第六章 控制系统的误差分析和计算
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控制工程基础6章
H(S) +
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
第六章 控制系统的误差分析和计算
解
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
+
E ( s)
10 s
X o ( s)
e ( s ) =
1 1 s = = 1 + G ( s ) 1 + 10 s + 10 s s ess = lim si iXi (s) s →0 s + 10 1 Xi ( s) = s s 1 ess = lim si i =0 s →0 s + 10 s
K a = lim s 2 iG ( s )
s →0
对0型系统 型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K 0 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) =0 (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
对Ⅰ型系统
K a = lim s 2 i
s →0
K1 (Ta s + 1)(Tb s + 1) (Tm s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1) (Tn s + 1)
=0
自动控制原理
对Ⅱ型系统
K2 (Ta s +1)(Tb s +1)(Tms +1) Ka = lim s i 2 = K2 s→0 s (T1s +1)(T2s +1)(Tn s +1)
2
所以， 就是Ⅱ 所以，静态加速度误差系数 Ka 就是Ⅱ型系统的开环放大倍 对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， 数 K 2 。对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统， K a 才为 ∞ 。 在单位加速度输入下 型系统， 对0型系统， ess = ∞ 型系统 型系统， 对Ⅰ型系统，
这就是求去单位反馈系统稳态误差的方法
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
控制工程实验-第6章
• II 型或高于 II 型的系统能准确地跟踪斜坡输入。
• 如果对具有速度函数性质的输入信号要求稳态 误差为零，则系统必须是 II 型或高于I单位加速度输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s13s2G 1(s)
定义静态加速度误差系数为
Ka
lims2G(s) s0
在一个给定的系统中，输出量可以是位置、
速度、压力、温度等，然而，输出量的物理形式 对控制系统的分析并不重要，因此，可称系统输 出量是“位置”，输出量的变化率为“速度”等。
将阶跃、斜坡、加速度等输入信号称为广义 位置、速度、加速度信号。
静态位置误差系数
系统对单位阶跃输入的稳态误差是
11 1 essls i0m s1G(s)s1G(0)
一般情况下， H(s)H为常值，因此
ess ss H • 稳态误差取决于系统结构参数和输入信号 • 求解稳态误差首先必须判断系统的稳定性
6.2.2 静态误差系数
1、控制系统的类型
控制系统可以按照它们跟踪阶跃输入、 斜坡（速度）输入、加速度输入等信号的 能力来分类，因为实际的输入往往可以认 为是这些输入的组合，所以这样的分类是 合理的。由这些特定的输入所引起的稳态 误差的大小表征了系统的“优良度”。
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析
和计算
系统在达到稳态时，输出量与希望输 出量之间的误差称为稳态误差。稳态误差 是控制系统准确度的一种度量。
对于稳定的控制系统，它的稳态性能 一般是根据阶跃、速度或加速度输入所引 起的稳态误差来判断的。本章所研究的稳 态误差是由于系统不能很好地跟踪特定形 式的输入信号或者由于扰动作用而引起的 稳态误差，即系统原理性误差。
本节要点：
了解动态误差系数概念及计算动态 误差的方法。
• 如果对具有速度函数性质的输入信号要求稳态 误差为零，则系统必须是 II 型或高于I单位加速度输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s13s2G 1(s)
定义静态加速度误差系数为
Ka
lims2G(s) s0
在一个给定的系统中，输出量可以是位置、
速度、压力、温度等，然而，输出量的物理形式 对控制系统的分析并不重要，因此，可称系统输 出量是“位置”，输出量的变化率为“速度”等。
将阶跃、斜坡、加速度等输入信号称为广义 位置、速度、加速度信号。
静态位置误差系数
系统对单位阶跃输入的稳态误差是
11 1 essls i0m s1G(s)s1G(0)
一般情况下， H(s)H为常值，因此
ess ss H • 稳态误差取决于系统结构参数和输入信号 • 求解稳态误差首先必须判断系统的稳定性
6.2.2 静态误差系数
1、控制系统的类型
控制系统可以按照它们跟踪阶跃输入、 斜坡（速度）输入、加速度输入等信号的 能力来分类，因为实际的输入往往可以认 为是这些输入的组合，所以这样的分类是 合理的。由这些特定的输入所引起的稳态 误差的大小表征了系统的“优良度”。
