数值计算1-3章公式
数值分析公式、定理等
第一章 绪论1. *x ＝ n 21k a a a .010⨯±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-⨯（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。
2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则n 1110a 21|x ||x x |-**⨯≤- （２）如果n 1110)1a (21|x ||x x |-**⨯+≤-，则*x 至少有n 位有效数字。
第二章 非线性方程根求解1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)⋅f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。
2.二分法的误差： |1k 1k k k 2ab |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域∆，当迭代初值属于∆时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。
4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞→i i x lim 。
若存在实数P ≥1，使 c ||||limpi 1i i =εε+∞→≠0 ，则称此方法关于根α具有P阶收敛速度。
C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。
C ≠0保证了P 的唯一性。
对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。
一般情况下，P 越大，收敛就越快。
当P=1时，我们称为线性收敛。
P>1，称为超线性收敛。
P=2，称为平方收敛。
5.牛顿迭代法：)x (f )x (f x x k k k 1k '-=+定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 )(f 2)(f lim2i1i i α'α''-=εε+∞→（即具有二阶收敛速度）定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值计算常用公式
数值计算常用公式数值计算是数学中的一种重要技巧，在各个学科中都有广泛的应用。
为了方便和加快数值计算的速度，人们总结出了一些常用的计算公式。
下面将介绍一些数值计算常用的公式。
1.四则运算常用公式：加法公式：a+b=b+a减法公式：a-b≠b-a乘法公式：a*b=b*a除法公式：a/b≠b/a2.平方和差公式：平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²3.指数公式：幂运算公式：aⁿ*aᵐ=aⁿ⁺ᵐ除法公式：aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ4.对数公式：对数运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy除法公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy5.百分比公式：百分比公式：x%=x/100百分数换分数：x% = x / 100 = x/100 * a/a = xa/100a分数换百分数：a/b=(a/b)*100%6.阶乘公式：阶乘公式：n!=n*(n-1)!7.平均值公式：平均值公式：平均值=总和/个数8.平方根公式：平方根公式：√a=b,则a=b²9.三角函数公式：正弦公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b)) 10.高斯公式：高斯求和公式：1+2+3+...+n=n(n+1)/2高斯公式的扩展：a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n−1)d)=n[a+(a+(n−1)d)]/211.解一元二次方程公式：一元二次方程公式：ax² + bx + c = 0, 求解公式：x = (-b ±√(b² - 4ac))/2a12.等差数列求和公式：等差数列求和公式：Sn=(a₁+aₙ)*n/213.等比数列求和公式：等比数列求和公式：S=a(1-qⁿ)/(1-q)14.泰勒级数展开公式：泰勒级数展开公式是一种表示一些函数为多项式的方法，可以用来近似计算函数的值。
数值方法简明教程作业集答案
数值计算方法简明教程第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。
2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。
令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。
5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。
6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。
则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。
而11010<<-δ，故计算过程稳定。
(完整)数值计算方法复习
2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
（二) 复习要求1。
了解数值分析的研究对象与特点。
