高中数学第三章3.1.2

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第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性第1课时单调性的定义与证明

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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
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合作探究提素养
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定义法证明(判断)函数的单调性
【例 1】证明：函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2 ―→ 作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx2>fx1 ―结―论→ 减函数
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．
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3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
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所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
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提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.
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1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
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∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．

高中数学第三章函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性第1课时单调性的定义与

第1课时单调性的定义与证明(教师独具内容)课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明．教学难点：函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？提示：从图像上可以看出0～4时气温下降，4～14时气温逐渐上升，14～24时气温又逐渐下降．学习了本节内容——函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作．【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□01f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上□02单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□03f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上□04单调递减)．知识点二函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是□01增函数或是□02减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I 为区间时，称I为函数的□03单调区间，也可分别称为□04单调递增区间或□05单调递减区间)．知识点三函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有□01f(x)≤f(x0)，则称f (x )的最大值为f (x 0)，而□02x 0称为f (x )的最大值点；如果对任意x ∈D ，都有□03f (x )≥f (x 0)，则称f (x )的最小值为f (x 0)，而□04x 0称为f (x )的最小值点．最大值和最小值统称为□05最值，最大值点和最小值点统称为□06最值点．【新知拓展】1．当函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数时，不能说f (x )在A ∪B 上是增(减)函数，如f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f (x )＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1<1＝x 2，有f (－1)＝－1<1＝f (1)，不符合减函数的定义．2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (1)这个区间可以是整个定义域．例如，y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数．(2)这个区间也可以是定义域的真子集．例如，y ＝x 2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(3)有的函数不具有单调性．例如，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性；y ＝x ＋1，x ∈Z ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性．3．区间端点的写法对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．例如，y ＝x 2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y ＝1x在[0，＋∞)上为减函数．4．对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x 0，使f (x 0)等于最值，如f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0.(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省．(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个．(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．( )(3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．( )(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．( )(5)任何函数都有最大值或最小值．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)＝x的图像如图1所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图像如图2所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)函数y＝－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．(4)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．答案(1)①上升的②(－∞，＋∞)增大增函数(2)①下降的 ②(－∞，＋∞) 减小减函数 (3)(－∞，0] [0，＋∞) (4)1题型一函数单调性的判断与证明例1 用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数；(2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [证明] (1)设x 1，x 2是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34，则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数．(2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－3，＋∞)，得x 1>－3，x 2>－3，即x 1＋3>0，x 2＋3>0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [条件探究] 若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f (x )的单调性．解设x 1，x 2是(－∞，－3)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－∞，－3)，得x 1<－3，x 2<－3，即x 1＋3<0，x 2＋3<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－3)上是减函数．金版点睛函数单调性的判断判断函数f (x )的单调性通常有定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1<x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[跟踪训练1] 利用定义判断函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上的单调性．解任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2＋2－x 1x 1＋2＝x 2x 1＋2－x 1x 2＋2x 2＋2x 1＋2＝2x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵x 1<x 2且x 1，x 2∈(0，＋∞)，∴x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上是增函数.题型二求函数的单调区间例2 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图像，并指出函数的单调区间． [解] 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4，x ≥0，－x ＋12＋4，x <0，作出函数的图像如下图所示：所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数，在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数．金版点睛求函数的单调区间(1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)利用其单调性来判断；②图像法；③定义法．(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[跟踪训练2] 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间．解函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像如图所示．由图像可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).题型三利用函数的单调性比较大小例3 已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．[解] ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值．又f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)．金版点睛利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．[跟踪训练3] 若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析当a <0时，a >2a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a )<f (2a )，故A 不正确．当0<a <1时，a 2<a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2)>f (a )，故B 不正确．当a ＝0时，a 2＋a ＝a ＝0，所以f (a 2＋a )＝f (a )，故C 不正确．因为a 2＋1>a 2，函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2＋1)<f (a 2)，故D 正确.题型四利用函数的单调性解不等式例4 已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．[解] ∵函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，① 又∵f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，即x <32.②由①②可得1≤x <32，即自变量x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32. 金版点睛利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f (x 1)<f (x 2)，若f (x )在(a ，b )上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b ；若f (x )在(a ，b )上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b .必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论．[跟踪训练4] 已知函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求t 的取值范围．解 ∵函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t .∴t >13，即t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.题型五利用函数的单调性求参数的取值范围例5 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是递减的，求实数a 的取值范围．[解] f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数图像的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 金版点睛利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[跟踪训练5] 若函数f (x )＝4x 2＋mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [16，＋∞)解析由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x ＝－m8，若函数f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－m8≤－2，即m ≥16.题型六利用函数的单调性求最大(小)值例6 求函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上的最大值和最小值． [解] 任取x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1－1－2－x 2－1＝2[－x 2＋1＋x 1＋1]x 2＋1x 1＋1＝2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1，因为2≤x 1<x 2≤6，所以x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0.于是2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上是递增的，所以函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值和最大值，即f (x )max ＝f (6)＝－27，f (x )min ＝f (2)＝－23.金版点睛利用函数的单调性求最值(1)利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数的图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练6] 求函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解任取x 1，x 2，使1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22x 1－3x 2－3＝x 2－x 1[3x 1＋x 2－x 1x 2]x 1－3x 2－3，因为1≤x 1＜x 2≤2，所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上为减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－12，f (x )min ＝f (2)＝－4.1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，则函数f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数答案 B解析 ∵(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－f x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－f x 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明函数f (x )在(a ，b )上为减函数．2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．f (x )在区间[－5，－3]上单调递增B ．f (x )在区间[1,4]上单调递增C ．f (x )在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．f (x )在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.3．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12C.13D ．－12 答案 B解析因为函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，所以函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为y min ＝13－1＝12.故选B. 4．若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析题中二次函数图像的对称轴为x ＝a ，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a ]上单调递减，∴a ≥2.5．用单调性的定义证明：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．证明设x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以，函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．。

