土木工程力学16-平面汇交力系合成与平衡的解析法1
平面汇交力系的合成与平衡
单元02 平面力系平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系合成的几何法1.两个共点力合成的几何法可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向2.任意个共点力合成的几何法结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：解：三、力在坐标轴上的投影四、合力投影定理1）平面汇交力系的合力F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡条件平衡方程:例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：合力的大小：171.3N合力与轴x的夹角的正切为：8.343所以，合力与轴x的夹角为41°例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计平面汇交力系是工程力学中的重要知识，可以帮助学生们准确、全面地了解汇交力系，系统地学习汇交力系合成及其平衡的解析法，加深对汇交力系的理解，应用于实际工程中，为工程师们提供了有效的汇交力系解析分析方法。
本教学设计的目的是，教师们帮助学生系统学习平面汇交力系的合成及其平衡的解析法，明确汇交力系合成技术及其解析规律，掌握正确的计算步骤，提高学生综合能力，为今后学习及解决实际工程问题打下基础。
一、理论知识1.1面汇交力系概念平面汇交力系是受某个点上的汇交力作用而形成的汇交力系，能够保证汇交点的刚度，并满足四肢间的接触结构的要求。
平面汇交力系的基本要素有力方向、力大小、汇交点和汇交角度。
1.2面汇交力系的合成平面汇交力系的合成，是把多个力组合到一个汇交点上，形成汇交力系。
采用解析法进行汇交力系合成时，从汇交点出发，计算每一肢在汇交点上产生的力，直到每一力都有力方向和力大小为止。
1.3面汇交力系的平衡汇交力系的平衡，是指在任意时刻力组合在汇交点上的平衡状态，平衡方程满足分力原理，可以用这个方程计算出汇交力系合力的大小。
二、教学过程2.1习基础理论首先，教师需要讲解平面汇交力系的概念，介绍汇交力系的基本要素：力方向、力大小、汇交点和汇交角度，让学生获得初步的理论认识。
2.2成实例分析然后，教师给出特定的实例进行分析，让学生熟悉汇交力系的合成原理，学会使用解析法对汇交力系进行合成，熟悉合成技术及其解析规律，掌握正确的计算步骤。
2.3衡实例分析最后，教师给出特定的实例进行分析，让学生熟悉汇交力系的平衡原理，学会使用平衡方程计算汇交力系的合力大小，明确力组合在汇交点上的平衡状态。
三、课后练习为了检验学生学习效果，课后可以为学生出一些具有工程实践意义的实际问题，让学生运用所学知识自主解答。
如：某简易桥梁桥面上四肢以某点为汇交点，求桥面上汇交力系的平衡方程？四、总结平面汇交力系的合成及其平衡的解析法是工程力学中的重要知识，本文对此的教学设计做了详细的说明，帮助学生系统学习平面汇交力系的合成及其平衡的解析法，获得合成及解析的技能，掌握正确的计算步骤，提高学生综合能力，为今后学习及解决实际工程问题打下基础。
平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系的合成与平衡Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】黄河水利职课时授课计划业技术学院．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．空间力系两大类。
平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、一般）力系分类空间力系：力的作用线不在同一平面平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，而且汇交于一点的力系。
求汇交力系的合成（简化）与平衡有两种方法：（1）图解法——几何作图法（2）解析法——代数计算法§1 平面汇交力系的合成与平衡一、图解法（几何法）1、两个共点里的合成合力R的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为R=F1+F2。
合力R的大小和方向不仅与两个力的大小有关，而且还与两分力的夹角有关。
两个分力的夹角减小时：合力增大；两个分力的夹角增大时：合力减小；两个分力的夹角两个力方向相同，合力最大，值为两分力大小之和为零度时：方向与两分力方向相同。
夹角为180度时，合力最小，值为两合力大小之差，方向与较大分力同向。
2、多个共点力的合成设物体受平面汇交力系F1，F2，F3，F4作用，求力系的合力R。
将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点，得合力R，这种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边形称为不封闭的力多边形。
合力的作用线通过力系的汇交点。
画力多边形时，改变各分力的相同的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后四边形法则的基础上讲清平面汇交力系合成的几何法和平衡的几何条件的理论和结论力的投影计算是力学计算的基本功合力投影定理只从数学上的矢量和投影定理直接引出在矢量代数的基础上讲情平面汇交力系合成的解析法和平衡的解析条件的理论和结论平衡条件的应用应予足够重视，使学生理解恰当选取分离体、正确进行受力分析、画受力图、计算力的投影的重要性求得的合力不变。
理论力学课件 4.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
各力的作用线都汇交于一点的力系。可分为空间汇交 力系和平面汇交力系。
合力
多个力汇交于一点，如果能用一个力来等效替换， 此力称为合力。简言之：如果一个力与某一力系等 效，则称此力为该力系的合力。
平面汇交力系和平面力偶系
（1）两个共点力的合成
力三角形规则
尾 首
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
注意：力三角形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
力多边形规则 力多边形 不唯一
注意：力多边形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
（3）汇交力系平衡的几何条件
å 平衡条件 FR = Fi = 0
汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭 平衡的几何条件
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
本讲主要内容
1、平面汇交力系合成与平衡的几何法 2、平面汇交力系合成与平衡的解析法 3、平面力对点的矩和平面力偶 4、平面力偶系的合成和平衡条件
平面汇交力系和平面力偶系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
汇交力系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
解：CD为二力杆，取AB杆为研究对象，画受力图
E
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
FA θ
FC 45°
F
A
C
B
汇交力系，利用平衡的几何条件，画封闭的力三角形.
