高中数学函数单调性教案

课题：§1.3.1函数的单调性

肥东县城关中学马亚东

教学目的：

（1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征； （3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性；

（4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨

论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题.

教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征．

教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性． 教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用． 教学用具：黑板、计算机多媒体 教学过程： 一．情景引入：

德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：

将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答）

这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆.

象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性. 二．学习新课：

观察以下几幅图,你能发现图象在升降上有什么特点吗? （学生回答）

2

(1)()f x x

=x

（1）函数()f x x =的图象从左到右上升,即当x 增大时()f x 随着增大,所以称函数()f x x =在R 上是增函数.

（2）函数2()f x x =在对称轴y 轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x 增大时

()f x 随着减小，在区间（0,+∞)上当x 增大时()f x 随着增大. 所以称函数2

()x f x =在(-∞,0] 上是减函数，在（0,+∞)上是增函数.

那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？

考察函数2 ()f x x =在（0,+∞)上任取1x ,2x 则112

()f x x =，222 ()f x x =，对任意120x x << ，都有2212x x < ，所以在区间（0,+∞)上，对任意12x x <,都有12()()f x f x <，即

2 ()f x x =在（0,+∞)上, 当x 增大时, 函数值()f x 相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以2 ()f x x =在区间（0,+∞)上是增函数.

由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）. 定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x 、，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x 、，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数.

分析定义可得：

（1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.

（2）12x x 、的三大特征：①属于同一区间；②任意性； ③有大小：通常规定12x x <

根据图像判断：函数1

()x f x =在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数.

问：能否说函数1

()x f x =在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？

答：不能. 因为不是对任意的12x x 、 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >.

反例如：－1<1，－1＝f (-1)< f (1)＝1.

如果函数1

()x f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =)在区间D 上

具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数f (x )的单调区间. 三．概念应用：

例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f (x )的图象， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 函数是增函数还是减函数？（学生活动）

解：函数()y f x =的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

其中()y f x =在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数；

在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接.

（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可. 例2．证明函数2()1f x x =-+在+∞（0，）是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示） 证明：设12x x 、是+∞（0，）上任意两个值，且12x x <， 则

∴12()()0, f x f x ->即1()()f x f x > ∴函数2()1f x x =-+在+∞（0，）. 总结证明函数单调性的步骤：

1.设值:设任意12x x 、属于给定区间，且12x x <；

2.作差变形:差12()()f x f x -变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；

3.定号:确定12()()f x f x -的正负；

4.下结论:由定义得出函数的单调性. 四、课堂小结

1.描述函数单调性的三种方法:

图形语言、自然语言、符号语言 2.函数单调性定义中的几个关键词:

定义域内某个区间 任意 都有 3.研究函数性质的常用方法: 观察图象

猜想性质

数学化结论

数学严格证明

4.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.

5.（定义法）证明函数单调性的步骤:

五．布置作业

1.课本39页A 组第1、2题.

2.课下思考题：如何确定函数4

() , [1 , 5]f x x x x =+∈的单调区间，并证明你的结论. 六．板书设计、教后感（略）

设值

作差变形

判断差符号 作差变形 下结论

设值 ()()()

221212()11f x f x x x -=-+--+2221=x x -2121()()

x x x x =+-2121210

0,0

x x x x x x >>∴->+>