2018届高三数学 第13练 函数与方程练习
2018年高考数学一轮复习精品试题第12讲 函数与方程
第十二讲 函数与方程班级________姓名________考号________日期________得分________ 一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.方程x-1x=0的实数解所在的区间是() A.(-∞,-1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(1,+∞)解析:令f(x)=x-1x,则f(1)=0,f(-1)=0,只有B 合适. 答案:B2.下列函数图象与x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除A ､B,因为A ､B 不符合f(a)·f(b)<0.答案:C3.若函数f(x)=ax+b 有一个零点2,则方程bx 2-ax=0的根是()A.0,2B.0,C.0, -D.2,-解析:由ax+b=0的根为2,得2a+b=0,∴b=-2a,则方程bx 2-ax=0变为2ax 2+ax=0.∵a≠0,∴2x 2+x=0,∴x 1=0,x 2=- . 答案:C4.(2010·合肥模拟)方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是() (), 23 B..52323.,1,1.,55A C D -⎡⎤⎛⎤-⎛⎫--+∞+∞ ⎪⎝⎭∞ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦解析:设f(x)=x 2+ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)≤0且f(5)≥0即可,解得-235≤a≤1. 答案:C5.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点.答案:D6.(2010·浙江)已知x 0是函数f(x)=2x +11x -的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则() A.f(x 1)<0,f(x 2)<0B.f(x 1)<0,f(x 2)>0C.f(x 1)>0,f(x 2)<0D.f(x 1)>0,f(x 2)>0解析:由于函数g(x)=1111x x =---在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x 在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x)<0,在(x 0,+∞)上f(x)>0,故选B.答案:B二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若函数f(x)=x 2+ax+b 的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________.解析:由于f(x)=x 2+ax+b 的两个零点是-2和3,即方程x 2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此231236a ab b -+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩,因此f(x)=x 2-x-6,所以不等式a·f(-2x)>0即-(4x 2+2x-6)>0,即2x 2+x-3<0,解集为{x|- <x<1}.答案:{x|- <x<1}8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?答案:49.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=1x ,画出y=lg(x+2),y=1x的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.答案:210.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a 的零点个数不为0,则a 的最小值为________.解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=22,0,2,02,22, 2.x x x x x -⎧⎪<<⎨⎪-⎩≤≥ 所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a 的最小值为2.答案:2三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c.(1)若a>b>c 且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)若对x 1、x 2∈R 且x 1<x 2,f(x 1)≠f(x 2),方程f(x)= [f(x 1)+f(x 2)]有两个不等实根,证明必有一实根属于(x 1,x 2).证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.又∵Δ=b 2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)- [f(x 1)+f(x 2)],则g(x 1)=f(x 1)- [f(x 1)+f(x 2)] =()()()()()()()()22121122112212212g x f x y f x f x g x g x ()()2()()2()()()() f x f x .2214f x f x f x f x f x f x f x f x o --=--==-=-+⎡⎤⎣⎦∴-⎡⎤⎣⎦ ∵f(x 1)≠f(x 2),∴g(x 1)•g(x 2)<0.∴g(x)=0在(x 1,x 2)内必有一实根.评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.12.若函数f(x)=22x +2xa+a+1有零点,求实数a 的取值范围.解:依题意,方程22x +2x a+a+1=0有实数根.令2x =t(t>0),则t 2+at+a+1=0, 2222211(1)2(1)2,11122(1)2,(1)11112,2112a a a t t t t t t t t t t t t t t t +++-++-=+++=++-++++++---∴+∴+=由于≥≥故的取值范围是≤≤ 13.(1)m 为何值时,f(x)=x 2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x 2|+a 有4个零点,求实数a 的取值范围.解:(1)①f(x)=x 2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0, 即4m 2-4(3m+4)=0,即m 2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.②解法一:设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2.则x 1+x 2=-2m,x 1•x 2=3m+4.由题意,知 ()()()()()2121223404m 43m 40x 1x 10x 1x 2203421041,1,51,0m m m m m m m m m -->⎧⎪-+>⎨⎪+-+>⎩><-⎧⎪⇒<⎨⎪⎧-+>⎪∆=+++>⎨⎪++>->⎩⇒⎩或∴-5<m<-1.故m 的取值范围为(-5,-1).解法二:由题意,知0,1,(1)0,2340,1,12340.m f m m m m m ∆>⎧⎪->-⎨⎪->⎩-->⎧⎪<⎨⎪-++>⎩即∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x 2|+a=0,即|4x-x 2|=-a.令g(x)=|4x-x 2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点. 故a 的取值范围为(-4,0).。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数.若(2)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<2．已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题:q 在ABC 中，若3B π∠>，则3sin 2B ∠>.则下列复合命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝3．