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析
和计算
系统在达到稳态时，输出量与希望输 出量之间的误差称为稳态误差。稳态误差 是控制系统准确度的一种度量。
对于稳定的控制系统，它的稳态性能 一般是根据阶跃、速度或加速度输入所引 起的稳态误差来判断的。本章所研究的稳 态误差是由于系统不能很好地跟踪特定形 式的输入信号或者由于扰动作用而引起的 稳态误差，即系统原理性误差。
本节要点：
了解动态误差系数概念及计算动态 误差的方法。
控制工程基础 (第15讲) 第六章 干扰引起的误差及动态误差系数 PPT课件
xi(1)
(t)
dxi (t) dt
a1
2a2t
x (2) i
(t
)
d
2 xi (t) dt 2
2a2
x (3) i
(t
)
d 3 xi (t) dt 3
0
e(t) 0.1(a1 2a2t) 0.18 • 2a2 0.1a1 0.36a2 0.2a2t
ess
lim e(t)
从结构上看，利用双通道原理：
（1）一条由干扰信号经 Gn (s) 、G1(s) 到达第二个相加点。
（2）一条由干扰信号直接到达相加点。
满足（6-19）条件后，两路信号在此点相加，大小相等， 方向相反，实现了全补偿。
由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(6-19) 的
条件在工程实践中只能近似地得到满足。
X o (s) G2 (s)
G(s)H (s) G1(s)G2 (s)H (s)
H (s)
ss1
lim
s0
sg1(s)
lim
s0
sg 1
1 G1(s)G2 (s)H
(s) gX i
(s)
控制工程基础
5
(2)由干扰信号 n(t) 产生的偏差，此时令 xi (t) 0
N(s)
2s)(s2
s 10) (s (s2 s 10)2
s
2
)(2s
1)
|s
0
10 100
0.1
控制工程基础
19
(2) e
第六章 控制系统的误差分析与计算
第三章 时域分析法 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差 0型系统
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1)
K p lim G(s) H (s) K
s0
ss
G (s) H (s) K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 2 (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1)
1 0 1 K p
K p lim G(s) H (s)
s0
ss
Kv lim sG(s) H (s)
2 2
cost
T 2 2 T 1
2 2
sin t
而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得 到错误得结论：
Ts ess lim s 0 2 2 s 0 Ts 1 s
此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差 也不相同。
第三章 时域分析法 稳态误差系数 稳态误差系数的概念 稳态位置误差（偏差）系数 单位阶跃输入时系统的稳态偏差
G ( s) H ( s) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s v (T1s 1)(T2 s 1) (Tnv s 1) K ~ G ( s) v s
则： ss
sX i (s) lim (t ) lim s (s) lim t s0 s0 1 G( s) H ( s)
在单位加速度输入下的稳态误差为：
ess lim s
s0
1 Ts 1 X i ( s) lim s 3 s0 Ts 1 s 1 G( s)
第三章 时域分析法
控制系统的误差分析和计算
1 E s X i s 1 G s 1 e ss lim e t lim sE s lim s X i s t s0 s 0 1 G s
11
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
非单位反馈系统
1 X i s 1 G s H s
' '
( s) X or ( s) X o ( s) E ( s)
'
( s)
H ( s)
1 单位反馈系统H s 1，E s s E s s H ( s) H ( s) : 求稳态误差，应先求稳态偏差。
9
控制工程基础
n m
14
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
1、影响稳态误差的因素
G s K 1 s 1 2 s 1 v s T1 s 1T2 s 1
s 0
n m
e ss lim e ( t ) lim sE ( s )
t
输出量期望值的大小，即Xor(s)= Xi(s)，由此得到：
( s) Xi ( s) H ( s) X 0 ( s) X or (s) X 0 (s) E (s)
单位反馈控制系统的偏差函数(s)和误差函数E(s)是相等的。
7
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
对于非单位负反馈控制系统，其输入量间接反映了输出量 期望值的大小，根据等效规则转变为单位负反馈控制系统。
Xi s
s
× -
( s)
Y s
G s
Xo s
H s
机械工程控制基础控制系统的误差分析和计算
12
对单位阶跃输入，稳态误差为
ess
lim
s0
s 1
G
1
s
H (s)