高中数学第三章直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂

由斜率公式,得
k1=��3-2-��-��3
=
3��--��5��,k2=
��-2-3 -1-2
=
��-��-35.
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
即3-��
��-5
×
��-5 -3
=-1,解得 a=0.
综上所述,a 的值为 0 或 5.
做一做1 已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点
(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=
.
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
2.两条直线垂直与斜率的关系
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积
等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
解:(1)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率为 0,所以 l1⊥l2.
(2)由题意,知 l2 的斜率 k2 一定存在,l1 的斜率可能不存在.
当 l1 的斜率不存在时,3=a-2,即 a=5,此时 k2=0,
则 l1⊥l2,满足题意.
当 l1 的斜率 k1 存在时,a≠5,
在,MN 与 PQ 不平行,不合题意;
当 m=-1 时,直线 MN 的斜率不存在,而直线 PQ 的斜率存在,MN
与 PQ 不平行,不合题意;
当 m≠-2,且 m≠-1 时,kPQ=��4--(��-��2) = ��4��-+��2,
kMN=��3+-21-1 = ��2+1. 因为直线 PQ∥直线 MN,所以 kPQ=kMN,

高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.2.1排列与排列数课件新人教B版选择性必修第二册

3.5A！××33××22×1＝15.
4．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是 _1_2_3_,_1_3_2_,2_1_3_,_2_3_1_,3_1_2_,_3_2_1______．解析：用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 两个排列的对象相同，则这两个排列是相同的排列．( ) × 因为相同的两个排列不仅对象相同，而且对象的排列顺序相同．
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
2．由 1 知 A24 ＝4×3 ＝12，A34 ＝4×3×2 ＝24，你能否得出 A2n的意义和 A2n的值？
[提示] A2n的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个对象 a1，a2，…，an 中任取 2 个对象去填空，一个空位填一个对象，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样
题型三排列数公式的推导及应用
状元随笔 1.两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡
片进行组数字游戏．从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
[提示] 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A24 ＝4×3 ＝12 个无重复数字的两位数；若选出 3 个能构成 A34 ＝4×3×2 ＝24 个无重复数字的三位数．
题型一排列的概念
例 1 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信．

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21

①( AB + BC )+ CC1 ;②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 ;③( AB + BB1 )+ B1C1 ;④ ( AA1 + A1B1 )+ B1C1 .
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.
自主学习课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义与平面向量一样,在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式（2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关