直线1y =，y x =，1x =及幂函数1y x -=将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数13y x -=的图像在第一象限中经过（ ）A ．③⑦B ．③⑧C ．④⑦D ．①⑤4．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]6,105．若函数()()ln 1xf x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2-6．甲、乙两人解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得到根为14x =，18x；乙写错了常数c ，得到根为12x =，64x =．那么原方程的根正确的是（ ）A ．4x =B ．3x =C ．4x =或8x =D ．2x =或3x =7．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-8．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（ ） A ．1115104r s t << B ．1113104s r t << C ．1111054t s r <<D ．1111054r t s <<9．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,611．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（ ）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=______. 14．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2yx 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________. 15．若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-，则函数()f x 的最大值是______.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知4log 6a =，36b =，则12a b+=_______． 三、解答题17．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）18．已知函数()sin xf x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．19．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.20．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知，()(2)x f x x e =-.（1）当0a 时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a 时，不等式()21()242f x a x x +-+在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()g x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值．23．已知函数321()3f x x x mx m =+++.（1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.24．已知幂函数()223mm f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，x ⎡∈⎣（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值参考答案1．C2．D3．D4．C5．B6．C7．A8．A9．D10．C11．D12．D 13．0 14．①③④ 15．12##0.516．2 17．(1) 1.9a = (2)9年18．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min f x -=19．（Ⅱ）(]0,120．（1）4k ≤；（2）k 2≤.21．（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞（2）12a ≥ 22．（1）极小值11f a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）2．23．（1）1223x x +=-（2） 24．（1）1m =；（2）116-.。
高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第13练函数与方程练习
第13练 函数与方程[基础保分练]1．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(5,6) D ．(6,7)2．函数f (x )＝sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]4．设f (x )是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根5．若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x －，x >2，10|x －1|，x ≤2，若f (x )－b ＝0有三个不等实根，则b 的取值范围是( )A ．(0,10] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤110，10C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10D ．(1,10] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x <0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是( ) A ．－12＋ 3B.12＋ 3 C ．－1＋32D ．1＋328．(2019·甘肃省酒泉市敦煌中学模拟)在函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x，f 4(x )＝12log x 四个函数中，当x 2>x 1>1时，使12[f (x 1)＋f (x 2)]<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立的函数是( )A ．f 1(x )＝12x B ．f 2(x )＝x 2C ．f 3(x )＝2xD ．f 4(x )＝12log x9．(2019·安徽省肥东县高级中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax 2＋x ，x <0，其中a >0，若函数y ＝f (x )的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________． [能力提升练]1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{－2－7，1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{1,3}D ．{2－7，1,3}2．(2018·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin(πx )，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4B ．8C ．12D ．163．(2019·云南省曲靖市第一中学模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，－2<x ≤0，f x －，x >0，则方程f (x )－13x ＝0的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线与f (x )在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1312C ．[2,3]D ．(2,3) 5．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.3]＝－2，则函数f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]的所有零点之和为________． 6．已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若满足不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．