2011松江区数学二模试题及答案
2011年松江区初三数学二模试卷(含答案)
2011年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟） 2011.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列计算中，正确的是（A ）842x x x =⋅； （B ）842)(x x =；（C ）2532x x x =+； （D ）326x x x =÷． 2．下列各式中，最简二次根式是 （A ）a 8； （B ）2a ； （C ））2a ； （D ）42-a ． 3．用换元法解分式方程011212222=+---x x x x ，如果设y ＝221x x -，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 （A ）012=-+y y ；（B ）022=-+y y ；（C ）0122=+-y y ；（D ）022=+-y y ．4．无论m 为任何实数，直线m x y 2+=和4+-=x y 的交点不可能在 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ））第三象限； （D ）第四象限． 5．下列命题中，错误的是（A ）有一个角是直角的平行四边形是正方形； （B ）对角线相等的菱形是正方形； （C ）对角线互相垂直的矩形是正方形； （D ）一组邻边相等的矩形是正方形． 6．已知两个同心圆的圆心为O ，半径分别是2和3，且2＜OP ＜3，那么点P 在 （A ）小圆内； （B ）大圆内； （C ））小圆外大圆内； （D ）大圆外．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知52==d c b a （)0≠+d b ，则=++db ca __▲_. 8．因式分解：=+xy x 42▲ . 9．方程123=-x 的解是___▲___ ．10．已知关于x 的方程0222=++m x x 有两个相等的实数根，那么m =__▲__ ． 11．如果反比例函数的图像经过点（1，-3），那么这个函数的解析式为 ▲ ．12．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外其它都一样，现从中任意摸出一个球，摸出绿球的概率是 ▲ ．13．某人在高为h 的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60°，那么这个观察点到建筑物的距离为 ▲ ．（用h 来表示） 14．在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，a AB =，b AD =，那么AO = ▲ （用a 和b 表示）．15．从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形内角和为 ▲ 度．16．在空中，自地面算起，每升高1千米，气温下降若干度（℃）．某地空中气温t （℃）与高度h （千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度h = ▲ 千米时，气温为6（℃）．17．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB =10，EF =8，那么AD = ▲ ． 18．在矩形ABCD 中，AD =4，对角线AC 、BD 交于点O ，P 为AB 的中点，将△ADP 绕点A 顺时针旋转，使点D 恰好落在点O 处，点P 落在点P /处，那么点P /与点B 的距离为 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）t (℃) 244 h （千米）(第16题图)G AB C DF O E (第17题图)先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ． 20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->-33)1(2322x x x ；并将解集在数轴上表示出来．21．(本题满分10分)如图，已知在四边形A B CD 中，∠C =90°，AB = AD =10， cos ∠ABD =52， ∠BDC =60°．求BC 的长．22．（本题满分10分，第（1）题2分，第（2）题2分，第（3）题2分，第（4）题4分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，并从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数，满分为100分）为样本，绘制成统计图（如图所示），请根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）本次测试抽取了 ▲ 名学生的成绩为样本．（2）样本中，分数在80～90这一组的频率是 ▲ ． （3）样本的中位数落在 ▲ 这一小组内．（4）如果这次测试成绩80分以上（含80分）为优良，那么在抽取的学生中，优良人数为▲名；如果该校有840名学生参加这次竞赛活动，估计优良学生的人数约为▲ 名．23.（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，点O 为边AC 的中点，点D 为5- 1- 4- 3- 2- 0 1 2 3 4 5x 人数分数5 7 91460 70 80 90 100（每组可含最低值，不含最高值）A DCB （第21题图）EDAO边AB 上一点，过点C 作AB 的平行线，交DO 的延长线于点E ． （1）证明：四边形ADCE 为平行四边形；（2）当四边形ADCE 为怎样的四边形时，AD =BD ，并加以证明．24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）①小题4分，第（2）②小题5分） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ， OC =4， BC =3，OA =5，点D 在边OC 上，CD =3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ． （1）求点E 的坐标；（2）二次函数c bx x y ++-=2的图象经过点B 和点E ． ①求二次函数的解析式和它的对称轴； ②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方， 满足ABM CEM S S ∆∆=2，求点M 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =5，D 是BC 边上一点，CD =3，点P 在边AC 上（点P 与A 、C 不重合），过点P 作PE // BC ，交AD 于点E ．（1）设AP =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以PE 为半径的⊙E 与DB 为半径的⊙D 外切时，求DPE ∠的正切值；（3）将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB /D ，联结B /C ．如果∠ACE =∠BCB /，求AP 的值．备用图DCBAE P DCBA （第25题图）A yCBD OxE（第24题图）2011年松江区初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准2011.4一、选择题1、B ；2、D ；3、B ；4、C ；5、A ；6、C ． 二、填空题7、52； 8、)4(y x x +； 9、1=x ； 10、1±； 11、x y 3-=； 12、31； 13、h 33； 14、b a 2121+； 15、1800； 16、3； 17、3； 18、6． 三、解答题19．解:原式=11)1)(3()1()1)(1(32-++-+⋅-+-x x x x x x x ………………………………6分 =1111-+-x x =12-x …………………………………………………2分 当12+=x 时， 原式=222=………………………………2分 20．解：由（1）得4->x ；由（2）锝1≤x ……………………………………4分所以原不等式组解集为14≤<-x ………………………………………2分 在数轴上表示为：……………………………………………4分 21．解：过A 作AE ⊥BD 于E ，∵AB =AD ， ∴BE =DE =21BD ………………………………………………2分 在R t △ABE 中， ∵AB =10，cos ∠ABD =52，∴BE =4，∴BD =8， ………………………………4分 R t △BCD 中，∵∠C =90°，BD =8，∠BDC =60°∴BC =34 ……………………………4分 22.(1)35；……2分 （2）40%；……2分 （3）90~80.……………2分 （4）23；644………………4分23.（1）证明：∵点O 为边AC 中点，∴AO =CO ………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴∠DAC =∠ECA ，∠ADE =∠CED …………………………2分5- 1- 4- 3- 2- 0 1 2 3 4 5x∴△ADO ≌△CEO ，∴OD =OE …………………………………………………2分 ∴四边形ADCE 为平行四边形 …………………………………………………1分 （2）当四边形ADCE 为菱形时，AD =BD ， ………………………………………1分∵四边形ADCE 为菱形，∴AD =CD ，∴∠BAC =∠ACD ……………………2分 ∵∠BAC +∠B =90° ，∠BCD +∠ACD =90°， ………………………………1分 ∴∠B =∠BCD ，∴CD =BD ，∴AD =BD …………………………………………2分 24. 解：（1）∵BC ∥OA ，∴BC ⊥CD ，∵CD =CB =3，∴∠CDB =45° …………1分∵BC ⊥CD ，∴∠ODE =45°, ∴OE =OD =1，∴E （1，0）…………………2分 （2）①易知B （3，4），由（1）得E （1，0）二次函数c bx x y ++-=2的图象经过点B 和点E ．⎩⎨⎧=++-=++-01439c b c b ,解之得⎩⎨⎧-==56c b ………………2分 二次函数的解析式为562-+-=x x y ，………1分对称轴为直线3=x …………………1分②设对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ），4241212213)4(21+=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=--=∆∆∆tt t S S S S COEMEF OFMC CEM 梯形， ……………………………1分 （ⅰ）当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21，…………………………………………………1分 ∵ABM CEM S S ∆∆=2，∴)4(242t t-=+解得：58=t ，∴ M （3，58）…………………………………………………1分（ⅱ）当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ，…………………………………………………1分 ∵ABM CEM S S ∆∆=2，∴)4(242-=+t t解得：8=t ，∴ M （3，8）……………………………………………………1分25.解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC =4，CD =3，∴AD =5，……………………1分AyCBD O xEF∵PE // BC ，∴AD AE AC AP =,∴54AEx =，……………………………………1分 ∴x AE 45=,∴x DE 455-=，………………………………………………1分即x y 455-=，（40<<x ）…………………………………………………1分（2）当以PE 为半径的⊙E 与DB 为半径的⊙D 外切时，有DE =PE +BD ，即243455+=-x x ，…………………………………………1分 解之得23=x ，∴25=PC ， …………………………………………………1分∵PE // BC ，∴∠DPE =∠PDC ， ………………………………………………1分 在Rt △PCD 中， tan PDC ∠=56253==PC CD ；∴tan DPE ∠=56………………………………1分(3) 延长AD 交BB /于F ，则AF ⊥BB /，∴BFD ACD ∠=∠，又FDB ADC ∠=∠，∴FBD CAD ∠=∠∴ACD ∆～BFD ∆，……………………………………………………………2分 ∴BF =58，所以BB /= 516，………………………………………………………1分 ∵∠ACE =∠BCB /，∠CAE =∠CBB /， ∴ACE ∆～/BCB ∆，∴2564=AE ,…………………………………………2分 ∴125256=AP ……………………………………………………………………1分。
上海松江区高三数学二模试卷及答案
松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21x f x =-，则1(3)f -= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ． 4．直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ． 10．已知椭圆()222101y x b b +=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PFb 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r 、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则(A) 12t =，s 的最小值为6π (B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；(2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有(A) 1个(B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．(1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB和AC 的长度分别为多少米(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++L ，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =请说明理由；(2) 若13a =，61n n T =-，求数列{}n a 的通项公式； (3) 令21*112122,n n n n T T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．2910．2 11．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分 ),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分 由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分(2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r ……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r ……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin A M A BM A B ∠===……………………12分所以1arcsin A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc ………………14分18．（1）由()4()3f x g x =+得2423x x -=⋅+ ……………………2分 223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a x x +-≥ ……………………8分 2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232x x -+⋅≥[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分19．（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅o y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r ， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+=7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分 由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分 所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20． (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)22a a ±………2分所以214,22a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分(2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+ 11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q ()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分(3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分 ()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>， 所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩； ………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++，所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d 当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。
2024年上海市松江区中考数学二模试卷及答案解析
