(整理)隐函数的导数78626
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数是一种无法显式表达的函数，其表示为F(x,y)=0，其中x和y 是变量，F是一个用x和y表示的函数。
为了求解隐函数的导数，我们可以利用隐函数定理和导数的定义来推导隐函数的求导公式。
假设我们有一个由隐函数表示的方程F(x, y) = 0，并且y是x的函数，即y = f(x)。
我们要计算y关于x的导数dy/dx。
首先，根据隐函数定理，假设F(x, y)在一些区域内连续且可导，并且在该区域内F_y(x, y) ≠ 0，那么我们就能通过求F(x, y) = 0对x 求导来获得dy/dx的表达式。
1.对F(x,y)=0两边同时对x求导，利用链式法则，得到：
dF/dx = ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
2. 我们知道y = f(x)，所以dy/dx = df(x)/dx。
我们将这个表达式代入到上面的方程中，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
∂F/∂x + ∂F/∂y * df(x)/dx = 0
3. 然后我们可以将df(x)/dx移项，得到：
∂F/∂y * df(x)/dx = -∂F/∂x
4.最后，我们可以得到隐函数的求导公式：
df(x)/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y
这就是隐函数的求导公式，在满足隐函数定理的条件下，我们可以使用这个公式计算隐函数的导数。
需要注意的是，这个公式的前提是隐函数定理的条件成立，并且存在F_y(x,y)≠0。
如果不满足这些条件，就无法使用这个公式来求解隐函数的导数。
此外，公式中的∂表示对变量求偏导数。
隐函数求导 隐函数方程组求导
dy = 0, dx x=0 x y − x − 2 d y y − xy′ y =− 1 , =− 2 =− 2 2 y3 dx y y 2 d y = −1. 2 dx x=0
dy Fx =− dx Fy
dy y 例 2 已知ln x + y = arctan ，求 . x dx
∂z ∂x ∂y 例 4 设 z = f ( x + y + z , xyz ) ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂z 思路： 思路： ∂z 把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， ∂x ∂x 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 ， ∂y ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . ∂z
解 令 u = x + y + z, 则
v = xyz ,
z = f ( u, v ),
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z + f ⋅ ( yz + xy ∂z ), = f u ⋅ (1 + ) v ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyf v
1 = − 3 [FxxFz2 − 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
∂ ∂ ( Fx )Fz − Fx ( Fz ) 2 ∂ z ∂x = −∂ ∂x 2 Fz2
Fx ∂z =− , Fz ∂x
∂ 2z ∂ 2z 类似地可求得 , 2 ∂ x∂ y ∂ y ②直接法 方程两边连续求导两次
∂z Fx =− ， Fz ∂x
Fy ∂z =− . Fz ∂y
u = F(r, s),r = x, s = y( x)
《隐函数导数》课件
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
隐函数求导法则公式
隐函数求导法则公式
隐函数求导是微积分中的重要内容，它通过已知方程中的一些变
量关系，求出未知变量的导数。
在数学中，隐函数是一种函数，它的
自变量和因变量在方程中没有被以显式的方式表示。
在一些情况下，
我们可以通过隐函数求导法则来求出方程中的隐函数的导数，从而更
好地理解这个函数的变化规律。
隐函数求导法则是根据隐函数存在的假设来推导的。
这个假设是：在给定一定的条件下 (比如说连续性和可微性)，一个方程可以被看作
是具有隐函数的形式的。
然后，通过对这个隐函数进行求导，我们就
可以得到对应的导数。
隐函数求导法则有如下公式：
设有一个函数系统 F(x, y) = 0。
如果在它的一个点 M(x0, y0) 处：
(1) ∂F/∂y 不等于 0，则可以得到隐函数 y = f(x)，它在 M 点的导数为：
f’(x0) = - ∂F/∂x / ∂F/∂y。
(2) ∂F/∂x 不等于 0，则可以得到隐函数 x = g(y)，它在 M 点的导数为：
g’(y0) = - ∂F/∂y / ∂F/∂x。
以上两个公式的证明可以根据链式法则来得出。
在实际运用中，我们需要先找出方程中的隐函数，然后根据对应的公式来求导。
隐函数求导法则的应用非常广泛，它可以用于建立经济模型、物理模型和工程模型等。
同时，在生活中也有很多应用，比如考虑体重损失和增加之间的关系，我们可以通过隐函数的求导来推导出身体质量的变化规律。
总之，隐函数求导法则是微积分中的重要内容，它能够帮助我们更好地掌握函数的变化规律。
我们需要掌握公式的推导和应用，并将其应用到实际生活中。
隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
导数, 将是很复杂的. 为此先将方程两边取对数得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)]. 2
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y
y
1 2
1 x 1
1 x
2
1 x3
x
1
4
,
y 1 2