答案精析基础保分练1．C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 9.(0,1)10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 解析 ∵f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a 在(－∞，0)上单调递减，y ＝log a (x ＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )在(－∞，0)上的最小值大于或等于f (0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解得13≤a ≤34.作出y ＝|f (x )|和y ＝2－x3的函数草图如图所示． 由图象可知|f (x )|＝2－x3在[0，＋∞)上有且只有一解，∵|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x3在(－∞，0)上只有1解，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4a －83x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上只有1解，∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －832－a －＝0，－4a －832<0或⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫4a －832－a －，3a －2<0，解得a ＝5136或a <23，又13≤a ≤34，∴13≤a <23. 能力提升练1．A [∵f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋3x ＝－f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，∵g (x )＝f (x )－x ＋3，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，令g (x )＝0，当x ≥0时，x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3； 当x <0时，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7或x ＝－2＋7(舍去)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}，故选A.]2．D [F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于(2,1)点对称，则F (x )共有8个零点，其和为16，故选D.]3．B [由题意知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≤0，f x －，x >0，作出函数f (x )的图象，如图所示，又由方程f (x )－13x ＝0的根的个数转化为y ＝f (x )和y ＝13x 的图象的交点个数，结合图象可知，函数y ＝f (x )和y ＝13x 的图象有三个交点，即方程f (x )－13x ＝0有三个实数解，故选B.]4．A [∵f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )， ∴f (－x )＝f (2－x )， 即f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为T ＝2. 由x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2， 则当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， 故f (－x )＝f (x )＝x 2，因此当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.结合函数f (x )的周期性，画出函数f (x )(x ∈[0,4])的图象如图所示．又过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－94且斜率为k 的直线方程为y ＝kx －94. 结合图象可得，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2与y ＝kx －94联立消去y 整理得x 2－kx ＋94＝0，由Δ＝k 2－9＝0，得k ＝3或k ＝－3(舍去)，此时x 切＝k 2＝32∉[0,1]，故不可能有三个交点；当x ∈[2,3]时，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－94与点(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y ＝f (x )有两个交点，又f (x )＝(x －2)2，若与y ＝kx －94相切，将两式联立消去y 整理得x 2－(k ＋4)x ＋254＝0，由Δ＝(k ＋4)2－25＝0， 得k ＝1或k ＝－9(舍去)， 此时x 切＝k ＋42＝52∈[2,3]，所以当1<k <1312时有三个交点．综上可得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1312.]5．e ＋1e－2解析 由题意可知x －1<[x ]≤x ，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 令g (x )＝ln(x ＋1)－(x －1)(x ≥3)， 有g ′(x )＝1x ＋1－1<0， 所以g (x )在[3，＋∞)上单调递减， 有g (x )≤g (3)＝ln4－2<0，所以f (x )＝ln(x ＋1)－[x ]在[3，＋∞)上无零点，只需考虑⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <0，x ＋＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <1，x ＋＝0，⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x ＋＝1，⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <3，x ＋＝2，可得三个零点分别为1e －1，e －1,0，故答案为e ＋1e－2.6.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >－14或a ≤－2解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，f (x )≥g (x )，由f (x )≥g (x )，得2x －1＋a ≥b (2－x＋a )，即22x －1＋a ·2x≥b (1＋a ·2x)，令t ＝2x(t >0)，则12t 2＋a (1－b )t －b ≥0， 由题意知t 1＝4是方程12t 2＋a (1－b )t －b ＝0的解，∴8＋4a (1－b )－b ＝0，得b ＝4a ＋84a ＋1，又t 1·t 2＝－2b ，∴t 2＝－b2≤0，即b ＝4a ＋84a ＋1≥0，解得a >－14或a ≤－2，1 4或a≤－2.故实数a的取值范围是a>－。
高考数学复习知识点讲解教案第13讲 函数与方程
[解析] 令 = 2 − − 4，则 2 = 4 − 2 − 4 = −2 < 0，
3 = 8 − 3 − 4 = 1 > 0，
由 3
5
2
5
2
5
2
5
2
= 2 − − 4 < 0，
< 0知该解所在的区间为
5
,3
2
.
题组二 常错题
◆ 索引：误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.
= 的零点.
（2）
等价关系
零点
方程 = 0有实数解⇔ 函数 = 有_______⇔
函数 = 的图象与
_______有公共点.
轴
（3）
函数零点存在定理
如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
至少有一个
<0
________________,那么,函数
4.函数
2
= 9 − 3 ln − 1 的零点为___.
[解析] 由题知 的定义域为 1, +∞ ，由 = 0，得
即9
− 3 = 0或ln − 1 = 0，解得 =
所以函数 =
9
1
（舍）或
2
− 3 ln − 1 的零点为2.
