欧式几何
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
欧几里德几何
欧几里德几何简称“欧氏几何”。
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。
三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。
高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。
数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
公理描述[编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都全等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
欧氏图形与拓扑图形
欧式几何的传统描述是一个公理、公设系统，通过有限的公 理、公设来证明所有的“真命题”。
欧式几何的五条公设是： 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为 半径作一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之 和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有 趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四 面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正 二十面体。
拓扑性质
拓扑等价 在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它
的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没 有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形 状都可以改变。Fra bibliotek拓扑性质
欧式几何的五条公理是： 1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量，其和仍相等。 3、等量减等量，其差仍相等。 4、彼此能够重合的物体是全等的。 5、整体大于部分。
拓扑图形
拓扑学
拓扑学（ Topology原意为地貌）是近代 发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
分类
代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学:它是十九世纪形成的一门数学分支， 属于几何学的范畴.
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在 拓扑变换下不变。
拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们 在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下 保持不变，只要在变形过程中不使原来不同 的点重合为同一个点，又不产生新点。
拓扑图形
拓扑图形
拓扑学研究的对象与长短、大小、面积、体积 等度量性质和数量关系都无关它，研究的是几 何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些 特性。
欧式几何的思维逻辑
欧式几何的思维逻辑欧式几何是指基于欧几里得公理体系和几何性质的一种几何学体系。
在欧式几何中，通过一些基本的公理，建立了一套逻辑严谨的推理体系，从而推导出各种几何性质和定理。
本文将从欧几里得公理出发，介绍欧式几何的思维逻辑。
欧几里得公理是欧式几何的基石，它包括了以下五个公理：1. 任意两点之间可以作出一条直线段2. 任意一条有限的直线段可以延长成为一条无限长的直线3. 任意一条直线段可以以其一端为中心、任意长度为半径做圆4. 所有直角都是相等的5. （平行公理）如果一条直线上的一点与另外一个不在这条直线上的点连成的直线与这条直线的交角等于90度，那么这条直线与原直线平行。
欧式几何的思维逻辑在于通过这些公理来推导出几何性质和定理。
例如，我们可以利用公理1和公理2来推导出直线段的唯一性，即通过两点可以确定一条唯一的直线段。
此外，欧式几何还通过公理3来推导出圆的性质和定理。
例如，我们可以通过公理3和公理4得出圆心角的性质，即圆心角是圆上两条弧所对的角，它们所代表的弧长是相等的。
欧式几何的推理通常采用反证法和剪切法。
反证法是一种证明方法，通过假设反面结论的正确性，然后利用已知公理和定理推导出矛盾来推翻假设，从而证明原结论的正确性。
剪切法是通过对图形进行操作和构造，从而达到证明几何性质和定理的目的。
在欧式几何中，还存在一些基本概念和定理，如平行线的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等。
这些概念和定理通常需要通过推理和证明来得到。
欧式几何的思维逻辑也体现了以证明和推理为中心的数学思想。
它注重从已知出发，通过推理进行逻辑推导，最终得到结论。
欧式几何的思维逻辑还可以应用到其他领域，如物理学和工程学中的几何问题。
总之，欧式几何的思维逻辑是基于欧几里得公理体系，通过推理和证明推导出几何性质和定理的逻辑思维。
通过公理的应用和推理的过程，我们可以建立起一套逻辑严谨的推理体系，并且将其应用到实际问题中。
这种思维逻辑不仅可以用于解决几何问题，还可以培养人的逻辑思维能力。
欧氏几何介绍
数学分支之欧氏几何欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。
在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。
后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
一座不朽的丰碑欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。
这部划时代的著作共分13卷，465个命题。
其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。
真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。
我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。
这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。
在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
欧几里德采用的正是这种方法。
他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。
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生活中的几何——欧式几何◆您现在正在阅读的生活中的几何——欧式几何文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!生活中的几何——欧式几何“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。
“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。
几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。
虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。
几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。
古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。
大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。
几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。
两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。
柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。
亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。
到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
欧式几何学
欧式几何学
欧氏几何法主要是以欧几里得公理为基础，建立几何学理论，研究图形性质的一种数学方法。
它的创始人是古代希腊数学家欧几里得(Euclid)。
