[精品]2014-2015年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷及解析答案word版
2014-2015下学期期末考试高一数学(A卷)试题与答案
答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。
………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。
………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分 由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分 解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。
浙江省杭州二中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含答案
杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1(B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1-2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于(A) 1 (B)31 (C) 91 (D) 1813.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则(A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 4．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ）(A) ,24ππωϕ==(B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ== (D) 5,44ππωϕ==5.四边形ABCD 中,3,2,90===∠=∠︒AD AB ADC ABC ,则=⋅ (A) 5 (B) 5- (C) 1(D) 1-6．已知函数x a x y cos sin +=的图象关于直线x =35π对称,则函数x x a y cos sin +=的图象关于直线 （A ） x =3π对称 （B ）x =32π对称 （C ）x =611π对称 （D ）x =π对称 7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的范围是(A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9.已知:),3(),2,1(m =-=,若⊥，则=m ;若//,则=m 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________11若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为12.)310(tan 40sin -︒︒=__________ 13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________ 14.已知:αππ∈⎛⎝⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______15.已知:,,都为单位．．向量,其中,的夹角为32π,则+的范围是__________三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域. 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(Ⅱ)若2=a ,求⋅的取值范围; (Ⅲ)若2=b ,求⋅的取值范围.杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学答卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．9． __________ 10． 11．12． 13． 14． 15 ． 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+;(Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围.2014学年第二学期杭州二中高一数学期中答案二、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．10． 2___6-__ 10． 2- 11． 212． 1- 1314． 65-15 ． ]2,26[三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝)62sin(π+x ...................3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．...............6分(II)由)3,4(ππ-∈x ,得)65,3(62πππ-∈+x , 故)(x f =)62sin(π+x 的值域为]1,23(-.........................10分 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．解:(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=，cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ． 整理得：tan C．所以sin C ＝630．................................5分 (Ⅱ)由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1) 对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b舍去)． ∴∆ABC 的面积为：S．......................................10分 18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.解:(Ⅰ)由:αβααβαβsin )cos(3])sin[(sin +=-+=展开 得到:αβααβαsin )cos(4cos )sin(+=+所以:αβαtan 4)tan(=+................................................4分(Ⅱ)由:αβαβαβαtan 4tan tan 1tan tan )tan(=-+=+ 化简得:43tan 1tan 431tan 4tan 3tan 2≤+=+=ααααβ 所以:βtan 的最大值为43,当且仅当21tan =α时取到.............................................8分19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围. 解:(Ⅰ)因为:32)3045tan(75tan +=+=︒︒︒所以:bc a c b ︒=-+75tan )(22展开后得:bc c b a 3222-+= 故A cos =23,即6π=A .............................4分 (II)由6,2π==A a ,得ABC ∆外接圆直径42=R ,且点A 在优弧上任意运动.由图:BC AD ⊥于点D ,设有向线段BD 长为x ,则⋅=x 2 由图可知:]3,1[-∈x ,故]6,2[-∈⋅....................................................8分(III)设线段AC 中点为D,由图可知),21[+∞∈BD 由极化恒等式:⋅=]4[41])()[(412222-=--+=12-BD 所以:),43[+∞-∈⋅BC BA.........................................12分。
浙江省杭州市西湖中学2014-2015学年高一数学下学期4月月考试卷 文及参考答案
2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0)2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝18.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣810.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.511.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.213.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.1615.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝122.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形, AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0) 【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长,然后求解焦距即可.【解答】解：由题意得,a2＝16,b2＝9,∴c2＝a2﹣b2＝16﹣9＝7,∴c＝,∴椭圆的焦点为(,0)和(﹣,0).故选：B.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x【考点】抛物线的定义.【专题】计算题.【分析】由题意得,点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线,方程为 y2＝2Px,＝4.【解答】解：∵动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,∴点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线.∴＝4,∴P＝8,故抛物线方程为y2＝16x,故选 D.【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程,抛物线的定义和性质的应用.3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)【考点】曲线与方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】将选项代入验证,即可得出结论.【解答】解：将选项代入验证,可得(0,1)满足x2＋2x＋y﹣1＝0,故选：A.【点评】本题考查曲线与方程,考查学生的计算能力,比较基础.4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充要条件.【专题】计算题.【分析】化简不等式,判断出两个命题对应的两个集合的包含关系;得到前者是后者的什么条件.【解答】解：|x|＞0⇔x＞0或x＜0∵{x|x＞0}⊊{x|x＞0或x＜0}∴“x＞0”是“|x|＞0”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查解决充要条件问题常先化简各个命题、考查将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题.5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线的a,b,再由渐近线方程,即可得到.【解答】解：双曲线的a＝3,b＝2,则双曲线的渐近线方程为：y＝x,即为y＝x.故选B.【点评】本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b【考点】四种命题间的逆否关系.【专题】阅读型.【分析】把所给的命题看做一个原命题,写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,得到结果.【解答】解：把“若a＞b,则a＋c＞b＋c”看做原命题,它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,∴它的逆否命题是：“若a＋c≤b＋c,则a≤b”,故选D.【点评】本题考查求一个命题的逆否命题,实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定的,所有的命题都可以看做原命题,写出它的其他三个命题.属基础题.7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),根据椭圆的定义得2a＝12,算出a＝6.再由离心率的公式建立关于a、b的等式,化简为关于b的方程解出b2＝9,即可得出椭圆G的方程.【解答】解：设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,∴根据椭圆的定义得2a＝12,可得a＝6.又∵椭圆的离心率为,∴e＝＝,即＝,解之得b2＝9,由此可得椭圆G的方程为＝1.故选：C【点评】本题给出椭圆G满足的条件,求椭圆G的标准方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识,属于基础题.8.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】求出F1F2的长度,由椭圆的定义可得AF2＝6﹣AF1,由余弦定理求得AF1＝,从而求得三角形AF1F2的面积.【解答】解：由题意可得 a＝3,b＝,c＝,故,AF 1＋AF2＝6,AF2＝6﹣AF1, ∵AF22＝AF12＋F1F22﹣2AF1•F1F2cos45°＝AF12﹣4AF1＋8,∴(6﹣AF1)2＝AF12﹣4AF1＋8,AF1＝,故三角形AF1F2的面积S＝×××＝.【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,简单性质,以及余弦定理的应用,求出 AF1的值,是解题的关键.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣8【考点】抛物线的定义.【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2＝my的形式,再根据其准线方程为y＝﹣即可求之.【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y,则其准线方程为y＝﹣＝2,所以a＝﹣.故选B.【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式.10.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.5【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理求出m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,由离心率公式计算即可得到.