1 s
1
G
1
0 H (0)
静态位置误差系数的定义：
Kp
lim G
s0
s
H (s)
G
0 H (0)
则
ess
1 1 Kp
13
对0型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kp
lim
s0
K0 t1s 1t2s 1L T1s 1T2s 1L
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
0
16
对I型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
K1
对II型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s2 T1s 1 T2s 1
ε(s) =Xi(s) - Y(s) Y(s)=H(s)Xo(s)
(s) 1
H (s)
p202
Xi (s)
X oi (s)
(s)
(s)
G1 ( s )
N(s)
＋ G2 (s)
Y (s)
H (s)
E(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
ε(s) =Xi(s) - H(s)Xo(s)
1 (s)
t
s0
2. 利用终值定理计算系统的稳态误差：
自动控制系统1_第6章 控制系统的误差分析与计算
6.1.1 误差定义
6.1.1 误差定义 1.从输入端定义 2.从输出端定义 3.两种定义之间的联系 由于输入r(t)是期望输出cr(t)的函数，而 主反馈b(t)又与实际输出c(t)有关，所以两种定义e(t)与er(t)有一定 的联系。
6.1.1 误差定义
系统误差的定义为：被控量期望值(理论理想值)与实际值(实际测量值)之差。
6.1.1 误差定义
图6-1 控制系统的典型结构
1.从输入端定义
1.从输入端定义 将给定输入信号作为期望值，反馈信号作为实际值，可以得到从输入端
相应的传递函数为
2.从输出端定义
2.从输出端定义 从输出端定义，控制系统的误差er(t)为被控制量的期望值 cr(t)与实际值c(t)之差，如图6 1所示，即
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
表6-1 系统型别、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间关系
首先，判别系统的稳定性。由图6 3可写出系统的开环传递函数
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
图6-3 位置随动系统
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
图6-4 化为单位反馈的位置随动系统
由系统闭环特征方程式4s 2+4s+10=0可知系统是稳定的. 然后求系统的稳态误差。由于开环传递函数中含有一个积分环节，即N=1属Ⅰ型 系统，且开环放大系数为K=2 5，所以，根据表6 1
相应的传递函数
3.两种定义之间的联系
两种定义之间的联系 由于输入r(t)是期望输出cr(t)的函数，而主反馈b(t)又 与实际输出c(t)有关，所以两种定义e(t)与er(t)有一定的联系。当实际输出值 c(t)等于期望输出值cr(t)时，由输入端定义误差信号e(t)等于零，有
第6章系统误差计算分析
Xi(s)
+ −
ε(s) G1(s)
+ +
N(s) G2(s)
Xo(s)
Y(s)
H(s)
干扰引起稳态偏差为
ss lim ( t ) lim s ( s )
t s0
( s)
G2 ( s ) H ( s ) N ( s) 1 G2 ( s )G1 ( s ) H ( s )
lim G0 ( s ) 1
s0
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s )
1 K 1 v G0 ( s ) s 1 ess lim s e ( s ) R( s ) lim s R( s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s ) s
X i ( s) E ( s) X 0 ( s) H ( s)
( s)
X i ( s) X o ( s) H ( s) H ( s) X i ( s) E ( s) X o ( s) H ( s)
1 E (s)= ( s) H ( s)
A 1 A s 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 lim G1 ( s ) H ( s )
s0
静态位置误差系数 K p lim G1 ( s ) H ( s ) lim
s 0
s 0
K sv
A 1 K p
r (t ) A t
e ssv lim s e ( s ) R( s ) lim s
s0 s0
A 1 A s 2 1 G1 ( s ) H ( s ) lim s G1 ( s ) H ( s )
+ −
ε(s) G1(s)
+ +
N(s) G2(s)
Xo(s)
Y(s)
H(s)
干扰引起稳态偏差为
ss lim ( t ) lim s ( s )
t s0
( s)
G2 ( s ) H ( s ) N ( s) 1 G2 ( s )G1 ( s ) H ( s )
lim G0 ( s ) 1
s0
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s )