c
b
FA
a
θ
FC
F 45°bF源自FCaFA c
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计作者：刘晓燕来源：《职业教育研究》2007年第05期摘要：就《工程力学》课程第一篇第二章《平面汇交力系合成与平衡的解析法》课题在教材、教法、学法和教学程序等四个方面进行教学设计的探讨。
关键词：平面汇交力系；合成的解析法；平衡的解析条件我分析的课题是《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》。
本课题是全国中等职业技术学校机械类专业《工程力学》课程静力学部分的一项重要内容。
下面，我从教材、教法、学法和教学程序等方面，谈谈平面汇交力系的合成与平衡的解析法的教学设想与思路。
教材的探讨和教学目标的确立教材分析平面汇交力系的合成与平衡问题是《工程力学》第一篇理论力学部分第二章平面汇交力系的主要内容，解决方法有几何法（图解法）和解析法两种，几何法的解法比较简单直观，但是在作图过程中要求非常仔细精确，否则会造成误差过大，平时解题时不便采用，因此用解析法解决平面汇交力系的合成与平衡问题成为本章的重点。
解析法是以力在坐标轴上的投影作为基础来进行计算的，而对于平面汇交力系的合成与平衡，则侧重于求解合力大小和方向以及指导学生如何正确列出平衡方程，求解未知量。
教学目标及确立依据根据教学内容及特点，以及学生现有知识水平和理解能力，依据技工学校机械类《工程力学教学大纲》要求，确定教学目标如下：（1）知识目标：通过力的合成计算公式、物体受力分析建立平衡方程，求解平面汇交力系的合力及有关未知量。
（2）能力目标：培养学生分析、解决工程上简单的实际问题的能力。
（3）思想目标：通过教学，激发学生的学习热情，培养学生勤于思考的良好习惯，提高学习质量。
（4）根据大纲规定，掌握平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件，熟练运用平衡方程解决简单的平面汇交力系平衡问题。
学生状况和教材的处理学生状况分析及对策技校学生的知识基础较差，分析、解决问题的能力与解题的灵活性不强，而平面汇交力系的合成及平衡问题涉及的数学、物理基础知识较多，因此在教学过程中，针对解析法的基础——力在坐标轴上的投影问题，应侧重给学生复习三角函数知识和勾股定理，即重点掌握正弦、余弦公式及勾股定理的公式，并在讲解投影问题时反复强化，明确力在x轴上的投影为Fx=±Fcosα，在y轴上的投影为Fy=±Fsinα，（其中α角为力F与x轴所夹锐角），并要求学生记住有关公式，能正确判断力在坐标轴上投影的正负号，以便在计算中灵活采用。
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影x已知力可求投影F x =F ·cos q F y =F ·cos b=F ·sin q反之，已知投影可求 力的大小和方向22F =F x +F y力的大小cos θ=F x ，cos β=F y FF方向力 的 交 ，F x ，F yF x =F x i ，F y =F y j力F =F x +F y力的 解所F=Fx i+Fyj2、合力投影定理合力投影定理 合力在任一 上的投影，等于 力在同一 上投影的代数和。
FR x=∑F ixF R =(FR y=∑F iy 合力的大小 22F)+(F)ix iy∑∑方向 cos(F，i)=F R x，cos(F，j)=F R yR RF R F R力系的汇交[例]已知 图 平面共 力系；求 此力系的合力。
解 解析法解 解析法F RF R ==171.3Ncos θ=F R xF R Fcos β=R y=0.6556=0.7548θ=40.99，β=49.01F F 2F 3F 4300450600450F R3、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力系的合力等于零。
2F R =(F )=0iy ∑∑F ix =0，∑F iy =0必平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力在两个 上投影的代数和 别等于零。
[例]已知 F =3kN ，l =1500mm ，h =200mm ，忽略自重； 求 平衡时，压块C 对工件与地面的压力，AB 杆受力。
解 AB 、BC 杆 二力杆，取销钉B 对象。
=0∑F xF cos θ+F cos θ=0BA BC F =F BA BC解F =F =F =11.35kN2sin θBABCF sin θ+F sin θ-F =0BA BC F =0y∑选压块C 对象=0F cos θ-F =0CB Cx ∑Fx解F =F cot θ=Fl =11.25kN 22h Cx∑F y =0-F CB sin θ+F Cy =0解=1.5kNF Cy[例]如图所 ，重物G =20kN ， 钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D 上。