【解答】解：设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣(m﹣d)＝2a,m＋d＝2c,(m﹣d)2＋m2＝(m＋d)2,解得m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,故离心率e＝＝5.故选D.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.11.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】把2x2＝x1＋x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.【解答】解：∵2x2＝x1＋x3,∴,∴由抛物线定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|故选C.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.2【考点】直线的倾斜角;抛物线的简单性质.【专题】计算题;综合题;压轴题.【分析】设出A、B坐标,利用焦半径公式求出|AB|,结合,求出A、B的坐标,然后求其比值.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),,,又,可得,则,故选C.【点评】本题考查直线的倾斜角,抛物线的简单性质,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题.13.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】利用抛物线的定义,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可.【解答】解：根据题意,作图如下,设点P在其准线x＝﹣上的射影为M,有抛物线的定义得：|PF|＝|PM|,∴欲使|PA|＋|PF|取得最小值,就是使|PA|＋|PM|最小,∵|PA|＋|PM|≥|AM|(当且仅当M,P,A三点共线时取“＝”),∴|PA|＋|PF|取得最小值时(M,P,A三点共线时)点P的纵坐标y0＝2,设其横坐标为x0,∵P(x0,2)为抛物线y2＝2x上的点,∴x0＝2,∴点P的坐标为P(2,2).故选C.【点评】本题考查抛物线的简单性质,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键,考查转化思想的灵活应用,属于中档题.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.16【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直线过定点,由椭圆定义可得 AN＋AM＝2a＝4,BM ＋BN＝2a＝4,由△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM),求出结果.【解答】解：直线过定点,由题设知M、N是椭圆的焦点,由椭圆定义知：AN＋AM＝2a＝4,BM＋BN＝2a＝4.△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋BN)＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM)＝8,故选：B.【点评】本题考查椭圆的定义,直线经过定点问题,直线和圆锥曲线的关系,利用椭圆的定义是解题的关键,属于中档题.15.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1,若l 与双曲线M的两条渐近线,分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2＋2x﹣1＝0,然后由根与系数的关系求出x1和x2的值,进而求出双曲线M的离心率.【解答】解：过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2﹣2x﹣1＝0,∴,∴x1＋x2＝﹣2x1x2,又|AB|＝|BC|,则B为AC中点,2x1＝﹣1＋x2,代入解得,∴b2＝9,双曲线M的离心率e＝,故选A.【点评】本题考题双曲线性质的综合运用,解题过程中要注意根与系数的关系的运用.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是(0,1) .【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】抛物线方程即 x2＝4y,从而可得 p＝2,＝1,由此求得抛物线焦点坐标.【解答】解：抛物线即 x2＝4y,∴p＝2,＝1,故焦点坐标是(0,1),故答案为 (0,1).【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为12 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).由于短轴长为2,离心率e＝.可得b＝,,a2＝b2＋c2.利用椭圆的定义即可得出.【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).∵短轴长为2,离心率e＝.∴b＝,,a2＝b2＋c2.解得a＝3.∴△ABF2周长＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a＝12.故答案为：12.【点评】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质,属于基础题.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0) .【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;轨迹方程.【专题】平面向量及应用.【分析】利用⇔＝0即可得出.【解答】解：∵＝,,,∴＝＝0,化为y2＝8x.因此动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0).故答案为：y2＝8x(x≠0).【点评】熟练掌握⇔＝0是解题的关键.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是x＋2y﹣8＝0 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题.【分析】若设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;作差①﹣②,并由中点坐标公式,可得直线斜率k,从而求出弦所在的直线方程.【解答】解：设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程,得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;①﹣②得9(x1＋x2)(x1﹣x2)＋36(y1＋y2)(y1﹣y2)＝0;由中点坐标＝4,＝2,代入上式,得36(x1﹣x2)＋72(y1﹣y2)＝0,∴直线斜率为k＝＝﹣,所求弦的直线方程为：y﹣2＝﹣(x﹣4),即x＋2y﹣8＝0.故答案为：x＋2y﹣8＝0.【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式,通过作差的方法,求得直线斜率k的应用模型,属于基础题目.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值.【解答】解：∵椭圆＋＝1,∴a＝3,b＝2,c＝.当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,∴sin(∠F1PF2)＝,∴os∠F1PF2的最小值＝1﹣2sin2(∠F1PF2)＝.故答案为：.【点评】正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值是解题的关键.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝1【考点】双曲线的标准方程.【专题】计算题.【分析】根据题意,设E、F的坐标为E(﹣c,0),F(c,0),又由•＝0,结合数量积的坐标运算,可得c的值,进而由P坐标与双曲线的定义2a＝||PE|﹣|PF||,可得a的值,根据则b ＝,可得b的值,将a、b的值代入可得双曲线的方程.【解答】解：设E(﹣c,0),F(c,0),于是有＝(3＋c,﹣4)•(3﹣c,﹣4)＝9﹣c2＋16＝0.于是c2＝25,则E(﹣5,0),F(5,0),由双曲线的定义,可得2a＝||PE|﹣|PF||＝6,则a＝3;则b＝＝4;故双曲线方程为﹣＝1;故选C.【点评】本题考查双曲线的标准方程,解题时结合双曲线的定义,并注意区分双曲线与椭圆定义的区别.22.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】要求椭圆的离心率,即要求a,c的关系,首先由定义和余弦定理得到一个关系,再由中线长公式得到一个关系,联立可得.【解答】解：设|PF1|＝x,|PF2|＝y,则x＋y＝2a;①由余弦定理cos∠F1PF2＝＝,∴x2＋y2﹣xy＝4c2;②∵中线长公式OP2＝(PF12＋PF22＋2)∴＝(x2＋y2＋2xycos∠F1PF2),∴x2＋y2＝3a2﹣xy;③∴①②③联立代换掉x,y得：a2＝4c2;∴e＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查椭圆的定义,余弦定理及中线长公式,考查学生的计算能力,属于中档题.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题;压轴题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b＝t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1＋y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解：A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1＝﹣3y2,∵,设,b＝t,∴x2＋4y2﹣4t2＝0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得, ∴,,解得,故选B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系;复合命题的真假;双曲线的标准方程.【专题】综合题.【分析】分别求出p,q为真时,k的取值范围,再利用p∧q为真命题,即可求k的取值范围.【解答】解：p：方程表示双曲线,则(k﹣4)(k﹣6)＜0,∴4＜k＜6,(2分) q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,则,∴k＞5. (4分)又p∧q为真命题,则5＜k＜6,所以k的取值范围是(5,6). (6分)【点评】本题考查复合命题的真假研究,解题的关键是求出p,q为真时,k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质.【专题】综合题;空间位置关系与距离;空间角.【分析】(1)利用平面ADP⊥平面ABCD,证明BD⊥平面ADP,即可证明PA⊥BD;(2)证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角,再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【解答】(1)证明：由已知条件易得：,则BD⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD＝AD,BD⊂平面ABCD,故BD⊥平面ADP,又AP⊂平面ADP,从而有AP⊥BD…(6分)(2)解：如图,取AD中点O,连接PO,OB,并取OB中点H,连接AH,EH,∵PA＝PD,∴PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD,又EH∥PO,∴EH⊥平面ABCD则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角由(1)AP⊥BD,又AP⊥PD,PD∩BD＝D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB,∴∴∴,直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为.…(14分)【点评】本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值,考查平面与平面垂直的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,由此能求出动点C的轨迹方程.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),由此能求出•的最小值.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,所以PQ＝,同理可得：RT＝,由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32.【解答】解：(1)∵定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),∴＝()•(x2＋,y2＋1)＝＝＝﹣＝,∵,当且仅法k2＝1取等号.∴•≥8＋8＝16.∴•的最小值是16.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,∴PQ＝,设,代入x2＝4y,同理可得：RT＝,∴S PRQT＝＝8()≥32.当且仅当k2＝1时取等号,∴四边形PRQT的面积存在最小值32.【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查向量的数量积的最小值的求法,考查四边形面积是否有最小值的判断与求法,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.。
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。
新编浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
2015年下学期高一期末考试数学(A)试卷及答案
平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．
20、 （本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1),B(5,2). (1)求函数 f(x)的解析式及定义域. (2)求 f(14)÷f 的值.