3.1.2 等式的性质

坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”
知1－练
1 等式两边都加上(或____减______)同一个 ___数_______(或___式__子___)，结果仍相等；用字母表示：如果a＝b，那么a±c＝___b_±__c__．
2 若m＋2n＝p＋2n，则m＝____p____．依据是等式的性质____1____，它是将等式的两边 __同__时__减__去__2_n___．
知3－讲
例5 已知2x2＋3x＝5，求多项式－4x2－6x＋6的值．导引：要求多项式－4x2－6x＋6的值，求出x的值或－
4x2－6x的值即可．而x的值目前我们无法求出，所以我们需求出－4x2－6x的值．解：因为2x2＋3x＝5，所以－4x2－6x＝－10(等式两边同时乘－2)，所以－4x2－6x＋6＝－4(等式两边同时加6)．
知1－讲
例1 根据等式的性质填空，并在后面的括号内填上变形的根据． (1)如果4x＝x－2，那么4x－__x__＝－2( 等式的性质1 )； (2)如果2x＋9＝1，那么2x＝1－__9__( 等式的性质1 )；
导引：(1)中方程的右边由x－2到－2，减了x，所以左边也要减x；(2)中方程的左边由2x＋9到2x，减了9，所以右边也要减9.
第三章一元一次方程
3.1 从算式到方程
第2课时等式的性质
1 课堂讲解 2 课时流程

高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1，故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法设x 2＋2＝t. (2)待定系数法设f(x)＝ax ＋b.题型三求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10，故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}．例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)．由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法数形结合利用图象求分段函数的最值例求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值．【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。

2021年高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率_导数课件11苏教版选修1_1

思维启迪解析探究提高
求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：思维启迪解析 (解(23(((())1234∵y))))＝yyyy(y1＝＝＝＝＝s)inyxexsl′ 23nix＋2n·x(＝ lx222n1＋＋x2＋(x＋eπ3x； 1xxx1＋·＝2＋l5，n)π312．xx∴1－)3；′y12；′c＝o＝se4x3lxnx＋2x－3＋ 2πx23e..x·1x＝ex(ln x＋1x)．
线可能有多条．
根底知识·自主学习
要点梳理
难点正本疑点清源
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线〞与“过点P(x0，y0 的切线〞的区别与联系
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝ αxα－1 (α 为常数)；
(2)(ax)′＝ axln a (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝ xlogae ＝ xln a
(a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ ex ； 1
(5)(ln x)′＝ x ；
(6)(sin x)′＝ cos x ；
(3) gfxx′＝ f′xgx－fxg′x
g2x
(g(x)≠0)．
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯一的一条切线．

课件1：3.1.2空间向量的基本定理

点，点G在MN上，且MG＝2GN，设
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
→ OC
＝c，
试求向量O→G在基底{a，b，c}下的分解式．
【解】如图所示，由线段中点的向量表达式，得O→G＝O→M
＋
M→G
＝
O→M
＋
2 3
M→N
＝
1 2
O→A
＋
2 3
(
M→O
＋
O→C
＋
C→N
)
＝
1 2
a
＋
2 3
－12a＋c＋12
b－c
1．判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
2．向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．
2．证明空间三个向量共面，常用如下方法： ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a、b、c共面； ②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
1．在下列条件下，使M与A，B，C一定共面的是( ) A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C B.O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝0 C.M→A＋M→B＋M→C＝0 D.O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？【提示】是．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .

高中数学第三章函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 第1课时函数的单调性的定义与证明精品

第1课时函数的单调性的定义与证明必备知识基础练进阶训练第一层知识点一函数单调性的判断与证明1.函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意不等实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，则函数f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 3．用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数；(2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数．知识点二求函数的单调区间4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则该函数的减区间为( ) A ．(－3,1)∪(1,4) B ．(－5，－3)∪(－1,1) C ．(－3，－1)，(1,4) D ．(－5，－3)，(－1,1)5．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．(－∞，＋∞)6．函数y ＝1x －1的单调递减区间是________. 知识点三函数单调性的应用7.若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)9．若函数f (x )＝4x 2＋mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值X 围为________.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋42．下列说法中，正确的有( ) ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．04．当y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈(－∞，1)是单调函数时，b 的取值X 围是( ) A ．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－2) 5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1] 6．(易错题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________，单调递增区间是________．8．已知函数f (x )＝|x ＋a |在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值X 围是________． 9．若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值X 围是________．三、解答题10．(探究题)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－3，－1)C ．(0,1)D ．(1,3)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)3．(学科素养—数学抽象)函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3.3．1.2 函数的单调性第1课时函数的单调性的定义与证明必备知识基础练1．解析：∵(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－f x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－f x 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明函数f (x )在(a ，b )上为减函数．答案：B2．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量的值必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.答案：D3．证明：(1)设x 1，x 2是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34，则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数．(2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－3，＋∞)，得x 1>－3，x 2>－3，即x 1＋3>0，x 2＋3>0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． 4．解析：在某个区间上，若函数y ＝f (x )的图像从左到右是上升的，则该区间为增区间，若从左到右是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．答案：C5．解析：y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴当x ≤－12时单调递减．答案：C 6.解析：解法一 y ＝1x －1的图像可由y ＝1x的图像向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．解法二函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．7．解析：∵f (x )在(－∞，＋∞)为减函数，且a 2＋1>a 2，∴f (a 2＋1)<f (a 2)．选D. 答案：D8．解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C9．解析：由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x ＝－m8，若函数f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－m8≤－2，即m ≥16.答案：[16，＋∞)关键能力综合练1．解析：B 项在R 上为减函数；C 项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D 项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A 项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.答案：A2．解析：①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.答案：B3．解析：当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为增函数，所以2a ＋1－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为减函数，所以a ＋1－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2，故a ＝±2.答案：C4．解析：由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.答案：B5．解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值X 围为(0,1]．答案：D6．解析：要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －1×1＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13.答案：C7．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．单调递增区间为(1，＋∞)答案：(－∞，1) (1，＋∞)8．解析：当x ∈R 时，f (x )＝|x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，∴f (x )的递减区间为(－∞，－a ]．由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a ]， ∴－a ≥1，即a ≤－1. 答案：a ≤－19．解析：因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞10．解析：(1)由x 2－1≠0，得x ≠±1，所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1－1x 22－1＝x 2－x 1x 1＋x 2x 21－1x 22－1.因为x 2>x 1>1，所以x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．学科素养升级练1．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3.又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图像的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图像与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选BC. 答案：BC2．解析：画出f (x )的图像(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.答案：A3．解析：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)＞1.∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．故f (x )在R 上是增函数． (2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴原不等式可化为f (3m －2)<f (2)．∵f (x )在R 上是增函数，∴3m －2<2，解得m ＜43.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43.。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理1121数学

O P xO A yO B zO （ C其 x中 yz， 1)
第十页，共十三页。
应用1.已知点M在平面ABC内，并且(bìngqiě)对空间任
意一点O， OMxOA＋ 1 3OB＋ 1 3O ,C 则x的值为：
应用2.已知A、B、C三点不共线(ɡònɡ xiàn)，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
注:
1.
2.
若由向ap ,量b 不x共aa , 线by 线((ɡb òn性ɡ xi表àna);示,不Abb;共Ca 线B (ɡònɡ
p
P
xiàn)),则称向量 p
3. 与平面向量基本定理形式同，实质也同。
第七页，共十三页。
例1 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于
AD，点M,N分别在对角线BD,AE上，且
( 1 )O P 2 O A 1 O B 2 O C;
5
5
5
( 2 ) O P 2 O A 2 O B O C ；
第十一页，共十三页。
小结(xiǎojié)
本节课的收获(shōuhuò)：
1.共面向量的定义(dìngyì)； 2.共面向量定理；
3.判断、证明线面平行；
4.理解空间四点共面证明方法.
第十二页，共十三页。
内容总结 (nèiróng)
3.1.2共面向量定理。这一平面(píngmiàn)内的任一向量，有且只有一对。共面向量:能平移到同一平面(píngmiàn)内的向量,叫做共面向量.。例1 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面(píngmiàn)相交于AD，
No 点M,N分别在对角线BD,AE上，且。的三点P ,A,B是否共线。例2 设空间任意一点O和不共线三点A、B、