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
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15
例1 设
求
解：
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16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
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28
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方程
F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除，乘方，开方表示的函数
3. 参数方程求导法
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22
作业
P91 1（1）（3）； 2（2）； 3（1）（4）； 4（1）（4）
隐函数求导归纳总结
隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。
而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。
在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。
但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。
本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。
关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。
2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。
此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。
例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。
解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如： 方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。
《隐函数导数》课件
在进行隐函数求导时，需 要特别注意函数的定义域 和值域，以及函数的性质 和特点，以确保求导的准 确性和有效性。
2023
PART 03
隐函数导数的应用
REPORTING
导数与极值
导数与极值的关系
导数等于0的点可能是极值点，但也可能不是，需要 进一步判断。
判断极值点的方法
除了导数等于0外，还需要检查该点的左右两侧导数 的符号，以确定是否为极值点。
y=f(x)对x的导数为y'*u'。
应用场景
02
当一个复合函数的内层函数是可微的，外层函数也是可微的，
那么这个复合函数的导数可以通过链式法则来求解。
注意事项
03
链式法则的应用需要保证内外层函数都是可微的，否则无法使
用链式法则。
偏导数与全导数
偏导数
全导数
应用场景
注意事项
对于一个多元函数，如果一个 自变量变化，而其他自变量保 持不变，那么该函数对变化自 变量的导数称为偏导数。
二元函数的隐函数导数实例
总结词
通过具体的二元函数隐函数导数实例，展示 隐函数导数的计算方法和应用。
详细描述
介绍二元函数隐函数的概念，并给出几个典 型的二元函数隐函数的导数计算过程，如 $z = x^2 + y^2$，$z = sin(x) + sin(y)$ 等。通过这些实例，说明隐函数导数的计算 方法和应用，如求方向导数、求梯度等。
在等价变换过程中，需要掌握一些常 用的技巧，如变量代换、恒等变换、 因式分解等。这些技巧可以帮助我们 更好地处理复杂的导数表达式。
在进行等价变换时，需要注意变换的 等价性和合法性。等价变换不能改变 表达式的值，同时变换过程需要符合 数学的规则和定理。
隐函数求导公式
显函数
xy (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质
可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
➢隐函数组概念
隐 函 数
u u(x, y) v v(x, y)
组 的 显 化
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
邻域内连续且有连续偏导数,又
x, y)
的某一邻域内 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数 的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
x y
➢解题思路
(1) 确定因变量个数与自变量个数. 明确变量个数与方程个数 确定因变量个数 方程个数 确定自变量个数 变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
(3) 方程两边求偏导.
方程个数
例5
设
xu yv 0, yu xv 1,
求
u v ,.
x y
例6 设函数
在点(u,v) 的某一
视u,v为x,y的函数
F
两边对 x 求导
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
若在点P 的某邻域内系数行列式J≠0
x x
y
u
y
v
复合关系图
解方程组即得结论
例4
设
u f (ux,v y) v g(u x,v2 y)
其中f,g具有一阶连续偏导数,
求 u , v .
的连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 :
u 1 (F,G) , x J ( x, v )
隐函数的求导公式
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yx2
yv y2
.