9
= 2，
− 3 ln − 1 = 0，
1
2
1
2
1
2
= 2 − 1 > 0，
< 0，所以 的零点在区间
1
0,
2
上，故选A．
)
D. 2,3
（2）
2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
2018年高考数学三轮冲刺精典专题强化练习函数与方程练习卷理(1)
函数与方程练习卷1. 函数f (x)＝ln x ＋x 3－8的零点所在的区间为 （ ）( A ) (0，1) ( B ) (1，2) ( C ) (2，3) ( D ) (3，4)【答案】B2.函数()223,0{2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B3．函数f （x ）＝2020x log x x a x ì>ïí£ïî，－＋，有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ） A ．a<0 B ．0<a<12 C. 12<a<1 D ．a≤0或a>1 【答案】A4.设函数32()f x ax bx cx =++，若1和1-是函数()f x 的两个零点，1x 和2x 是()f x 的两个极值 点，则12x x 等于( )A ．1-B ．1C ．13-D ． 13 【答案】C5．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则2a z =的取值范围是（ ）A．[]1,4 C【答案】D 6.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】D7．已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A ．或； B ．0；C ．0或； D ．0或. 【答案】D8．定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有4个不同的实根，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．12- C ．1 D ．-1 【答案】B9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是 （ ）A.(1,2)B.)2,23()23,1(C.3[,2)2D. 3(1,)2【答案】B10.已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ()2,0-D. []2,0- 【答案】C11.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．11(,]43B ．1(0,]4C ．11[,]43D ．11[,)43【答案】D12.设函数2log 1y x =-与22x y -=的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】C13.关于x 的方程有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为________. 【答案】14.已知函数，则函数的零点个数是______个. 【答案】4 15. 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 【答案】216.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥.18.已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈.（1）若()()12f f -=,且函数()y f x x =-的值域为[)0,+∞,求函数()f x 的解析式;（2）若0c <,且函数()f x 在[]1,1-上有两个零点, 求2b c +的取值范围.【答案】（1）()21f x x x =-+（2）222b c -<+<19．已知2()log (2)xf x a =+的定义域为(0,)+∞．（1）求a 的值；（2）若2()log (21)xg x =+，且关于x 的方程()()f x m g x =+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1-=a ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22已知函数()22x x f x -=+.（1）求方程5()2f x =的根；（2）求证：()f x 在[0,)+∞上是增函数；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，不等式(2)()f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）证明见略；（3）0.。
河北省衡水市2018届高考数学复习 专题十三 圆锥曲线与方程专项练习 理
专题十三《圆锥曲线与方程》数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1卡上第1卷一、选择题1、已知,是双曲线的左、右焦点,设双曲线的离心率为.若在双曲线的右支上存在点,满足,且,则该双曲线的离心率等于( )A.B.C.D.2、已知椭圆:的左、右顶点分别为、,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )A.B.C.D.3、若双曲线:的一条渐近线被圆所截得的弦长为,则的离心率为( )A.B.C.D.4、已知抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为( )A.16B.14C. 12D.105、已知双曲线上有一点到右焦点的距离为,则点到左焦点的距离是( )A.8B.28C.12D.8或286、椭圆的焦点在轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )A.B.C.D.7、已知椭圆的两个焦点是,,是直线与椭圆的一个公共点,当取得最小值时椭圆的离心率为( )A.B.C.D.8、如图,,为椭圆长轴的左、右端点,为坐标原点,,,为椭圆上不同于,的三点,直线,,,围成一个平行四边形,则( )A.14B.12C.9D.79、已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的倍,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.10、设椭圆,双曲线,(其中)的离心率分别为,,则( )A.,B.,C.,D.,与大小不确定11、、分别是双曲线的左顶点和右焦点,、在双曲线的一条渐近线上的射影分别为、,为坐标原点,与的面积之比为,则该双曲线的离心率为 ( )A.B.C.D.12、已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A.B.C.D.二、填空题13、已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点,若为的中点,则.14、已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点。
2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第3章第13课一元二次不等式及其解法Word版含答案
第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．()(2)不等式x－2x＋1≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.()(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac ≤0.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.] 4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2017·宿迁模拟)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知 ，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<x <3.即不等式x 2－bx －a <0的解集为(2,3)．](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练1] 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 【导学号：62172074】 [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ；若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【导学号：62172075】[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(十三)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件， a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，则实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，则f (x )＝(x －1)2＋4≥4， 由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1， 由①②知0≤m <1.]7．(2016·苏北四市摸底考试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得 －(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．]8．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13.∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.] 二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，符合题意， ②当a ≠0时，只需⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12. 即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12.∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－14≤m <2. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ， ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·南通第一次学情检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2.(1)若不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)若b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围． [解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1.故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