2。
了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。
了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。
3。
理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4。
掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。
为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
全部数值计算公式
全部数值计算公式数值计算公式。
数值计算是现代科学和工程领域中的重要工具，它涉及到对数学模型进行数值求解，以获得实际问题的数值解。
数值计算公式是数值计算的基础，它们可以帮助我们对复杂的数学问题进行数值求解，从而得到实际的结果。
本文将介绍一些常见的数值计算公式，并探讨它们在不同领域的应用。
一、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种用来求解方程根的数值方法，它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
假设我们要求解方程f(x)=0的根，牛顿迭代法的公式如下：x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}。
其中，x_n是第n次迭代的近似解，f(x_n)是方程在x_n处的函数值，f'(x_n)是方程在x_n处的导数值。
通过不断地迭代，我们可以逐渐逼近方程的根，从而得到方程的数值解。
牛顿迭代法在实际中有着广泛的应用，比如在工程领域中用来求解复杂的非线性方程，以及在金融领域中用来进行风险分析和模型求解。
二、梯度下降法。
梯度下降法是一种用来求解最优化问题的数值方法，它的基本思想是通过不断地调整参数来使目标函数的值最小化。
假设我们要求解目标函数f(x)的最小值，梯度下降法的公式如下：x_{n+1} = x_n \alpha \nabla f(x_n)。
其中，x_n是第n次迭代的参数向量，\alpha是学习率，\nabla f(x_n)是目标函数在x_n处的梯度。
通过不断地迭代，我们可以逐渐逼近目标函数的最小值，从而得到最优解。
梯度下降法在机器学习和深度学习领域有着广泛的应用，比如在训练神经网络时用来调整参数以使损失函数最小化，以及在优化算法中用来求解复杂的非凸优化问题。
三、龙格-库塔法。
龙格-库塔法是一种用来求解常微分方程初值问题的数值方法，它的基本思想是通过不断地迭代来逼近微分方程的解。
假设我们要求解初值问题\frac{dy}{dt} = f(t,y)，y(t_0) = y_0的数值解，龙格-库塔法的公式如下：y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)。
黄云清版数值计算方法习题解答
第一章 引论（习题）2． 证明 ： 记 x x f =)( ，则)()(***x x x x x xx x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=.3． 证明： 令： )()()(b a fl b a fl b a **-*=δ可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码）， 故： 121||--≤c t c ββδt-=121β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl .4． 解 (1) )21()1(22x x x ++. (2))11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-.6． 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-=a x x E . x a x x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r .9． 解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-= 6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …(2) 取初值 50101-+=y ， 2110-=y , 记： n n n y y -=ε,序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε, 可见随着 n ε 的主项 5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章 多项式插值 (习 题)1. 方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(123210---=-----=x x x x x x x l , ))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ， x x x x x x l )1()()1()1!()(2382121232--=-⋅⋅-+=, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L方法二. 令：)()21()(3B Ax x x x L +-=由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法）2. 