公元前7世纪左右，希腊学者泰勒斯把古埃及尼罗河泛滥后为修整土地产生的几何知识传入希腊，通过毕达哥拉斯学派和雅典学派的希波克拉底、柏拉图、欧多克索斯等人的工作，使希腊亚历山大学派的创始人欧几里得在公元前约300年完成《几何原本》，为几何学系统化和公理化奠定了基础。
欧几里得的《几何原本》几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容，在历史上受到很高的评价，但它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。
德国数学家希尔伯特(D.Hilbert)于1899年发表名著《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系。
希尔伯特首先抽象地把几何基本对象叫做点、直线、平面，作为不定义的元素，然后用5组公理：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理作为推理的基础，逻辑地推出欧几里得几何的所有定理，因而使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的体系，这就是所谓希尔伯特公理体系。
希尔伯特公理体系的完成，使欧氏几何法的完善工作告一段落，且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大发展，甚至影响到物理、力学等科学领域。
数学分支之欧式几何-精选学习文档
数学分支之欧式几何几何学发展简况“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。
“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。
几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。
虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。
几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。
古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。
大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。
几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。
两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。
柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。
亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。
到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。
但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。
欧几里得平面几何公理
欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。
欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。
欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。
以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。
2.任意线段可以无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。
其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。
然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。
在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。
因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。
现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。
通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。
例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。
通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。
尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。
总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。
2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。
3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。
20欧氏几何的公理体系
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
欧式几何的第五公理
欧式几何的第五公理（原创版）目录1.欧式几何的定义和背景2.欧式几何的五大公理3.第五公理的概述和重要性4.第五公理的独立性证明5.第五公理在几何中的应用6.非欧几何的简介7.总结正文一、欧式几何的定义和背景欧式几何，又称为欧几里得几何，是一种数学几何模型。
它的命名来源于古希腊数学家欧几里得，他在公元前 300 年左右编写了一部名为《几何原本》的著作，奠定了欧式几何的基础。
欧式几何主要研究空间中点、线、面的性质和它们之间的关系，以及空间中的距离、角度等问题。
二、欧式几何的五大公理欧式几何有五大公理，它们分别是：1.任意两个点可以通过一条直线连接。
2.任意线段能无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都全等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这五大公理互相独立，可以推导出欧式几何的所有定理和结论。
三、第五公理的概述和重要性第五公理是欧式几何中的一个重要公理，它描述了直线和直线相交的性质。
第五公理是说，在同一平面内，一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
这个公理在几何学中具有重要地位，很多几何定理和结论都是基于它推导出来的。
四、第五公理的独立性证明19 世纪时，数学家 Eugenio Beltrami 证明了第五公理与前四个公理是相互独立的，即不能由前四个公理所证明。
这意味着第五公理是一个独立的假设，它不能从其他公理中推导出来。
五、第五公理在几何中的应用第五公理在几何学中有广泛的应用，它奠定了欧式几何的基础，并且是许多几何定理和结论的推导依据。
例如，通过第五公理，我们可以证明同侧内角和小于 180°的两条直线必定相交，这就保证了几何学中许多定理和结论的正确性。
六、非欧几何的简介除了欧式几何，还有其他类型的几何模型，如罗氏几何、黎曼几何等，它们统称为非欧几何。
欧氏几何公理
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建立过程
总之，欧氏吸取毕氏学派失败的经验，重新「分析」与「整理」既有的几何知识，另辟路径，改几何本身来 建立几何（不用毕式经验式的原子论，即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探 源，最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接着是「综合」，利用10条公理配合 优多诸斯检定法则、反证法（归谬法）与 尺规作图 ，推导出所有的 几何定理 ，这是逻辑的证明过程。
欧氏几何公理
数学术语
01 历史影响
03 建立过程 05 建立动机
目录
02 公理内容 04 欧氏生平
欧氏几何公理是欧几里得建立的几个几何公理，也称欧式几何，它的建立，采用了分析与综合的方法，不止 是单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是所有几何命题的连结成逻辑路。
历史影响
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《 几何原本 》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整 而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动 人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的 方法，用这些定义和公理来研究各种 几何 图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得 几何学 论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。