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计
关于《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计
《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》教学设计
《平面汇交力系的合成与平衡的解析法》是学习力学的重要课程，是力学领域不可缺少的
理论基础。
本课程的目的是使学生了解用汇交力系理论研究物体的合力及物体之间的静态
平衡状态，并学习平面汇交力系的解析法计算系列连接点上每一点作用力大小及方向的方法。
教学内容主要有：1、给出定义及定理，引导学生掌握汇交力系的相关概念及定义。
2、运
用把汇交力系分解为几个分系的方法，使学生学习适用合成定理求合力大小、方向的方法，从而掌握平面汇交力系和平衡的解析计算法。
3、教师把一系列习题给出，检验学生的理
论掌握能力及求解能力。
教学方法上，在知识讲解阶段，可以从定义及定理出发，引入熟悉的物体，用示意图加以
说明及讲解，使学生较容易理解及掌握。
在习题训练阶段，教师可张贴习题，要求学生发言、讨论思路，激发学习热情及形成配合的学习氛围；教师也可在此阶段给出详细的准确
推导步骤以加深学生知识的理解。
总之，本课程要求学生发挥创新能力，学习研究物体运动状态及静态平衡状态，是一门较
为贴近实际的理论课程，教师在进行教学设计时，既要以学生能力为中心，又要按照预期
效果进行。
平面汇交力系合成的解析法
R R x 2 R y 2( X )2 ( y)2 0
从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：
X0
y 0
上式的含义为： 所有 X 方向上的力的总和必须等于零，所
有 y 方向上的力的总和必须等于零。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力
图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的
第三节 平面汇交力系
教学目标：
1、掌握平面汇交力系合成的解析法 2、牢固掌握平面汇交力系的平衡条件、平衡方程 3、会用平衡方程解决力学问题
重点
1、平面汇交力系合成的解析法 2、平衡方程的应用
难点
1、平面汇交力系合成的解析法 2、平衡方程的灵活应用
一、平面汇交力系的合成
平面汇交力系是简单力系，是研究复杂力系的基础。平面汇 交力系的合成有两种方法。 1、几何法—用力的三角形法则或力的多边形法制求合力的 方法，是一种定性的粗略的计算方法 （1）两个汇交力的合成
平面汇交力系。由力的平行四边 形法则，可将其两两合成，最终
形成一个合力R ，由此可得结论
如下：
F1
A
F2
F4 F3
R
1、平面汇交力系的合成结果是一个合力R；
2、平面汇交力系的几何平衡条件是合力： R=0
平面汇交力系的合成与平衡（解析法）
力在坐标轴上的投影可根据下式计算： y Fx
Fx Fcos
Fy
力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。
例1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象，画受力图
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBCsin300P0
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)
2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2. 正确理解合力投影定理，能正确地将力沿坐标轴分解并 求力在坐标轴上的投影。
3. 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
重点：
力在坐标轴上的投影和平面汇交力系平衡方程的应用。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系1. 引言1.1 简介平面汇交力系是工程力学中常见的一个问题，它涉及到多个力在同一平面上的作用，通常需要通过解析法求解来得到最终的结果。
在工程实践中，平面汇交力系的分析和求解是非常重要的，可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构。
为了更好地理解平面汇交力系的求解方法，本文将从其定义、解析法求解的基本原理、应用实例分析等方面展开讨论。
我们将介绍平面汇交力系的基本概念和特点，为后续的讨论打下基础。
然后，我们将详细解释解析法求解平面汇交力系的基本原理，并结合实际案例进行分析，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
