函数的任意性与存在性问题----2017——2018学年度上学期高三年级七调考试衡中同卷

【题源】2017——2018学年度上学期高三年级七调考试衡中同卷

（理科）第9题

【理由】：对函数的任意性与存在性问题的常见类型：对任意的[]1,x a b ∈，都有[]2c,d x ∈，使得()()12f x g x =。

实例：对于甲同学任意从口袋取球，乙同学总是可以从口袋中取出多于或等于甲所取球数，所以乙口袋中的球一定多于或等于甲口袋中的球。

故原命题等价于()f x 的值域()g x ⊆的值域。

【题目】已知e 为自然对数的底数，若对任意的

1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的()0,y ∈+∞使得ln ln 1y y x x a y +++=

成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A. (),0-∞

B. (],0-∞

C. 2,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦

D. (],1-∞-

【答案】B

【解析】：令()ln 1f x x x a =++，

()'0ln 1f x x >=+，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

∴()'0f x > ∴()f x 单调递增

()11a,1f x a e ⎡⎤∴∈-+++⎢⎥⎣⎦

令()ln x x g x x

+=

，()0,x ∈+∞ 则()'21ln x g x x -=，当()0,e x ∈时()'0g x >，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时()'

0g x <，()g x 单调递减； 当()0,x g x →→-∞

(),1x g x →+∞→

()g x ∴渐近线为1y =

()g x ∴与()f x 一一对应部分为(],1-∞

110

a a ∴+≤∴≤ 选B

【类题关联】（2011湖北八中第二次联考）设()2332

x x f x x -+=-， ()()1,2x g x a a x =>>，若对()()122,,2,x x ∀∈+∞∃∈+∞，使得()()12f x g x =，则 实数a 的取值范围为____________

【答案】(

【解析】： ()2332

x x f x x -+=-()2,x ∈+∞∴设()20x t t -=> 问题转化为求()()()()22323110t t h t t t t t

+-++==++>的值域 由均值不等式()3h t ≥当1t =时取等号，即()[)3,f x ∈+∞

易求()()2,g x a ∈+∞，则()f x 的值域()g x ⊆的值域

213

a a >⎧∴⎨<⎩即1a <<

∴实数a 的取值范围是(