2024年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列代数式中，单项式是（）A．B．C．x+2D．2．（4分）当a＞0时，下列运算结果正确的是（）A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2C．（﹣a）3＝﹣a3D．3．（4分）如果a＞b，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．ac＜bc C．c﹣a＞c﹣b D．c﹣a＜c﹣b 4．（4分）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（4分）下列命题中假命题是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D 在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（）A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：﹣＝．8．（4分）因式分解：a2﹣a＝．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x＝1有两个相等的实数根，那么k＝．11．（4分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而.（填“增大”或“减小”）12．（4分）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长10%，第三季度的销量比第二季度增长20%，那么预计第三季度的销量为万辆．13．（4分）一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是．14．（4分）平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是.（只需写出一个符合条件的表达式）15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC、BD交于点O．设＝，＝，那么向量可用表示为．16．（4分）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为人．17．（4分）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为厘米．18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．D是边BC的中点，E是边AC上一点，将△CDE沿着DE翻折，点C落在点F处，如果DF与△ABC的一边平行，那么AE＝．三、解答题（本大题共7题）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．（1）求⊙O的半径长；（2）P是上一点，PO⊥BC，交AB于点D，联结AP．求∠PAB的正切值．22．（10分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．（1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD除外）；（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数．23．（12分）如图，已知AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1O2与AB交于点C，O1O2的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1于点D．（1）联结O1A、O2A，如果AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A；（2）如果PO1＝3PO2，求证：PA＝AD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．（1）求b、c的值；（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E．①如果m＝2，求△ODP的面积；②如果EC＝EP，求m的值．25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边AD上一动点，过点P 作PE⊥AC，垂足为点E，联结BE，过点E作EF⊥BE，交边AD于点F（点F与点A 不重合）．（1）当F是AP的中点时，求证：BA＝BE；（2）当AP的长度取不同值时，在△PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）延长PE交边BC于点G，联结FG，△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相似，请说明理由．2024年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据单项式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、是单项式，故A符合题意；B、是分式，故B不符合题意；C、x+2是多项式，故C不符合题意；D、2不是单项式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．2．【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a0＝1（a≠0），∴选项A不符合题意；∵a﹣2＝，∴选项B不符合题意；∵（﹣a）3＝﹣a3，∴选项C符合题意；∵＝，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p＝（a≠0，p为正整数）．3．【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：∵a＞b，∴当c＜0时，ac＜bc，故选项A不符合题意；当c＞0时，ac＞bc，故选项B不符合题意；∵a＞b，c是任意实数，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．4．【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选：A．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．5．【分析】由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【点评】本题主要考查了真命题，解题关键是正确判断命题的真假．6．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据以A，C为圆心的两圆外切得出⊙A的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出r的取值范围即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝＝13，∵以A，C为圆心的两圆外切，∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，∵点D在⊙A内，∴AD＜13﹣r，∴r＜8，∵B在⊙C内，∴BC＜r，∴r＞5，∴5＜r＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出⊙A的半径是本题解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．【解答】解：﹣＝×﹣＝2﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故答案为：a（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜2，故不等式组的解集为1≤x＜2．故答案为：1≤x＜2．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．10．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣1）＝1+4k＝0，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．11．【分析】根据题意，先确定k＜0，再依据反比例函数性质解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故答案为：增大．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．12．【分析】把第一季度电动车的销量看成单位“1”，列式计算即可．【解答】解：10×（1+10%）×（1+20%）＝10×1.1×1.2＝13.2（万辆），∴预计第三季度的销量为13.2万辆．故答案为：13.2．【点评】本题考查百分数的应用，关键是把第一季度电动车的销量看成单位“1”．13．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了抛物线，解题关键是待定系数法的应用．15．【分析】根据平行线分线段成比例求出AO和AC的关系，过C作AD平行线，构造平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则求出，从而可以求得．【解答】解：∵CD∥AB，∴AO：OC＝AB：DC＝2，∴AO＝AC，过C作CE∥AD交AB于E，如图：∴四边形ADCE为平行四边形，∴AE＝CD＝AB，＝+，∴＝＝+＝+．故答案为：+．【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键．16．【分析】根据全校的总人数×步行的百分比得出结果即可．【解答】解：由题意得，样本容量为：25÷50%＝50，故该校步行上学的学生约为：1200×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，数据条形统计图和扇形统计图的特点．17．【分析】利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围，将x＝5代入求出对应y的值即可．【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将x＝2，y＝11和x＝4，y＝12代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝x+10（0≤x≤8）．当x＝5时，y＝×5+10＝12.5，∴挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．故答案为：12.5．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．18．【分析】根据DF与△ABC三边分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出CE的长，从而求得AE的长即可．【解答】解：①当DF∥BC时，DF与BC重合，∴C，D，E不构成三角形，不符合题意；②当DF∥AC，如图：∴DF⊥BC，∴∠CDF＝90°，由翻折的性质可知，CD＝DF，CE＝CF，∴四边形CDFE为正方形，∴CE＝CD＝3，∴AE＝AC﹣CE＝5；③当DF∥AB，延长DF交AC于G，如图：∴CG＝AC＝4，DG＝＝5，∴FG＝DG﹣DF＝DG﹣CD＝2，设CE＝EF＝x，则EG＝4﹣x，在Rt△EFG中，（4﹣x）2＝x2+4，解得：x＝，∴AE＝AC﹣CE＝6.5，综上所述，AE＝5或6.5．故答案为：5或6.5．【点评】本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值计算即可．【解答】解：原式＝+2﹣+2（+1）﹣＝．【点评】本题考查分母有理化、负整数指数幂，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值的方法是本题的关键．20．【分析】将x2﹣3xy+2y2＝0分解因式求出x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y），进而重新组合方程组求出即可．【解答】解：由①得x﹣y＝0，x﹣2y＝0．原方程组化为，，分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，，，．【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，根据已知分解因式x2﹣3xy+2y2＝（x ﹣y）（x﹣2y）是解题关键．21．【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可；（2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出∠PAB＝45°，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可．【解答】（1）解：如图，连接OA，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△AOC中，由勾股定理得，AC2+OC2＝OA2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径长为5；（2）解：∵PO⊥BC，∴∠BOP＝90°，∴∠PAB＝∠PAB＝45°，∴∠PAB的正切值为tan45°＝1．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键．22．【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案；（2）由菱形的性质得到AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，判定△ABD是等边三角形，得到∠ADO＝60°，因此AO＝OD，即可求出＝，得到较长线段与较短线段长度的比值是；（3）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°．【解答】解：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB（答案不唯一），理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB；（2）如图，菱形ABCD中，BD＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，∵BD＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，∴AO＝OD，∴AC＝BD，∴＝，∴较长线段与较短线段长度的比值；（3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ACB＝∠CBD，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°，∴2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝36°，∴∠ABC＝2∠CBD＝72°，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝108°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°，∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，梯形的各内角度数分别是72°、72°，108°、108°．【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形．23．【分析】（1）连接O1B，O2B，BD，BP，由直角三角形的判定可知△DPB为直角三角形，然后根据圆周角定理求出∠AO1O2+∠AO2O1的度数即可证明；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．【解答】证明：（1）连接O1B，O2B，BD，BP，如图：∵AD＝AB＝AP，∴△DBP为直角三角形，∠D+∠APB＝90°，由圆周角定理可知，∠AO1B＝2∠D，∠AO2B＝2∠APB，∵AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，∴O1O2垂直平分AB，∴∠AO1C＝∠AO1B，∠AO2C＝∠AO2B，∴∠AO1C+∠AO2C＝∠D+∠APB＝90°，∴AO1⊥AO2；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，如图：∴O1E∥O2F，∴＝＝，∴PE＝3PF，由垂径定理可知，AE＝DE，PF＝AF，∴AE＝PE﹣PA＝3PF﹣2PF＝PF，∴AD＝2AE＝2PF＝AP．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键．24．【分析】（1）先求出AB所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据A 和C都在线段AB上，求解即可；（2）①根据抛物线平移的性质求出P点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出D 点坐标，进而求出PD的直线表达式，最后求出E点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；②根据EC＝EP，可知E在CP的垂直平分线上，从而求出E点坐标，进而求出PD所在直线表达式，从而求得D点坐标，最后根据D在平移后的抛物线上求出m的值即可．【解答】解：（1）设AB所在直线的表达式为：y＝kx+m，将点A和点B的坐标代入表达式可得：，解得：k＝﹣1，m＝2，∴AB的表达式为：y＝﹣x+2，将点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣4+2b+c，∴c＝4﹣2b，将抛物线解析式改写成顶点式：y＝﹣x2+bx+4﹣2b＝﹣（x﹣）2+4﹣2b+，∴点C（，4﹣2b+）在直线AB上，∴4﹣2b+＝﹣+2，解得：b＝2或4，当b＝4时，顶点C和A重合，不符合题意；∴b＝2，c＝0；（2）①由（1）知，C（1，1），抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x，∴P（3，1），对称轴直线为：x＝1，∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）＝﹣x2+6x﹣8，当x＝1时，y＝﹣1+6﹣8＝﹣3，∴D（1，﹣3），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，将点P和点D的坐标代入表达式得：解得：t＝2，s＝﹣5，∴PD的表达式为：y＝2x﹣5，∴E（，0），＝××1+××3＝5；∴S△ODP②由平移的性质可知，P（m+2，1），∵EC＝EP，∴E在CP的垂直平分线上，∴E（+2，0），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，代入P，E的坐标得：，解得：t＝，s＝﹣1﹣，∴PD的表达式为：y＝x﹣1﹣，∴D（1，﹣1﹣），由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣2）2+1，将D点代入平移后的抛物线得：﹣1﹣＝﹣（m+1）2+1，解得：m＝1或﹣1或﹣2，∵m＞0，∴m＝1．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．25．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可知AF＝FE，再根据角之间的互余关系得到∠BAE＝∠BEA，从而证明AB＝BE；（2）根据平行线的性质以及互余关系证明△EPF和△EAB相似，从而可以证明PF是个定值；（3）因为∠AFE和∠FEG为钝角，所以当△EFG与△AEF相似时，这两个角相等，根据三角函数的定义求出PE的值，从而求得AP的值．【解答】（1）证明：∵PE⊥AC，F是AP中点，∴AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAE＝∠AEF，又∵∠AEF+∠AEB＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠AEB，∴BA＝BE；（2）解：存在PF长度不变．∵AD⊥CD，PE⊥AE，∴tan∠CAD＝＝＝，∵∠AEP＝∠FEB＝90°，∴∠AEB＝∠PEF，又∵∠BAE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠APE＝90°，∴∠BAE＝∠APE，∴△ABE∽△PFE，∴＝＝，∴PF＝；（3）解：能相似．连接FG，过P作PH⊥BC于H，如图：∴PH＝AB＝1，∵PG⊥AC，∴∠GPH＝∠ACB，∴GH＝PH•tan∠ACB＝，由（2）知，PF＝，∴GH＝PF，又∵PF∥GH，∴四边形GHPF为矩形，∴∠PAE＝∠PGF，∴当∠AFE＝∠FEG时，△AEF∽△GFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF＝，∴AE＝2PE＝2，∴AP＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
松江区中考数学二模试卷 含答案