高三数学高级代数练习题附答案
高三数学高级代数练习题附答案第一章：多项式的运算与因式分解一、填空题1. 已知多项式f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(2)的值。
答案：f(2)=2^3-2*2+1=8-4+1=5。
2. 已知多项式g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4，求g(1)的值。
答案：g(1)=2*1^3-3*1^2+5*1-4=2-3+5-4=0。
3. 已知多项式h(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求h(-1)的值。
答案：h(-1)=3*(-1)^4-(-1)^3+2*(-1)^2-3*(-1)+4=3-(-1)+2-(-3)+4=13。
二、选择题1. 若多项式f(x)能被(x-2)整除，那么f(2)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：A. 02. 若多项式g(x)能被(x+1)整除，那么g(-1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A. 03. 若多项式h(x)能被(x-3)整除，那么h(3)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A. 0第二章：一次函数与二次函数一、解方程1. 解方程2x + 3 = 7。
答案：2x + 3 = 72x = 7 - 32x = 4x = 4/2x = 22. 解方程3x^2 - 4x + 1 = 0。
答案：由求根公式可得，x = (-(-4)±√((-4)^2-4*3*1))/(2*3)= (4±√(16-12))/(6)= (4±√4)/(6)= (4±2)/(6)= 1 或 1/3二、函数图像的性质1. 函数y = x^2的图像是开口朝上还是朝下的？答案：函数y = x^2的图像是开口朝上的，因为其二次项系数为正。
2. 函数y = -2x + 3的图像是直线还是曲线？答案：函数y = -2x + 3的图像是直线，因为其为一次函数。
第三章：指数与对数函数一、求值题1. 计算2^3的值。
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t-取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．101x << B ．2101xx e << C ．()101f x <<D ．()1ln 2,a ∈-+∞【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．①④C ．②③④D ．①③④例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______.第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∈[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数 B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]3,4D ．[)3,4例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e【题型】八、一元二次不等式能成立问题例31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=， 因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t-取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln a h a a =-，则()1e ah a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．101x << B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =x a x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =x a x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x -'=，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③④D ．①③④【答案】 D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断①；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断②；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断③；求出()f x 的零点判断④作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于①，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；对于②，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，②不正确； 对于③，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，③正确；对于④，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，④正确， 所以所有正确结论的编号为①③④. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，，()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根， 此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根， 综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∈[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上的公切线之间，故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个．故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数 B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ②当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4C ．(]3,4D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=， 因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点， 所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11em m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩设()e e xxx g x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅，由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min 11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，。
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
(完整版)高三数学-函数图象与性质、函数与方程-专题练习(含答案与解析),推荐文档
当
x
π
时，
f
π
π
1 π
cos
π
1 π
π
0
，故排除
C，
x
0
若关于
x 的方程
f
2
x 3
f
x
a
0a R有
8 个不等的实数根，则 a 的取值范围是( )
A．
0,
1 4
B．
1 3
,
3
C． 1,2
【教师备用】
方程
log4
x
3 x
0
的根所在区间为(
)
A．
2,
5 2
B．
5 2
,
3
C． 3, 4
D．
2,
9 4
D． 4,5
【教师备用】(2016·辽宁锦州一模)对于函数 f x，若在定义域内存在实数 x ，满足 f x f x，称 f x为“局部奇函数”，若 f x 4x m 2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取
故选 B．
3．解析：A． y x 12 的对称轴为 x 1 ，为非奇非偶函数，不满足条件．
6 / 13
B． y cos x 1是偶函数，但在 0, 内不是单调函数，不满足条件． C． y lg x 2 为偶函数，在 0, 内单调递增，满足条件， D． y 2x ，在 0, 内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．
e
2
1 ,1
1,
e
1
答案
5 / 13
高三数学专题练习
函数图象与性质、函数与方程
解析
一、选择题
1．解析：根据函数 y f x的定义，当 x 2 为定义域内一个值，有唯一的一个函数值 f x与之对应， 函数 y f x的图象与直线 x 2 有唯一交点．
2018高考江苏专版大一轮数学文复习检测：第13课 函数