证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： =)(x L n ∑=ni i k i x l x0)( ，当 j x x = 时 有： k j j n x x L =)( ， n j ,,1,0 =)(x L n 也即为 kx 的插值多项式，由唯一性，有：∑==ni k i ki x x l x)( ， n k ,,1,0 =证明(2)：利用Newton 插值多项式)(],[)()(0100x x x x f x f x N n -+=)()(],,[100---++n n x x x x x x f )()()()()()(00101x l x x x x x x x x x f n n =----=差商表：f(x) 一阶 二阶 … n 阶差商0x 1 1x 0101x x -)()(11020x x x x --n x 0 0)()(1010n x x x x --代入)(*式有：)()()()()(1)(020*******n n n x x x x x x x x x x x x x x x N -----++--+=- . )(0x l 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 )()(0x N x l n ≡.4. 解 作)(x f 以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有： )()()(22x R x L x f +=， 其中：)()()()()()()()()()(2εεεεε+-+--+-----=a fb a b x a x a f b a b x a x x L)()()()()(b f a b a b a x a x εε------+，)()()(!3)()(2b x a x a x f x R ----'''=εζ ， b a <<ζ 令： 0→ε 有 )()(6)()()(22b x a x f x R x R --'''=→ζ， 又：)()()()([)()(2a f a b ax a f a b a x x b x L εεεεε----+----= )]()()()()(a f a b a x a f a b a x -------+εεεε )()()()()(b f a b a b a x a x εε------+)()()2()(2a f ab a b x x b --+-→)()()()(a f a b a x x b '---+ )()()()(22x P b f a b a x =--+ 故当 0→ε 时，成立公式： )()()(x R x P x f +=.5. 解：因为34)(3'-=x x f ，2''12)(x x f =)(x f 为凹函数.又从数值表可见：当]5.0,1.0[∈x 时，)(x f 单调下降.有反函数)(1y fx -=)(y f的Newton 插值多项式：)17440.0)(10810.0)(40160.0)(70010.0(01225.0)10810.0)(40160.0)(70010.0(01531.0)40160.0)(70010.0(0096436.0)70010.0(33500.01.0)(4+---+------+--=y y y y y y y y y y y N.337.0)0(4*≈=N x7． 解 1)(37++=x x x f .有：=]2,,2,2[71f !7)()7(ξf =1, !8)(]2,,2,2[)8(810ηf f = 0=.9. 证明：(1) =⋅-⋅=⋅∆++i i i i i i g f g f g f 11)(i i i i i i i i g f g f g f g f ⋅-⋅+⋅-⋅++++1111i i i i f g g f ∆+∆=+1.(3) n x n n)1()1(-=∆！)()(nh x h x x h n ++此题可利用数学归纳法：设 k n = 成立，证明 1+=k n 成立.又 1=n 时是成立的.10. 证明： 记： 2]2/)1([)(+=n n n f ，33321)(n n g +++=有： 3)1()()1()(+=-+=∆n n f n f n f 故： ∑-=∆=10)()(n k k f n g ∑-=-+=1)]()1([n k k f k f2]2/)1([)0()(+=-=n n f n f .13． 解 作重节点差商的Newton 插值公式)1(]1,1[)1()(+--+-=x f f x P 22)1(]1,0,1,1[)1(]0,1,1[+--++--+x x f x f )1()1(]1,1,0,1,1[2-+--+x x x f 重节点差商表：i x i f 一阶 二阶 三阶 四阶10-=x 110-=x 1 201=x 1 0 -212=x 1 0 0 112=x 1 2 2 1 0得 22)1()1(2)1(21)(+++-++=x x x x x P 13+-=x x .17． 证： 取 ,00=x 211=x ， 12=x ， 21=h00=f ， 11=f ， 12=f 记： )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i有 hx x M h x x M x S 01101)(-+-=''x M x M 102)21(2+-= )21(2)1(2)(212-+-=''x M x M x S 又三弯矩方程为：( 2],,[210-=x x x f )244210-=++M M M ， )24(41201M M M ++-=.