2017年松江区初中毕业生学业模拟考试初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．8-的绝对值是（ ） （A ）8-；（B ）8；（C ）81-；（D ）81．2．下列运算中，计算结果正确的是（ ） （A ）3(1)31a a -=-；（B ）222()a b a b +=+；（C ）632a a a ÷=；（D ）326(3)9a a =．3．一组数据2，4，5，2，3的众数和中位数分别是（ ） （A ）2，5；（B ）2，2；（C ）2，3；（D ）3，2．4．对于二次函数()312-+=x y ,下列说法正确的是（ ） （A ）图像开口方向向下；（B ）图像与y 轴的交点坐标是（0，-3）；（C ）图像的顶点坐标为（1，-3）；（D ）抛物线在x ＞-1的部分是上升的．5．一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） （A ）72°；（B ）60°；（C ）108°；（D ）90°.6．下列说法中正确的是（ ）（A ）有一组邻边相等的梯形是等腰梯形；（B ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； （C ）有一组对角互补的梯形是等腰梯形； （D ）有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：12-=________． 8．函数31-=x y 的定义域是 ． 9．方程213=-x 的根是 ．10．关于x 的方程022=--k x x 有两个相等的实数根，那么k 的值为 ． 11．在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是_________．12．已知双曲线xmy -=1，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围为_________．13．不等式组3010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集是 ．14．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中35名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ．15．某山路坡面坡度i =1︰3，沿此山路向上前进了100米，升高了_________米．16．如图，在□ABCD 中，E 是AD 上一点，且3AD AE =，设=，=，=______________．（结果用a r 、b r 表示）17．已知一个三角形各边的比为2︰3︰4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为_______cm ．18．如图，已知在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，则DE 的长为______________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：1212122+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中12+=x .20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+-=+0236222y xy x y x21．(本题满分10分，每小题各5分)如图，直线122y x =+与双曲线相交于点A (2，)，与x 轴交于点C .（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果PA=PC，求点P的坐标.22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝110厘米，∠BAC＝37°，垂直支架CD=57厘米，DE是另一根辅助支架，且∠CED＝60°.（1）求辅助支架DE长度；(结果保留根号)（2）求水箱半径OD的长度．(结果精确到1厘米，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）23.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD交BC于点F，且CB2，联结FG.CD=CF⋅（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形.24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），P 是线段BC 上一点，过点P 作PN ∥y 轴交x 轴于点N ，交抛物线于点M ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且△QMC和△PMC 的面积相等，求点Q 的坐标；（3）如果PN PM 23=，求tan∠CMN25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，cos B =35，BC =3，P 是射线AB 上的一个动点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AC 的另一个交点为D ，直线PD 交直线BC 于点E ．（1）当PA=1时，求CE的长；（2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C 内切时，求⊙P的半径；（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过AP的长．2017年松江区初中毕业生学业模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．D ； ； 6．C ． 二、填空题7．21； 8．3≠x ； 9．35=x ； 10．1-； 11．92； 12．1<m ； 13．31<≤-x ；14．74；15．1010；16．31+-； 17．8；18．5512． 三、解答题 19．解：原式=)1()1(112+-⋅-+x x x x x ………………………………………………………………（4分） =⋅-xx 1…………………………………………………………………………（2分）当12+=x 时，原式＝22)12(2122-=-=+………………………………（4分）20．解：由②得， 02=-y x ，2=-y x ………………………………………………（2分）原方程组化为⎩⎨⎧=-=+0262y x y x ，⎩⎨⎧=-=+062y x y x ………………………………………（2分） 得⎪⎩⎪⎨⎧==23322y x ⎩⎨⎧==2211y x …………………………………………………………………（6分） ∴原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==23311y x ⎩⎨⎧==2222y x21．解：（1）把m y x ==,2代入直线221+=x y 解得3=m …………………………（1分） ∴点A 的坐标为（2，3）……………………………………………………………………（1分）设双曲线的函数关系式为)0(≠=k xky …………………………………………………（1分） 把3,2==y x 代入解得6=k ……………………………………………………………（1分）∴双曲线的解析式为xy 6=…………………………………………………………………（1分） （2）设点P 的坐标为)0,(x …………………………………………………………………（1分）∵C （-4，0），PA=PC …………………………………………………………………………（1分）∴49)2(2+=+-x x ，解得41-=x …………………………………………………（2分）经检验：41-=x 是原方程的根，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,41……………………………（1分）22．解：（1）在Rt △ DCE 中，sin ∠E =DEDC……………………………………………（2分）∴DE =E DC ∠sin =33860sin 57=（厘米）…………………………………………………（2分） 答：辅助支架DE 长度338厘米（2）设圆O 的半径为x 厘米，在Rt △AOC 中sin ∠A =OA OC ，即sin 370=xx ++11057……（2分） ∴5311057=++x x ，解得x =≈23（厘米）………………………………………………（4分）答：水箱半径OD 的长度为23厘米．23．（1）证明：∵CB CD CF ⋅=2，∴CBCFCF CD =………………………………………（1分） ∵EF ∥AD ，∴CFCDCE CG =………………………………………………………………（1分） ∴CECGCB CF = ………………………………………………………………………………（1分） ∴GF ∥AB …………………………………………………………………………………（1分）（2） 联结AF ，∵GF ∥AB ∴B CFG ∠=∠∵CFG CAG ∠=∠，∴B CAG ∠=∠ …………………………………………………（1分） ∵ACBACD ∠=∠，∴CAD ∆∽CBA ∆…………………………………………………（1分）∴CACDCB CA =，即CB CD CA ⋅=2………………………………………………………（1分）∵CB CD CF ⋅=2，∴CF CA =…………………………………………………………（1分）∴CFA CAF ∠=∠…………………………………………………………………………（1分）∵CFG CAG ∠=∠，∴GFA GAF ∠=∠，∴GF GA =………………………………（1分）∵GF ∥AB ，EF ∥AD ，∴四边形AEFG 是平行四边形…………………………………（1分）∴四边形AEFG是菱形……………………………………………………………………（1分）24．解：（1）将)0,3(B ，)30(，C 代入c bx x y ++-=2，得⎩⎨⎧==++-3039c c b 解得⎩⎨⎧==32c b ………………………………………………………（2分） ∴抛物线的表达式为322++-=x x y …………………………………………………（1分）（2）设直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y ，把点C (0，3)，B (3，0)代入得⎩⎨⎧=+=033b k b ，解得 ⎩⎨⎧=-=31b k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y …………………………（1分）∴P （2，1），M （2，3） …………………………………………………………………（1分）∴2=∆PCM S ，设△QCM 的边CM 上的高为h ，则2221=⨯⨯=∆h S QCM ∴2=h ………………………………………………………………………………………（1分）∴Q 点的纵坐标为1，∴1322=++-x x 解得舍）(31,3121-=+=x x ∴点Q 的坐标为（）1,31+…………………………………………………………………（1分） （3）过点C 作MN CH ⊥，垂足为H设M )32,(2++-m m m ，则P )3,(+-m m ………………………………………………（1分）∵PN PM 23=，∴MN PN 52=，∴)32(5232++-=+-m m m …………………（1分） 解得23=m ，∴点P 的坐标为（)23,23……………………………………………………（1分）∴M )415,23(…………………………………………………………………………………（1分） ∴43=MH ，∴2tan ==∠MHCHCMN …………………………………………………（1分）25．解：（1）作PH ⊥AC ，垂足为H ，∵PH 过圆心，∴AH=DH ………………………（1分）∵∠ACB =90°，∴PH ∥BC ， ∵cos B =53，BC =3，∴AB =5，AC =4∵PH ∥BC ，∴AB PA BC PH =，∴513=PH ，∴53=PH …………………………………（1分） ∴54==DH AH ……………………………………………………………………………（1分）∴DC=512，又∵DC DH CE PH =，∴5125453=CE ，∴59=CE ……………………………（1分）（2）当⊙P 与⊙C 内切时，点C 在⊙P 内，∴点D 在AC 的延长线上 过点P 作PG ⊥AC ，垂足为G ，设PA =x ，则x PG 53=，x DG AG 54==…………（1分）458-=x CD ，x CG 544-=，∵DG DC PG CE =，x x x CE 5445853-=，356-=x CE …（1分）∵⊙P 与⊙C 内切,∴PC CE PA =-………………………………………………………（1分）∴22)544()53()356(x x x x -+=--……………………………………………………（1分）∴0175130242=+-x x ,∴12351=x ，252=x （舍去）………………………………（1分）∴当⊙P 与⊙C 内切时，⊙P 的半径为1235． （3）∵∠ABC +∠A =90゜，∠PEC +∠CDE =90゜，∵∠A =∠PDA ，∴∠ABC=∠PEC ∵∠ABC=∠EBP ，∴∠PEC=∠EBP ，∴PB=PE …………………………………………（1分）∵点Q 为线段BE 的中点，∴PQ ⊥BC ，∴PQ ∥AC ∴当PE ∥CF 时，四边形PDCF 是平行四边形，∴PF =CD ………………………………（1分）当点P 在边AB 的上时，x x 584-=，1320=x …………………………………………（1分）当点P 在边AB 的延长线上时，458-=x x ，320=x …………………………………（2分）综上所述，当PE ∥CF 时，AP 的长为1320或320．。
松江区初三数学二模卷及答案
2012年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟）2012.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（A ）21； （B ）8； （C ）y x 2；（D ）y x +2． 2．下列运算正确的是（A ）2a a a =+； （B ）322a a a =⋅；（C ）a a a =÷23；（D ）532)(a a =．3．在平面直角坐标系中，点A 和点B 关于原点对称，已知点A 的坐标为（2-，3），那么点B 的坐标为（A ）（3，2-）； （B ）（2，3-）； （C ）（3-，2）； （D ）（2-，3-）． 4．如果正五边形绕着它的中心旋转α角后与它本身重合，那么α角的大小可以是 （A ）36°； （B ）45°； （C ）72°； （D ）90°． 5．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，那么下列各式中，正确的是 （A ）AB BC A =sin ；（B ）AB BC A =cos ；（C ）AB BC A =tan ； （D ）ABBCA =cot ． 6．下列四个命题中真命题是 （Ａ）矩形的对角线平分对角；（Ｂ）菱形的对角线互相垂直平分；(Ｃ) 梯形的对角线互相垂直； (Ｄ) 平行四边形的对角线相等． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ___．8．如果关于x 的一元二次方程02=+-m x x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．9．方程312=+x 的解是____． 10．用换元法解方程122222=---xx x x 时，如设x x y 22-=，则将原方程化为关于y 的整式方程是__.11．已知函数13)(-=x x f ，那么=)4(f ． 12．已知反比例函数xky =（0≠k ）的图像经过点A （-3，2），那么k =__． 13．已知包裹邮资为每千克2元，每件另加手续费3元，若一件包裹重x 千克，则该包裹邮资y (元)与重量x (千克)之间的函数关系式为．14．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和6个白球，除顔色不同外其余都相同，从口袋中任意摸一个球摸到的是红球的概率为．15．已知⊙1O 和⊙2O 外切，821=O O ，若⊙1O 的半径为3，则⊙2O 的半径为． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设=，=，那么=．17．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形的边长为13 cm ，135cos =∠ABC ，那么凉衣架两顶点A 、E 之间的距离为cm ． 18．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的 “面径”长可以是 （写出2个）． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：332141222+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a a a a ． 20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+230222y x y xy x ．21．（本题满分10分）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10M ，拱桥顶D 到水面AB 的距离DC =4M ． （1）求水面宽度AB 的大小；（2）当水面上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角 为α，若3cot =α，求水面上升的高度．A BC D O（第16题图）（第17题图） F EDC BA（第21题图）22．（本题满分10分）随着“微博潮”的流行，初中学生也开始忙着“织围脖”，某校在上微博的280名学生中随机抽取了部分学生调查他们平常每天上微博的时间，绘制了扇形统计图和频数分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；将频数分布直方图补充完整； （2）被调查的学生中上微博时间中位数落在这一小组内； （3）样本中，平均每天上微博的时间为0.5小时这一组的频率是；（4）请估计该校上微博的学生中，大约有名学生平均每天上微博的时间不少于1小时.23．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，BC =DC ，点E 在对角线BD 上，作∠ECF =90°，连接DF ，且满足CF =EC ． （1）求证：BD ⊥DF ．（2）当DB DE BC ⋅=2时，试判断 四边形DECF 的形状，并说明理由．0.5 1 1.5 2 时间（小时）0.5小时1小时1.5小时 15%2小时（第22题图）AFED C B（第23题图）24．（本题满分12分）已知直线33-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线c x ax y ++=22经过点A ，B ． （1（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD ①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ， 其对称轴与直线33-=x y 交于点E ，若tan ∠DPE 求四边形BDEP 的面积．25．（本题满分14分）如图，在△ABC 中，10==AC AB ，53cos =B ，点D 在AB 边上（点D 与点A ，B 不重合），DE ∥BC 交AC 边于点E ，点F 在线段EC 上，且AE EF 41=，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，联结BG ． （1）当EF =FC 时，求△ADE 的面积；（2）设AE =x ，△DBG 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△DBG 是以DB 为腰的等腰三角形，求AD 的值．松江区九年级数学中考模拟试卷参考答案及评分说明 2012．4一、选择题： 1．D ； 2．C ； 3．B ；4．C ；5．A ；6．B ．二、填空题： 7．41； 8．41<m ； 9．4=x ；10．022=--y y ； 11．1； 12．-6； 13．32+=x y ；14．52； 15．5； 16．2121-； 17．136； 18．2，3，（第24题图）GE D BAF（第25题图）(或介于2和3之间的任意两个实数)． 三、解答题： 19．解：原式=3)1)(3(])1)(1(4)1(1[+-+÷-+--+a a a a a a a a ……………………（4分）=)1)(3(3)1)(1()1(2-++⨯-+-a a a a a a a …………………………………（4分）=aa +21．