17章优化总结

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考点四
定积分中的面积问题
(1)利用定积分求平面图形面积的关 键是画出几何图形，结合图形位置，确 定定积分区间以及被积函数，从而得到 面积的积分表达式，再利用微积分基本 定理求出积分值．
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对于由两条曲线所围成图形的面积 的计算问题，一定要注意结合图形特 征，适当地进行分段处理，要善于转化 为作差法进行求解．
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(2)利用定积分解决变速运动问题和变 力做功问题时，关键是求出物体作变速运 动的速度函数和变力与位移之间的函数关 系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求． 在利用定积分解决物理问题时，务必 使得积分变量与积分的上、下限相一致．
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例4 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0 有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表达式； (2)若直线x＝－t(0<t<1)把y＝f(x)的 图象与两坐标轴所围成图形的面积二等 分，求t的值．
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综上，当a≥0时，函数f(x)的递增区 间是(－1，＋∞)；当a<0时，函数f(x)的 递增区间是(－1，－ 1 －1)，递减区间 a 1 是 (－ －1，＋∞)． a 【点评】 求函数在闭区间上的最 值，首先应判断函数在闭区间上的单调 性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后， 再判断函数在闭区间上的单调性，一般 要用到分类讨论的思想．
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【思路点拨】 要求t的值，根据题意，利 用面积相等，建立方程，求出t的值，另外，利 用定积分求面积要做出草图(如图所示)，再结 合图形确定积分上限和下限．
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【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b， 由已知f′(x)＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2， 所以f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等的实根． 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 所以f(x)＝x2＋2x＋1.
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热点三
生活中的优化问题
本类问题主要是指应用问题中的导 数应用，常常用导数法判断函数的单调 性或求函数的最值．
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例3
某造船公司造船量是20艘，已知 造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋ 45x2－10x3(单位：万元)，成本函数 为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)， 又在经济学中，函数f(x)的边际函数 Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
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1 (2)∵f′(x)≥2x ， ∴ ＋ a≥2x ， x＋1 1 ∴a≥2x－ . x＋1 1 令 g(x)＝2x－ (1≤x≤2)， x＋ 1 1 ∴g′(x)＝2＋ >0， (x＋1)2 ∴g(x)在[1,2]上是增函数， 3 ∴a≥g(1)＝ . 2
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1 (3)f′(x)＝ ＋a. x＋1 1 ∵ >0， x＋1 ∴当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x) 在(－1，＋∞)上是增函数． 1 当 a<0 时， 令 f′(x)＝0， x＝－a－1； 1 若 x∈(－1，－a－1)时，f′(x)>0， 1 若 x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)<0.
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275 ＝－30(x－1)2＋3305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义：随着产 量的增加，每艘与前一艘比较，利润在 减少．
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【点评】 优化问题能较好地体现 数学学以致用的原则，历年来都是高考 的热点问题．解此类问题，常以导数为 工具，合理转化题目中所给函数，进而 判断其单调性，求最值，但要注意所得 结果要有实际意义．
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【点评】 曲边梯形的面积：y＝f(x)与x ＝a，x＝b(a<b)及y＝0围成的图形的面积．
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(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30 (x－12)(x＋9)， ∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12， ∴当0<x<12时，P′(x)>0，当x>12 时，P′(x)<0， ∴x＝12时，P(x)有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司 造船的年利润最大．
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例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－9x－6(x∈ R)，l是曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1)) 处的切线．求l的方程． 【思路点拨】 求k＝f′(－1) ．
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【解】 f(x)＝x3－ax2－9x－6， f(－1)＝2－a， 切点(－1,2－a)． f′(x)＝3x2－2ax－9，f′(－1)＝2a－6， l斜率为2a－6， ∴切线l的方程：y－(2－a)＝(2a－6)(x ＋1)， 即y＝(2a－6)x＋(a－4)．
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【思路点拨】 (1)f′(0)＝0，验证所 求a值；(2)存在即有解，转化为最值问 题；(3)求导分类讨论．
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1 【解】 (1)f′(x)＝ ＋a， 由 f′(0)＝0， x＋1 x 得 a＝－1，此时 f′(x)＝－ . x＋1
当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间 (－1,0)上单调递增； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间 (0，＋∞)上单调递减． ∴函数f(x)在x＝0处取得极大值，故a＝－1.
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(1)求利润函数P(x)及边际利润函数 MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可 使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递 减区间，并说明单调递减在本题中的实 际意义是什么？
高考热点探究1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3 ＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x ＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．
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【点评】 已知切点是求曲线切线方程 的关键： (1)在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)利用点斜式写切线方程．
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热点二 利用导数研究函数的性质
利用导数可用来研究函数的单调性、 极大(小)值、最大(小)值、值域等，在解 题时应注意区间是开区间还是闭区间．
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例2 已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋ax. (1)当x＝0时，函数f(x)取得极大 值，求实数a的值； (2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x) ≥2x成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，求 实数a的取值范围； (3)求函数f(x)的单调区间．
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热点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)， 其 定 义 用 符 号 表 示 是 当 Δ x 趋 近 于 0 时， f(x0＋Δx)－f(x0) 趋于一个定数，这个定 Δx 数就是f′(x0)．理解导数的几何、物理意 义．会求切线斜率．根据导数的几何意义， 函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率，因此求函数在某 点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导 数即可．