苏教版数学高一必修四 作业 1.3.1三角函数的周期性

一、填空题 1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|
＝π. 答案：π
2．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3
. 答案：π3
3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，
则正整数k 的最小值应是________． 解析：∵T ＝2πk 4
＝8πk ≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.
答案：13
4．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数
②f (x )是周期为2的函数
③f (x )是周期为12
的函数 ④f (x )是周期为π的函数
解析：f (x )＝sin(πx －π2
)－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ
＝2. 答案：②
5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴f (0)＝0.
又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，
∴函数f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (6)＝f (2)． 由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.
答案：0
二、解答题
6．求下列函数的最小正周期．
(1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ；
(2)f (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π|－16
|＝12π， 即函数f (x )＝2sin(π3－16
x )的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos(mx ＋π6)(m ≠0)的最小正周期为2π|m |
. 7．已知函数f (n )＝sin n π6
(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)． 解：由诱导公式知sin(n ＋126π)＝sin(n π6＋2π)＝sin n π6
， ∴f (n ＋12)＝f (n )，
且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6
＝2＋ 3.
8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？
(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线
上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.。