…………………………………………………………（2分） 20．解：由（1）得0=-y x 和02=+y x ．………………………………（2分）原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧=-=-;23,02;23,0y x y x y x y x ……………………………（4分） 解得原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==;52,5411y x ，⎩⎨⎧-=-=1122y x …………………………（4分）21．解：(1)设拱桥所在圆的圆心为O ，由题意可知，点O 在DC 的延长线上，联结OA ，∵AB OD ⊥，∴︒=∠90ACO ……………………………（1分） 在ACO Rt ∆中，6410,10=-=-==DC OD OC OA , ∴8=AC （2分） ∵AB OD ⊥,OD 是半径， ∴162==AC AB ……………………（2分） 即水面宽度AB 的长为16M.（2）设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ， ∵AB OD AB EF ⊥,// ∴EF OD ⊥，∴︒=∠=∠90EGO EGD ， ………………………（1分） 在EGD Rt ∆中，3cot ==DGEGα， ∴DG EG 3=……………（1分） 设水面上升的高度为x M ，即x CG =，则x DG -=4， ∴x EG 312-= 在EGO Rt ∆中，222OE OG EG =+，()()222106312=++-x x ， 化简得 0862=+-x x解得 41=x （舍去），22=x …………………………………………（2分） 答：水面上升的高度为2M.……………………………………………………（1分） 22．（1）40……………（2分）；补全图形…………………（2分）（2）1小时……………（2分）；（3）4019……………（2分）；（4）147……（2分） 23．（1）证明：∵︒=∠=∠90ECF BCD ， ∴DCF BCE ∠=∠…………（1分）∵CF EC DC BC ==,，∴BCE ∆≌DCF ∆……………………………（1分） ∴FDC EBC ∠=∠…………………………………………………………（1分） ∵︒=∠=90,BCD DC BC ，∴︒=∠=∠45BDC DBC ………………（1分） ∴︒=∠45FDC ，∴︒=∠90FDB ………………………………………（1分） ∴DF BD ⊥…………………………………………………………………（1分） (2)四边形DECF 是正方形…………………………………………………（1分）∵DC BC DB DE BC =⋅=,2，∴DB DE DC ⋅=2， ∴DCDEDB DC =…（2分） ∵BDC CDE ∠=∠∴CDE ∆∽BDC ∆………………………………（1分） ∴︒=∠=∠90DCB DEC …………………………………………………（1分） ∵︒=∠=∠90ECF FDE ， ∴四边形DECF 是矩形………………（1分） ∵CF CE =， ∴四边形DECF 是正方形24．解：（1）由题意得()0,1A ，()30-，B ………………………………………（1分） ∵抛物线c x ax y ++=22过点()0,1A ，()30-，B ∴⎩⎨⎧-==++302c c a 解得⎩⎨⎧-==31c a …………………………………………（1分）∴322-+=x x y ……………………………………………………………（1分） ∴4)1(2-+=x y∴对称轴为直线1-=x ，顶点坐标为()4,1--………………………………（2分） （2）①由题意得：CD AB //，设直线CD 的解读式为b x y +=3………（1分） ∵()3,2--C ， ∴36-=+-b ， ∴3=b …………………………（1分） ∴直线CD 的解读式为33+=x y ，∴()3,0D …………………………（1分）②作PE DF ⊥于F ,则7=PF ……………………………………………（1分） 在DFP Rt ∆中，737tan ===∠DF PF DF DPE ，∴DF =3……………（1分）∵x =3, ∴y =3×3-3=6,∴点E (3,6)……………………………………（1分）∴24)(21=⋅+=DF EP BD S BDEP 四边形…………………………………（1分） 25.（1）作BC AH ⊥于H ，在AHB Rt ∆中，53cos ==AB BH B∵10=AB ，∴6=BH ，∴8=AH ∵AC AB =， ∴122==BH BC ，∴4881221=⨯⨯=∆ABCS ………………………（1分） ∵BC DE //，∴ADE ∆∽ABC ∆，∴2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AC AE S S ABC ADE ………………（1分）∵AE EF 41=， FC EF =，∴3264==AC AE ，………………………（1分） ∴9448=∆ADE S ，∴364=∆ADE S ……………………………………………（1分）（2）设AH 交DE 、GF 于点M 、N∵BC DE //，∴BC DEAH AM AC AE == ∵x AE =,∴x DE x AM 56,54==………………………………………（1分）∵x AM MN 5141==，∴x NH -=8……………………………………（1分）∴GBCF DGFE DBCG DBG S S S S 梯形平行四边形梯形--=∆ ∴()x x x x x x y -⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=81256215156548125621 ∴x x y 562532+-=()80≤<x ………………………………………（2分）（3）作Q BC GQ P BC FP 于，于⊥⊥ 在FPC Rt ∆中，53cos cos ,4510=∠=-=ABC C x FC ∴x PC 436-=， ∴x x x BQ 20964365612-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---= ∴()2220968⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x BG ……………………………………………（2分） 在DBG ∆中，x DB -=10,x DG 41= ①若DG DB =,则x x 4110=-，解得8=x …………………………………（2分）②若BG DB =,则()222096810⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-x x x 解得()81560021==x x ，舍去………………………………………（2分） ∴815608==AD AD 或。
松江区中考数学二模试卷及答案
2016年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2016.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各数是无理数的是（ ） A ．722； BC ．9 ；D ．16． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） AB ．8；C ．9； D3．在平面直角坐标系中，直线1y x =-经过（ ） A ．第一、二、三象限； B ．第一、二、四象限； C ．第一、三、四象限；D ．第二、三、四象限．4．某班一个小组7名同学的体育测试成绩(满分30分)依次为：27，29，27，25，27，30， 25，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．27，25；B ．25，27；C ．27，27 ；D ．27，30． 5. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，要使它成为菱形， 那么需要添加的条件可以是( )A . AC ⊥BD ；B . AB =AC ； C .∠ABC =90°；D .AC =BD ．6．已知⊙O 1的半径r 1=6，⊙O 2的半径为r 2，圆心距O 1O 2＝3，如果⊙O 1与⊙O 2有交点， 那么 r 2的取值范围是（ ）A ．32≥r ；B ．92≤r ；C ．932<<r ；D ．932≤≤r ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：a a 322- = _______． 8．函数12-=x y 的定义域是_____________． 9．计算：2 (─b ) + 3b = ___________．（第5题图) DCB A10．关于x 的一元二次方程022=+-m x x 有两个实数根，则m 的取值范围是 ．11．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-042021x x 的解集为______．12．将抛物线22-=x y 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为_______． 13．反比例函数xky =的图象经过点（﹣1，2），A ),(11y x ，B ),(22y x 是图像上另两点，其中021<<x x ，则1y 、2y 的大小关系是_________． 14．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是_________．15．某服装厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为__________万件．16．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是_____． 17．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x ，那么根据题意可列关于x 的方程是________．18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC , ∠B =90°，AD =2，BC =5， E 是AB 上一点，将△BCE 沿着直线CE 翻折，点B 恰好与D 点 重合，则BE= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：821)14.3(21)31(02+-+---π 20．（本题满分10分）解方程组： 22212,320.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知气温的华氏度数y 是摄氏度数x 的一次函数．如图所示是一个家用温度表的 表盘.其左边为摄氏温度的刻度和读数（单位℃），右边为华氏温度的刻度和读数 （单位℉).观察发现表示-40℃与-40℉的刻度线恰好对齐（在一条水平线上）， 而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐.（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；(第21题图)① ② (第18题图)A DBE（2）当华氏温度为104℉时,温度表上摄氏温度为多少？ 22. （本题满分10分，每小题满分各5分）如图，在△ABC 中，AB =AC=10，BC =12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG =AD ． （1）求EF 的长； （2）求tan ∠BDG 的值．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC ,AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E . （1）求证：∠CAD =∠ECB ；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：BD 2=FC ·BE ． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图，平面直角坐标系xOy 中，已知B (-1，0)，一次函数5+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A ，C 两点．二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、点B ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标．(第22题图)CADEF(第23题图)(第24题图)25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠BCD =90º， BC=11，CD=6，tan ∠ABC =2，点E 在AD 边上，且AE=3ED ，EF //AB 交BC 于点F ，点M 、N 分别在射线FE 和线段CD 上． （1）求线段CF 的长；（2）如图2，当点M 在线段FE 上，且AM ⊥MN ，设FM ·cos ∠EFC =x ，CN =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段FM 的长．（第25题图1）AC B DE F（第25题图2）AC B DE FNM （备用图）A CBDE2016年松江区初中毕业生学业模拟考试参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． B 2．D 3．C 4．C 5. A 6．D 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．)32(-a a8．1≠a9．b a+210．1≤m11．x >2 12．2)3(+=x y13．1y <2y 14．032=-+y y15．19.6 16．10317．256)1(2892=-x 18．2.5三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式=21)12(9++--……………………………（每个2分）=11 ……………………………………………………………2分 20．解方程组： 22212,320.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩ 解：由②得：0)2)((=--y x y x ．∴0=-y x 或02=-y x ． …………………………………………2分 原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+,0,122y x y x⎩⎨⎧=-=+.02,122y x y x ……………………………4分 解这两个方程组，得原方程组的解为⎩⎨⎧==,4,411y x⎩⎨⎧==.3,622y x ………………………4分 另解：由①得 y x 212-=． ③ ……………………………………………1分 把③代入②，得 02)212(3)212(22=+---y y y y ．………………………1分 整理，得 01272=+-y y ．……………………………………………………2分 解得 41=y ，32=y ．……………………………………………………………2分 分别代入③，得 41=x ，62=x ．……………………………………………2分 ∴原方程组的解为⎩⎨⎧==,4,411y x⎩⎨⎧==.3,622y x …………………………………………2分 21．解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，依题意，得40-=x 时，40-=y ；0=x 时，32=y …………………………………2分① ②代入，得⎩⎨⎧=-=+-324040b b k ……2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧==3259b k ……2分 ∴3259+=x y ………1分 （2）由104=y 得，1043259=+x ，……2分; 7259=x ,40=x …………1分 答：温度表上摄氏温度为40度.22．解：（1）过点O 作OH ⊥AG于点H ，联接OF …………1分 AB =AC=10，AD ⊥BC,BC=12∴BD =CD =21BC =6, ∴AD =8,cos ∠BAD =54∵AG =AD, OH ⊥AG ∴AH =21AG =4, ∴AO =5cos =∠BADAH…………………………………………………2分∴OD =3,OF =5∴DF =4…………………………………………………………………1分 ∴EF =8…………………………………………………………………1分 (2)过B 作BM ⊥BD 交DG 延长线于M ………………………………1分 ∴BM //AD ，∴∠BMG =∠ADG ∵AD =AG , ∴∠ADG =∠AGD ∴∠BMG =∠BGM∴ BM =BG =10-8=2……………………………………………………2分 tan ∠BDG=BD MB =62=31…………2分 23.证明： (1) ∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB …………………………………………………2分 ∵AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,∴∠ABC +∠ECB =∠ACB+∠CAD=90°…………………………2分 ∴∠CAD =∠ECB ；……………………………………………2分 (2) ∵ AD ⊥BC ,∴DB =CD …………………………………………………………1分 ∵F 是AC 的中点∴FD =FC , ………………………………………………………1分 ∵CE ⊥AB ,∴DE =DB ………………………………………………………1分 ∵∠ABC =∠ACB∴△FCD ∽△DBE ………………………………………………1分 ∴BEDBCD FC =, CB ADEF(第23题图)(第22题图)∴BD ·CD =FC ·BE ．……………………………………………………1分 ∵DB =CD∴BD 2=FC ·BE ．……………………………………………………………1分 24．解：∵直线5+-=x y ，0=y 得5=x ，由0=x 得5=y ∴A (5，0) C (0，5)………………………………………………1分 ∵二次函数y ＝-x 2＋bx ＋c 的图像经过点A (5，0)、点B (-1，0)．∴⎩⎨⎧=+--=++-010525c b c b 解得：⎩⎨⎧==54c b …………2分∴二次函数的解析式为542++-=x x y …………1分（2）由9)2(5422+--=++-=x x x y 题意得顶点P (2，9) …………1分 设抛物线对称轴与x 轴交于G 点，∴155.125.1314S APC =-+=-+=-=∆∆∆∆AOC APG OCPG AOC AOCP S S S S S 梯形四边形…3分 (3)∠CAB =∠OAQ ，AB=6，AO=6，AC=25， ①△ABC ∽△AOQ ∴AQ AO AC AB =∴2625=AQ …………1分 )625,65(1Q …………1分 ②△ABC ∽△AQO ∴AO AQAC AB =∴23=AQ …………1分 )3,2(2Q …………1分 ∴点Q 的坐标)625,65(1Q )3,2(2Q 时，△ABC 与△AOQ 相似.25．解：（1）作AG ⊥BC 于点G ，∴∠BGA =90°∵∠BCD =90°，AD ∥BC ，∴AG =DC =6，……………………………………………（1分） ∵tan ∠ABC =BGAG =2∴BG =3， ∵BC =11 ∴GC =8，∴AD =GC =8………………………………………………（1分） ∴AE =3ED∴AE =6，ED =2……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB ∥EF ∴BF =AE =6∴CF =BC -BF =5………………………………………………（1分）A CB DE F G（2）过点M 作PQ ⊥CD ，分别交AB 、CD 、AG 于点P 、Q 、H ，作MR ⊥BC 于点R 易得GH =CQ =MR ∵MF cos ∠EFC =x ，∴FR =x …………………………………………………………………（1分） ∵tan ∠ABC =2 ∴GH =MR =CQ =2x∴BG =3，由BF =6得GF =3∴HM =3+x ，MQ =CF -FR =5-x ，AH =AG -GH =6-2x ………………………（1分） ∵∠AMQ =∠AHM +∠MAH ，且∠AMN =∠AHM =90° ∴∠MAH =∠NMQ∴△AHM ∽△MQN ………………………………………………………（1分） ∴NQHM MQAH =，即xy x xx 23526-+=--∴62151452---=x x x y …………………………………………………（1分）定义域：10≤≤x ………(1分） （3）①∠AMN =90°1）当点M 在线段EF 上时，∵△AHM ∽△MQN 且AM =MN ，∴AH=MQ ……………（1分） ∴6-2x =5-x ， ∴x =1∴FM =5 …………………………………………………………………（1分） 2)当点M 在FE 的延长线上时 同上可得AH=MQ ∴2x -6=5-x∴311=x ∴FM =5311…………………（2分）②∠ANM =90°过点N 作PQ ⊥CD ，分别交AB 、AG 于点P 、H ，作MR ⊥BC 于交BC 延长线于交直线PN 于点Q,∵AN=MN, 易得△AHN ≌△NQM ∴AH =N Q , HN =MQ=8令PH =a ，则AH =2a ，DN =2a ，CN =6-2a ∴FR =5+2a ，MR =8+（6-2a ）=14-2a由MR =2FR 得a =32, ∴FR =319，MR =338∴FM =5319…………………………（1分）ACB DE F NM PGQ H RACBDEG H QN M A C DE NMPHQRG。