例：设 u x2 y2z2,其中 z f (x, y)由方程
x3 y3 z3 -3xyz 0确定，求
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
隐函数怎么求导
隐函数的三种求导方法如下：一、隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
三、显函数与隐函数1、显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以y=f(x)来表示。
2、隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
3、隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如:y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
《隐函数的偏导数》课件
03
在工程学中，偏导数可以用来 优化设计，例如机械设计、建 筑设计等。
未来研究方向
01
02
随着科学技术的不断发展，偏导数的研究也在不断深入。未来，偏导 数可能会在更广泛的领域得到应用，例如人工智能、机器学习等。
未来研究的方向可能包括如何更好地理解偏导数的性质和行为，如何 将偏导数的理论应用到实际问题中，以及如何将偏导数与其他数学工 具相结合，以更好地解决实际问题。
THANKS
隐函数的偏导数可以用来求解函数的 极值问题。
详细描述
通过求解偏导数等于0的点，可以找 到函数可能的极值点，再进一步分析 这些点的函数值来确定是否为极值点 。
04
实际应用举例
经济模型中的应用
隐函数的偏导数在经济模型中有着广泛的应用，例如在研究供需关系、价格形成机制、成本最小化等 问题时，需要用到隐函数的偏导数来求解最优化问题。
《隐函数的偏导数》ppt课件
目录
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数在几何上的意义 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
03
隐函数
如果一个函数$y$在某种条件下，只能通 过另一个函数$x$来表示，则称$y$为隐 函数。
举例
$z = f(x, y)$，当$z = 0$时，$y$就是关 于$x$的隐函数。
链式法则的应用
链式法则在计算复合函数的导数时非常有用，特别是当内层 函数和外层函数都比较复杂时。通过链式法则，我们可以将 复合函数的导数分解为两个步骤：先对内层函数求导，再对 外层函数求导，然后将两个导数相乘。
隐函数求导法则
隐函数求导法则
对于一个由$y=f(x)$定义的隐函数，其导数可以通过对等式两边同时对$x$求导得到。具体来说，如 果$y=f(x)$，则$frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}f(x)$。
2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数
x y
(t), (t),
(t T ) 所 确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复 合 而 成 的 函 数 y ( 1(x)) . 因 此 ， 当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
内容小结
1. 隐函数的导数
直接对方程两边求导 对数求导法
*2. 参数方程求导法 3. 初等函数的导数
作业
P94 2(2), (4), 3(2), (3), 4(4), (6), 5
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
例 5 设 y xsin x (x 0), 求 y.
解 这是所谓的幂指函数，等式两边同时取对数，得 ln y sin x ln x,
上式两边同时对 x 求导，得
y cos x ln x sin x ,
y
x
于是
y xsin x (cos x ln x sin x ).
x
有时幂指函数也可写成 y esin xln x ，于是有
则
dy dx
2 y2 6xy 3x2 4xy 12 y2
,
dy dx
x1 y1
3
2 12 6 11 12 4 1112
隐函数的导数-6页文档资料
第 50 页§2.６隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一.隐函数的导数1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。
有时不容易，甚至不可能。
但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法由于F(x,y)=0确定了y=y(x),故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '如：122=+y x 两边对x 求导有yx y y y x -='∴='⋅+022例1：y=cos(x+y)求x y '()()()()y x y x y y y x y +++-='∴'++-='sin 1sin 1sin例2：y y x yx x yx y xy y x xyarctg'+⋅+=-'⋅++=221)(11ln 222222yx yx y x -+='第 51 页ex:='=--='=-++y e xy xe ye y ex y y x xyxy xy,11,0例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())4(214211,41,41,42042213-=+--=-∴-∴±==-='='+x y x y P P y x yxy y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数xd yd 22。
ydx dy y y y cos 220cos 211-=='⋅+'-()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22sin 2cos 2cos 2cos 22y y y yy y y y dx d dx y d -=--⋅=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
隐函数的导数
求
.
例10. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 体积为 V , 则 2
两边对 t 求导
dV dt
r
x
h
1 R 2 h 1 r 2 ( h x ) R [ h3 ( h x ) 3 ] 2 3 3 3h
2
确定函数 y y( x ) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx dt dx
2t 2
dy dt
dy dx
2 ( t 1) 2t 1 cos y
2t
cos y
dy
dy dt
dt dy
0
t
dt
故
dt
dx dt
( t 1)(1 cos y )
可用对数求导法求导 :
uv u uv u
ln y v ln u
1 y y v ln u
v
y u ( v ln u
)
注意:
uv ln u v v uv 1 u y
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
例3’
求 y x
sin x
的导数 .
比前面例3少了 x 0
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
5y
4
dy dx
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些什么是隐函数
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些什么是隐函数说到函数的解题方式，其实也是有很多种的，数学并没有我们想象中的这么枯燥。
店铺这带你们去了解一下隐函数求导的基本步骤与方法有哪些，感兴趣的朋友快过来围观哦。
隐函数求导的基本步骤与方法有哪些1、隐函数求导的基本原则对于隐函数求导一般不赞成通过记忆公式的方式来求需要计算的导数，一般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同一变量的求导数的方式来求解。
即用隐函数求导公式推导的方式求隐函数的导数。
这样的方式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适用。
具体过程可以参见下面列出的课件!2、多元复合函数求导数的基本步骤(1)确定最终函数与最终变量。
(2)通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
(3)关键：绘制变量关系图。
(4)链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。
从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数;依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。
(5)完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
什么是隐函数隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。
设F(x,y)是某个定义域上的函数。
如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。
记为y=y(x)。
显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。
05 第五节 隐函数的导数.