1 K 1 v G0 ( s ) s 1 ess lim s e ( s ) R( s ) lim s R( s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s ) s
X i ( s) E ( s) X 0 ( s) H ( s)
( s)
X i ( s) X o ( s) H ( s) H ( s) X i ( s) E ( s) X o ( s) H ( s)
1 E (s)= ( s) H ( s)
A 1 A s 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 lim G1 ( s ) H ( s )
s0
静态位置误差系数 K p lim G1 ( s ) H ( s ) lim
s 0
s 0
K sv
A 1 K p
r (t ) A t
e ssv lim s e ( s ) R( s ) lim s
s0 s0
A 1 A s 2 1 G1 ( s ) H ( s ) lim s G1 ( s ) H ( s )
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.3干扰引起的稳态误差
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 = K1
+
G2 =
K2 s
C (s )
（2）扰动作用下的误差传递函数为 K2 − E(s) − K2 s ΦNE (s) = = = N(s) 1+ K K2 s + K1K2 1 s 当扰动输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
essn
1 − K2 1 1 = lim s ⋅ Φ NE ⋅ = lim s ⋅ ⋅ =− s →0 s s →0 s + K1 K 2 s K1
N (s )
X i (s )
ε (s )
B (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
（2）稳态误差的计算 ）
①给定作用下的偏差传递函数
N (s )
X i
X i (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
ε (s )
ess = essr + essn 1 =− K1
（3）输入作用与扰动作用共同作用下的稳态误差为
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 =
K1 s
+
G2 =
K2 s
C (s )
（4）如果要求稳态误差为零，可以在G1中串联积分环节，令 K1 G1 = s 1 s2 1 essr = lim s ⋅ Φ RE ⋅ = lim s ⋅ 2 ⋅ =0 则有 s →0 s s →0 s + K1 K 2 s
④对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.4减小系统误差的途径
Φ n ( s) = 0
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
《控制工程基础》 控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
6.4.2 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制） 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制）
顺馈补偿闭环控制系统的典型结构如图所示，其中R(s) 是输入信号，C(s)是输出信号，E(s)是偏差，Gc(s)是顺馈补偿 通道传递函数。该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。 一个通道是由G1(s)G2(s)组成的主控制通道，为闭环控制。另 一个通道是由Gc(s)G2(s)组成的顺馈补偿控制通道，为开环控 制。系统的输出不仅与系统的误差有关，而且还与补偿信号有 关。补偿信号所产生的作用，可以用来补偿原来的误差信号。
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
《控制工程基础》 控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
6.4.2 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制） 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制）
顺馈补偿闭环控制系统的典型结构如图所示，其中R(s) 是输入信号，C(s)是输出信号，E(s)是偏差，Gc(s)是顺馈补偿 通道传递函数。该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。 一个通道是由G1(s)G2(s)组成的主控制通道，为闭环控制。另 一个通道是由Gc(s)G2(s)组成的顺馈补偿控制通道，为开环控 制。系统的输出不仅与系统的误差有关，而且还与补偿信号有 关。补偿信号所产生的作用，可以用来补偿原来的误差信号。
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.4减小系统误差的途径
增加顺馈补偿通道的目的是用来改善系统的偏差信号此时系统的偏差传递函数为如果选择则有即可得到系统的偏差信号es0从而使得csrs此时系统的输出信号就可以完全复现输出信号使得系统既没有动态误差也没有稳态误差