解：因为函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1),B(5,2), 所以 即
3x y 1 0 x y 3 0
得
x 1 ，所以交点 P(1,2) y 2
1 3
（2） l1 的斜率为 3，故所求直线为 y 2 ( x 1) 即为 x 3 y 7 0
18、(本题满分 12 分)
设 A={x|-1≤x≤4},B={x|m-1<x<3m+1}, (1)当 x∈N 时,求 A 的子集的个数. (2)当 x∈R 且 A∩B=B 时,求 m 的取值范围. 解：(1)当 x∈N 时,A={1,2,3,4}, A 中有 4 个元素, 所以 A 的子集的个数为 2 =16 个. (2)当 x∈R 且 A∩B=B 时,则 B⊆ A, 当 B=∅时,m-1≥3m+1,即 m≤-1, 当 B≠∅时, 综上,m≤-1 或 0≤m≤1. 即 0≤m≤1.
6、一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( B )
7、下列说法中错误的是 ( B ) A.如果α ⊥β ,那么α 内一定存在直线平行于平面β B.如果α ⊥β ,那么α 内所有直线都垂直于平面β C.如果平面α 不垂直平面β ,那么α 内一定不存在直线垂直于平面β D.如果α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ
6
参考答案
浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高一12月月考数学试题
浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高一12月月考数学试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分）1．在同一坐标系中，函数x y 2=与x y 2log =的图象之间的关系是 （ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线x y =对称 2．如下图所示，U 是全集，A 、B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．B A ⋂ B ． AB C ．)(A C B U ⋂ D ．)(B C A U ⋃3．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2]4. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，在区间[4,)+∞上是增函数，则实数a 的值是（ ）A. 3a =B. 3a =-C. 1a =-D. 5a = 5．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．33,x y x y ==B ．x y x y lg 2,lg 2==C ．2)(,||x y x y ==D ．0,1x y y == 6.化成分数指数幂的形式是（ ）A ．122- B. 122- C. 132 D. 562 7．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 8. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）A 2y x =- B 1y x = C 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 2log x y =9．若0<m <n ，则下列结论正确的是( )A ．22mn> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log m n >D ．12log m >12log n10. 函数111y x =+-的图象是（ ）11. 方程330x x --=的实数解落在的区间是（ ） A. [1,0]- B. [0,1] C. [1,2] D. [2,3]12．设3log 21=a ，3)21(=b ，213=c ，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<13. 已知)(x f 是定义在（),0+∞上的单调增函数，若)2()(x f x f ->，则x 的范围是（ ） A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<214．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数15．设1{1,1,,3}2α∈-，则使幂函数αx y = 的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1-，1，3 B ．1-，1 C ．1，3 D ．-1， 3 16. 函数()log (43)a f x x =-过定点（ ） A （1，0） B （3,04） C （1，1） D （3,14） 17. 若2()21x f x a =-+是奇函数，则a 的值为（ ） A 0 B 1 C －1 D 218. 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xa y -=与x y a log =的图象是( )(A) (B) (C) (D)19．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )20. 设函数），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，则)2()1(f a f 与+的大小关系为（ ）A )2()1(f a f =+B )2()1(f a f >+ C. )2()1(f a f <+ D.不确定 二、填空题（每小题4分）21.方程22+=x x的实数解的个数是 个；22．函数)10(11≠>+=-a a a y x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点_________ 23．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是______________． 24．函数12log (43)y x =-的定义域是 ．25．设f （x ）是定义在R 上奇函数，且当0>x 时，32)(-=x x f ，则当0<x 时，)(x f =___卷Ⅱ一、填空题 1.已知函数()2log ,0,3,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为_______________2. 若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是__________（单位2cm ） 3.若方程220ax x a -+=的一根在区间)1,0(上，另一根在区间)2,1(上，则实数a 的范围 .4. 如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是_____________ 5．已知α为锐角，lg(1cos )m α+=,1lg 1cos n α=-,则lgsin α的值用,m n 表示为____二、解答题（每小题10分） 6 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2x kx -+230k -=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值7.已知定义在R 上的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数（1）求,a b 的值 (2)判断并证明()f x 在R 上的单调性 （3）若对任意的t R ∈ ，不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围8．已知函数f (x )定义域为[－1，1]，若对于任意的x ，y ∈[－1，1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，有f (x )＞0.(1)证明：f (x )为奇函数； (2)证明：f (x )在[－1，1]上是增加的；(3)设f (1)＝1，若f (x )＜m －2am ＋2，对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．杭西高2014年12月考高一数学试卷李国庆 审核人：钱敏剑 卷Ⅰ一、选择题（每小题4分）C ．2)(,||x y x y ==D ．0,1x y y == 6.化成分数指数幂的形式是（ A ）A ． 122 B. 122- C. 132 D. 562 8. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ D ）A 2y x =-B 1y x =C 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 2log x y =9．若0<m <n ，则下列结论正确的是( D )A ．2m >2nB ．(12)m <(12)n C ．log 2m >log 2n D ．12log m >12log n10. 函数111y x =+-的图象是（ A ）A B C D11. 方程330x x --=的实数解落在的区间是（ C ）（A ）[1,0]- （B ）[0,1] （C ）[1,2] （D ）[2,3]12．设3log 21=a ，3)21(=b ，213=c ，则( A )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<13. 已知)(x f 是定义在（),0+∞上的单调增函数，若)2()(x f x f ->，则x 的范围是（ D ） A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<214．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )的是( C )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数15．设1{1,1,,3}2α∈-，则使幂函数αx y = 的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（C ） A ．1-，1，3 B ．1-，1 C ． 1，3 D ．-1，3 16. 函数()log (43)a f x x =-过定点（ A ） A （1，0） B （3,04） C （1，1） D （3,14） 17. 若2()21xf x a =-+是奇函数，则a 的值为（ B ） A 0 B 1 C －1 D 218. 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xa y -=与x y a log =的图象是( C )(A) (B) (C) (D) 19．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( A )20. 设函数），在（且0)10(|,|log )(∞-≠>=a a x x f a 上单调递增，则)2()1(f a f 与+的大小关系为（ B ）A )2()1(f a f =+B )2()1(f a f >+ C. )2()1(f a f <+ D.不确定 二、填空题（每小题4分）21.方程22+=x x的实数解的个数是 2 个；22．函数)10(11≠>+=-a a a y x 且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点__)1,1(_______23．幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )的解析式是___34x ___________．24．函数y =的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1,43 ．25．设f （x ）是定义在R 上奇函数，且当0>x 时，32)(-=x x f ，则当0<x 时，)(x f =x )21(3-卷Ⅱ一、填空题 1.已知函数()2log ,0,3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为______19 _________ 2. 若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是_____16___（单位2cm ） 3.若方程220ax x a -+=的一根在区间)1,0(上，另一根在区间)2,1(上，则实数a 的范围4(,1)5. 4. 如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是_____第四象限________ 5．已知α为锐角，lg(1cos )m α+=,1lg 1cos n α=-,则lgsin α的值___2m n- ______二、解答题（每小题10分） 6 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2x kx -+230k -=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值解：K=2, tan 1,sin cos 22ααααα===-+=7.已知定义在R 上的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数（1）求,a b 的值 (2)判断并证明()f x 在R 上的单调性（3）若对任意的t R ∈ ，不等式()()220f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴，解得b=1，（1分）∴ ∴∴a •2x+1=a+2x ，即a （2x-1）=2x-1对一切实数x 都成立， ∴a=1，故a=b=1．（4分） （2）∵a=b=1，∴，f （x ）在R 上是减函数．（5分） 证明：设x1，x2∈R 且x1＜x2则=-∵x1＜x2，∴，，，∴f （x1）-f （x2）＞0即f （x1）＞f （x2）， ∴f （x ）在R 上是减函数，（10分）（3）22k t t <- ，1k <-8．已知函数f (x )定义域为[－1，1]，若对于任意的x ，y ∈[－1，1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，有f (x )＞0.(1)证明：f (x )为奇函数； (2)证明：f (x )在[－1，1]上是增加的；(3)设f (1)＝1，若f (x )＜m －2am ＋2，对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0. 令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； (2)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， 令－1≤x 1＜x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＞0 ∴f (x )在[－1， 1]上是增加的；(3)f (x )在[－1，1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )＜m －2am ＋2对所有x ∈[－1，1]恒成立，只要m －2am ＋2＞1，即m －2am ＋1＞0. 令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )＞0时a ∈[－1，1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＞0，g （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3m >0，1－m >0，－13<m <1，∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。
浙江省杭州市2015_2016学年高一下期末数学试卷附答案解析