接着，我们将介绍解析法求解平面汇交力系的具体步骤，帮助读者逐步掌握解题的技巧。
我们将讨论力系平衡条件，探讨力系在平衡状态下应该满足的条件。
通过本文的学习，读者将能够深入了解解析法求解平面汇交力系的优势和应用价值，同时也可以对未来的研究方向有一定的启发和展望。
希望本文能够对读者有所帮助，使他们对平面汇交力系的分析和求解有更深入的理解和掌握。
1.2 研究背景平面汇交力系是工程力学中的重要概念，它在工程实践中具有广泛的应用。
在工程设计和分析中，我们经常会遇到多个力在一个平面上交汇的情况，这时就需要对这些力进行综合分析，以确定其对物体的作用效果。
解析法是一种常用的方法，通过对力系进行分解和合成，求解出平面汇交力系的各个分力的大小和方向。
在工程实践中，解析法求解平面汇交力系能够帮助工程师更准确地理解力的作用规律，为结构设计和优化提供重要参考。
解析法还可以帮助工程师判断平面内力系的平衡条件，保证结构的稳定性和安全性。
对平面汇交力系的解析法求解具有重要的理论和实际意义。
本文将着重介绍解析法求解平面汇交力系的基本原理、应用实例分析、解析法求解步骤及力系平衡条件，旨在帮助读者更深入地理解这一重要的工程力学问题。
我们也将探讨解析法求解的优势，并展望未来在这一领域的研究方向和发展趋势。
2. 正文2.1 平面汇交力系的定义平面汇交力系是指在同一平面内作用的多个力的合力。
平面汇交力系的合成与平衡
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系平衡的解析条件—平衡方程
汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零 FR 0
于是可得合力FR大小为0，即 FR = | FR | =
FRx2+FRy2+FRz2
(∑Fx)2+ (∑Fy)2 + (∑Fz)2 =0
B
60°
A
例：构架由AB、AC组成，A、B、C三点都是铰 接。A点受向下力G，杆重忽略不计。求AB、AC 杆的受力。 解：①取整个构架为研究对象，画受力图 ②选投影轴 ③列平衡方程求解 ∑Fx = 0 x -FB sin60°+FC sin30°= 0
30°
G C
y
FB
B A
∑Fy = 0
FB cos60°+FC cos30°-G= 0
|Fy | =Fy
|Fz | =Fz
i、j、k表示沿xyz轴方向的单位矢量 Fx =Fx i Fy =Fy j Fz =Fz k
F =Fx+Fy+Fz = Fx i +Fy j +Fz k
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.2 力在坐标轴上的投影
三、力的投影与分力的比较
1.联系 力在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴分力
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.3 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
一、平面汇交力系合成的解析法（合力的大小和方向）
FRx = ∑Fix = ∑Fx FRy = ∑Fiy = ∑Fy FRz = ∑Fiz = ∑Fz 合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和 —— 合力投影定理
(土建施工)教学设计-平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件
一、教学内容
知识目标：了解平面汇交力系概念；
熟悉平面汇交力系合成的几何法及力多边形法那么；
掌握平面汇交力系平衡的几何条件。
能力目标：具备分析平面汇交力系几何法平衡求解未知力能力。
二、教学重难点
重点：平面汇交力系合成的几何法。
难点：平面汇交力系平衡的几何条件。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前平面力系中汇交力系的特点，以及答复教师在云课堂APP中提出其它相关问题。
课中：教师首先举例讲解平面汇交力系的概念，并以提问的方式请学生答复力的平行四边形法那么求解合力，之后引出平面汇交力系合成的几何法，讲解力的三角形法那么与力的多边形法那么的区别与联系；重点分析平面汇交力系平衡的几何条件，讲解例题分析几何法求解未知力的步骤及缺乏；最后请小组互相说明本节课的重点及需要注意的事项，小组进行互评打分，最后老师点评。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
2016工程力学（高教版）教案：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
平面汇交力系的合成与平衡