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第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
Φ n ( s) = 0
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
Φ e ( s) =
如果选择 Gc ( s ) = 则有
E ( s ) 1 − Gc ( s )G2 ( s ) = R( s) 1 + G1 ( s)G2 ( s)
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第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
Φ n ( s) = 0
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
Φ e ( s) =
如果选择 Gc ( s ) = 则有
E ( s ) 1 − Gc ( s )G2 ( s ) = R( s) 1 + G1 ( s)G2 ( s)
自控原理-第6章 控制系统的误差分析与计算
esslt i e m (t)ls i0sm E (s)
偏差 ( t ) ：系统的输入 x i ( t ) 和主反馈信号 y ( t ) 之差。即
( t ) x i( t ) y ( t ) ( s ) X i( s ) Y ( s )
稳态偏差 s s ：当t→∞时的系统偏差。即
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。 稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
i1 n
0
(Tis1)
i1
I型系统的稳态误差
V=1
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 nv
sv (Tis 1)
i 1
自控控制理论
Kplsi m 0G (s)H(s)
1
essp
1 Kp
0
K vlsi m 0sG (s)H (s)K
自控控制理论
例 : 设 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G (s)1,试 求 当 输 入 Ts
信 号 为 r(t)1t2时 ,控 制 系 统 的 稳 态 误 差 值 。 2
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
偏差 ( t ) ：系统的输入 x i ( t ) 和主反馈信号 y ( t ) 之差。即
( t ) x i( t ) y ( t ) ( s ) X i( s ) Y ( s )
稳态偏差 s s ：当t→∞时的系统偏差。即
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。 稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
i1 n
0
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i1
I型系统的稳态误差
V=1
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 nv
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i 1
自控控制理论
Kplsi m 0G (s)H(s)
1
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1 Kp
0
K vlsi m 0sG (s)H (s)K
自控控制理论
例 : 设 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G (s)1,试 求 当 输 入 Ts
信 号 为 r(t)1t2时 ,控 制 系 统 的 稳 态 误 差 值 。 2
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
控制系统的误差分析和计算
lim
s0
s1 1 G(s)
Xi (s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意 的是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定, 用终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常 应首先判断系统的稳定性.
➢ 非单位反馈控制系统
输入引起的系统的偏差传递函数为:
(
s)
H
(
s)
1
G1
G2 s s G2 s
H
s
N
s
干扰引起的偏差为:
s
1
G2(s)H s G2 (s)G1sH
s
N
s
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss
lim t
t
lim
s0
s s
则干扰引起稳态误差为:
ess
ss
H 0
例6-3 系统结构图如图6-8所示,当输入信号xi(t)=1(t),干扰N(t)=1(t)时,求系 统总的稳态误差ess.
输入信号和反馈信号比较后的信号ε(t)也能反映系统误差的大小,
称之为偏差.应该指出,系统的误差信号e(t)与偏差信号ε(t),在
一般情况下并不相同(见图6-1).