2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．cos150°的值等于（）A．B．C．D．4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]5．若3x=2.则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．6．设向量=（x.1）.=（1.y）.若•=0.则（）A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =7．设x0为方程2x+x=8的解．若x∈（n.n+1）（n∈N*）.则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象.只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣111．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=loga（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．314．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= ；∁R（A）= ．17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为.单调递减区间为．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0.b.c∈R）.若f（1+x）=f（1﹣x）.f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t的值；如果不存在.请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意.集合M中含有三个元素0.1.2．∴A选项1∈M.正确；B选项2∉M.错误；C选项3∈M.错误.D选项{0}∈M.错误；故选：A．2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】不等关系与不等式．【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.∴m＞0..因此.解得m=1．故选：C．3．cos150°的值等于（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°.利用诱导公式cos=﹣cosα化简后.再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos150°=cos=﹣cos30°=﹣．故选D4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式.解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0.解得：﹣1＜x＜1.故函数的定义域是（﹣1.1）.故选：A ．5．若3x =2.则x=（ ）A ．lg3﹣1g2B ．lg2﹣1g3C ．D ．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由 3x =2.根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32.再利用换底公式化为．【解答】解：∵3x =2.由指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32=.故选D ．6．设向量=（x.1）.=（1.y ）.若•=0.则（ ）A ．||＞||B ．||＜||C ．||=||D ． = 【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．【解答】解：∵向量=（x.1）.=（1.y ）.•=0.∴•=x+y=0.∴||=.||=.∴||=||.故选：C ．7．设x 0为方程2x +x=8的解．若x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.则n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.由f （2）＜0.f （3）＞0.可得x 0∈（2.3）．再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n 的值．【解答】解：∵x 0为方程2x +x=8的解.∴+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.∵f （2）=﹣2＜0.f （3）=3＞0.∴x 0∈（2.3）． 再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n=2. 故选：B ．8．要得到函数f （x ）=2sin （2x ﹣）的图象.只需将函数g （x ）=2sin （2x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换.左加右减可得答案．【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）].∴g（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣++）]=2sin[2（x﹣+）]=f（x+）.∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位.得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．故选：C．9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式.求出两个向量的数量积.利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.所以4.即64﹣27﹣4=61.所以=﹣6.所以cosθ=.所以θ=120°；故选：C．10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形.提出2变为符合两角和的正弦公式形式.根据自变量的范围求出括号内角的范围.根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）.∵.∴f（x）∈[﹣1.2].故选D11．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=log（﹣x）的图象可能是（）aA．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递减.y=a x 【解答】解：当a＞1时.由y=loga单调递增.当0＜a＜1时.由y=log（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递增.y=a x单调递减.a故选：B．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心. =﹣×. =. = .又a+b+c=.∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=.∴a﹣b=a﹣c=b﹣c.∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．3【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx.不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立.得.利用分离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx.∵x∈（0.].∴t∈（0.1].则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0.1]恒成立.即在t∈（0.1]恒成立.∴a≤3．故选：D．14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]【考点】函数的值域．【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1.1].并设.两边平方.根据x的范围即可求出.且得出.从而得出.求导.根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增.从而得出y的范围.即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1.1]；设.则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1.；∴2≤t2≤4；∴.且.设y=f（x）；∴；∴.令y′=0得..或0；∴在上单调递增；∴时.y取最小值.t=2时.y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点.于是++=2+=3+.所以当和同向时.模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC.∵直角△ABC内接于单位圆O.∴O是AC的中点.∴|++|=|2+|=|3+|.∴当和同向时.|3+|取得最大值|3|+||=+1．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.（A）= （0.1）．16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= （﹣∞.0]∪[1.+∞）；∁R【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A.根据全集R求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0.解得：x≤0或x≥1.即A=（﹣∞.0]∪[1.+∞）.A=（0.1）.则∁R故答案为：（﹣∞.0]∪[1.+∞）；（0.1）17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：∵10x=2.10y=3.∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=.故答案为：18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于π3．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】利用扇形的弧长公式.面积公式即可直接计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l.扇形的面积为S.∵圆心角大小为α=（rad）.半径为r=π.∴则l=rα==.扇形的面积为S=××π=π3．故答案为：.π3．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π.单调递减区间为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式.由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：由题意得.f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=.∴最小正周期T==π.由得..∴函数f（x）的单调递减区间是.故答案为：π；．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由tan的值.利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1.确定出α的范围.进而sinα与cosα的值.再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围.利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值.所求式子的角β=α+β﹣α.利用两角和与差的余弦函数公式化简后.将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=.α∈（0.π）.∴tanα==＞1.∴α∈（.）.∴cosα==.sinα==.∵sin（α+β）=＜.∴α+β∈（.π）.∴cos（α+β）=﹣.则cosβ=co s[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣.∴sin=.tan=﹣．故答案为：.﹣．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系.求出各向量的坐标.代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数.利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点.以AB.AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0.0）.B（2.0）.C（2.1）.设P（a.1）（0≤a≤2）．=（﹣a.﹣1）.=（2﹣a.﹣1）.=（0.1）.∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时.•﹣取得最小值1．故答案为：1．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值.从而求出a的范围即可．【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.∴2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.则z≥lg100﹣1=9.∴2a≤9.解得：a≤2则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为（﹣.0）．【考点】函数的图象．【分析】讨论当x＞0.和x＜0时.函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况.利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣1.+∞）.设g（x）=x2﹣ax+2a.若﹣1＜x＜0.ln（x+1）＜0.此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三.即此时.即.此时﹣＜a＜0.当x=0时.f（0）=0.此时函数图象过原点.当x＞0时.ln（x+1）＞0.此时要求g（x）经过一四象限.即x＞0时.x2﹣ax+2a＜0.有解.即a（x﹣2）＜x2有解.当x=2时.不等式等价为0＜4.成立.当0＜x＜2时.a＞.∵此时＜0.∴此时a＜0.当x＞2时.不等式等价为a＜.∵==（x﹣2）++4≥4+2=4+2×2=4+4=8.∴若a＜有解.则a＞8.即当x＞0时.a＜0或a＞8.综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣.0）.故答案为：（﹣.0）．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出cosA.利用余弦定理得出a；（2）利用正弦定理得出外接圆半径.从而得出外接圆的面积．【解答】解：（1）在△ABC中.∵sinA=.∴cosA=．由余弦定理得：||2=a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9+25±18．∴a 2=16或52．∴||=4或2．（2）由题意可知A=.a=2．由正弦定理得.∴R=．∴△ABC 的外接圆的面积S==．25．设函数f （x ）=x 2+bx+c （a ≠0.b.c ∈R ）.若f （1+x ）=f （1﹣x ）.f （x ）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t 的值；如果不存在.请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b 的值.根据函数的最小值求出c 的值.从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|.|CB|.得到不等式（2+）＜.解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f （1+x ）=f （1﹣x ）.∴函数的对称轴是x=1.即﹣=1.解得：b=﹣2；∵f （x ）的最小值是﹣1.∴=﹣1.解得：c=0.∴f （x ）=x 2﹣2x ；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.则0＜t ＜1.易知x A =1﹣.x B =1﹣.x C =1+.x D =1+.∴|AB|﹣|CD|=﹣.|CB|=2.∴线段|AB|.|BC|.|CD|能构成等腰锐角三角形.∴|BC|≤|AB|.即2＜（﹣）.即（2+）＜•.解得：＜t ＜1．2016年8月26日。
2014年高一下学期数学期末试卷(附答案)