第13课函数与方程A 应知应会1.(2016·启东联考)若函数f(x)=mx+1-m在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是.(填序号)①②③④(第2题)3.若函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为.4.(2016·泰州中学)若函数f(x)=x3+x2-ax的图象与函数g(x)=x2-x的图象只有一个公共点,则实数a的取值范围为.5.求下列函数的零点:(1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x3-3x2-2x+6.6.若函数f(x)=log3(ax2-x)有零点,求实数a的取值范围.B 巩固提升1.若函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.2.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=e x-x-2的一个零点所在的区间为.3.已知方程=的解x0∈,那么正整数n=.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若函数g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]上有4个零点,则实数k的取值范围是.5.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1<x≤0时,f(x)=e-x;当0<x≤1时,f(x)=4x2-4x+1.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的单调区间;(2)若g(x)=f(x)-kx(k>0),求函数g(x)在[0,3]上的零点个数.6.已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)当k=2时,求方程f(x)=0的解;(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解x1,x2,求实数k的取值范围.第13课函数与方程A 应知应会1.(1,+∞)【解析】由f(0)f(1)<0,即(1-m)·1<0,得m>1.2.③【解析】只有零点两侧的函数值的符号相反且在零点附近连续时才可用二分法,故③正确.3.-【解析】由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.4.(-∞,1]【解析】由f(x)=g(x),得x3+x2-ax=x2-x,即x(x2-a+1)=0,得x=0或x2=a-1.由题意知a-1≤0,故a≤1.5.【解答】(1)f(x)=x4-1=(x2+1)·(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x1=1或x2=-1,故原函数的零点为x1=1或x2=-1.(2)f(x)=x2(x-3)-2(x-3)=(x-3)·(x2-2)=(x-3)(x-)(x+).令f(x)=0,得x1=3,x2=或x3=-,故原函数的零点为x1=3,x2=或x3=-.6.【解答】因为f(x)=log3(ax2-x)有零点,所以log3(ax2-x)=0有解,所以ax2-x=1有解.当a=0时,x=-1;当a≠0时,若ax2-x-1=0有解,则Δ=1+4a≥0,解得a≥-且a≠0.综上,实数a的取值范围是-,+∞.B 巩固提升1. 1+或1【解析】题目转化为求方程f(x)=x的根,所以或解得x=1+或x=1,所以g(x)的零点为1+或1.2.(1,2)【解析】由题中表格可知f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以可以判定函数的一个零点在区间(1,2)内.3.2【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=,y=的图象如图所示.由图可得x0∈(0,1).设f(x)=-,因为f=-<0,f=->0,所以n=2.(第3题)4.【解析】由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.易得当x∈[1,2]时,f(x)=-x+2;当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.函数g(x)=f(x)-kx-k在[-1,3]上有4个零点,即函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象如图所示,结合图形知k∈.(第4题)5.【解答】(1)由题知f(x)在(-1,0]上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,且当x=0时,e-x=4x2-4x+1,所以函数f(x)在(-1,1)上的单调减区间为,单调增区间为.(2)函数g(x)在[0,3]上的零点个数即为f(x)的图象与直线y=kx在[0,3]上的交点个数,作出f(x)在[0,3]上的图象如图所示.结合图象得,当k≥e时,g(x)有1个零点;当1<k<e时,g(x)有2个零点;当<k≤1时,g(x)有3个零点;当0<k≤时,g(x)有4个零点.(第5题)6.【解答】(1)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.①当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程可化为2x2+2x-1=0,解得x=.因为0<<1,所以x=.②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程可化为1+2x=0,解得x=-.综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x=或x=-.(2)不妨设0<x1<x2<2,因为f(x)=所以f(x)在(0,1]上是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解.若x1,x2∈(1,2),则x1x2=-<0,故不符合题意.因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=-,所以k≤-1;由f(x2)=0,得k=-2x2,所以-<k<-1.故实数k的取值范围是.。
2018届高三新课标数学理大一轮复习课时达标检测十三
课时达标检测（十三） 函数模型及应用[练基础小题——强化运算能力]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )A ．800米B ．900米C ．1 000米D ．1 200米 解析：选A 设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x ≥800，当且仅当x ＝40 000x，即x ＝200时取等号． 4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.5．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析：选B 选项B 中，Q 的值随t 的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4L ，则m 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．9 D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ， 可得n ＝15ln 12， 所以f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t 5， 设k min 后甲桶中的水只有a 4L ，则f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k 5＝a 4， 所以⎝⎛⎭⎫12k 5＝14，解得k ＝10，所以m ＝k －5＝5(min)．故选A.4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析：选A 依题意可设S A (t )＝20＋kt ，S B (t )＝mt .又S A (100)＝S B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150(k －m )＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：选B 设2015年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．6．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．二、填空题7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 2 9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. 答案：190910．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 300三、解答题11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10， 定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销量价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600，20<P ≤26， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
【高三数学试题精选】函数与方程训练题(含解析2018高考数学一轮)
函数与方程训练题（含解析2018高考数学一轮）
5 函数与方程训练题（含解析2018高考数学一轮）
A组基础演练
1．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12) f(12)＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内
( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
c．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析由f －12 f 12＜0得f(x)在－12，12内有零点，又f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴f(x)在[－1,1]上只有一个零点，即方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一的实根．
