第六章 控制系统的误差分析和计算

因为系统为Ⅱ型系统,根据线性系统的奇次性和叠加性,有
r1 (t ) 2t时，
2
ess1 0
2 0.1 Ka
r2 (t ) t 时，K a 20 ess 2
故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1.
6.3 干扰引起的稳态误差
( s) X i ( s) Y ( s) 0 X 0 ( s) H ( s) X 0 ( s) H ( s)
例6-2 设有二阶振荡系统,其方块图如图6-6所示.试求系统在单位阶跃,单位恒速和 单位恒加速输入时的静态误差.
解:该系统为二阶振荡系统,系统稳定. 由于是单位反馈系统,偏差即是误差.另外,该系统为I型系统,
G( s)
ss 2n

2 n

n 2
1 s 2 s 1 n
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
s
X oI s X o s 1 X I s Y s H s
及
1 E s X i s X o s H s 1 1 s X i s X o s H s H s
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
单位反馈控制系统 输入引起的系统的误差传递函数为
E (s) 1 X i ( s) 1 G ( s)
X i s
E(s )
G (s)
X o s

图6-2 单位反馈系统
则
E ( s)
1 X i ( s) 1 G( s)
非单位反馈控制系统 输入引起的系统的偏差传递函数为:
s X i ( s) Y ( s )
1 X i ( s) 1 G ( s) H ( s)
X i s
(s )
G (s)
H (s )
X o s

Y (s )
图6-3 非单位反馈系统
1 X i (s) 根据终值定理 稳态偏差 ss lim (t ) lim s ( s) lim s t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
机电控制系统中元件的不完善,如静摩擦、间隙以及放大器的零点 漂移、元件老化或变质都会造成误差.本章侧重说明另一类误差, 即由于系统不能很好跟踪输入信号,或者由于扰动作用而引起的稳 态误差,即系统原理性误差.
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型
(给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为
ss
(3)静态加速度误差系数Ka
当系统输入为单位加速度信号时，即 r (t ) 1 t 2 1(t ), R( s) 13 2 s 则系统稳态偏差为
1 1 1 1 ss lim s 3 2 s 0 1 G ( s ) H ( s ) s lim s G( s) H ( s) K a
稳态误差 ess lim s
s 0
1 1 X i ( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
一般情况下,H为常值,故这时:
ess
ss
H
例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误差.
解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:
E s 1 1 s X i ( s) 1 G ( s) 1 10 s 10 s
x n a x a n xt n! n 0