2011年上海市各区县高三数学二模新颖试题
OMNxyP2011年上海市各区县高三数学二模新颖试题2011年3—4月的上海市各区县第二次模拟试题都以数学主干内容为载体，强调知识内容和思想方法的融会贯通，注重知识间的纵横联系，尤其突出新增内容的考查，突出考查学生的基本数学素养．模拟试题体现以下特点：重视传统基础，关注新增内容，突出能力立意，着力内容创新，解题方法求新，还涌现出了一大批新颖试题，它们内涵丰富，立意新颖，背景鲜活，设问独特，闪耀着命题者智慧的光芒，给人以赏心悦目、回味无穷的感受．它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等有良好的作用．仔细研究这些试题，可以使我们明晰高考数学命题的动向和趋势，提高高三数学复习迎考的针对性和有效性．一、鲜明的立意各区县的模考命题，传承高考的命题思路，一般以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式．各区县模考数学把具有创新特色的新颖试题根据以能力立意命题的指导思想，把具有发展能力价值，富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查．1．考查基础知识的灵活应用 例1、（浦东新区13）设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l ：0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ,以下命题中正确的序号为 ．（1）不论δ为何值，点N 都不在直线l 上；（2）若1=δ，则过N M ,的直线与直线l 平行； （3）若1-=δ，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交. 答案：（1）、（2）、（3）、(4) ．其中（1）依据δ有意义，分母不等于0，点N 都不在直线l 上；（2）、（3）、（4）都可以由等价变形，推出其成立．该题对思维能力、运算能力进行了全面考查，既考查了观察、联想、估算等直觉思维能力，又考查了等价变形等运算能力．学生通过对四道小题的逐一分析，计算推出结论，计算量控制较好．同样的既重视思维、又关注运算的问题，还有许多，略举三例： 1、（浦东新区14（理））函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数,,a b c 应满足的充要条件为 ．（答案20,40a b ac <-=）2、（卢湾区14（理））已知集合2(21)cos ,n A x x n m -π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，当m 为4022时，集合A 的元素个数为 ．（答案：1006）3、（闵行区11（理））如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、是单位圆上的两点，O是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+，则()αf 的范围为．（答案[]1,2）2．考查基本的数学思想方法众所周知，高考数学考查基础知识、思想方法和能力素质．数学思想方法在探寻解题思路、优化解题方法、加深问题理解、洞察问题本质等方面有广泛的应用．因此，高考对数学思想方法的考查力度很大，应引起足够的重视．数学思想方法应在概念的形成、命题的发现、问题的探究、解题的分析等教学活动中着意渗透、自然揭示、灵活A BO A 1 A 2运用和总结提炼．例2、（闵行区21（理），本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分）已知O 是线段AB 外一点，若OA a = ，OB b = ．（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为123G G G 、、，试用向量a 、b 表示123OG OG OG ++；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.解：（理）（1）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点， 111211()()323OG OA OA OA OA ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，同理可得：2121()3OG OA OA =+ ，321()3OG OA OB =+ ，（2分）则1231212()()33OG OG OG a b OA OA ++=+++1212()()()3333a b a b a a b a ⎡⎤=+++-++-⎢⎥⎣⎦()a b =+ （4分） （2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a b OA +=；122()3OG OG a b +=+； 设123A A A 、、是AB 的四等分点，则()12332a b OA OA OA +++=；或设121,,,n A A A - 是AB 的n 等分点，则OA OA OA OB k n k +=+-等等（结论2分，证明2分） 层次2：设12,,,n A A A- 是AB 的n等分点，12321()2n n n a b OA OA OA OA OA --++++++=（结论2分，证明4分）层次3：设121,,,n A A A - 是AB 的n 等分点， 则12321()3n n n a b OG OG OG OG OG --++++++=； （结论3分，证明7分）证：12112112()()33n n OG OG OG a b OA OA OA --+++=+++++12121()()()()33n a b a b a a b a a b a n n n -⎡⎤=+++-++-+++-⎢⎥⎣⎦12121121()(1)()()33n n a b n a b a n n n n n n --⎡⎤=++-++++-+++⎢⎥⎣⎦ 12(1)()()()3323n n a b a b a b -=++⋅+=+ （文）（1）如图：点P 、Q 是线段AB 的三等分点OP OA AP =+1()3OA OB OA =+- ，则2133OP a b =+ ，同理1233OQ a b =+， （2分）所以 O P O Q a b +=+ （4分）ABOPQA 1 （2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a bOA += ； 设123A A A 、、是AB 的四等分点，则 ()12332a b OA OA OA +++=等等（结论2分,证明2分） 层次2：设121,,,n A A A - 是AB 的n 等分点， 则OA OA OA OB k n k +=+-等；（结论2分，证明4分）层次3：设121,,,n A A A - 是AB 的n 等分点， 则1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+； （结论3分，证明7分） 证：121,,,n A A A - 是线段AB 的)3(≥n n 等分点，先证明这样一个基本结论:k n k OA OA OA OB -+=+*(11,)k n n k ≤≤-∈N 、. 由=k k OA OA AA + ,=n k n k OA OB BA --+ ,因为k AA 和n k BA -是相反向量， 则0k n k AA BA -+= , 所以 k n k OA OA OA OB -+=+ .记12321n n S OA OA OA OA OA --=+++++ ，1221n n S OA OA OA OA --=++++相加得1122112()()()(1)()n n n S OA OA OA OA OA OA n OA OB ---=++++++=-+1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+说明：本题（1），考察最基本的向量加法的平行四边形法则，（2）则在能力要求方面，由结论的一般性程度给予不同的评分，其载体平实，上手不难，对由特殊到一般的分析问题、解决问题的能力作了充分的考核．类似的问题，在各区县模拟试题中屡见不鲜．3．考查以数学思维能力为重点的数学能力数学科考试着重考查的数学能力为：思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，在这些能力中以思维能力为考查重点．数学创新型试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路，思维水平要求高，思维容量大，运算量较小，能有效考查学生的思维水平和创造意识，分析和解答这样的试题需要有较高的能力与素质，依靠“死记硬背”、“题海战术”和“强化训练”往往难以奏效．例3、（静安等四区14（理））已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是 ．(文科学生做) 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知点(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是 ．解：（理）∵2820202048)102420202(2)10242020(2)22020(2)2020(1010=-=-===f f f ，∴28)(=a f ，又∵要使满足条件的正实数a 最小，此时a a f -=64)(，∴2864=-a ，36=a 即为所求；（文）∵||OA OP z OP ⋅==cos OA AOP ⋅∠ =23cos AOP ∠，31πθ= Oxy A P 62πθ=63πθ=5[,]66AOP ππ∠∈，∴当6AOP π∠=时，m a x 23cos 6z π==3，当56AOP π∠=时，m i n 523cos 6z π==－3，∴z 的取值范围是[3,3]-．本题初看，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，给人一种难以下手的感觉．这就需要我们实际操作和巧妙设计，要求学生要具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策．类似的问题，如：（闵行区14）已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S = ．（答案：6033.）4．考查应用意识和探究意识“坚持数学应用，考查应用意识”是上海高考命题者坚持的一个命题方向．各区县模拟试卷突出数学的应用性，关注现实生活中鲜活的素材，反映出高中数学在解决实际问题中的重要作用．研究型、探索型、开放型试题是创新型试题的基本题型，有利于测试学生的能力与素质，有利于考查学生的探究精神．例4、（浦东新区21)某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升) 满足()x mf y =，其中()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=4264024x x x x x f ，当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值.解：（1）因为4=m ，所以()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+=4224408x x x x y ,当40≤<x 时48≥+x 显然符合题意，当4>x 时4224≥-x 84≤<⇒x ． 综上80≤<x ，所以自来水达到有效净化一共可持续8天．（2）由()x f m y ⋅==()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+4264024x x m x m m x, 知在区间(]4,0上单调递增，即m y m 32≤<；在区间(]7,4上单调递减，即m y m356<≤． 综上m y m356≤≤， 为使104≤≤y 恒成立，只要456≥m 且103≤m 即可，即310=m . 所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m 应该为310．很明显，本例是针对今年3月11日日本东北大地震命制的．类似的问题，今年各地普遍关注的一线城市治理交通拥堵问题，是一个社会热点，如普陀区20，见于例题11．二、新颖的情境情境是实现立意的材料和介质．情境与问题相伴，问题是情境的焦点，情境因问题而存在．问题既是考查的内容也是考查的手段．情境的新颖性是高考数学创新型试题的一个共同的特点．情境新颖的试题，对广大学生来讲是全新的、公平的，靠“解题套路”、“猜题押宝”、“密卷”，“宝典”和“题海战术”是难以凑效的．在高考中，学生对付情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力，这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等．学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算，归纳、猜想，类比或论证等方法解决一些新的数学问题．1.定义新概念、给出新性质定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能．例5、（徐汇等区22）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:14x C y +=．(1) 若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；(2) 写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？如图：直线y x =与两个“相似椭圆”2222:1x y M a b+=和22222:(0,01)x y M a b a bλλλ+=>><<分别交于点,A B 和点,C D ， 试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）解：（1）椭圆2C 与1C 相似．因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1.（2）椭圆b C 的方程为：22221(0)4x y b b b+=>.设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则222214y x tx yb b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以222584()0x tx t b -+-=，则12004,255x x t t x y +===因为中点在直线1y x =+上，所以有4155t t=+，53t =-，即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--，由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，所以224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即53b >．（3）作法1：过原点作直线(1)y kx k =≠，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CD F ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．本题考查了学生抽象概括能力，同时也考查了学生对新事物接受能力和探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步推理、运算．同样的问题如：1、（奉贤区13（理）、14（文））在平面直角坐标系中，设点),(y x P ，定义||||][y x OP +=，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合1][=OP 的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线0225=-+y x 上任意一点，则][OP 的最小值为1；③设P 为直线),(R b k b kx y ∈+=上的任意一点，则“使][OP 最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“1±=k ”；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)答案：①③．2、（闵行区23（理））定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．解： (1) 由29n a n n =-+，得：2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212nn n a a a +++≤． 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20．综上，数列{}n a 是T 数列． (2)因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增．当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．（3）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p pc p c c =-=-=-由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件． 若2n ≥，则1≤n p ，此时1n pc n=-，于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++， 又对于*n ∈N 有11n p c n=-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；②当23p <≤时， 取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=-由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列．③当3p >时， 取1n =则1231,1,1,23p pc p c c =-=-=-由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列． 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列．2.规定新运算，设定新规则例6、（静安等四区18）已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是 （ ） （A ）0； （B ）34； （C ）13； （D ）12.答案：B同样的问题，如： 1、（奉贤区17（理））已知函数f(x) =2x+1，x ∈R.