2014年高一下学期数学期末试卷（附答案）考生须知：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3.答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内域作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4.修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5.考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
（样本标准差公式）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)(1)若，则下列各式中一定成立的是A.B.C.D.(2)不等式的解集是A.B.C.D.(3)的值是A.B.C.D.(4)在一次对年龄和人体脂肪含量关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的年龄和人体脂肪含量关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是A.年龄和人体脂肪含量正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B.年龄和人体脂肪含量正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C.年龄和人体脂肪含量负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D.年龄和人体脂肪含量负相关，且脂肪含量的中位数小于20%（5）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得，，，则A，B两点间的距离为A.B.C.D.（6）如果成等比数列，那么A.B.C.D.（7）某学校要从数学竞赛初赛成绩相同的四名学生（其中2名男生，2名女生）中，随机选出2名学生去参加决赛，则选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为A.B.C.D.（8）已知实数满足则的最大值为A．B．0C．D．（9）以下茎叶图记录了甲、乙两名篮球运动员在以往几场比赛中得分的情况，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为则A.，B.，C.，D.，（10）对任意的锐角下列不等关系中正确的是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(11)已知则____________.(12)设,,是中,,的对边,,，，则_________;的面积为________.(13)某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是________．(14)已知是数列的前项和，且，则_________________;当______时，取得最大值.(15)欧阳修的《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体不出边界），则油滴整体（油滴近似看成是直径为0.2cm的球）恰好落入孔中的概率是（不作近似计算）．（16）数列中，如果存在使得“且”成立（其中），则称为的一个“谷值”.①若则的“谷值”为_________________;②若且存在“谷值”，则实数的取值范围是__________________.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分14分）已知是等差数列，为其前项和，且.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的前项和.（18）（本小题满分14分）“交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为至，分为个等级：其中为畅通，为基本畅通，为轻度拥堵，为中度拥堵，为严重拥堵.晚高峰时段，某市交通指挥中心选取了市区个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示：交通指数频数频率（I）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；（II）用分层抽样的方法从交通指数在和的路段中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽出个路段，求至少有一个路段为畅通的概率．(19)（本小题满分14分）已知函数（I）求函数的单调递减区间;（II）求函数在区间上的最大值和最小值.(20)（本小题满分14分）某旅游公司在相距为100的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20时，燃料费用为每小时60元.其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元.（I）当游船以30航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入成本）（II）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？(21)（本小题满分14分）在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的的最大值为. （I）设数列为1，2，4，10，，写出，，的值；（II）若是公差为2的等差数列，数列的前项的和为，求使得成立的的最小值；（III）设，，，请你直接写出与的关系式，不需写推理过程．昌平区2013－2014学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2014.7一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号12345678910答案BCDBAADCBC（II）…………10分所以是以3为首项2为公比的等比数列.…………12分所以…………14分（18）（本小题满分14分）解：（I）由频率分布直方图，得交通指数在2,4)的频率为.所以，频率分布直方图为：………………………6分（II）依题意知，取出的5个路段中，交通指数在0,2)内的有2个，设为交通指数在2,4)内的有3个，设为…………………………………8分则交通指数在的基本事件空间为，基本事件总数为10，……………10分事件“至少有一个路段为畅通”，则，基本事件总数为7.…………12分所以至少有一个路段为畅通的概率为……………………………………14分（19）（本小题满分14分）解：的定义域为…………………4分（I）令且解得，即所以，的单调递减区间为…………………8分（II）由当即时，当即时，…………………14分（20）（本小题满分14分）解：设游船的速度为()，旅游公司单程获得的利润为（元），因为游船的燃料费用为每小时元，依题意，则.2分所以==.5分（21）（本小题满分14分）解：（І）…………………3分（Ⅱ）由得.根据的定义，当时，；当时，①若，。
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线31ax y +=的倾斜角为30，则a =（ ）A ．33-B ．3-C ．33D ．32．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若324a c C π===，则角A的大小为（ ） A ．4π或34πB ．3π或23π C ．3πD ．4π 4．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．23π 6．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）A ．棱台B ．圆台C ．圆柱D ．圆锥7．在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A ．不完全归纳法B ．数学归纳法C ．综合法D ．分析法8．已知函数21()cos sin 2f x x x =++，下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[],0π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 9．若函数()()sin 3R f x x x x ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A ．13 B ．32C ．43D ．2310．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +43423ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3-C ．6-D 53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题-Word版含答案
绝密★启用前浙江省2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 题号一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．2()1f u u =+，2()1g v v =+B ．()f x x =, 2()()g x x =C ．44()f x x =， ()g x =55xD ．()f x =1-x ×1+x ，()g x =12-x2．设全集为R ，集合2{|1}1A x x =≥-，2{|4}B x x =>则()RC B A =（ ） A.{|21}x x -≤< B.{|22}x x -≤≤ C.{|12}x x <≤ D.{|2}x x < 3．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称； ③在上是增函数”的一个函数是 （ ）A. y ＝sin(x 2＋π6)B.y ＝cos(2x ＋π3)C. y ＝sin(2x －π6)D. y ＝cos(2x －π6) 4．设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=- 集合{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},Nx R g x =∈<则M N 为（ ） A.(1,)+∞ B.（0，1） C.（-1，1） D.(,1)-∞(1)34,(0)(),(0)x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩ 5．已知集合{}{}1,2,3,4,2,3,4M N ==，则A.N M ∈B.N M ⊆C.N M ⊇D.N M =6．已知0a >且1a ≠，函数满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）A.()0,1B.()1,+∞C.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭A B=（）1，则x，(,1)AB k =，(2,3)AC =，则sin(α-的值为 .有3个不同实数解,则b1na +，若S19．（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围．20．（本题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为,,,c b a 向量（Ⅰ）求角A的大小；b⋅取得最大值时△ABC形状．，试判断c21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O （Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．参考答案1．A【解析】试题分析：选项A中，定义域都是R，对应法则都是变量的平方加上1，故是同一函数。
浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷
浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·随县模拟) 若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 某人在打靶中，连续射击2次，至多有1次中靶的对立事件是（）A . 两次都不中靶B . 至多有一次中靶C . 两次都中靶D . 只有一次中靶3. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知一组样本数据点用最小二乘法求得其线性回归方程为若的平均数为，则（）A .B . 12C .D .4. （2分）若样本+2，+2，，+2的平均数为10，方差为3，则样本2+3，2+3，… ，2+3，的平均数、方差、标准差是（）A . 19，12，B . 23，12，C . 23，18，D . 19，18，5. （2分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）A . y=sin2xB . y=|cosx|C . y=﹣tanxD .6. （2分）(2017·武汉模拟) 若函数f（x）= 在区间（0，）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣1B . a≤2C . a≥﹣1D . a≤17. （2分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A . 21B . 26C . 30D . 558. （2分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A . y=sinxB . y=sin（4x+）C . y=sin（4x﹣）D . y=sin（x+）9. （2分）为得到函数的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位10. （2分） (2017高一下·运城期末) 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）cos40°cos160°+sin40°sin20°=（）A . -B . -C .D .12. （2分）(2019·禅城期中) 已知平行四边形的对角线分别为，，且，点是上靠近的四等分点，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·宁波期末) 已知是平面向量,且 ,若 ,则的取值范围是________.14. （1分） (2016高三上·江苏期中) 若tanβ=2tanα，且cosαsinβ= ，则sin（α﹣β）的值为________．15. （1分） (2016高一下·高淳期中) 如图，E、F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=________16. （1分）(2018·株洲模拟) 已知向量，，，若，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）计算下面各题（1）已知 =2 ﹣3 ， =2 + ，| |=| |=1，与的夹角为60°，求与的夹角．（2）已知 =（3，4），与平行，且| |=10，点A的坐标为（﹣1，3），求点B的坐标．18. （15分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率第1组[60,70)M0.26第2组[70,80)15p第3组[80,90)200.40第4组[90,100]N q合计501（1）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（3）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.19. （5分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）= sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．20. （5分） (2019高二下·赤峰月考) 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）0.5第2组[25，35）18第3组[35，45）0.9第4组[45，55）90.36第5组[55，65]3（Ⅰ）分别求出，，，的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．21. （10分） (2020高一上·北海期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，、分别为线段、上的动点，且满足 .（1）若，求点的坐标；（2）设点的坐标为，求的外接圆的一般方程，并求的外接圆所过定点的坐标.22. （10分） (2020高三上·渭南期末) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B是A,C的等差中项.（1）若 ,求边c的值;（2）设t=sinAsinC,求t的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