第五节隐函数的导数分布图示★隐函数的导数★例3 ★例1 ★例4 ★例2 ★例5★对数求导法★例6★例7 ★例8 ★例9★由参数方程所确定的函数的导数★例10★例11 ★例 12 ★例13★* 相关变化率★例 14★内容小结★课堂练习★习题2-5内容要点一、隐函数的导数假设由方程F(x,y)=0所确定的函数为y=y(x)，则把它代回方程F(x,y)=0中，得到恒等式F(x,f(x))≡0dydx利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数是隐函数求导法. ，这就二、对数求导法：形如y=u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.三、参数方程表示的函数的导数设⎨⎧x=ϕ(t)⎩y=ψ(t)，x=ϕ(t)具有单调连续的反函数t=ϕ-1(x), 则变量y与x构成复合函数dy关系y=ψ[ϕ-1(x)]. 且 dy=. dxdxdt例题选讲隐函数的导数例1(E01) 求由下列方程所确定的函数的导数.ysinx-cos(x-y)=0.解在题设方程两边同时对自变量x求导，得ycosx+sin⋅dydx+sin(x-y)⋅(1-dydx)=0整理得 [sin(x-y)-sinx]解得dydx=dydx=sin(x-y)+ycosx sin(x-y)+ycosxsin(x-y)-sinx.例2 求由方程xy-ex+ey=0所确定的隐函数y的导数解方程两边对x求导,y+xdydx-e+exydydx,dydxx=0. dydx=0解得 dydx=e-yx+eyx,由原方程知x=0,y=0,所以dydx|x=0=e-yx+eyx=0y=0x=1.例3 (E02) 求由方程xy+lny=1所确定的函数y=f(x)在点M(1,1)处的切线方程. 解在题设方程两边同时对自变量x求导，得y+xy'+1yy'=0 解得y'=-y2xy+1在点M(1,1)处，y'x=1y=1=-121⨯1+1=-12于是，在点M(1,1)处的切线方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.44例4 设x-xy+y=1, 求y''在点(0,1)处的值. 解方程两边对x求导得4x-y-xy'+4yy'=0,(1) 33代入x=0,y=1得y'x=0y=1=14;将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y'-xy''+12y2(y')2+4y3y''=0,14116代入x=0,y=1,y'x=0y=1=得 y''x=0y=1=-.例5 (E03) 求由下列方程所确定的函数的二阶导数.y-2x=(x-y)ln(x-y).x-y)+(x-y) 解 y'-2=(1-y')ln(12+ln(x-y)1-y'x-y, ∴y'=1+'⎛⎫1[2+ln(x-y)]'1-y'(代入y') ⎪=-=-y''=(y')'= 22 2+ln(x-y)⎪[2+ln(x-y)](x-y)[2+ln(x-y)]⎝⎭=1(x-y)[2+ln(x-y)]3.对数求导法例6 (E04) 设y=xsinx(x>0), 求 y'.解等式两边取对数得lny=sinx⋅lnx两边对x求导得1yy'=cosx⋅lnx+sinx⋅1x, 1⎫sinx⎫⎛sinx⎛ cosx⋅lnx+⎪. ∴y'=y cosx⋅lnx+sinx⋅⎪=xxx⎝⎭⎝⎭例7 (E05) 设(cosy)x=(sinx)y，求 y'. 解在题设等式两边取对数 xlncosy=ylnsinx 等式两边对x求导，得lncosy-xsinycosy⋅y'=y'lnsinx+y⋅cosysinx.解得y'=lncosy-ycotxxtany+lnsinx.例8 (E06) 设y=(x+1)x-1(x+4)e2x3, 求 y'.解等式两边取对数得lny=ln(x+1)+13ln(x-1)-2ln(x+4)-x,上式两边对x求导得y'y=1x+1+13(x-1)-2x+4-1, ⎤(x+1)x-1⎡112+--1∴y'=⎢⎥. 2xx+13(x-1)x+4(x+4)e⎣⎦例9 (E07) 求导数y=x+xx+xx.解 y=x+exlnx+exxxlnx,∴y'=1+exlnx⋅(xlnx)'+exxxlnxx⋅(xlnx)'=1+x(lnx+1)+xx-1xxxx[(x)'⋅lnx+x⋅(lnx)']xx=1+x(lnx+1)+xx[x(lnx+1)lnx+xx].参数方程表示的函数的导数例10 (E08) 求由参数方程⎨dy2t2⎧x=arctant⎩y=ln(1+t)2所表示的函数y=y(x)的导数. 解 dy=dt=1+tdx1dxdt1+t=2t. 2例11 求由摆线的参数方程⎨dy⎧x=a(t-sint)⎩y=a(1-cost)所表示的函数y=y(x)的二阶导数.解dyasintsint=dt==(t≠2nπ,n∈Z)dxdxa-acost1-costdtdydx22=d⎛dy⎫d⎛sint⎫d⎛sint⎫1 ⎪= ⎪⎪=dx⎝1-cost⎭dt⎝1-cost⎭dxdx⎝dx⎭dt11-cost⋅1a(1-cost)=-1a(1-cost)2=-(t≠2nπ,n∈Z).⎧x=acos3t例12 求方程⎨表示的函数的二阶导数. 3⎩y=asintdydy3asintcost=dt==-tant,2dxdx3acost(-sint)dt2解dydx22=ddx(dydx)=ddt(dydx)dxdt=(-tant)'(acost)'3=-sext-3acos22tsint=sec4t3asint.⎧x=t-t2例13 (E09) 求由参数方程⎨所表示的函数y=y(x)的二阶导数. 