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E(s) sXi s X o s
s0
1 s2
1 K
，
其中
K
lim sG(s)H (s) s0
,定义为系统静态
速度误差系数。 对于0型系统：
K
lim s s0
K (1s 1)( 2s 1) ( ms 1)
控制系统误差分析及其算法及应用
控制系统误差分析及其算法及应用第一章概述控制系统误差是指所设计的系统输出值与输入值之间的差异。
误差分析是指对控制系统误差进行分析，以便找出误差来源，并提出改进控制系统的策略和方法。
本文将介绍控制系统误差分析的基本原理和算法，并探讨误差分析在控制系统中的应用。
第二章控制系统误差来源控制系统误差的来源有两种：系统固有误差和外部扰动。
系统固有误差是控制系统设计中的本质问题。
例如，比例控制器的响应速度较慢、积分控制器有积分误差等。
这些问题可能会导致系统出现稳态误差。
外部扰动是指系统受到的外部干扰，例如温度变化、压力变化、电磁干扰等。
这些因素会导致系统输出值与输入值之间出现偏差。
第三章调节控制器算法最常见的控制器类型是比例积分（PI）控制器。
PI控制器能够帮助系统消除稳态误差，并增加系统的响应速度。
PI控制器的算法基于积分饱和原理，即当积分误差超过一定值时，积分项将不再累加。
这有助于避免过度响应。
PI控制器还可以通过调整比例和积分项的系数来进一步优化系统响应。
第四章滤波算法滤波算法可以帮助消除由外部扰动引起的误差。
其中，低通滤波器可以帮助去除高频噪声。
高通滤波器具有相反的作用，可以去除低频噪声。
滤波器还可以用于平滑系统响应，以防止出现过度响应或噪声。
第五章预测控制算法预测控制算法可以帮助控制系统在未来一段时间内的状态进行预测，并采取相应的控制策略。
其中，支持向量机（SVM）算法可以用于预测非线性系统的响应，可以帮助控制系统消除非线性误差。
适应性控制算法可以根据系统输入和输出的实时数据来调整算法参数，以实现更好的控制效果。
第六章控制系统误差分析应用误差分析在控制系统中具有广泛应用。
其中，误差分析可以用于诊断控制系统在稳态下的性能，并帮助优化系统工作。
误差分析还可以用于诊断控制系统在动态条件下的性能，并帮助优化系统响应。
此外，误差分析还可以用于帮助控制系统诊断故障，以实现更可靠的操作。
第七章总结控制系统误差是控制系统设计中的重要问题。
第六章 控制系统的误差分析和计算
设G1(s)=1,系统是一阶的,因此稳定.图6-9中,R是电动机电枢电阻,CM为力矩系 数,N是扰动力矩,干扰作用为一个常值阶跃干扰,故稳态偏差为
- K2Kc
ssls i0m s1TKM 1sK2K 1c
NR K2Kc NR CMs 1K1K2Kc CM
TMs1
则稳态误差为 essKscs1KK 1K 22Kc C NMR
差
es
s1
lims 1 s0 1K1
K2 s
10 s
- K2
再求干扰引起的稳态误差
ess2
lims s
s0
1K1
K2 s
1 1 s K1
所以,总误差为
11 esses1ses2 s0-K1K1
例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态误 差.
解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反 馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess.
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s ) s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s) X is Y s (6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型 (给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差.
- K2Kc
ssls i0m s1TKM 1sK2K 1c
NR K2Kc NR CMs 1K1K2Kc CM
TMs1
则稳态误差为 essKscs1KK 1K 22Kc C NMR
差
es
s1
lims 1 s0 1K1
K2 s
10 s
- K2
再求干扰引起的稳态误差
ess2
lims s
s0
1K1
K2 s
1 1 s K1
所以,总误差为
11 esses1ses2 s0-K1K1
例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态误 差.
解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反 馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess.
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s ) s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s) X is Y s (6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型 (给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差.
《自动控制基础》第6章 控制系统稳态误差和计算
六、单位反馈系统的动态误差分析 单位反馈系统的误差传递函数：
E s 1 1 e (s) e 0 0s 0s 2 X i s 1 Gs 2!