1.2 平面汇交力系的平衡条件及应用
一、平衡的几何条件
F3 F4
F2 F1
F3 F4
F2 F1
{F1, F2 ,, Fn} {FR} {0}
FR F
FR F 0
平面汇交力系平衡的充要 条件是该力系的力多边形 自行封闭。
二、平衡的解析条件
FRx Fx 0
FRy
Fy 0
❖ 平面共点力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知数。
（3）合力投影定理
❖合力在某一直角坐标轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
FRx =Fx1+Fx2 + Fxn Fxi FRy =Fy1+Fy2 + Fyn Fyi
（4）平面汇交力系合成的解析法步骤
❖ 建立适当的坐标系 ❖ 求出各力的投影 ❖ 求出两轴上投影的代数和 （参见课本例1.9）
机械制造基础
F1
2、任意个汇交力的合成
设 {F1, F2, F3}为作用在A点的力系
F3 F2
A
F1
F3
F2 F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
力多边形法
F3
F2 F1
FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边
思考：改变力的合成顺序会怎样？ 力的多边形一定是平面图形么？
总结：平面汇交力系合成的结果是一 个合力，合力的作用线通过力系的汇 交点，合力的大小和方向由力多边形 的封闭边表示。
2、平面汇交力系合成的解析法
❖ （1）力的分解
力的分解是力的合成的逆 过程，一般将一个力正交 分解为沿两个互相垂直的 坐标轴的分力。
（2 Fx = Fcos Fy = Fsin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F3
① 作出受力图，建立坐标系
② 求出三个力在坐标轴上的投影
F1x F1 cos300 10 0.866 8.66KN 0 60 F2 x F2 20KN 0 30 F.2 F3x F3 cos600 25 0.5 12 5KN
y
F3
600
FRx Fx F1x F2 x F3 x 41.16KN
y a′
FY
A (起点） F
（终点） B
b′
力在坐标轴上的投影是个代数量。 o 轴正方向一致时为投影正，反之投影为负。
2016/12/17
a
FX
b
x
投影的符号（正负）规定为：由起点a到终点b的指向与坐标
19
学习探究 1. 根据力，只看方向，不看位置
2. 判断力在第几象限，从而确定投影的正负号 投影正负号的判定 Y
，
60°
，
F1
X
F4
F3
2016/12/17
F5
45°
29
学习探究
二、合力投影定理
2016/12/17
30
学习探究
二、合力投影定理
合力在坐标轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上投 影的代数和。 FRx F1x F2 x Fnx Fx 证明：
FRy F1 y F2 y Fny Fy
FRy FRx
F F
y x
公式（2-5）
式中 表示合力F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由FRx、FRy 的正负号用图判定。
这种运用投影求合力的方法，称为解析法。
2016/12/17
34
学习探究
例题3：求合力的大小和方向 已知F1=10KN，F2=20KN，F3=25KN
F3 FR
60
A
F1 FR
B
F2 (b) x
合力 FR 在x 轴上投影：
C D F3
FRx ad ab bc dc
a
b d
c
即： FRx F1 x F2 x F3 x
推广到任意多个力F1、F2、…… Fn 组成的平面汇交力系， 可得：
FRx F1 x F2 x F3 x Fnx Fx
3 sin 5 4 cos 5
A
4
C
3 tan 4
2016/12/17
12
学习探究 课堂小练习：知道三角函数和斜边求直角三角形的直角边
B
y
对边 sin 斜边
y 1 sin 30 10 2
0
A
30
0
y 10 sin 300 10 0.5 5
学习探究
总 结
力的投影的计算思路如下：
1.建立直角坐标系，确定力F所在象限以及跟 X轴(水平方向)的夹角α（ 0°≤ α≤90°）
2.根据力的方向，判断投影的正负号
Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα
28
3.运用计算公式
2016/12/17
学习探究
【投影课堂练习】 试分别求各力在x轴和y轴上投影。已 知F1=100N，F2=200N,F3=300N,F4=F5=150N，各力方 向如图所示。 F2 Y 60°
b
F1 a FR
d F4 e
F4
力链→→封闭边
2016/12/17
6
学习探究