高中数学知识点精讲精析 欧式几何与球面几何的区别与联系
3.1欧式几何与球面几何的区别与联系1．欧氏几何是几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
2．欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。
在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。
后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
3．欧式几何公理欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧式几何的五条公理是：（1）任意两个点可以通过一条直线连接。
（2）任意线段能无限延伸成一条直线。
（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
（4）所有直角都全等。
（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献
欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献欧氏几何是一种拜占庭数学家Euclid所提出的几何学理论，它是古希腊几何最经典的表述方式。
欧氏几何的思想不仅仅局限于几何问题，而且在精确的表述和推理上也发挥了极大的作用，对近现代数学的发展，有着重要的影响。
欧氏几何以其极其严谨的推理描述，提供了一种以抽象方式表述客观实体的新方式，使得物理学和数学对客观实体的描述更加清晰精辟。
在欧几里得的思想的影响下，古希腊的数学思想和科学取得了长足的发展，以至于欧氏几何本身也成为古典几何的基础手段。
欧氏几何的发展还让人们认识到了一种新的概念：“物体的空间形体在不改变位置和角度的前提下，具有稳定不变的形状”，这一概念对宇宙中物体的描述和分析都具有着极其重要的意义，并且发展成为现代的分析几何和微分几何所依据的基石。
欧氏几何不仅在数学方面有着深远的影响，而且它在建构现代西方文明时也扮演了重要的角色，为现代文明的发展提供了基础思想和方法，是现代文明的关键。
因此，欧氏几何对数学和人类文明的贡献是至关重要的，它提供了抽象的思维模式，为数学理论的发掘和发展提供了新的原料，促进了人类文明的进程。
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欧式几何内容
欧式几何内容欧式几何是几何学中的一门重要分支，它以欧几里德为基础，研究了点、线、面及其关系，探讨了几何形体的性质和性质之间的联系。
欧式几何的研究方法以逻辑推理为基础，通过定义、公理和定理等形式，建立了严密的推理体系。
在欧式几何中，点是最基本的元素，它没有大小和形状，仅有位置。
点可以用字母来表示，例如用A表示一个点。
线是由无数点组成的，它有长度但没有宽度，可以用两个点来确定。
线段是线的一部分，它有两个端点，可以用线段AB来表示从点A到点B的线段。
直线是没有端点的线，可以用字母小写的L来表示。
平面是由无数直线组成的，它没有厚度，可以用大写字母P来表示。
在欧式几何中，有许多基本的概念和性质需要了解。
例如，点与直线的关系有三种可能：点在直线上、点在直线外、点在直线内。
两条直线的关系也有三种可能：相交、平行、重合。
此外，还有角的概念，角是由两条射线组成的，可以用字母小写的a来表示。
角的大小可以用度数来表示，例如角ABC的度数为60度。
欧式几何还研究了三角形、四边形、圆等几何形体的性质和性质之间的关系。
欧式几何的研究方法是基于推理的，通过逻辑关系和定理的应用，可以得出几何形体的性质和性质之间的关系。
例如，如果两条直线相交，并且相交角的度数为90度，则这两条直线垂直。
如果两条直线平行，则其上的任意一对相交角的度数都相等。
欧式几何在数学教育中占据着重要的地位，它培养了学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
通过学习欧式几何，学生可以了解到几何形体的性质和性质之间的联系，发展了他们的几何直观和几何直觉，培养了他们的几何思维和几何推理能力。
欧式几何是几何学中的一门重要分支，它研究了点、线、面及其关系，探讨了几何形体的性质和性质之间的联系。
欧式几何的研究方法以逻辑推理为基础，通过定义、公理和定理等形式，建立了严密的推理体系。
通过学习欧式几何，可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，发展他们的几何直观和几何直觉，培养他们的几何思维和几何推理能力。
三种几何差异
黎曼几何
黎曼流形上的几何学。德国数学家黎曼19世 纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根
大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的
就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在 这篇演说中黎曼将曲面本身看成一个独立的几何 实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一 个几何实体。
黎曼几何的规定：
欧式几何的五条公理：
1、任意两个点点可以通过一条直线连接。 2、任意线线段能无限延长成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心， 该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同 一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直 线在这一边必定相交。
罗氏几何
罗氏几何即双曲几何，也称罗巴切夫斯基
几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何，是一种独 立于欧几里得几何的一种几何公理系统。
罗氏几何的公理：
1、同一直线的垂线和斜线不一定相交。 2、垂直于同一直线的两条直线，当两端延长 的时候，离散到无穷。不存在相似而不全等的
多边形。
3、过不在同一直线上的三点，不一定能做一 个圆。
过直线外一点，无法作一条直线与原直线不相交。
而物理界中，据黎曼几何，光线按曲线运动；而欧 氏几何中，光线按直线运动。
1、基本规定：在同一平面内任何两条直线都 有公共点(交点)。
2、直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
3、黎曼几何的模型是一个经过适当“改进” 的球面。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
欧式、罗氏、黎曼几何的区别
三种几何的区别，主要体现在如何对待
“殴几里得第五公设”。即
过直线外一点，只可以作一条直线
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欧式几何VS非欧几何
1什么是欧式几何？
2.欧式几何的来源？欧几里得
3欧式几何公理有哪些？
4欧式几何的缺陷——出现非欧几何
5什么是非欧几何？
包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何
6三种几何的关系
导出命题
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）
从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
非欧氏几何
非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不
正交（即不成90度）
例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。
当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经
过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
罗式几何
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：
欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线或向平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗式几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。
它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。