例:系统结构如图所示,求当输入信号r(t)=2t+t2时,系统稳态误差ess.
解:首先判别系统的稳定性.由开环传递函数知,闭环特征方程为
D(s) 0.1s 3 s 2 20s 20 0
根据劳斯判据知闭环系统稳定. 第二步,求稳态误差ess.
而
则
1 X i ( s) s s s 1 ess lim s X i ( s) lim s 0 s 0 s 10 s 0 s 10 s
6.2.2 静态误差系数
系统的类型
设其开环传递函数为:
当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
ss 0
(2) 静态速度误差系数Kv
1 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t· 1(t)，即R( s) 2，则有 s
ss lim s
s 0
s0
1 1 1 1 2 1 G( s) H ( s) s lim sG ( s) H ( s) K
s 0
其中 K lim sG ( s) H ( s)
根据终值定理
ess lim e(t ) lim sE ( s) lim s
t s 0 s 0
1 X i ( s) 1 G( s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
1 1 Ka K
；
小
结
(1)位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、
匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差.
(2)表6-1概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态偏 差.在对角线上,稳态偏差为无穷大;在对角线下,则稳态偏差为零. (3)静态误差系数Kp,Kv,Ka分别是0型、I型、II型系统的开环静态放 大倍数,而v=0,1,2则表示系统中积分环节的数目.
第六章 控制系统的误差分析和 计算
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 稳态误差的基本概念 输入引起的稳态误差 干扰引起的稳态误差 减少系统误差的途径 动态误差系数
6.1 稳态误差的基本概念
对一个控制系统的要求是稳定、准确、快速.误差问题即是控制 系统的准确度问题.过渡过程完成后的误差称wk.baidu.com系统稳态误差,稳态 误差是系统在过渡过程完成后控制准确度的一种度量.
(6-3)
(6-4)
比较(6-3)和(6-4)两式,求得误差信号与偏差信号之间的关系为
E s H s
s
对于实际使用的控制系统来说,H(s)往往是一个常数,因此通常误差 信号与偏差信号之间存在简单的比例关系,求出稳态偏差就得到稳 态误差.对于单位反馈系统H(s)=1来说,偏差信号与误差信号相同, 可直接用偏差信号表示系统的误差信号.这样,为了求稳态误差,求 出稳态偏差即可.
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 而 偏差信号的象函数是
E ( s) s X i s X o s
(6-1) (6-2)
( s) X i s Y s
原理性稳态误差.
此外,控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非 线性因素,都会造成附加的稳态误差.这类由于非线性因素所引起 的系统稳态误差称为结构性稳态误差. 本章只讨论原理性稳态误差,不讨论结构性稳态误差.
误差定义为控制系统希望的输出量与实际的输出量之差,记做e(t), 误差信号的稳态分量被称为稳态误差,或称为静态误差,记作ess.输 入信号和反馈信号比较后的信号ε(t)也能反映系统误差的大小,称 之为偏差.应该指出,系统的误差信号e(t)与偏差信号ε(t),在一般情况 下并不相同(见图6-1).
对于0型系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim K s 0 (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n 1 1 ss 1 K p 1 K
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统
K ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K p lim s 0 s (T s 1)(T s 1) (T s 1) 1 2 n
,定义为系统静态速度误差系数。
K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) K lim s 0 对于0型系统： s 0 (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
ss
对于Ⅰ型系统： K lim0 s s
1 K K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1)
(1)静态位置误差系数Kp
当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时,
1 1 1 ss lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0)H (0)
K 其中， p lim G( s) H s G(0) H 0 ,定义为系统静态位置误差系数。 s 0
X o s G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
所以干扰引起的稳态偏差为:
( s) H ( s)
G2 s N s 1 G1 s G2 s H s
干扰引起的偏差为:
G2 ( s) H s s N s 1 G2 ( s)G1 s H s
(4)对于单位反馈控制系统,稳态误差等于稳态偏差.
(5)对于非单位反馈控制系统,先求出稳态偏差ε 稳态误差
ss后,再按下式求出
ess
H 0
ss
表6-1 各种类型的稳态偏差
系统 类型
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
单位 阶跃
1 1 K p
单位 斜坡 ∞
单位 加速度 ∞ ∞
1 Ka
0 0
1 Kv
单位阶跃: 单位斜坡: 单位加速度:
ess 0
1 1 2 ess K v K n ess
上述结论是在阶跃、斜坡等典型输入信号作用下得到的,但它有普遍的实用意义. 这是因为控制系统输入信号的变化往往是比较缓慢的,可把输入信号在时间t=0附 近展开成泰勒级数,这样,可把控制信号看成几个典型信号之和,系统的稳态误差可 看成是上述典型信号分别作用下的误差总和.
s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K
1 1 K K 对于Ⅱ型或Ⅱ型 K lim s K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1) 以上系统： ss 0
根据终值定理,干扰引起稳态偏差为:
ss lim t lim s s
t s 0
则干扰引起稳态误差为:
ess
H 0
s 0
其中， K a lim s 2G( s) H ( s),定义为系统静态加速度误差系数。
s 0
对于0型系统，Ka=0，εss=∞；
对于Ⅰ型系统，Ka=0， ε ss=∞； 对于Ⅱ型系统，Ka=K， ε ss= 对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞， ε ss=0 。 所以,0型和Ⅰ型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具有单位反 馈的Ⅱ型系统在稳定状态下是能跟踪加速度输入信号的.但带有一定的位置 误差.高于Ⅱ型系统由于稳定性差, 故不实用.
0
综上所述,0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入.在系统稳定的前提下, 具有单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入,但具有一定的误差.这个 稳态偏差εss反比于系统开环静态放大倍数.在系统稳定的前提下,II 型或高于II型的系统其稳态偏差为零,因而能准确地跟踪斜坡输入. 类似地,0型和I型系统在稳定状态下都不能跟踪加速度输入信号.具 有单位反馈的II型系统在稳定状态下是能够跟踪加速度输入信号 的.但有一定的位置误差.