22
1
13573572
23
x y z
dxdydz x
y z
dxdydz ΩΩ++++=
⋅++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
22
2
5
5sin 22
R
d d r r dr R ππθϕϕπ=
=⎰
⎰⎰
十一、 [8分]
在曲线1+
=上求一点()0000,,M x y z ，
使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大解：令
1,//,1
F n ⎧⎫⎧⎫===
1x y z +
+
=
，四面体的体积为V =
问题等价为(),,f x y z xyz =
10=条件下的最大值
令(
)),,1
L x y z xyz λ=+
则由0,0,0x y z L yz L xz L xy =+
==+
==+
=推出，x y z ==
1+
=知19
x y z ===
由问题的实际意义与驻点的惟一性知，111,,999⎛⎫
⎪⎝⎭
就是我们要求的点。

十二、 [附加题5分]
计算积分C
⎰，式中曲线C
是y =在
02x a
≤≤上的一段弧。

解：曲线C 可以表示为()[]1cos ,sin ,0,x a t y a t t π=+=∈
22
00
2cos4
2
C
t
a dt a
ππ
===
⎰⎰⎰
十三、[附加题5分] 计算积分1dS
z
∑
⎰⎰，其中∑是球面22
22
x y z R
++=被锥面
222
x y z z
⎛
+=>
⎝
所截的部分
解：由交线
2222
222
x y z R
z x y
⎧++=
⎪
⎨
=+
⎪⎩
知曲面在xoy面上的投影域为
2
22
:
2
R
D
x y
+≤
x y
z z z dS
====
2
22
00
1
ln2
D
R
dS d rdr R
z R r
π
θπ
∑
===
-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
十四、[附加题10分] 计算积分()
32
x y z dS
∑
++
⎰⎰，其中∑是抛物面22
2z x y
=+被平面2
z=所截下的有限部分
解：由交线
22
2
2
z x y
z
⎧=+
⎨
=
⎩
知曲面在xoy
面上的投影域为22
:4
D
x y
+≤
22
,,,
2x y
x y
z z x z y dS
+
=====
由对称性知()()()
32222
1
2
x y z dS y z dS x y z dS
∑∑∑
⎛⎫
++=+=++
⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
()(
)22
22222
00
4
315 D
x y dS x y d r
π
θπ∑
⎫=+=+==+⎪
⎪
⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。