规定：给定一个实数x 0，赋值x 1= f(x 0)，若x 1≤255，则继续赋值x 2= f(x 1) …，以此类推，若x n-1≤255，则x n = f(x n-1)，否则停止赋值，如果得到x n 后停止，则称赋值了n 次（n ∈N *）.已知赋值k 次后该过程停止，则x 0的取值范围是 （ ）（A ）（2k-9 ,2 k-8] （B ）（2 k-8 -1, 2k-9-1] （C ）（28-k -1, 29-k -1] （D ）（27-k -1, 28-k -1]答案：C ．2、（浦东新区18）．对于给定的自然数n ，如果数列12,,...,()m a a a m n >满足：1,2,3,...,n 的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称12,,...,()m a a a m n >是“n 的覆盖数列”.如1,2,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是 “3的覆盖数列”为 （ ）（A ）1,2,3,3,1,2,3 （B ）1,2,3,2,1,3,1 （C ）1,2,3,1,2,1,3 （D ）1,2,3,2,2,1,3 答案：C ．以上几题考查了阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，考查了探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“开放探索,考查探究精神，开拓展现创新意识的空间”在上海的高考试题中常有体现，用知识归类、套路总结，强化训练等传统教学方法难以解决高考中不断出现的新颖试题．三、深刻的背景 1．高等数学背景高等数学的一些基本思想，基本概念、基本方法为设计创新型试题提供了深刻的背景，这是因为高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材．数学创新型试题一般都有比较深刻的高等数学背景，这类题目形式新颖，在课本例习题、复习资料和模拟试题中难以找到．解答这类题目没有现成方法可借鉴，会使一些学生感到难以人手，从而使该类题目有很好的区分度，这类试题有利于检测学生进入高等学校进一步学习的潜能，因此，命题教师都十分青睐含有高等数学背景的试题．例7、（黄浦区14（文））已知点221122()()A x x B x x ，、，是函数2y x =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论2221212()22x x x x++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122()()A x x B x x ，lg 、，lg 是函数lg ()y x x R +=∈的图像上的不同两点，则类似地有 成立．(理科)已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．答案： (文科)1212lg lg lg 22x x x x++<， (理科)1212sin sin sin 22x x x x ++<．本题以高等代数中函数图象的凹凸性为背景，将二次函数与对数函数、指数函数与正弦函数的相关知识有机地融合在一起，让人印象深刻．破解以高等数学为背景的试题，关键在阅读理解，抓住问题本质，将已掌握的知识迁移到新情景中去，将问题解决.需要指出的是，不宜提倡将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容，因为这样做既会加重学生学习的负担，也与高考考查创新型试题的初衷相悖．2．课程改革背景各区县模拟试题重视新增内容的考查，体现高考新要求，充分重视将新增内容的考查，尤其注重知识间的糅合，虽然大多以小题出现，但却充分体现了上海高考的新要求．一些创新型试题的基本走向是坚持课程改革的方向，充分体现《课程标准》的精神，出现了不少以课程改革为背景的新题好题，体现了新课程理念．因此，教师应认真学习、研究《课程标准》，积极参与数学课程改革．例8、（1）（奉贤区18）行列式12365472131x x⎪⎭⎫ ⎝⎛中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()x f ，()x f +1的零点属于区间 （ ）B A O O a S (a )123321S (a )a DC OO a 321S (a )321S (a )ayxO 332211y=a（A ）（1,32）； （B ）（32,21）； （C ）（21,31）； （D ）（31,0）；（2）（长宁区12（理））矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n a a an a a a a a a a a a 32333322232211312321中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则_________2lim2=⋅∞→nn n n S ． （3）（长宁区14（文））对于任意的实数b a ,，记{}()().,m a x ⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a 若()()(){}(),,max R x x g x f x F ∈=其中函数()()R x x f y ∈=是奇函数，且当0>x 时，()();212--=x x f 函数()()R x x g y ∈=是正比例函数，其图象与0>x 时函数()x f y =的图象如图所示，则下列关于函数()x F y =的说法中，y=F （x ）为奇函数；②y=F （x ）在（—3，0） 上为增函数 ；③y=F （x ）的最小值为—2，最大值为2．其中不正确的是.___________（填写你认为不正确的所有结论序号）(4) （奉贤区14（理））在空间直角坐标系O xyz -中，满足条件[][][]2221x y z ++≤的点(,,)x y z 构成的空间区域2Ω的体积为2V （[][][],,x y z 分别表示不大于,,x y z 的最大整数），则2V = _（5）（长宁区17（理）18（文））（文）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行线0y =及y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为（ ）答案：（1）B ； （2）41； （3）①②③； （4）8； （5）C . 3．联系实际生活背景应用题是对学生综合实力的考查，是考查能力与素质的良好题型，各区县应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，所涉及的都是数学基本内容，思想和方法，摒弃繁琐的数学运算，突出了对数学思想，方法和实践能力的考查. 例9、（奉贤区11（文））为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前40.30.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 视力 组距频率 组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则b 的值为答案：78．4．以课本经典内容研究方法为背景 例10、（浦东新区22(文)， 本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分)已知点),(11y x A 在圆22(2)4x y -+=上运动，点),4(0y B 在直线4x =上运动，异于点B 的动点(,)M x y 满足OB OM //，OM AB =.动点M 的轨迹C 的方程为0),(=y x F .（1）试用点M 的坐标y x ,表示110,,y x y ； （2）求动点M 的轨迹方程0),(=y x F ；（3）以下给出曲线C 的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）.① 对称性；（2分） ② 顶点坐标；（2分）（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点） ③ 图形范围；（2分） ④ 渐近线；（3分）⑤ 对方程0),(=y x F ，当0≥y 时，函数)(x f y =的单调性.（3分） 解：（1）),(y x OM =，),4(0y OB =，),4(101y y x AB --=因为OB OM //，所以当0=x 时，0y R ∈；当0≠x 时，xyy 40=. 因为O M A B = ，所以⎩⎨⎧-=-=1014y y y x x ，则当0=x 时，11040x y y =⎧⎨==⎩；当0≠x 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=y x yy x x 4411. 综上可知，当0=x 时，11040x y y =⎧⎨==⎩；当0≠x 时，x y y 40=，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=y x yy xx 4411.……4分 yx-3-2-1123455-4-3-2-14321B AO（2）由点A 在圆上，则4)2(2121=+-y x .当0≠x 时，4)4()24(22=-+--y xy x ，整理得，32240x xy y +-=或4x =（舍） 当0=x 时，点)0,0(满足方程32240x xy y +-=.故，所求动点M 的轨迹C 的方程为32240x xy y +-=. …………8分（3）① 关于x 轴对称；将方程中的(,)x y 换成(,)x y -，方程的形式不变，则曲线C 关于x 轴对称. ② 曲线C 的顶点为（0，0）；在方程32240x xy y +-=中，令0y =，得0x =.则曲线C 的顶点坐标为（0，0）.③ 图像范围：04,x y R ≤<∈； 3204x y x=≥-，得04,x y R ≤<∈. ④ 直线4x =是曲线C 的渐近线；04x ≤<，324x y x=-，当4→x 时，y →∞. 则直线4x =是曲线C 的渐近线. ⑤ 当0≥y 时函数)(x f y =在[0,4)上单调递增；32(04)4x y x x=≤<-. 设1204x x ≤<<，则 333322121221121212(4)(4)44(4)(4)x x x x x x y y x x x x ----=-=----221212211212()[(4)(4)4]0(4)(4)x x x x x x x x x x --+-+=<--. 则2212y y <，即12y y <，所以当0≥y 时函数)(x f y =在[0,4)上单调递增. 本题主要考查了解方程组、求动点M 的轨迹方程、研究曲线C 的五个方面的性质、阅读理解能力和基本运算能力，其背景可以追溯到解析几何中经典的圆锥曲线的研究方法，耐人寻味．四、开放的设计数学开放型问题有条件开放型问题和结论开放型问题.1．条件开放型问题条件开放型问题，即没有确定的已经条件，其特征是缺少确定的条件，即求解问题所需的条件过多或不足，学生无法直接根据给出的条件来解决问题.设计条件开放型问题的目的是加强对学生信息整合力的考查.信息整合国是个体立足于社会的最基本能力之一，现实世界纷繁复杂，信息浩如烟海且更新速度很快，而获取信息的渠道多种多样，如果没有很强的整合力，个体就会被繁杂的信息所掩埋.例11、（普陀区20）为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费．已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费．”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）．请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？解：争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价50%收费”的含义出现了歧义．以下给出三种不同的理解：解释一：第一小时为10元，以后每小时都为15元.14小时总收费为：101513205+⨯=元；解释二：第一小时为10元，以后每小时都比前一小时增加5元．可以理解为等差数列求和，则14小时总收费为141414101355952S =⨯+⋅⋅=元. 解释三：第一小时为10元，以后每小时都增加50%.可以理解为等比数列求和， 则14个小时的收费为()1414101 1.55818.591 1.5S -==-元．【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分．本题考查学生分析问题和解决问题的能力．考查学生的创新意识，对学生的阅读理解能力及中学数学的领悟程度能有效检测．2. 结论开放型问题结论开放型问题，即没有明确的结果，其特征是结果的非唯一性．数学问题复杂多变，往往得到的不是唯一答案．高考命题者已有意识的设计结论开放型问题，引导学生摆脱数学是“答案唯一”的僵化思维模式，引导学生联系自己的知识经验考虑可能出现的多种情况，根据不同的情况，求得不同的答案．这两类问题又可分为归纳猜想型和探索发现型两类．例12、（浦东新区23，本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式12()()2f x f x M +=，则称M 为函数y =f (x )的“均值”．（1）判断1是否为函数()21(1f x x =+-≤x ≤1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,f x ax x x =-<<a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）．说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分．解：（1）对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，当且仅当21x x =-时，有1212()()112f x f x x x +=++=， 故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分 所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分 (另法：对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，令21x x =-，则2[1,1]x ∈-，且1212()()112f x f x x x +=++=， 若2[1,1]x '∈-，且12()()12f x f x '+=，则有22()()f x f x '=，可得22x x '=， 故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分 所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分）（2）当0a =时，()2(12)f x x x =-<<存在“均值”，且“均值”为3-；…………5分 当0a ≠时，由2()2(12)f x ax x x =-<<存在均值，可知对任意的1x ，都有唯一的2x 与之对应，从而有2()2(12)f x ax x x =-<<单调， 故有11a ≤或12a ≥，解得1a ≥或0a <或102a <≤， ……………………9分 综上，a 的取值范围是12a ≤或1a ≥． ……………………10分（另法：分0,a =1111,12,2a a a≤<<≥四种情形进行讨论） （3）①当I (,)a b =或[,]a b 时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的“均值”为2a b +； …………………12分 ②当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………14分③当I (,)a =+∞或(,)a -∞或[,)a +∞或(,]a -∞或[,)a b 或(,]a b 时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………16分[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I 形如(,)a b 、[,]a b 其中之一时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的“均值”为2a b +； ……………………13分 ②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 形如(,)a +∞、(,)a -∞、[,)a +∞、(,]a -∞、[,)a b 、(,]a b 其中之一时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分（另法：①当且仅当I 为开区间或闭区间时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的均值为区间I 两端点的算术平均数； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 为除去开区间、闭区间与(,)-∞+∞之外的其它区间时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分）[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]试题科学、试卷平稳是高考命题的首要目标，展露新意、闪现亮点是高考命题的第二追求，由此可以预测：新颖题、亮点题必将还会在上海高考中出现．一般说来，新颖题、亮点题除以上特色外，还具有以下一些特征：第一，多属新信息迁移题，在教学中既要适当拓宽学生的数学知识视野，也要加强自主获取知识能力的训练与培养；第二，常规考点经过适当包装，要求学生不为表象所惑，善于抓住问题本质；第三，常规考点的组合联袂，在解答时只需抓住基本知识，加以合适组合，问题便可迎刃而解；第四，属于能力立意的，知识虽是新的，能力却不超纲，在教学中除了强调知识的获取，也要注意能力的培养．应对创新型试题的最好办法是让学生进行研究性学习，要让学生在新课学习和复习课中经历数学探究的过程，这个过程应该包括学生自己主动地观察数学现象、分析数学材料，提出数学问题、探究数学规律，猜想数学命题、寻找解题思路等．。
2011.3,松江二模
（1）在这个统计中，众数是
，中位数是
（2）补全下面的频率分布表和频率分布直方图： 分组 3.5～5.5 5.5～7.5 7.5～9.5 9.5～11.5 11.5～13.5 合 计 14 6 50 0.12 1.00 人参加社会实践活动 频数 3 9 频率 0.06 0.18 0.36
（3）可以估算这所学校该年级的学生中，每学期约有 时间不少于 9 天．
OE OB OE 9 9 5 ， ， OE ………………………………（2 分） AC AB 6 5 6 5
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∴在 Rt△AOE 中，∠AEO＝90°，
AE OA OE
2 2
3 5
2
9 5 12 5 …………………（2 分） 5 5
23．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE． （1）求证：∠BCE=∠DCF； （2）点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°,则 GF=EG 成立吗？为什么？ A G D F
E B
（第 23 题）
C
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24．如图,已知抛物线 y
………………密○………………………………………封○………………………………………○线……………………………
松江区 2010 学年度第二学期初三月考 数学试卷答题纸
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2011.3
姓名：_______________ 学号：____________
题 号 得 分
学校：_________________________ 班级
4．如图是反映某工程队所挖河渠长度 y(米) 与挖掘时间 x(时) 之间关系的部分图 像 。下列说 ．．． ． 法正确的是……………………………………………………………………………（ ）
2011年上海市闵行区初中数学二模卷试题及参考答案【纯word版,完美打印】
闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．数轴上任意一点所表示的数一定是 （A ）整数；（B ）有理数；（C ）无理数；（D ）实数.2．已知点A 与点B （2，-3）关于y 轴对称，那么点A 的坐标为（A ）（-3，2）； （B ）（-2，-3）； （C ）（-2， 3）； （D ）（2，3）. 3．用换元法解分式方程2213+101x x x x +-=+，如果设y xx =+12，那么原方程化为关于y 的整式方程是（A ）032=-+y y ； （B ）2310y y -+=； （C ）2310y y -+=；（D ）2310y y --=.4．已知直线y k x b =+经过第一、二、三象限，那么直线y b x k =+一定不经过 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限.5．关于长方体有下列三个结论：① 长方体中每一个面都是长方形；② 长方体中每两个面都互相垂直； ③ 长方体中相对的两个面是全等的长方形． 其中结论正确的个数有 （A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个.6．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3、5，⊙O 1上一点A 与⊙O 2的圆心O 2的距离等于6，那么下列关于⊙O 1和⊙O 2的位置关系的结论一定错误的是 （A ）两圆外切； （B ）两圆内切； （C ）两圆相交； （D ）两圆外离.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：32(2)a = . 8．分解因式：32x x -= .9．已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围 是 ▲ .10．方程23x x +=的解是 ▲ . 11．已知函数1()12f x x=-，那么(1)f -= ▲ . 12．写出一个反比例函数的解析式，使其图像在每个象限内，y 的值随x 的值的增大而增大，那么这个函数的解析式可以是 ▲ .（只需写出一个符合题意的函数解析式） 13．将二次函数22(1)3y x =-- 的图像沿着y 轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图像的顶点坐标是 ▲ .14．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为 ▲ .15．已知：在△ABC 中，DE // BC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD = 2BD ，如果AB a = ，AC b =，那么DE = ▲ .（用向量a 、b 的式子表示）16．某飞机在1500米的上空测得地面控制点的俯角为60°，那么此时飞机与地面控制点的距离为 ▲ 米．（结果保留根号）17．经过测量，不挂重物时弹簧长度为6厘米，挂上2.5千克的重物时弹簧长度为7.5厘米，那么弹簧长度y （厘米）与所挂重物的质量x （千克）的函数解析式为 ▲ ． 18．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AB =6．如果将△ABC 在直线AB 上平行移动2个单位后得△A ′B ′C ′，那么△CA ′B 的面积为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：11()x x x x -÷-，其中22x =-.20．（本题满分10分）解不等式组：2(1)34,4312.34x x x x +<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩ 并把解集在数轴上表示出来.21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5ABC ∠=． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值．ABC（第18题图）0 -1 1ABCO（第21题图）22．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分，满分10分）某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图（如图所示），从左到右前四个小组的频率分别为0.1、0.2、0.3、0.25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题： （1）共抽取了多少名学生的成绩？ （2）估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名？（3）如果从左到右五个组的平均分分别为55、68、74、86、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC = CD ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，联结AF 、EF ． （1）求证：AD = ED ；（2）如果AF // CD ，求证：四边形ADEF 是菱形．24．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分，满分12分） 如图，已知：抛物线23y x b x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，并且OA = OC .（1）求这条抛物线的解析式； （2）过点C 作CE // x 轴，交抛物线于点E ，设抛物线的顶点为点D ，试判断△CDE 的形状，并说明理由； （3）设点M 在抛物线的对称轴l 上，且△MCD 的面积等于△CDE 的面积，请写出点M 的坐标（无需写出解题步骤）．ABCDEF（第23题图）频率组距分数50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 （第22题图） 0.10.20.30.250.0050.010 0.015 0.020 0.0250.030……………………………………………………………密x y O B A C D（第24题图）E l25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，联结BE ，∠ABE = 30°，BE = DE ，联结BD ．点M 为线段DE 上的任意一点，过点M 作MN // BD ，与BE 相交于点N ． （1）如果23AB ，求边AD 的长；（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M 为线段DE 的中点，联结CN ．过点M 作MF ⊥CN ，垂足为点F ，求线段MF 的长；（3）试判断BE 、MN 、MD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．ABC D EMN（第25题图）A BCDEMN（图1）F闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案以及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ；2．B ；3．A ；4．D ；5．C ；6．B .二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．64a ；8．(2)(2)x x x +-；9．4m ≤；10．x = 3；11．33；12．1y x=-（正确即可）；13．（1，0）；14．13；5．2233b a -；16．10003；17．365y x =+；18．6或12．三．解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式211x x x x--=÷……………………………………………………………（2分）211x x x x -=⨯-……………………………………………………………（2分） 11x =+．…………………………………………………………………（2分） 当22x =-时， 原式1221=-+………………………………………………………………（1分） 121=- 21=+．………………………………………………………………（3分）20．解：由 2(1)34x x +<+，得 2x -<．…………………………………………………………………（3分） 解得 2x >-． 由431234x x --≤， 得 721x ≤．解得 3x ≤．…………………………………………………………………（3分） 所以，原不等式组的解集为 23x -<≤．…………………………………（2分） 在数轴上画出不等式组的解集正确．………………………………………（2分）21．解：（1）联结AO ，AO 的延长线与弦BC 相交于点D ．在⊙O 中，∵ AB = AC ，∴ A B A C =．…………………………（1分） 又∵ AD 经过圆心O ，∴ AD ⊥BC ，BC = 2BD ．…………………（1分）在Rt △ABD 中， AB = 10，4sin 5ABC ∠=，∴ 4s i n 1085A D A B A B C =⋅∠=⨯=． ………………………………（2分）于是，由勾股定理得 22221086B D A B A D =-=-=． ∴ BC = 12．……………………………………………………………（1分） （2）设⊙O 的半径OB = r ．在⊙O 中，由 OA = OB = r ，得 OD = 8 – r ．在Rt △OBD 中，利用勾股定理，得 222BD OD OB +=，即得 2236(8)r r +-=．………………………………………………（2分） 解得 254r =．∴ 254OB =．………………………………………（1分）∴ 257844OD =-=．…………………………………………………（1分） ∴ 774t a n 624OD OBC BD ∠===．………………………………………（1分）22．解：（1）最后一组的频率为 1 – 0.1 – 0.2 – 0.3 – 0.25 = 0.15． ………………（1分）所以 6 ÷ 0.15 = 40（名）． ……………………………………………（1分） 所以，共抽取了40名学生的成绩．…………………………………（1分） （2）成绩超过80分的组频率之和为 0.25 +0.15 = 0.4．…………………（1分）所以 0.4 ×260 = 104（名）．…………………………………………（1分） 所以，估计这次数学测验超过80分的学生人数约有104名．……（1分） （3）五个组的频数分别为4、8、12、10、6．……………………………（1分）加权平均数为 554688741286109564812106v ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++…………（1分）308277.0540==．……………………………………（1分） 所以，估计这次数学测验成绩的平均分约为77.05分． ……………（1分）23．证明：（1）∵ BC = CD ，∴ ∠CDB =∠CBD ．……………………………（1分）∵ AD // BC ，∴ ∠ADB =∠CBD ．∴ ∠ADB =∠CDB ．………………………………………………（1分） 又∵ AB ⊥AD ，BE ⊥CD ，∴ ∠BAD =∠BED = 90°． ………（1分） 于是，在△ABD 和△EBD 中，∵ ∠ADB =∠CDB ，∠BAD =∠BED ，BD = BD ，∴ △ABD ≌△EBD ．………………………………………………（2分） ∴ AD = ED ．………………………………………………………（1分） （2）∵ AF // CD ，∴ ∠AFD =∠EDF ． ……………………………（1分）∴ ∠AFD =∠ADF ，即得 AF = AD ． …………………………（1分） 又∵ AD = ED ，∴ AF = DE ． …………………………………（1分） 于是，由 AF // DE ，AF = DE ，得四边形ADEF 是平行四边形．……………………………………（2分） 又∵ AD = ED ，∴ 四边形ADEF 是菱形．…………………………………………（1分）24．解：（1）当x = 0时，得 y = -3．∴ C （0，-3）．…………………………（1分）∵ OA = OC ，∴ OA = 3，即得 A （-3，0）． …………………（1分） 由点A 在抛物线23y x b x =+-上， 得 9330b --=． 解得 b = 2．……………………………………………………………（1分） ∴ 所求抛物线的解析式是223y x x =+-．…………………………（1分） （2）由 CE // x 轴，C （0，-3），可设点E （m ，-3）．由点E 在抛物线223y x x =+-上， 得 2233m m +-=-． 解得 m 1 = -2，m 2 = 0．∴ E （-2，-3）． ……………………………………………………（1分） 又∵ 2223(1)4y x x x =+-=+-，∴ 顶点D （-1，-4）．………………………………………………（1分） ∵ 22(10)(43)2CD =--+-+=，22(12)(43)2ED =-++-+=， CE = 2，∴ CD = ED ，且 222C D E D C E+=． ∴ △CDE 是等腰直角三角形． ……………………………………（3分） （3）M 1（-1，-2），M 2（-1，-6）． …………（3分，其中只写出一个得2分）25．解：（1）由矩形ABCD ，得 AB = CD ，∠A =∠ADC = 90°．在Rt △ABE 中，∵ ∠ABE = 30°，23AB =， ∴ 3t a n 2323A E AB A B E =⋅∠=⨯=，BE = 2AE = 4．…………（2分）又∵ BE = DE ，∴ DE = 4．于是，由 AD = AE +DE ，得 AD = 6．……………………………（2分） （2）联结CM ．在Rt △ABD 中，22123643BD AB AD =+=+=．……………（1分） ∴ BD = 2AB ，即得 ∠ADB = 30°．∵ MN // BD ，∴ ∠AMN =∠ADB = 30°．…………………………（1分） 又∵ MN // BD ，点M 为线段DE 的中点， ∴ DM = EM = 2，12MN EM BD ED ==．∴ 1232MN BD ==．………………………………………………（1分）在Rt △CDM 中，23tan 32CD CMD MD ∠===．∴ ∠CMD = 60°，即得 CM = 4，∠CMN = 90°．………………（1分） 由勾股定理，得 22121627CN MN CM =+=+=． 于是，由 MF ⊥CN ，∠CMN = 90°，得 234421727MN CM MF CN ⋅⨯===．……………………………（1分） （3）33BE DM MN =+． …………………………………………………（1分） 证明如下：过点E 作EF ⊥BD ，垂足为点F ．∵ BE = DE ，EF ⊥BD ，∴ BD = 2DF ．…………………………（1分） 在Rt △DEF 中，由 ∠EDB = 30°， 得 3c o s 2D F DE E D B D E =⋅∠=，即得 3B D B E=．…………（1分） ∵ MN // BD ，∴ M N E N B D E B =，DM BN DE BE =，即得 3M N E N BEBE =，BN = DM ．∴ 33E N M N =．……………………………………………………（1分）于是，由 BE = BN +EN ，得 33B E D M M N=+．………………（1分）。
数学_2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分） 1. 不等式|1x −1x x +4|>1的解集是________．2. 若函数y =f(x)与y =e x+1的图象关于直线y =x 对称，则f(x)=________．3. 经过抛物线y 2=4x 的焦点，且以d →=(1,1)为方向向量的直线的方程是________．4. 计算：limn →+∞C n 22+4+6+⋯+2n=________．5. (x −√x)8展开式中x 5的系数为________． 6. 若数列{a n }为等差数列，且a 1+3a 8+a 15=120，则2a 9−a 10的值等于________．7. 已知直线m ⊥平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①α // β⇒m ⊥n ；②α⊥β⇒m // n ；③m ⊥n ⇒α // β；④m // n ⇒α⊥β，其中真命题的序号是________．8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同．若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是________．9. 极坐标方程4ρsin 2θ2=5所表示曲线的直角坐标方程是________．10. 在△ABC 中，已知最长边AB =3√2，BC =3，∠A =30∘，则∠C =________．11. 已知函数f(x)=|lg(x +1)|，若a ≠b 且f(a)=f(b)，则a +b 的取值范围是________．12. 在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =√3，AD =2；线段 PA ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且PA =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于________（用反三角函数表示）．13. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 3S 2的取值范围是________．14. 已知函数f(x)满足：①对任意x ∈(0, +∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；②当x ∈(1, 2]时，f(x)=2−x ．若f(a)=f(2020)，则满足条件的最小的正实数a 是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.如图给出的是计算1+13+15+⋯+12011的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A i ≤2011B i >2011C i ≤1005D i >1005 16. 已知函数f(x)={(3−a)x −ax <1log a x x ≥1是(−∞, +∞)上的递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A (1, +∞)B (−∞, 3)C [32, 3) D (1, 3)17. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为( )A BC D18. 已知有穷数列A:a 1，a 2，…，a n (n ≥2, n ∈N)．定义如下操作过程T ：从A 中任取两项a i ，a j ，将a i +aj1+a i aj的值添在A 的最后，然后删除a i ，a j ，这样得到一系列n −1项的新数列A 1 （约定：一个数也视作数列）；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列n −2项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k ．设A:−57，34，12，13，则A 3的可能结果是（ ） A 0 B 34C 13D 12三、解答题（共5小题，满分74分）19. 如图，用半径为10√2cm ，面积为100√2πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1cm 3）20. 已知向量a →=(sinx,cosx)，b →=(sinx,sinx)，c →=(−1,0)． (1)若x =π3，求向量a →、c →的夹角θ；(2)若x ∈[−3π8，π4]，函数f(x)=λa →⋅b →的最大值为12，求实数λ的值．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8．