人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时分段函数课件

月份
1
2
3
合计
计费金额/元 114 75
45.6
234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
[解] (1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝ 0.57x；当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
×
(2)分段函数有多个定义域． ( )
×
(3)分段函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线．
()
×
(4)函数f (x)＝|x|可以用分段函数表示．( )
√
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 分段函数的求值问题类型2 分段函数的图象及应用类型3 分段函数的实际应用
◆ 类型1 分段函数的求值问题
√ √
BD [由题意知函数f (x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1
时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f (x)的取值范围是
[0，4)，因此f (x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x＝1时，f (1)＝
12＝1，故C错误；当x≤－1时，f (x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1<x<2

发现规律分段函数的建模 (1) 当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用 _分__段__函__数__模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分__段__画__． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的_各__分__界__点_，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．

高中数学第三章3.1.2 空间向量的数乘运算讲解与例题

3.1.2 空间向量的数乘运算问题导学一、空间向量的数乘运算活动与探究1如图所示，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值：(1)''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ；(2)'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．迁移与应用1．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF u u u r ＝AD u u u r＋x AB u u u r ＋y 'AA u u u r，则x －y 等于( )．A ．0B ．1C ．12D ．－122．如图，平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AM u u u u r ＝12MC u u u u r ，1A N u u u u r ＝2ND u u u r ，设AB u u u r ＝a ，ADu u u r＝b ，1AA u u u r＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r ．确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可；若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的．但无论哪一种途径，结果应是唯一的．二、共线向量活动与探究2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝12FC1，判断MEu u u r与NFu u u r是否共线？迁移与应用1．已知向量a ，b 且AB u u u r＝a ＋2b ，BC uuu r ＝－5a ＋6b ，CD uuu r ＝7a －2b ，则一定共线的三点为( )．A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点．判断CE u u u r 与MN u u u u r是否共线．1．判断向量a，b共线的方法有两种：(1)定义法，即证明a，b所在基线平行或重合．(2)利用“a＝λb⇒a∥b”判断．2．如果a，b是由空间图形中的有向线段表示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线．三、共面向量活动与探究3已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM u u u u r ＝13OA u u u r ＋13OB uuu r ＋13OC u u u r．(1)判断MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．迁移与应用1．下列说法中正确的是( )． A ．平面内的任意两个向量都共线 B ．空间的任意三个向量都不共面 C ．空间的任意两个向量都共面 D ．空间的任意三个向量都共面2．如图所示，已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE uuu r ＝k OA u u u r ，OF u u u r ＝k OB uuu r ，OG u u u r＝k OC u u u r ，OH u u u r ＝k OD u u u r，求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面AC ∥平面EG ．1．证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明．2．利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．3．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r＋y MB u u u r．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)λa 向量 (2)①相同 ②0 ③相反 ④|λ| (3)①λa ＋λb λa ＋μa ②(λμ)a预习交流1 提示：OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝OM u u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u u ur ＋23(MO u u u u r ＋OC u u u r ＋CN u u u r )＝12a ＋2311+()22⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦a c b c ＝12a －13a ＋23c ＋13b －13c ＝16a ＋13b ＋13c ． 