误差象函数：
1 E s e 0X i s 0sX i s 0s 2 X i s 2!
单位反馈控制系 统的稳态误差
1 ess lim et lim sE s lim sX i s t s 0 s 0 1 G s
二、静态误差系数 单位反馈控制系统的开环传递函数记为：
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s m m 1 s a0 s a1s an 1s 1
（2）按输入进行补偿
用顺馈对输入信号引起的误差进行补偿
Gs E s Rs C s Rs Rs 1 Gr s 1 Gs 1 Gr s G s E s Rs 1 Gs
1 令E s 0 Gr s G s
不能跟踪单位斜坡信号 能跟踪单位斜坡信号，但 有一定的稳态位置误差 能准确跟踪单位斜坡信号
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s s a0 s m a1s m 1 an 1s 1 单位加速度信号输入下的稳态误差为：
第六章 控制系统稳态误差和计算
一、误差传递函数和稳态误差 1. 单位反馈控制系统的误差传递函数
Gs 1 E s X i s X o s X i s X i s X i s 1 Gs 1 Gs E s 1 —— 单位反馈控制系统的误差传递函数 X i s 1 Gs
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X o s G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
所以干扰引起的稳态偏差为:
( s) H ( s)
G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
干扰引起的偏差为:
G2 ( s) H s s N s 1 G2 ( s)G1 s H s
,定义为系统静态速度误差系数。
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K lim s 0 对于0型系统： s 0 (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
ss
对于Ⅰ型系统： K lim0 s s
1 K K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1)
而
则
1 X i ( s) s s s 1 ess lim s X i ( s) lim s 0 s 0 s 10 s 0 s 10 s
6.2.2 静态误差系数
系统的类型
设其开环传递函数为:
当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
ss 0
(2) 静态速度误差系数Kv
1 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t· 1(t)，即R( s) 2，则有 s
ss lim s
s 0
s0
1 1 1 1 2 1 G( s) H ( s) s lim sG ( s) H ( s) K
s 0
其中 K lim sG ( s) H ( s)
1 1 Ka K
；
小
结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏 差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放 大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和 单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
G( s)
ss 2n
2 n
n 2
1 s 2 s 1 n
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 而 偏差信号的象函数是
E ( s) s X i s X o s
(6-1) (6-2)
( s) X i s Y s
非单位反馈控制系统 输入引起的系统的偏差传递函数为:
s X i ( s) Y ( s )
1 X i ( s) 1 G ( s) H ( s)
X i s
(s )
G (s)
H (s )
X o s
Y (s )
图6-3 非单位反馈系统
1 X i (s) 根据终值定理 稳态偏差 ss lim (t ) lim s ( s) lim s t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
1 1 1 ss lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0)H (0)
K 其中， p lim G( s) H s G(0) H 0 ,定义为系统静态位置误差系数。 s 0
单位阶跃: 单位斜坡: 单位加速度:
ess 0
1 1 2 ess K v K n ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
根据终值定理
ess lim e(t ) lim sE ( s) lim i ( s) 1 G( s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
x n a x a n xt n! n 0
例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s 3 s 2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定. 第二步,求稳态误差ess.
因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
r1 (t ) 2t时，
2
ess1 0
2 0.1 Ka
r2 (t ) t 时，K a 20 ess 2
故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1.
6.3 干扰引起的稳态误差
( s) X i ( s) Y ( s) 0 X 0 ( s) H ( s) X 0 ( s) H ( s)
0
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下, 具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个 稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前提下,II 型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入. 类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具 有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号 的.但有一定的位置误差.
s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K
1 1 K K 对于Ⅱ型或Ⅱ型 K lim s K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) 以上系统： ss 0
(6-3)
(6-4)
比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为
E s H s
s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差 信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得到稳 态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同, 可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求 出稳态偏差即可.