例题1 ：已知F1=50N， F2=30N， F3=60N， F4=100N， 确定合力。
y F2 F3
30
0
b
1cm
450
F1
450
x F4
F1 a
F4
d F3 e
30
0
20N
820
FR
F2
c
ae=3.67cm
FR=20×3.67=73.4N
c F2 b F1 ae F3 d
F4
力系平衡
2016/12/17
9
学习探究
多个汇交力的合成---力的多边形
c F1 A F3
F2
F3
F2
b
F1 a F5
d F4 e
F2 c
F1
d F4 e F5
F4
a
F3
b
力的多边形自行封闭（几何法）求解汇交力系的平衡问题比较 繁琐，误差大，下面要学习一种更精确而简单的方法---解析法
3、用解析法求汇交力系的合力
2016/12/17
3
学习探究
第二节 平面汇交力系的合成与平衡
2016/12/17
4
学习探究
一、知识回顾 1、两个汇交力的合成方法 力的三角形法则 2、多个汇交力的合成方法？ 力的多边形法则
2016/12/17
5
学习探究
多个汇交力的合成
c F1 A F3
F2
F3
F2
A
4
C
52 42 32
2016/12/17
14
学习探究 课堂小练习：求AC、BC
sin 45 0.707
0Leabharlann cos45 0.7070
B
45
0
对边 sin 斜边 邻边 cos 斜边
A
C
x BC AB sin 10 0.707 7.07 y AC ABcos 10 0.707 7.07
2016/12/17
Fx F cos Fy sin
第二象限 第一象限
•力的方向：指向左上方 •X轴投影符号：负“-” •Y轴投影符号：正“+”
•力的方向：指向右上方 •X轴投影符号：正“+” •Y轴投影符号：正“+”
X轴的投影：力向右为正，力向左为负
第三象限 •力的方向：指向左下方 •X轴投影符号：负“-” •Y轴投影符号：负“-”
2016/12/17
0
F3
FRx Fx F1x F2 x F3x 41.16KN
F1 y -F1 sin 300 -10 0.5 -5KN
600
F2
F2 y 0
F3 y F3 sin 60 25 0.866 21.65KN
0
o
300
x
F1
FRy Fy F1 y F2 y F3 y 16.65KN
F3 x F3 cos 90 0
F3 y F3 sin 90 200N 1.0 = 200N
2016/12/17
25
学习探究
【解】
F4 x F4 cos 60 200N 0.5 = 100N
F4 y F4 sin 60 200N 0.866 = 173.2N
F1
F2
o
300
x
F1
Fx F cos Fy sin
36
2016/12/17
学习探究
例题3： ① 作出受力图，建立坐标系
② 求出三个力在坐标轴上的投影
F1x F1 cos300 10 0.866 8.66KN
F2 x F2 20KN
y
F3x F3 cos60 25 0.5 12.5KN
2016/12/17
21
学习探究 力的投影的计算公式---知道力求投影 在直角三角形 ABF 中，AB 等于Fx，BF 等于Fy
公式（2-2）
y
Fy
A O
Fx F cos
Fy F sin
b
Fx
b
F
B
x
注意投影的正负
结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与 该轴正方向间夹角的余弦。
2016/12/17
22
学习探究 力的投影的计算公式---知道投影求力 在直角三角形 ABF 中，AB 等于Fx，BF 等于Fy ，力是斜边
公式（2-3）
y
2 y
F F F
2 x
Fy
A O
b
tan
Fy Fx
Fx
b
F
B
x
式中α 表示力与 x 轴间所夹的锐角。力的指向 结论： 由投影Fx、Fy的正负号用图判定。
x 轴（水平方向）间所夹的锐角。 F1x α F1:力与 cos 45 100N 0.707 = 70.7N F1 y F1 sin 45 100N 0.707 = 70.7N
F2 x F2 cos30 150N 0.866 = 129.9N
F2 y F2 sin 30 150N 0.5 = 75N
学习探究
土木工程力学
第二章第二节
平面汇交力系的合成与平衡
合肥铁路工程学校 机电教研室
2016/12/17
1
学习探究 温故知新 学习探究 知识强化 提纲挈领
平面汇交力系合成与平衡的解析法
课堂延伸
2016/12/17
2
学习探究
本节课需要解决的问题:
1、如何计算力在平面直角坐标轴上的投影 2、掌握合力投影定理
x
C
sin 300 1
邻边 cos 斜边
x 3 cos 30 10 2
0
2
2
x 10 cos 300 10 0.866 8.66
cos300 3
2016/12/17
13
学习探究 数学预备知识：勾股定理
勾股定理：
B
3
斜边2 直角边2 直角边2 AB 2 AC 2 BC 2