分段积分：⎰⎰+''=''∆1021221)]([)]([dx x s dx x s ⎰''12221)]([dx x s ⎰+-+=21201)]21([4dx x M x M ⎰-+-121221)]21()1([4dx x M x M⎰⎰-+-+-+-=121121221201)]21()1([4)]1()21([4dxx M x M dx x M x M由于 ⎰=-1212241)21(dx x ，⎰=-1212241)1(dx x ，⎰=--121481)1()21(dx x x ，于是：⎰++++=''∆1022212110202]2[61))((M M M M M M M dx x S 又： )24(41201M M M ++-=记 =),(20M M I ⎰∆''12))((dx x S=)()24(41[6120202220M M M M M M +++-+ ])24(81220M M +++由00=∂∂M I， 02=∂∂M I . 得：⎩⎨⎧=+-=-07072020M M M M 即当： 020==M M 时, ),(20M M I 达最小故：⎰=⋅⋅≥''∆102212)24(8161))((dx x S ,由最小模原理： ⎰≥''1212)]([dx x f .20. 解 利用三弯矩方法 )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i 10=x ， 22=x ， 32=x⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=+542364622121010M M M M M M M解得： 70-=M ， 201=M ， 372-=M]2,1[∈x 72431729)(231-+-=x x x x s ]3,2[∈x 105229367219)(232+-+-=x x x x s .第三章 最佳逼近及其实现 (习 题)2. 解 (1) ⎰'⋅'=badx x g x f g f )()(),( 不是 ),(b a c '中的内积，事实上容易验证：),(),(f g g f = ， ),(),(g f g f λλ= ),(),(),(w g w f w g f +=+但是 0),(=f f 当且仅当 0)(≡x f . 条件不满足，因为： ⎰='⋅'=badx x f x f f f 0)()(),(推出0)(≡'x f ，0)(≠=const x f . 因而 ),(g f 不是 ),(b a C '中的内积.(2) ),(g f 是 =],[10b a C {}],[)(,0)(:)(b a C x f a f x f '∈'=空间的内积，这是因为： 0),(=f f 推出 0)(='x f , C x f =)(，又],[10b a C f ∈ ，故 0)(=x f .4. 解：由于 0)(],,[2≠''∈x f b a c f ，则)(x f ''于],[b a 上保号，由定理5的推论2可知：)()(1x P x f -的交错点组恰有三个交错点，且 a x =1，b x =3，即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-'='-=+-==+-==+-=0)()(,)()()(,)()()(,)()()(122210223103311011αρααρααρααx f x e x x f x e x x f x e x x f x e 故： a b a f b f x f --='=)()()(21α，2)()(2)()(220x a a b a f b f x f a f +⋅---+=α 记 c x =2 ，即证得(1).(2) 若 x x f cos )(= ，]2,0[],[π=b a此时由 ab a f b fc f --=')()()( 得：π2sin =c ， )2sin(πarc c =，πα21-=πππα2)4(2120-+=2)/2sin(2ππarc ⋅+)4(212-+=πππππ)2sin(arc +. 误差估计：)()(10b f b f E -+=-=ααρ)4(212-+=πππ1)2sin(-+ππarc5. 解：选取α ，使得：=)(αI ||max 211x x x α-≤≤ ，达到极小，即要求 x x *)(*αϕ= ，于]1,0[上一致逼近于2x ，如图 应选 *α ，使得：x x x *)(2αϕ-=,于 ]1,0[ 上有两个轮流为正负偏差点，其中之一为1，另一个假设为 ζ 于是： )()1(ζϕα-=, 0)(='ζϕ ， （ ζ为)(x ϕ的极值点） 得： αζζα+-=-2102=-αζ 解得：ζα2= ，0122=-+ζζ, 212,1±-=ζ取12-=ζ ， 222-=α. 又： α 是唯一的.6. 证明：由最佳一致逼近的特征定理，)(*x P n 为)(x f 的最佳一致逼近多项式，则存在2+n 个点b x x x a n ≤<<<≤+110使得： )()()(*k n k k x P x f x e -==*)1(n kP f --σ.又由于 ],[)(b a C x f ∈ ，于 ),(1+i i x x 中有一个点 i η ，1+<<i i i x x η ， 使得： 0)()()(*=-=i n i i P f e ηηη, n i ,,1,0 =即： )(*x P n 为)(x f 满足插值条件： )()(*i i n f P ηη= ， n i ,,1,0 = 的插值多项式.7． 解：求C*，使得：C x f C I bx a R C -=≤≤∈)(max min *)(记 C x f x e -=)()(, 依最佳一致逼近的特征定理：应取 )](min )(max [21*],[],[x f x f C b a b a +=*)()(C x f x e -=于 ],[b a 才有两个轮流正负的偏差点，（即 )(x f 于],[b a 上的最大值点和最小值点）1x ，2x )(max )(],[1x f x f b a = ， )(min )(],[2x f x f b a =此时： *)(m a x )1()(],[C x f x e b a ii --=σ即 *C 为)(x f 的零次最佳逼近多项式.8. 