2．(1)互相平行或重合共线向量平行向量 (2)a ＝λb (3)方向向量 OA u u u r ＋t AB u u u r预习交流2 提示：由加法的平行四边形法则知①中P ，A ，B 三点不共线；②中向量表达式可化为PA u u u r ＝－2PB u u u r，故三点共线；同理③中P ，A ，B 三点也共线．3．(1)同一个平面 (2)(x ，y ) x a ＋y b (3)x AB u u u r ＋y AC u u u r OA u u u r ＋x AB u u u r＋y AC u u u r预习交流3 (1)提示：不成立．因为当p 与a ，b 都共线时，存在不唯一的实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立．当p 与a ，b 不共线时，不存在实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立．(2)提示：原式可以变形为OP uuu r ＝(1－y －z )OA u u u r ＋y OB uuu r ＋z OC u u u r， ∴OP uuu r －OA u u u r ＝y (OB uuu r －OA u u u r )＋z (OC u u u r －OA u u u r)，即AP u u u r ＝y AB u u u r＋z AC u u u r ．∴点P 与点A ，B ，C 共面．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出x ，y ，z 的值．解：(1)因为'BD u u u u r ＝BD u u u r ＋'DD u u u u r＝BA u u u r ＋AD u u u r ＋'DD u u u u r ＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋'AA u u u r ，又'BD u u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z 'AA u u u r ，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1．(2)因为AE u u u r ＝'AA u u u r ＋'A E u u u u r ＝'AA u u u r ＋12''A C u u u u ur＝'AA u u u r ＋12(''A B u u u u u r ＋''A D u u u u u r )＝'AA u u u r ＋12''A B u u u u u r ＋12''A D u u u u u r＝12AD u u ur ＋12AB u u u r ＋'AA u u u r ，又AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z 'AA u u u r ，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1．迁移与应用 1．A解析：如图所示，∵AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r，∴'DF x AB y AA =+u u u r u u u r u u u r ．∴1''2DC xAB y AA =+u u u ur u u u r u u u r ． ∴1''2AB xAB y AA =+u u uu r u u u r u u u r 'xAB yBB =+u u u r u u u r ．∴11'''22AB BB xAB yBB +=+u u uu r u u u r u u u r u u u r ． ∴12x y ==，x －y ＝0．2．解：MN u u u u r ＝MC u u u u r ＋CD uuu r ＋DN u u u r ＝23AC u u u r －AB u u u r ＋131DA u u uu r＝23(AB u u ur ＋AD u u u r )－AB u u u r ＋13(1DD u u u u r ＋11D A u u u u r ) ＝23(AB u u ur ＋AD u u u r )－AB u u u r ＋13(1AA u u u r －AD u u u r ) ＝－13AB u u ur ＋13AD u u u r ＋131AA u u u r＝－13a ＋13b ＋13c ．活动与探究2 思路分析：结合给出的平行六面体，利用向量的线性运算对ME u u u r 或NFu u u r 进行化简转化，根据共线向量定理进行判断．解：由已知可得：ME u u u r ＝1MD u u u u r ＋11D A u u u u r ＋1A E u u u r＝12BA u uu r ＋CB u u u r ＋131A A u u u r ＝－NB uuu r ＋CB u u u r ＋131C C u u u u r ＝CN u u u r ＋FC uuu r ＝FN u u u r ＝－NF u u u r ．所以ME u u u r＝－NF u u u r ，故ME u u u r 与NF u u ur 共线．迁移与应用 1．A 解析：因为BD u u u r ＝BC uuur ＋CD uuu r ＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2AB u u u r ，所以AB u u u r 与BD u u u r共线，即A ，B ，D 三点共线．2．解：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AF u u u r ＋FN u u u r ＝12CA u u u r ＋AF u u u r ＋12FB u u u r ．又∵MN u u u u r ＝MC u u u u r ＋CE u u u r ＋EB u u u r ＋BN u u u r＝－12CA u uu r ＋CE u u u r －AF u u u r －12FB u u u r ，∴12CA u uu r ＋AF u u u r ＋12FB u u u r ＝－12CA u uu r ＋CE u u u r －AF u u u r －12FB u u u r ．∴CE u u u r ＝CA u u u r ＋2AF u u u r ＋FB u u u r ＝2(MA u u u r ＋AF u u u r ＋FN u u ur )＝2MN u u u u r ， ∴CE u u u r ∥MN u u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u u r共线．