杭州二中2014-2015学年高一下期中考试数学试卷及答案AwPAHH
杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学试卷命题:卞勇 校对:陆华兵 审核：孙惠华一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1 (B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1- 2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于(A) 1 (B)31 (C) 91 (D) 1813.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则 (A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 4．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ） (A) ,24ππωϕ== (B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ==(D) 5,44ππωϕ==5.四边形ABCD 中,3,2,90===∠=∠︒AD AB ADC ABC ,则=⋅BD AC (A) 5 (B) 5- (C) 1 (D) 1-6．已知函数x a x y cos sin +=的图象关于直线x =35π对称,则函数x x a y cos sin +=的图象关于直线 （A ） x =3π对称 （B ）x =32π对称 （C ）x =611π对称 （D ）x =π对称 7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的范围是 (A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9.已知:),3(),2,1(m =-=,若OB OA ⊥，则=m ;若OB OA //,则=m 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________11若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为 12.)310(tan 40sin -︒︒=__________ 13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________ππ⎛⎫3π⎛⎫π3512⎛⎫⎛⎫()cos αβ+=_______15.已知:,,都为单位．．向量,其中b a ,的夹角为32π,+的范围是__________ 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域. 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22 (Ⅰ)求A cos 的值；(Ⅱ)若2=a ,求⋅的取值范围; (Ⅲ)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学答卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．9． __________ 10． 11．12． 13． 14． 15 ． 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； ππ17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+;(Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22 (Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围.2014学年第二学期杭州二中高一数学期中答案二、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．10． 23___6-__ 10． 2- 11． 212． 1- 1314． 6533-15 ． ]2,26[ 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝)62sin(π+x ...................3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．...............6分(II)由)3,4(ππ-∈x ,得)65,3(62πππ-∈+x , 故)(x f =)62sin(π+x 的值域为]1,23(-.........................10分 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．解:(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A =，C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A cos C ＋23sin C ．整理得：tan C sin C ＝630．................................5分(Ⅱ)由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1) 对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b (舍去)．∴∆ABC 的面积为：S ＝5．......................................10分 18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.解:(Ⅰ)由:αβααβαβsin )cos(3])sin[(sin +=-+=展开 得到:αβααβαsin )cos(4cos )sin(+=+所以:αβαtan 4)tan(=+................................................4分(Ⅱ)由:αβαβαβαtan 4tan tan 1tan tan )tan(=-+=+ 化简得:43tan 1tan 431tan 4tan 3tan 2≤+=+=ααααβ 所以:βtan 的最大值为43,当且仅当21tan =α时取到.............................................8分19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22 (Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (III)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.解:(Ⅰ)因为:32)3045tan(75tan +=+=︒︒︒所以:bc a c b ︒=-+75tan )(22展开后得:bc c b a 3222-+=故A cos =23,即6π=A .............................4分 (II)由6,2π==A a ,得ABC ∆外接圆直径42=R ,且点A 在优弧上任意运动.由图:BC AD ⊥于点D ,设有向线段BD 长为x ,则BC BA ⋅=x 2 由图可知:]3,1[-∈x ,故]6,2[-∈⋅BC BA(III)设线段AC 中点为D,由图可知),21[+∞∈BD由极化恒等式:BC BA ⋅=]4[41])()[(412222AC BD BC BA BC BA -=--+=12-BD所以:),43[+∞-∈⋅BC BA.........................................12分。
浙江省杭州市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Wo
2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m 有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3] 19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m 有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f （x ）=﹣﹣a 存在零点，则实数a 的取值范围是 （﹣1，1） ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解． 【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A （﹣，）与点C （3x ，0）的距离，表示了点B （，）与点C （3x ，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos +sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省杭州市第十五高中高一数学文下学期期末试卷含解析
浙江省杭州市第十五高中高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若则在角终边上的点是（）A. B. C. D.参考答案：A2. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为A.48πB.12πC.36πD.9π参考答案：D3. 在△ABC中，a=2，c=，sin B+sin A（sin C－cos C）=0，则∠C=( )A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简已知等式，求得的值，然后利用正弦定理求得的值，进而求得的大小.【详解】由三角形的内角和定理得，化简得，故，由正弦定理得，解得，由于为钝角，故，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理，考查两角和的正弦公式，考查正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4. 点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得+＞a2，圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d，根据d小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，∴ +＞a2．圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d=＜=a（半径），故直线和圆相交，故选B．5. 已知数列{a n}的通项，则下列叙述正确的是（）A．最大项为a-1，最小项为a-3 B．最大项为a1，最小项不存在C．最大项不存在，最小项为a3 D．最大项为a1，最小项为a4参考答案：解析：A 令，则，…且t∈(0, 1]，则a n = t·(t–1)，故最大项为a1 = 0. 令.当n = 3时，，当n = 4时，；又因为，所以n = 3时，a n最小.6. 若函数f（x）=ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x（x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由f（x）为偶函数容易得出b=0，从而得出g（x）=ax3+x，这样判断g（x）的奇偶性即可．【解答】解：f（x）为偶函数，则b=0；∴g（x）=ax3+x；∴g（﹣x）=a（﹣x）3﹣x=﹣（ax3+x）=﹣g（x）；∴g（x）是奇函数．故选A．7. 已知向量若则（▲）A．(-2,-1) B．(2,1) C．(3,-1) D．(-3,1)参考答案：A略8. 满足的集合A的个数为 ( )A、1B、2C、3D、4参考答案：B9. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.参考答案：B10. 下列四组函数中表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与参考答案：C试题分析：A项,与的解析式不同,不是同一函数；B项,的定义域为,的定义域为,不是同一函数；C项,与定义域都是,且解析式相同,是同一函数；D项,的定义域为,的定义域为,不是同一函数.故选C.考点：函数的三要素.【易错点晴】本题考查学生对函数三要素的掌握,属于易错题目.函数的三要素是函数的定义域,值域和对应法则,因此在判断两个函数是否是同一函数时,首先要看定义域是否相等,即要满足“定义域优先”的原则,再看解析式是否可以化简为同一个式子,如果定义域与解析式均相同,则函数的值域必然也相同,若其中任一个不一致,则不是同一函数.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是．参考答案：略12. 已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．参考答案：①②④13. 定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）= ．参考答案：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．14. 设全集U={a，b，c，d，e}，集合A={a，c，d}，则?U A= ．参考答案：{b，e}【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={a，b，c，d，e}，集合A={a，c，d}，∴?U A={b，e}，故答案为：{b，e}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．15. 已知f（x）=，则f[f（1）]= 8 ．如果f （x ）=5，则x= ．参考答案：﹣【考点】函数的值．【分析】先求出f（1）=2×12+1=3，从而f[f（1）]=f（3），由此能求出f[f（1）]；由f（x）=5，得：当x＞1时，f（x）=x+5=5；当x≤1时，f（x）=2x2+1=5，由此能求出x的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=2×12+1=3，f[f（1）]=f（3）=3+5=8．∵f（x）=5，∴当x＞1时，f（x）=x+5=5，解得x=0，不成立；当x≤1时，f（x）=2x2+1=5，解得x=﹣或x=（舍）．综上，x=﹣．故答案为：8，﹣．16. 若xlog32=﹣1，则（）x= ．参考答案：3【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：xlog32=﹣1，可得x=，（）x=2﹣x==3．故答案为：3．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，函数值的求法，考查计算能力．17. 已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）参考答案：.【分析】由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.【详解】由题意可得，故答案为：.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省杭州市近年-近年学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)(最新整理)
杭州市2018—2019学年高一下期末考试
数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.设集合 ，则 ( )
三、解答题：(本大题共5小题，共74分)
18.已知集合 ， 或 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 取值范围．
【答案】（1) ;(2） .