答案c
2．(2018 长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表
x123456
f(x)1361315552－3921088－52488－232064
则函数f(x)存在零点的区间有
( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
c．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，
∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点．
答案c
3．若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为，g(x)＝lgax＋x。
2018届高三数学第13练函数与方程练习
12．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如下图．给出以下四个命题：
①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；
A. B. ∪(1，＋∞)
C. ∪[1，＋∞)D.
6．已知函数f(x)＝x＋sinx＋ ，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是()
A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)
C．[－1,2)D．(－1,2)
7．(2016·太原期中)设f(x)是概念在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0)时，f(x)＝ x－1，假设关于x的方程f(x)－loga(x,6)内恰有4个不等的实数根，那么实数a
4．D[当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，知足条件．
当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需知足①f(－2)·f(2)<0或
② 或③
解①得－ <m<0或0<m< ，
解②得m∈∅，解③得m＝ .
综上可知－ <m≤ ，应选D.]
5．A[令f(x)－mx＋2＝0，那么f(x)＝mx－2，设g(x)＝mx－2，可知函数f(x)＝ 与函数g(x)的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A(0，－2)，B(3,1)，C(4,0)，可知直线g(x)＝mx－2
A．2B．3
C．4D．6
3．设函数f(x)是概念在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，那么f(x)的零点个数为()
人教版2018最新高三数学专题复习(函数与方程练习题)-Word版
高三数学专题复习（函数与方程练习题）( 附参照答案 )一、选择题1、定义域为 R 的函数 y ＝f (x) 的值域为［ a ， b ］，则函数 y ＝ f (x ＋ a ）的值域为（）A 、［ 2a ， a ＋ b ］B 、［ a ， b ］C 、［ 0， b － a ］D 、［－ a ， a ＋ b ］2、若 y ＝ f (x) 的定义域为 D ，且为单一函数， ［ a ， b ］D ，（ a － b ）· f (a)· f (b) ＞ 0，则以下命题正确为（）A 、若 f (x) ＝0，则 x ∈ (a ， b ）B 、若 f (x) ＞ 0，则 x （a ， b)C 、若 x ∈（ a ， b ），则 f (x) ＝ 0D 、若 f (x) ＜ 0，则 x（ a ， b ）3、设点 P 为曲线 y ＝ x 3－ 3 x＋ 2上的随意一点， P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（）3A 、［ 2π，π］B 、（，π）C 、［ 0， ］∪（ 5π，π）3226D 、［0， ］∪［ 2π，π）232m 34、设函数 f (x) 是定义 R 上的奇函数，若 f (x) 的最小正周期为）3，且 f (1) ＞ 1， f (2) ＝，则 m 的取值范围为（m1A 、m ＜2B 、 m ＜ 2且 m ≠－ 1C 、－ 1＜ m ＜2D 、 m ＞ 2或 m ＜－ 133335、定义在 R 上的函数 f (x) 在（－∞， 2）上是增函数，且 f (x ＋ 2)的图象对于 x ＝ 0 对称，则（ ）A 、f ( － 1)＜ f (3)B 、 f (0) ＞f (3)C 、 f ( － 1)＝ f (3)D 、f (0) ＝ f (3)6、已知对全部 x ∈ R ，都有 f (x) ＝ f (2 － x ）且方程 f (x) ＝ 0 有 5 个不一样的根，则这 5 个不一样根的和为（）A 、10B 、 15C 、 5D 、没法确立2＋kx ＋2）的值域为 R ，则 k 的范围为（7、函数 y ＝ log 1 (x）2A 、［2 2，＋∞］B 、（－∞，－ 2 2 ）∪［ 2 2 ，＋∞］C 、（－ 2 2 ， 22 ）D 、（－∞，－ 22 ］8、设α、β挨次是方程log 2x ＋ x － 3＝ 0 及 2x ＋ x － 3＝ 0 的根，则α＋β＝（）A 、3B 、6C 、 log 23D 、 229、已知函数 y ＝ f (2x ＋ 1)是定义在 R 上的偶函数，则函数y ＝f (2x) 的图象的对称轴为（）A 、x ＝ 1B 、 x ＝1C 、x ＝－1D 、 x ＝－ 12210、已知 y ＝ f (x ）是定义在 R 上的奇函数，若 g (x) 为偶函数，且 g (x) ＝ f (x － 1）g (2)＝ 2008，则f (2007) 值等于（）A 、－ 2007B 、 2008C 、 2007D 、－ 2008 11、（理）对于 R 上可导的随意函数 f (x) ，若知足 (x －1）· f '(x) ≥ 0，则必有（）A 、f (0) ＋ f (2) ＜ 2f (1)B 、 f (0) ＋f (2) ≤ 2 f(1)C 、 f (0) ＋ f (2) ≥ 2f (1)D 、 f (0) ＋f (2) ＞ 2 f (1)lg | x 2 | ( x2)若对于 x 的方程［ f (x) ］2＋ b ·f (x) ＋ C ＝ 0，恰有 3x 1、x 2、x 3，则 f (x 112、函数 f (x ）＝2)个不一样的实数解1( x ＋x 2＋x 3）等于（）A 、0B 、 lg2C 、 lg4D 、 113、已知 f (x) ＝ 2＋ log 3 x ， x ∈［ 1,9］，则函数 y ＝［ f (x) ］ 2＋ f (x 2 )的最大值为（）A 、3B 、6C 、 13D 、 2214、已知 f (x) ＝ lgx ，则函数 g (x) ＝｜ f (1－ x)｜的图象大概是（）15、以下函数的图象中，经过平移或翻折后不可以与函数 y ＝log 2x 的图象重合的是（）A 、y ＝ 2xB 、 y ＝ log 1xC 、 y ＝ 4xD 、 y ＝ log 21＋ 122x16、已知 x 、 y ∈［－4，］， a ∈R ，且 x 3＋sinx －2a ＝ 0， 4y 3＋sinxcosy ＋ a ＝ 0，则 cos(x ＋2y ）的值为中（）4A 、0B 、 2C 、3D 、 1二、填空题17、已知函数 f (x) ＝ 2 ＋ lg (x ＋ x21 )，且 f ( － 1)≈ 1.62，则 f (1) 近似值为。