活动与探究3 思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在实数x ，y ，使MA u u u r ＝x MB u u u r＋y MC u u u u r，证明了三个向量共面，点M 就在平面内．解：(1)∵OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r ＝3OM u u u u r， ∴OA u u u r －OM u u u u r ＝(OM u u u u r －OB uuu r )＋(OM u u u u r －OC u u u r)，∴MA u u u r ＝BM u u u u r ＋CM u u u u r ＝－MB u u u r －MC u u uu r ．∴向量MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 共面．(2)由(1)向量MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 共面，三个向量又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面．即点M 在平面ABC 内．迁移与应用 1．C2．证明：(1)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，EG u u u r ＝OG u u u r －OE uuu r ＝k OC u u u r －k OA u u u r ＝k AC u u u r ＝k (AB u u u r ＋AD u u u r )＝k (OB uuu r －OA u u u r ＋OD u u u r －OA u u u r )＝OF u u u r －OE uuu r ＋OH u u u r －OE uuu r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ．所以E ，F ，G ，H 共面．(2)EF u u u r ＝OF u u u r －OE uuu r ＝k (OB uuu r －OA u u u r )＝k AB u u u r，且由第(1)小题的证明中知EG u u u r ＝k AC u u u r，于是EF ∥AB ，EG ∥AC ．所以平面EG ∥平面AC ．当堂检测1．当|a|＝|b|≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )． A ．共面 B ．不共面 C ．共线 D ．无法确定答案：A 解析：空间中任何两个向量都是共面向量，但不一定共线． 2．下面关于空间向量的说法正确的是( )． A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB u u u r ，CD uuur 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r不共面答案：D 解析：可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B ，C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．3．如图所示，已知空间四边形ABCD 中，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF u u u r ＝λ(AB u u u r＋DC u u u r)，则λ＝______．答案：12 解析：如图所示，取AC 的中点G ，连结EG ，GF ，则EF u u u r ＝EG u u u r ＋GF u u u r ＝12(AB u u u r ＋DC u u u r )．∴12λ=． 4．在空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ．若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--u u u r u u u r u u u r u u u r 的化简结果为__________．答案：0 解析：如图，延长DE 交BC 于点F ，根据题意知F 为BC 的中点．又因为E 为正三角形BCD 的中心，所以DE u u u r ＝23DF u u u r 即DF u u u r ＝32DE u u u r ，所以AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r ＝(AB u u u r －AD u u u r )＋BF u u u r －32DE u u u r ＝DB u u u r ＋BF u u u r －DF u u u r ＝DF u u u r －DF u u u r ＝0．5．已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12'23AA BC AB ++u u u r u u u r u u u r ，并在图中标出其结果；答案：解：)如图，取AA ′的中点E ，则12'AA u u u r ＝'EA u u u r ．又BC uuu r ＝''A D u u u u u r ，AB u u u r ＝''D C u u u u u r ，取F 为D ′C ′的一个三等分点2'''3D F D C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'D F u u u u r ＝23AB u u u r ． ∴12'AA u u u r ＋BC uuu r ＋23AB u u u r ＝'EA u u u r ＋''A D u u u u u r ＋'D F u u u u r ＝EF u u u r ． (说明：表示方法不惟一) (2)设M 是底面平行四边形ABCD 的中心，N 在侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上，且BN ＝3NC ′，设MN u u u u r ＝αAB u u u r ＋βAD u u u r ＋γ'AA u u u r ，试求α，β，γ的值．答案：解：MN u u u u r ＝MB u u u r ＋BN u u u r ＝12DB u u u r ＋34'BC u u u u r ＝12(DA u u u r ＋AB u u u r )＋34(BC uuu r ＋'CC u u u u r )＝12(－AD u u u r ＋AB u u u r )＋34(AD u u u r ＋'AA u u u r )＝12AB u u u r ＋14AD u u u r ＋34'AA u u u r ， ∴12α=，14β=，34γ=．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。