【解析】
【分析】
(1）把 等于带入集合中求交集即可。
（2）由 ，可知 包含数轴上所有的实数,画出数轴分析即可。
【详解】(1）当 时， , ，
所以 ；
(2)因为 ，所以 ，
【答案】（1) ；(2） 。
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数单调性讨论即可解决.
（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决。
【详解】（1)若 ，即 时， ，
解得： ，
若 ，即 时， ，
解得： （舍去).
（2）（ⅰ）若 在 上单调递增，则 ,
则 ，
即 是方程 的两个不同解，所以 ，即 ，
所以
所以 ，
从而由平行四边形性质有
故 .
【点睛】本题主要考查了余弦定理以及向量的三角形法则，其中第二问用了完全平方以及加减消元的思想,是本题的一个难点。解决本题的关键是画一个三角形结合三角形进行分析.
22。已知函数 ．
（1)若 在区间 上 最小值为 ，求 的值；
（2)若存在实数 ， 使得 在区间 上单调且值域为 ，求 的取值范围．
【解析】
【分析】
2015-2016学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．cos150°的值等于（）A．B．C． D．4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]5．若3x=2，则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（）A．||＞||B．||＜||C．||=||D．=7．设x0为方程2x+x=8的解．若x0∈（n，n+1）（n∈N），则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣111．若a＞0且a≠1，则函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（）A．2B．C．2 D．314．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8]B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A=；∁R（A）=．17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y=．18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于；面积等于．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为，单调递减区间为．20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=，tanβ=．21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中，||=c，||=b．（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1﹣x），f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】不等关系与不等式．【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．3．cos150°的值等于（）A．B．C． D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°，利用诱导公式cos=﹣cosα化简后，再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos150°=cos=﹣cos30°=﹣．故选D4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1），故选：A．5．若3x=2，则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得x=log32，再利用换底公式化为．【解答】解：∵3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得x=log32=，故选D．6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（）A．||＞||B．||＜||C．||=||D．=【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），•=0，∴•=x+y=0，∴||=，||=，∴||=||，故选：C．7．设x0为方程2x+x=8的解．若x0∈（n，n+1）（n∈N），则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得+x0﹣8=0．令f（x）=2x+x﹣8=0，由f（2）＜0，f（3）＞0，可得x0∈（2，3）．再根据x0∈（n，n+1）（n∈N），可得n的值．【解答】解：∵x0为方程2x+x=8的解，∴+x0﹣8=0．令f（x）=2x+x﹣8=0，∵f（2）=﹣2＜0，f（3）=3＞0，∴x0∈（2，3）．再根据x0∈（n，n+1）（n∈N），可得n=2，故选：B．8．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，左加右减可得答案．【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）]，∴g（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣++）]=2sin[2（x﹣+）]=f（x+），∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．故选：C．9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式，求出两个向量的数量积，利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，所以4，即64﹣27﹣4=61，所以=﹣6，所以cosθ=，所以θ=120°；故选：C．10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选D11．若a＞0且a≠1，则函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当a＞1时，由y=log a（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递减，y=a x单调递增，当0＜a＜1时，由y=log a（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递增，y=a x单调递减，故选：B．12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心，=﹣×，=，=，又a+b+c=，∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣b=a﹣c=b﹣c，∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（）A．2B．C．2 D．3【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx，不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立，得，利用分离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx，∵x∈（0，]，∴t∈（0，1]，则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0，1]恒成立，即在t∈（0，1]恒成立，∴a≤3．故选：D．14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8]B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]【考点】函数的值域．【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1，1]，并设，两边平方，根据x的范围即可求出，且得出，从而得出，求导，根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1，1]；设，则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1，；∴2≤t2≤4；∴，且，设y=f（x）；∴；∴，令y′=0得，，或0；∴在上单调递增；∴时，y取最小值，t=2时，y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点，于是++=2+=3+，所以当和同向时，模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC，∵直角△ABC内接于单位圆O，∴O是AC的中点，∴|++|=|2+|=|3+|，∴当和同向时，|3+|取得最大值|3|+||=+1．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A=（﹣∞，0]∪[1，+∞）；∁R（A）=（0，1）．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即A=（﹣∞，0]∪[1，+∞），则∁R A=（0，1），故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）；（0，1）17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：∵10x=2，10y=3，∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=，故答案为：18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于；面积等于π3．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】利用扇形的弧长公式，面积公式即可直接计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，扇形的面积为S，∵圆心角大小为α=（rad），半径为r=π，∴则l=rα==，扇形的面积为S=××π=π3．故答案为：，π3．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π，单调递减区间为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴最小正周期T==π，由得，，∴函数f（x）的单调递减区间是，故答案为：π；．20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=，tanβ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=，α∈（0，π），∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣，∴sin=，tan=﹣．故答案为：，﹣．21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数，利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．=（﹣a，﹣1），=（2﹣a，﹣1），=（0，1），∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时，•﹣取得最小值1．故答案为：1．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny，令z=lg（x2+100）﹣siny，根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，∴2a≤lg（x2+100）﹣siny，令z=lg（x2+100）﹣siny，则z≥lg100﹣1=9，∴2a≤9，解得：a≤2则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为（﹣，0）．【考点】函数的图象．【分析】讨论当x＞0，和x＜0时，函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，+∞），设g（x）=x2﹣ax+2a，若﹣1＜x＜0，ln（x+1）＜0，此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三，即此时，即，此时﹣＜a＜0，当x=0时，f（0）=0，此时函数图象过原点，当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时要求g（x）经过一四象限，即x＞0时，x2﹣ax+2a＜0，有解，即a（x﹣2）＜x2有解，当x=2时，不等式等价为0＜4，成立，当0＜x＜2时，a＞，∵此时＜0，∴此时a＜0，当x＞2时，不等式等价为a＜，∵==（x﹣2）++4≥4+2=4+2×2=4+4=8，∴若a＜有解，则a＞8，即当x＞0时，a＜0或a＞8，综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中，||=c，||=b．（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出cosA，利用余弦定理得出a；（2）利用正弦定理得出外接圆半径，从而得出外接圆的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinA=，∴cosA=．由余弦定理得：||2=a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25±18．∴a2=16或52．∴||=4或2．（2）由题意可知A=，a=2．由正弦定理得，∴R=．∴△ABC的外接圆的面积S==．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1﹣x），f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b的值，根据函数的最小值求出c的值，从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|，|CB|，得到不等式（2+）＜，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数的对称轴是x=1，即﹣=1，解得：b=﹣2；∵f（x）的最小值是﹣1，∴=﹣1，解得：c=0，∴f（x）=x2﹣2x；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，则0＜t＜1，易知x A=1﹣，x B=1﹣，x C=1+，x D=1+，∴|AB|﹣|CD|=﹣，|CB|=2，∴线段|AB|，|BC|，|CD|能构成等腰锐角三角形，∴|BC|≤|AB|，即2＜（﹣），即（2+）＜•，解得：＜t＜1．。
浙江省杭州市近年-近年学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)(最新整理)
杭州市2018—2019学年高一下期末考试数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合，则( ) A 。
B 。
C 。
D. 【答案】B 【解析】 【分析】补集: 【详解】因为，所以，选B 。
【点睛】本题主要考查了集合的运算，需要掌握交集、并集、补集的运算。
属于基础题.2.设函数是定义在上的奇函数,当时,，则（ ） A 。
－4 B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得: 即可求出 【详解】因为是定义在上的奇函数,所以 又因为当时，，所以，所以，选A 。
【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。
其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。
2、在定义域上满足。
3、若定义域包含0，一定有。
3.函数的零点所在的区间是（ ）{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==U C A ={1,5}{3,4}{3,5}{1,2,3,4,5}{}|,U CA x xA x U =∈∉且{}{}1,2,3,4,5,1,2,5UA =={}3,4U CA =()y f x =R 0x >()2xf x =()2f -=1414-4()()f x f x -=-()2f -()y f x =R()()()()22fx f x f f -=-⇒-=-0x >()2x f x =()2224f ==()()224f f -=-=-()()f x f x -=-()00f =1()2x f x x=-A 。
B 。
C 。
D.【答案】B 【解析】,故零点在区间.4。
已知，，，则向量与向量的夹角是（ ）A.B 。
C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．5.若,则（ ）A 。
－ B.D.【答案】B 【解析】【分析】首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可。