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ε 稳态误差
ss后,再按下式求出
ess
H 0
ss
表6-1 各种类型的稳态偏差
系统 类型
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
单位 阶跃
1 1 K p
单位 斜坡 ∞
单位 加速度 ∞ ∞
1 Ka
0 0
1 Kv
对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim K s 0 (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n 1 1 ss 1 K p 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim s 0 s (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss lim t lim s s
t s 0
则干扰引起稳态误差为:
ess
H 0
ss
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r (t ) 1 t 2 1(t ), R( s) 13 2 s 则系统稳态偏差为
1 1 1 1 ss lim s 3 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s lim s G( s) H ( s) K a
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
单位反馈控制系统 输入引起的系统的误差传递函数为
E (s) 1 X i ( s) 1 G ( s)
X i s
E(s )
G (s)
X o s
图6-2 单位反馈系统
则
E ( s)
1 X i ( s) 1 G( s)
s 0
其中， K a lim s 2G( s) H ( s),定义为系统静态加速度误差系数。
s 0
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞； 对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss= 对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。 所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点 漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差, 即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳 态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型
(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为
所以干扰引起的稳态偏差为:
( s) H ( s)
G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
干扰引起的偏差为:
G2 ( s) H s s N s 1 G2 ( s)G1 s H s
,定义为系统静态速度误差系数。
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K lim s 0 对于0型系统： s 0 (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
ss
对于Ⅰ型系统： K lim0 s s
1 K K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1)
而
则
1 X i ( s) s s s 1 ess lim s X i ( s) lim s 0 s 0 s 10 s 0 s 10 s
6.2.2 静态误差系数
系统的类型
设其开环传递函数为:
当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
ss 0
(2) 静态速度误差系数Kv
1 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t· 1(t)，即R( s) 2，则有 s
ss lim s
s 0
s0
1 1 1 1 2 1 G( s) H ( s) s lim sG ( s) H ( s) K
s 0
其中 K lim sG ( s) H ( s)
1 1 Ka K
；
小
结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏 差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放 大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和 单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
G( s)
ss 2n
2 n
n 2
1 s 2 s 1 n
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 而 偏差信号的象函数是
E ( s) s X i s X o s
(6-1) (6-2)
( s) X i s Y s
非单位反馈控制系统 输入引起的系统的偏差传递函数为:
s X i ( s) Y ( s )
1 X i ( s) 1 G ( s) H ( s)
X i s
(s )
G (s)
H (s )
X o s
Y (s )
图6-3 非单位反馈系统
1 X i (s) 根据终值定理 稳态偏差 ss lim (t ) lim s ( s) lim s t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
1 1 1 ss lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0)H (0)
K 其中， p lim G( s) H s G(0) H 0 ,定义为系统静态位置误差系数。 s 0
单位阶跃: 单位斜坡: 单位加速度:
ess 0
1 1 2 ess K v K n ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
根据终值定理
ess lim e(t ) lim sE ( s) lim i ( s) 1 G( s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
x n a x a n xt n! n 0
例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s 3 s 2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定. 第二步,求稳态误差ess.
因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
r1 (t ) 2t时，
2
ess1 0
2 0.1 Ka
r2 (t ) t 时，K a 20 ess 2
故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1.
6.3 干扰引起的稳态误差
( s) X i ( s) Y ( s) 0 X 0 ( s) H ( s) X 0 ( s) H ( s)
0
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下, 具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个 稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前提下,II 型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入. 类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具 有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号 的.但有一定的位置误差.
s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K
1 1 K K 对于Ⅱ型或Ⅱ型 K lim s K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) 以上系统： ss 0
(6-3)
(6-4)
比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为
E s H s
s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差 信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得到稳 态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同, 可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求 出稳态偏差即可.
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ε 稳态误差
ss后,再按下式求出
ess
H 0
ss
表6-1 各种类型的稳态偏差
系统 类型
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
单位 阶跃
1 1 K p
单位 斜坡 ∞
单位 加速度 ∞ ∞
1 Ka
0 0
1 Kv
对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim K s 0 (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n 1 1 ss 1 K p 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim s 0 s (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss lim t lim s s
t s 0
则干扰引起稳态误差为:
ess
H 0
ss
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r (t ) 1 t 2 1(t ), R( s) 13 2 s 则系统稳态偏差为
1 1 1 1 ss lim s 3 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s lim s G( s) H ( s) K a
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
单位反馈控制系统 输入引起的系统的误差传递函数为
E (s) 1 X i ( s) 1 G ( s)
X i s
E(s )
G (s)
X o s
图6-2 单位反馈系统
则
E ( s)
1 X i ( s) 1 G( s)
s 0
其中， K a lim s 2G( s) H ( s),定义为系统静态加速度误差系数。
s 0
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞； 对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss= 对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。 所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点 漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差, 即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳 态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型
(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为