2019年高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定(含解析)

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。

其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。

3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。

因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。

以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。

6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。

高中数学第三章函数概念与性质3.1.2函数的表示法函数的表示法第一册数学教案

第1课时函数的表示法考点学习目标核心素养函数的三种表示方法了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当方法表示函数数学抽象求函数的解析式掌握求函数解析式的常用方法数学运算函数图象的作法及应用会作函数的图象并从图象上获取有用信息直观想象问题导学预习教材P67，并思考以下问题：1．函数的表示方法有哪几种？2．函数的表示方法有什么特点？函数的表示法■名师点拨(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )答案：(1)×(2)×已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )A ．y ＝1x B ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x2解析：选C.设y ＝k x ，由题意得1＝k2，解得k ＝2，所以y ＝2x.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________．x 1 2 3 4 f (x )3241解析：由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1. 答案：1函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1) 函数的三种表示方法某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解】 (1)列表法：x /台1234 5 6 7 8 9 10 y /元 3 000 6 000 9 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}．(1)函数三种表示方法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是________．x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20 y＝f(x)46810当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1，2，3，5}．答案：{1，2，3，5}3．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：x 1 2 3 f (x ) 2 3 1 x 1 2 3 g (x )321则方程g (f (x ))＝x 的解集为________．解析：当x ＝1时，f (1)＝2，g (f (1))＝2，不符合题意；当x ＝2时，f (2)＝3，g (f (2))＝1，不符合题意；当x ＝3时，f (3)＝1，g (f (3))＝3，符合题意．综上，方程g (f (x ))＝x 的解集为{3}．答案：{3} 求函数的解析式(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【解】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，所以f (t )＝(t －1)2＋2（t －1）2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .于是得到关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f （x ）＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．1．(2019·辽源检测)设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝1＋x 1－xB ．f (x )＝1＋xx －1C ．f (x )＝1－x1＋xD ．f (x )＝2x x ＋1解析：选C.令t ＝1－x1＋x ，解得x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t1＋t ，所以f (x )＝1－x1＋x.2．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解：因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① 所以将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ②×2－①得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .函数图象的作法及应用作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2，2]．【解】 (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345当x ∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)列表：x2345…y 123 12 25…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8]．函数y＝f(x)图象的画法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋2，|x|≤3；(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.解：(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)；(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )A．2 B．4C．0 D．3解析：选C.结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4解析：选A.法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，所以f (x )＝3x ＋2.3．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝x －mx的图象过点(5，4)，所以4＝5－m5，解得m ＝5.答案：54．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．解：因为f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.[A 基础达标]1．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )C ．(0，20]D ．N *解析：选B.由表格可知，y 的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}．2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝( )A ．0B ．8C ．2D ．－2解析：选B.因为f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，即f (x )＝x 2－4x ＋3，所以f (－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：选B.法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝(t ＋1)2－3，所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令x －1＝2，所以x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( )A.23x ＋5 B.23x ＋1 C ．2x －3D ．2x ＋1解析：选A.因为f (x )是一次函数，所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17，整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝5，所以f (x )＝23x ＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________．解析：由函数g(x则f(g(2))＝f(1)＝2.答案：27．(2019·莆田检测)函数y＝x2＋2x－3在区间[－3，0]上的值域为________．解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1，因为x∈[－3，0]，所以当x＝－3时，y max＝0，当x＝－1时，y min＝－4.函数的值域为[－4，0]．答案：[－4，0]8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b＋3＝x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：29.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由题图知值域为[－2，2]．(3)由题图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应． 10．已知函数f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )关于x 2成正比，h (x )关于x 成反比，且g (1)＝2, h (1)＝－3.求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1∈R ，且k 1≠0)，h (x )＝k 2x(k 2∈R ，且k 2≠0)，由于g (1)＝2，h (1)＝－3，所以k 1＝2，k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)，得f (4)＝2×42－34＝612.[B 能力提升]11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x2(x ≠－1)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)解析：选 C.设1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝4t 2＋2t 2＝2t 1＋t 2，即f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．故选C.12．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.13．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．[C 拓展探究]14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22，所以b 2－4ac ＝8a 2；② 又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，c ＝1，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.。

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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有
( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2
D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为
( )
A ．45°
B ．135°
C ．－45°
D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为
( )
A ．1
B ．0
C ．0或2
D ．0或1
5．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝
________.
6．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.
7．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .
(2)已知直线l 1的斜率k 1＝3
4，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a
的值．
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．
二、能力提升
9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是
( )
A ．平行四边形
B ．直角梯形
C ．等腰梯形
D ．以上都不对
10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的
位置关系是____________．
11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________． 12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高
所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
答案
1．A 2．A 3.B 4.D 5．52 6．2 －9
8
7．(1)证明由斜率公式得：
k AB ＝6－310－5＝35，
k CD ＝11－(－4)－6－3
＝－53，
则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .
(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，
即34×a 2
＋1－(－2)0－3a
＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解由斜率公式得k OP ＝t －0
1－0
＝t ，
k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0
＝－1
t ，
k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t .
∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ . ∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形． 9．B 10．平行或重合 11．(－19，－62)
12．解由斜率公式可得
k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，
k BC ＝6－66－0＝0，
k AC ＝6－(－4)0－(－2)
＝5.
由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，
∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．
设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，
即k 1·5
4
＝－1，k 2·5＝－1，
解得k 1＝－45，k 2＝－1
5.
∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；
AB 边上的高所在直线的斜率为－4
5
；
AC 边上的高所在直线的斜率为－1
5.
13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，
∴有2种情形：
(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩
⎪⎨⎪⎧
k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
n －2m －2＝3
－1
n －2m －2·n ＋1
m －5
＝－1
∴⎩⎨⎧
m ＝
165
n ＝－8
5
.
综上⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2n ＝－1或
⎩⎨⎧
m ＝
165
n ＝－85
.。