【详解】因为1(0,)21(,1)23(1,)23(,2)2()1220,12102f f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭||1a =||6b =()2a b a ⋅-=a b6π4π3π2π22ab a ⋅-=223c o s 16c o s ab a a b αα⋅=+==⋅=⨯⨯1cos 2α=3πα=1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭1313-632πππαα-++=623a πππα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭623πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭所以 所以，选B. 【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式。
杭州市高一下学期数学期末考试试卷 (I)卷(模拟)
杭州市高一下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是（）A . 1,2,3,4,5,6B . 6，16，26，36，46，56C . 1,2，4，8，16，32D . 3,9,13 ,27,36,542. （2分）右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·滕州期末) 某运动员进行射击训练，若该运动员进行了5次射击，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 恰好击中3次，击中奇数次B . 击中不少于3次，击中不多于4次C . 恰好击中3次，恰好击中4次D . 击中不多于3次，击中不少于4次4. （2分） (2017高二下·东城期末) 袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2014·北京理) 若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A . 2B . ﹣2C .D . ﹣7. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .8. （2分）设x＞0，y＞0，，，则A，B的大小关系是（）A . A=BB . A＜BC . A≤BD . A＞B9. （2分）已知回归方程为，则该方程在样本（10，13）处的残差为（）A . 10B . 2C . 3D . 410. （2分）已知数{an}满a1=0，an+1=an+2n，那a2016的值是（）A . 2014×2015B . 2015×2016C . 2014×2016D . 2015×2015二、填空题： (共5题；共6分)11. （1分） (2015高二下·淮安期中) 若存在正整数m，使得f（n）=（2n﹣7）3n+9（n∈N*）都能被m整除，则m的最大值为________．12. （1分）(2017·扬州模拟) 如图是一个算法流程图，则输出S的值为________．13. （1分）设{an}是等差数列，前n项和为Sn ，对任意m，k∈N* ，都有 = ，则 =________．14. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．15. （1分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是________三、解答题： (共5题；共45分)16. （15分） (2017高二上·南宁月考) 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]（1）求图中a的值;（2）根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.17. （10分） (2016高二上·宝安期中) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB ﹣bcosA= c．（1）求的值；（2）若A=60°，求的值．18. （5分）(2016·北区模拟) 某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19. （5分） (2016高二上·襄阳开学考) 已知数列{an}满a1=a，a2=b，3an+2﹣5an+1+2an=0（n≥0，n∈N），求数列{an}的通项公式．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共5题；共45分) 16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、19-1、。
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2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．（2分）函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．[0，1]2．（2分）函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．（2分）设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣24．（2分）函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（2分）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．（2分）在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1） B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．（2分）若向量•=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A． B．C． D．8．（2分）设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．（2分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪10．（2分）函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．（2分）函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．（2分）设a=log 2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．（2分）函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移 D．向左平移π14．（2分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．15．（2分）设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1） C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．（2分）设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．（2分）计算：=（）A．B．C．D．﹣18．（2分）若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．1 B．2 C．3 D．420．（2分）如图，已知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N 为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．（3分）设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．（3分）设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若•=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．（3分）设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．（3分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．（3分）在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）27．（3分）设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．（3分）计算：log89•log32﹣lg4﹣lg25=．29．（3分）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则•的最小值是．30．（3分）若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．（8分）已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．（10分）设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．（12分）设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．2014-2015学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．（2分）函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．[0，1]【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A．2．（2分）函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．3．（2分）设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1•m﹣2•n=0∴=﹣．故选：B．4．（2分）函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．5．（2分）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．6．（2分）在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1） B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．7．（2分）若向量•=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A． B．C． D．【解答】解：由已知向量•=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．8．（2分）设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．9．（2分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞） D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C．10．（2分）函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．11．（2分）函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．12．（2分）设a=log 2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：log 2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C．13．（2分）函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移 D．向左平移π【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin （），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．14．（2分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．15．（2分）设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1） C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣2时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x 1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．16．（2分）设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．17．（2分）计算：=（）A．B．C．D．﹣【解答】解：===．故选：A．18．（2分）若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3}D．{﹣1，﹣3，3}【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．19．（2分）若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．20．（2分）如图，已知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N 为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．21．（3分）设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．22．（3分）设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若•=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又•=||2，所以2，所以；故选：B．23．（3分）设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选：D．24．（3分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选：D．25．（3分）在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由•=6，则（）==﹣（）=6，即﹣•（）•（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．（3分）若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．27．（3分）设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣28．（3分）计算：log89•log32﹣lg4﹣lg25=﹣．【解答】解：log89•log32﹣lg4﹣lg25=log23•log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：﹣29．（3分）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则•的最小值是．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴•=（cosθ﹣1，sinθ）•（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即•的最小值是﹣．故答案为：﹣．30．（3分）若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．三、解答题（共3小题，满分30分）31．（8分）已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．32．（10分）设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．33．（12分）设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a ＜3时，f （x ）min =min {f （﹣3），f （）}=min {﹣5|3﹣a |，﹣}，当﹣5|3﹣a |=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f （x ）min =，（3）若﹣a ≤﹣3＜，即3≤a ＜8时，f （x ）min =f （﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a ≥8，f （x ）min =f （﹣3）=15﹣5a ．综上可得，f （x ）min =．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。