解： 436)(23+++=x x x x f 2)(34)3(62031T T T T +++=014T T ++01232112112323T T T T +++= 因为)(413x T 与零偏差最小，故： 012221121123)(T T T x P ++=421132++=x x . 为)(x f 的最佳一致逼近多项式.9. 证明：我们仅证明)(x f 是偶函数时，)(x P n 亦是偶函数.由于)(x P n 为)(x f的最佳一致逼近多项式，有：)()()(max ],[f E x P x f n n a a =--和： [,max ()()()]n n a af x P x E f ----=即： )()()(m a x ],[f E x P x f n n a a =---)(x P n -亦是)(x f 的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的惟一性，有： )()(x P x P n n =-即： )(x P n 为偶函数.11． 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。
数值计算方法第三章 线性方程组迭代法
0,1,2,
取x1(0) 0, x2(0) 0,计算结果如下：
k0
x (k) 1
0
x (k) 2
0
1
2
3
4
0.66667 0.50000 0.61111 0.58333
0.50000 0.16667 0.25000 0.19445
5
6
7
8
9
0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.6005
从而得迭代式 x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1 b, (k 0,1,2, )
上式中矩阵 M (D L)1U 为Gauss-Seidel迭代矩阵。
输入：A,b, n,
置初值： k 0; xi 0(i 1,L , n)
k k 1;e 0
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,L
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
0
101
0
1
10
2
1 0 0 101 1 1 5
0 0.1 0.2 0.1 0 0.2
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
传热与流体流动数值计算(1~3章)-PPT精选文档
• 可以代表无因次的变量 • 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现 象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一 个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程 序，对不同意义的 重复使用这个程序； • 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适 的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。 并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都 是可以采用的。 例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机 周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机 上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维 的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。 –3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
恰好在第三项之后截断级数，两方程相加相减得到：
3 1 d 2x dx 2
d 2 1 3 2 2 dx 2 ( x )2 2 代入微分方程就推出有限差分方程。
假设：φ的 变化多少 有点像x的 一个多项 式，从而 高阶导数 项不那么 重要。
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院 朱 彤
本课程学习内容
• • • • • • • 物理现象的数学描述 离散化方法 扩散项处理 对流与扩散 流场的计算 湍流数学模型 Fluent基础知识介绍
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡 • 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
数值分析公式大全
数值分析公式大全1.插值公式：
-拉格朗日插值公式
-牛顿插值公式
-分段线性插值公式
-分段多项式插值公式
- Hermite插值公式
2.数值积分公式：
-矩形法
-梯形法
-辛普森法则
-龙贝格公式
-复合梯形公式
-复合辛普森公式
3.数值微分公式：
-前向差分
-后向差分
-中心差分
-五点差分公式
4.数值方程求根公式：
-二分法
-割线法
-牛顿迭代法
-雅可比迭代法
-弦截法
- Muller法
5.线性方程组求解公式：
- 直接法（LU分解，Cholesky分解）