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第13练 函数与方程一、选择题1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．63．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，385．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x－12＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1,2)D ．(－1,2)7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)8．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.11．定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________．12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根． 其中正确命题的序号为________.答案精析1．C [∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0，f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0，∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]2．C [方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]3．C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3＝0，则2x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点， 所以函数f (x )有一个零点，又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.]4．D [当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0<14m<2.解①得－18<m <0或0<m <38，解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18<m ≤38，故选D.]5．A [令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选A.]6．B [由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x－12x ＋1＝1－22x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )|－a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．]7．D [由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a (6＋2)<1，即a >8，故选D.]8．B [令sgn(ln x )－ln 2x ＝0，得当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ； 当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2x ＝0，无解； 当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．故方程sgn(ln x )－ln 2x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2解析 函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．10．5解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 11．4解析 ∵定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|，∴函数f (x )在区间[1,28]上的图象如图所示：函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2交点的个数，由图可得函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2有4个交点，故函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上有4个零点． 12．①④解析 ①设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，g (x )＝0有2个不同根；当－2<t 2<－1时，g (x )＝t 2有2个不同根；当1<t 3<2时，g (x )＝t 3有2个不同根，∴方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根，故①正确．②设t ＝f (x )，若g [f (x )]＝0，则g (t )＝0，则－2<t 1<－1或0<t 2<1.当－2<t 1<－1时，f (x )＝t 1有1个根；当0<t 2<1时，f (x )＝t 2有3个不同根，∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f(x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f(x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f(x)＝t3有1个根，∴方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．综上，命题①④正确．。