3y=t-t⎩dydy3t-1dt==dxdx2t-1dt22解 , dydx222d⎛dy⎫d⎛3t-1⎫d⎛3t-1⎫1 ⎪= ⎪= ⎪= ⎪ dxdx⎝dx⎭dx⎝2t-1⎭dt⎝2t-1⎪⎭dt=6t2-6t+2211-2t(2t-1)=-6t2-6t+23. (2t-1)例14 河水以8米3/秒的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120︒的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?解如图, V(t)=4000上式两边对t求导得dVdt=80003h⋅dhdt3h, 2 dVdt28800米3/小时,米时, dhdt≈0.104∴当h=20米/小时（水面上升之速率）.课堂练习1.求由siny=ln(x+y)所确定的函数的二阶导数2.y=(1+x2)tanx,求y'.dydx22.。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
2019年3月8日星期五
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
2019年3月8日星期五
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
dh(t ) 由已知， h(t ) 12 cm 时， ， 1 （cm /s） dt 代入上式得
dH (t ) 16 122 (cm / s) (1) dt 25 9 25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s 16 时，桶中水面上升的速度为 cm /s． 25
dy yt (b sin t ) b b cos t 解： cot t dx xt (a cos t ) a( sin t ) a (t 0, π, 2π)
d 2 y d dy d b dt b 2 1 cot t csc t 2 dx dx dx dt a dx dx a dt b 2 1 b csc t 2 (t 0, π, 2π). 3 a a sin t a sin t
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§2.6隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一.隐函数的导数
1.显函数：()x f y =等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：()0,=y x F 也表示函数，确定了()x y y =，显化——化隐函数为显函数，有时不容易，甚至不可能，但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法
由于()0,=y x F 确定了()x y y =,故在()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数，则将()0,=y x F 的两边同时对x 求导后再解出.y ' 例1：()y x y +=cos ，求x y '
()()()()y x y x y y y x y +++-
='∴'++-='s i n 1s i n
1s i n
例2： 2
2ln arctan y x x
y +=
22
222221)
(11y x y y x x y x y x y +'
+⋅=-'⋅+ y
x y
x y x
-+=' y
x xy e
xy e x y ex +==-+0
例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()()
)
4(214211,41,41,42042213
-=+--=-∴-∴±==-
='='+x y x y P P y x y x
y y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数x d y
d 22。
y
dx dy y y y cos 22
0cos 211-=
='⋅+'- ()()()()3
22
2
2cos 2sin 4cos 2cos 22
sin 2cos 2cos 2cos 22y y y y
y y y y dx d dx y d -=
--⋅
=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法
先在()x f y =两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
例5：x x y = 幂指函数。
两边取对数 x x y ln ln =
两边对x 求导 x
x x y y 1ln 1⋅+='⋅
()()1ln 1ln +=+='x x x y y x
()⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=''
+'='=>=u u v u v u u u v u v y y u u
v u v y y u v y u u y v v ln ln 1
ln 1ln ln 0*
ex: 2
2ln ln x
x xy y y xy y y x x
y --='=
例6：()()()
3
2211--+=x x x y
()()()[]2ln 1ln 1ln 231
ln ----+=
x x x y 假设4>x ()()()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----+--+=
'⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+='211112
2113121111231132
x x x x x x y x x x y y
讨论其它情形时可得同样的结果。