- 迭代法（雅可比迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法）-共轭梯度法
-GMRES法
6.常微分方程数值解法：
- Forward Euler法
- Backward Euler法
- 改进的Euler法
-龙格-库塔法
-预测校正法
7.偏微分方程数值解法：
-有限差分法
-有限元法
-谱方法
-边界元法
8.近似计算公式：
- Taylor级数展开
-泰勒展开的截断误差估计
- 常用数学公式（例如：sin x的级数展开）
9.最优化问题求解公式：
-单变量最优化问题求解公式
-多变量最优化问题求解公式
-线性规划求解公式
-非线性规划求解公式。
数值计算方法及算法
b a
(
x
x0
)
(
x
xn
)
xdx
n is odd n is even
特别，梯形公式和Simpson公式的误差为
E1
f ( ) (b a)3
12
代数精度＝1
E2
f (4) ( ) (b a)5
2880
代数精度＝3
复化数值积分
b
f (x)dx
f (x)dx
构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
(x)
x xn x0 xn
1(x)
x x0 xn x0
2 ( x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R(x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
1 2
1 n1
nh (nh)
(nh)
2 n1
0
1
1
1
1
1
1
n
0 0
1 1n
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普半径：
(A)= ∣ i∣
逐次超松弛迭代法：
xi(k+1)=xi(k)+ (bi- aijxj(k+1)- aijxj(k）)（3.63）
X(K+1)=BωX(K)+fω(3.64)
条件数：
Cond（A）=‖A-1‖‖A‖
aij(k+1)= aij(k)- mikakj(k)(i,j=k+1,k+2,...,n)
bi(k+1)=bi(k)-mikbk(k)(i=k+1,k+2,...,n) (3.9)
xn=bn(n)/ann(n)
xi=(bi(i)- aij(i)xj)/aii(i)
(i=n-1,n-2,...,1) (3.10)
xn=yn/unn
xk=(yk- ukjxj)/ukk(k=n-1,n-2,...,1)( 3.19)
追赶法：
β1=c1/b1
βi=ci/(bi-aiβi-1(i=2,3,..,n-1)
y1=f1/b1
yi=(fi-aiyi-1)/(bi-aiβi-1) (i=2,3,...,n)
xn=yn
xi=yi-βixi+1（i=n-1,n-2,...,2,1）
杜利特尔分解法：
u1i=a1i(i=1,2,...,n)
li1=ai1/u11(i=2,3,...,n)
uki=aki- lkjuji(i=k,k+1,...,n)
lik=(aik- lijujk)/ukk
(i=k+1,k+2,...,n,k≠n) (3.17)
y1=b1
yk=bk- lkjyj(k=2,3,...,n)（3.18）
X(k+1)=BJX(k)+fJ(k=0,1,2,...)
BJ=D-1(L+U)(雅克比迭代矩阵),fJ=D-1b(3.50)
高斯-赛德尔迭代法：
xi(k+1)= (bi- aijxj(k+1)- aijxj(k）)
(i=1,2,...n;k=0,1,2...)（3.51）
X(K+1)=BGX(K)+fG(k=0,1,2,...)
平方根法：
l11= 11
li1=ai1/l11(i=2,3,...,n)（3.30）
ljj=(ajj- ljk2)½
lij=(aij- likljk)/ljj(i=j+1,...,n,j≠n) (3.31)
y1=b1/l11
yi=(bi- likyk)/lii(i=2,3,...,n) (3.32)
第二章
二分法：
︱x*-xk︱≦(bk-ak)/2=（b-a）/2(2.2)
迭代法：
f(x)=0→x=g(x)→xk+1=g(xk)(k=0,1,2,...) (2.4)
牛顿迭代法：
xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)(k=0,1,2,...) (2.8)
弦割法：
xk+1=xk-[f(xk)/(f(xk)-f(xk-1))](xk-xk-1) (2.10)
第一章
e*(x) = x-x*(1.2)
︱e*(x)︱=︱x-x*︱≦ε*(1.3)
er（x）=e*(x)/x=(x-x*)/x (1.4)
︱er*（x）︱=︱e*(x)/x*︱≦εr*(1.6)
绝对误差：
e*(y)≈（ f/ x1)*e*(x1)+（ f/ x2)*e*(x2)
相对误差：
er*(y)≈( f/ x1)*(x1*/y*)er*(x1)+（ f/ x2)*(x2*/y*)er*(x2)
艾特肯加速法：
yk=g(xk) (迭代)
zk=g(yk) (迭代)
xk+1=xk-(yk-xk)2/(zk-2yk+xk)（加速）(2.12)
第3章：
回代过程：
xk= (bk- akjxj)/akk
(k=n-1,n-2,.....,1) (3.5)
高斯消元法：
mik= aik(k)/ akk(k)（i=k+1,k+2,.....,n）
xn=yn/lnn
xi=(yi- lkixk)/lii(i=n-1,...,2,1) (3.33)
范数：
‖X‖1= ∣xi∣
‖X‖2=( xi2)½
‖X‖∞= ∣xi∣
‖Y‖1= ∣aij∣
‖Y‖2=
‖Y‖∞= ∣aij∣
雅克比迭代法：
xi(k+1)= (bi- aijxj(k))(3.47) ,A=D-L-U(3.49)