ex: ()()
x
b
a x x y x
b x a b a y y x b a a x x b b a y tan ln 0,0,0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-='>>>⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=
二．由参数方程所确定的函数的导数
抛射体的运动轨迹方程：⎩⎨⎧-==221
21gt t v y t
v x x ,y 都是t 的函数，消去t ，得y 与x 之间的函数关系221
221x v g
x v v y -=，即为参数方程所确定的显
式表示。
1．def:若参数方程()
()
⎩⎨⎧==t y t x ψϕ (1)确定y 与x 间的函数关系，则称此函
数关系所表达的函数为由参数方程(1)所确定的函数。
为求导数，有时消去参数很困难，希望能直接由参数方程算出它所确定函数的导数。
2.求导法则
在(1)中，如果()t x ϕ=具有单调连续反函数()x t ϕ=，且此反函数能与
[]t y ψ=复合成复合函数，则由(1)所确定的函数可看成是由
()()x t t y ϕψ==,复合而成的函数()[]x y ϕψ=,假若()t x ϕ=,[]t y ψ=
都可导,且()0≠'t ϕ,由复合函数求导法则与反函数的导数公式, 有
()()
t t dt dy dx dt dt dy dx dy dt dx ϕψ''=
⋅=⋅=1 (2)此式即为求导公式。
也可写成
dt
dx
dt dy
dx dy
= 若()t x ϕ=,[]t y ψ=二阶可导，则有二阶导数公式：
()()()()()()()
()()()()()()
t t t t t t t t t t t dx dt
t t dt d dx dy dx d dx
y d 32
2
21
ϕϕψϕψϕϕϕψϕψϕψ''''-'''=
'⋅''''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 例7：求椭圆4sin cos π
=⎩⎨
⎧==t t
b y t a x 在处的切线方程和法线方程。
()()
22
4
002122:0222:,sin cos ,2,2,,4b a by ax a x b a b y ab ay bx a x a b b y a b dx dy t a t b dx dy
b a y x t t -=
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+⎪⎭⎫
⎝⎛--=-
∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==
=法线方程切线方程ππ
ex: t
t t t dx dy t e y t e x t
t
sin cos sin cos sin cos -+=⎪⎩⎪⎨⎧==
例8：求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向。
由于速度的水平分量
gt v dt
dy
v dt dx -==21,铅直分量, 所以速度的大小为()222
12
2
gt v v dt dy dt dx v -+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
速度的方向即轨道的切线方向。
设切线倾角为α， 则1
2tan v gt
v dx dy -=
=
α 所以，在刚射出（0=t ）时, 1
200
tan v v dx dy
t t ==
==α; 当g v t 2
=
时,0tan 2==g
v t α,这时运动方向是水平的,抛射体达到最高点。
例9．设()()()
⎩⎨⎧-'='=t f t f t y t f x ，其中()t f 为三阶可导且()22,0dx y
d t f 求≠''
()()()()()
t f dx dt dx dy dt d dx y d t t f t f t f t t f dt
dx dt dy
dx dy ''=
⎪⎭⎫ ⎝⎛=='''-''+'==1
22
三.相关变化率
设()()t y y t x x ==,
都可导，由于变量y x ,存在某种关系，从而变化率
dt
dy
dt dx 与间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从一个求另一个。
例10：一气体储存器装有10003cm 的气体，其压力是5kg/cm 2，若压力以每小时0.05kg/cm 2的速率减少,试求其体积的增大率.
解:在等温状态下,C PV =(C 为常量),而V =1000时,P =5,从而C =5000
即
有
时当,05.05000,500022h cm kg dt
dP dt dP
P dP dV P V ⋅-=∴-==
()()
h m c dt dV 31005.025
5000
=--
= 即体积以10cm 3/h 的速率增加。
ex :线段AB 长5cm ，其两端分别在x 轴，y 轴上，已知端点A 的滑动速度是2m/s ，问A 与坐标原点相距3m 时，端点B 的滑动速度是多少？（见图） 解：设滑动中点B 的纵坐标()t y y =，点A 的横坐标()t x x =，且假定
0=t 时，A 在原点。
()()()()()()
()()()
s m y B t x t x t x t x t x t y t x t y 23,2,32525222-='∴='=-'⋅-=
'∴-=的滑动速度为此时点已知
小结：本节介绍了有关隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数及相 关变化率等内容，熟练掌握隐函数的导数和参数方程所确定的函数的导数的求法。