（1）设点Q(x, y)是圆C 上一点，求x +y 的取值范围；（2）如图，定点A(1, 0)，M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0，求点N 的轨迹的内接矩形的最大面积． 22. 设虚数z 满足z 2−m t z +m 1004=0（m 为实常数，m >0且m ≠1，t 为实数）．（1）求|z|的值；（2）当t ∈N ∗，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为OA →（O 为坐标原点），OA →=(c,d)，如c −d >0，求t 的取值范围．23. 设二次函数f(x)=(k −4)x 2+kx ，k ∈R ，对任意实数x ，有f(x)≤6x +2恒成立；数列{a n }满足a n+1=f(a n )．（1）求函数f(x)的解析式和值域；（2）试写出一个区间(a, b)，使得当a 1∈(a, b)时，数列{a n }在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N ∗，都有log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)>(−1)n−12λ+nlog 32−1−1+(−1)n−12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2011年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）答案1. (−1, 3)2. lnx −1，(x >0)3. x −y −1=04. 125. 286. 247. ①，④ 8. 1199. y 2=5x +25410. 135∘ 11. (0, +∞)12. arccos 37或2arcsin√14713. (2, +∞) 14. 36 15. A 16. C 17. C 18. B19.解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ、r ，则由题意得R =10√2，由12Rl =100√2π得l =20π；由2πr =l 得r =10；由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=10；由V 锥=13πr 2ℎ=13⋅π⋅100⋅10≈1047.2cm 3所以该容器最多盛水1047.2cm 3 20. 解：(1)当x =π3时，a →=(√32,12)，所以cosθ=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=−√321×1=−√32， 因而θ=5π6；(2)f(x)=λ(sin 2x +sinxcosx) =λ2(1−cos2x +sin2x)， f(x)=λ2(1+√2sin(2x −π4))，因为x ∈[−3π8，π4]，所以2x −π4∈[−π,π4]，当λ>0时，f max (x)=λ2(1+1)=12，即λ=12， 当λ<0时，f max (x)=λ2(1−√2)=12，即λ=−1−√2，所以λ=12或λ=−1−√2． 21. 解：（1）∵ 点在圆C 上，∴ 可设{x =−1+2√2cosαy =2√2sinαα∈[0, 2π)；x +y =−1+2√2(cosα+sinα)=−1+4sin(α+π4)， 从而x +y ∈[−5, 3]．（2）∵ AM →=2AP →，NP →⋅AM →=0． ∴ NP 为AM 的垂直平分线， ∴ |NA|=|NM|．又∵ |CN|+|NM|=2√2，∴ |CN|+|AN|=2√2>2． ∴ 动点N 的轨迹是以点C(−1, 0)，A(1, 0)为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为2a =2√2，焦距2c =2． ∴ a =√2，c =1，b 2=1． ∴ 点N 的轨迹是方程为x 22+y 2=1．所以N 为椭圆，其内接矩形的最大面积为2√2． 22. 解：（1）z =m t ±√m 100−m 2t i2，z =m t ±√m 100−m 2t i∴ |z|=√m 2t 4+m 100−m 2t 4=m 502（2）z 是虚数，则m100−m2t>0∴ m t <m 50，z 的实部为m t2；当m >1，得t <50且t ∈N ∗∴ S =2(m2+m 22++m 492)=m 50−m m−10<m <1，得t >50且t ∈N ∗∴ S =2(m 512+m 522+)=m 511−m ．（3）解：c =m t 2>0，d =±√m 100−m 2t2①d =−√m 100−22t2，c >dd =√m 100−m 2t2，d =−√m 100−22t2，c >d 恒成立，由m 100−m 2t >0∴ m t <m 50得，当m >1时，t <50；当0<m <1时，t >50． ②d =√m 100−m 2t2，如c >d ，则m t 2>√m 100−m 2t2∴ m2t>m 1002即m t>50√2，当m >1,{t <50t >50−12log m 2即50−12log m 2<t <50，50−12log m 2<t <50．当0<m <1,{t >50t <50−12log m2即50<t <50−12log m 2，50<t <50−12log m 223. 解：（1）由f(x)≤6x +2恒成立，即(k −4)x 2+(k −6)x −2≤0恒成立，从而得：{k −4<0(k −6)2+8(k −4)≤0， 化简得{k <4(k −2)2≤0，从而得k =2，所以f(x)=−2x 2+2x ，其值域为(−∞,12]． （2）当a 1∈(0,12)时，数列a n 在这个区间上是递增数列，证明如下：若数列{a n }在某个区间上是递增数列，则a n+1−a n >0；即a n+1−a n =f(a n )−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n >0⇒a n ∈(0,12)； a n ∈(0,12)，n ≥1时，a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n =−2(a n −12)2+12∈(0,12)，所以对一切n ∈N ∗，均有a n ∈(0,12)，且a n+1−a n >0；所以数列a n 在区间(0,12)上是递增数列．（3）由（2）知，a n ∈(0,12)，从而12−a n ∈(0,12)；当n ≥1时，12−a n+1=12−(−2a n 2+2a n )=2a n 2−2a n +12=2(a n −12)2，即12−a n+1=2(12−a n )2；令b n =12−a n ，则有b n+1=2b n 2，且b n ∈(0,12)；从而有lgb n+1=2lgb n +lg2，即lgb n+1+lg2=2(lgb n +lg2)； 所以数列{lgb n +lg2}是lgb 1+lg2=lg 13为首项，公比为2的等比数列； 从而得lgb n +lg2=lg 13⋅2n−1=lg(13)2n−1，即lgb n=lg(13)2n−12，所以b n =(13)2n−12=12(13)2n−1，所以112−a n=1b n=2⋅32n−1，所以log 3(112−a n)=log 3(2⋅32n−1)=log 32+2n−1，所以，log 3(112−a 1)+log 3(112−a 2)+⋯+log 3(112−a n)=nlog 32+1−2n 1−2=2n +nlog 32−1．即2n +nlog 32−12n +(log 32)n −1>(−1)n−12λ+nlog 32−1nlog 32−1，所以，2n−1>(−1)n−1λ恒成立当n为奇数时，即λ<2n−1恒成立，当且仅当n=1时，2n−1有最小值为1．∴ λ<1当n为偶数时，即λ>−2n−1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为−2．∴ λ>−2所以，对任意n∈N∗，有−2<λ<1．又λ非零整数，∴ λ=−1．。
上海市松江区中考数学二模试卷(含解析)
2016年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．162．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限4．某班一个小组7名同学的体育测试成绩（满分30分）依次为：27，29，27，25，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是（）A．27，25 B．25，27 C．27，27 D．27，305．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90°D．AC=BD6．已知⊙O1的半径r1=6，⊙O2的半径为r2，圆心距O1O2=3，如图⊙O1与⊙O2有交点，那么r2的取值范围是（）A．r2≥3 B．r2≤9 C．3＜r2＜9 D．3≤r2≤9二、填空题7．因式分解：2a2﹣3a=______．8．函数的定义域是______．9．计算：2（﹣）+3=______．10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是______．11．不等式组：的解集为______．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为______．13．反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上另两点，其中x1＜x2＜0，则y1、y2的大小关系是______．14．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是______．15．某服装厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为______万件．16．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是______．17．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是______．18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E是AB上一点，将△BCE 沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE=______．三、解答题19．计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+．20．解方程组：．21．已知气温的华氏度数y是摄氏度数x的一次函数，如图所示是一个家用温度表的表盘，其左边为摄氏温度的刻度和度数（单位：℃），右边为华氏温度的刻度和度数（单位：℉），观察发现表示﹣40℃与﹣40℉的刻度线恰好对齐（左一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于D，O为AD上一点，以O为圆心，OA 为半径的圆交AB于G，交BC于E、F．且AG=AD．（1）求EF的长；（2）求tan∠BDG的值．23．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．（1）求证：∠CAD=∠ECB；（2）点F是AC的中点，连结DF，求证：BD2=FC?BE．24．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y 轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．25．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM?cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．2016年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．16【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、是有理数，故A错误；B、是无理数，故B正确；C、是有理数，故C错误；D、16是有理数，故D错误；故选：B．2．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数含开的尽的因数，故B错误；C、被开方数含开的尽的因数，故C错误；D、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故D正确；故选：D．3．在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据k，b的符号判断直线所经过的象限．【解答】解：由已知，得：k=1＞0，b=﹣1＜0，故图象经过第一、三、四象限．故选C．4．某班一个小组7名同学的体育测试成绩（满分30分）依次为：27，29，27，25，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是（）A．27，25 B．25，27 C．27，27 D．27，30【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中27是出现次数最多的，故众数是27；将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是27，这组数据的中位数是27．故选C5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90°D．AC=BD【考点】菱形的判定．【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．故选：A．6．已知⊙O1的半径r1=6，⊙O2的半径为r2，圆心距O1O2=3，如图⊙O1与⊙O2有交点，那么r2的取值范围是（）A．r2≥3 B．r2≤9 C．3＜r2＜9 D．3≤r2≤9【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由⊙O1的半径r1=6，⊙O2的半径为r2，圆心距O1O2=3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系，可求得内切时，r2的值，继而求得答案．【解答】解：∵⊙O1的半径r1=6，⊙O2的半径为r2，圆心距O1O2=3，∴若⊙O1与⊙O2内切，则r2=3或r2=9，∵⊙O1与⊙O2有交点，∴r2的取值范围是：3≤r2≤9．故选D．二、填空题7．因式分解：2a2﹣3a= a（2a﹣3）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接找出公因式a，提取公因式得出答案．【解答】解：2a2﹣3a=a（2a﹣3）．故答案为：a（2a﹣3）．8．函数的定义域是x≠1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得自变量x的取值范围．【解答】解：根据题意，有x﹣1≠0，解可得x≠1．故答案为x≠1．9．计算：2（﹣）+3= ．【考点】*平面向量．【分析】先去括号，然后进行向量的加减即可．【解答】解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1，故答案为：m≤1．11．不等式组：的解集为x＞2 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣x≤0，得：x≥0，解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，则不等式组的解集为：x＞2，故答案为：x＞2．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为y=（x+3）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再根据点平移的规律得到点（0，﹣2）平移后所得对应点的坐标为（﹣3，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣3，0），所以平移后的抛物线的解析式为y=（x+3）2．故答案为y=（x+3）2．13．反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上另两点，其中x1＜x2＜0，则y1、y2的大小关系是y1＜y2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先代入点（﹣1，2）求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（﹣1，2），∴k=﹣2，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．14．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是y2+y﹣3=0 ．【考点】换元法解分式方程．【分析】根据题意，设=y，则=，代入分式方程，整理可得整式方程．【解答】解：由题意，设=y，则=，∴原方程化为：y﹣+1=0，∴整理得：y2+y﹣3=0．故答案为y2+y﹣3=0．15．某服装厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为19.6 万件．【考点】用样本估计总体．【分析】抽取的100件进行质检，发现其中有2件不合格，那么合格的有98件，由此即可求出这类产品的合格率是98%，然后利用样本估计总体的思想，即可知道合格率是98%，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数．【解答】解：∵某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有2件不合格，∴合格的有98件，∴合格率为98÷100=98%，∴估计该厂这20万件产品中合格品约为20×98%=19.6万件．故答案为：19.6．16．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是．【考点】概率公式．【分析】由从1到10的十个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵从1到10的十个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，∴随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是：．故答案为：．17．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是289（1﹣x）2=256 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，即方程为289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E是AB上一点，将△BCE 沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE= ．【考点】翻折变换（折叠问题）；梯形．【分析】如图作DM⊥BC于M，先证明四边形ABMD是矩形，在RT△DMC中求出DM，再在△AED 中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图作DM⊥BC于M．∵∠A=∠B=∠DMB=90°，∴四边形ABMD是矩形，∴AD=BM=2，AB=DM，∵BC=CD=5，在RT△DMC中，∵CM=BC﹣BM=3，CD=5，∴DM=AB===4，设BE=DE=x，在RT△AED中，∵AE2+AD2=ED2，∴（4﹣x）2+22=x2，∴x=，∴BE=，故答案为．三、解答题19．计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（）﹣2+（π﹣3.14）0+=9﹣（﹣1）+1+×2=9+1+1+=11．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．【解答】解：由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）=0．∴x﹣y=0或x﹣2y=0．原方程组可化为解这两个方程组，得原方程组的解为另解：由（1）得x=12﹣2y．（3）把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2=0．整理，得y2﹣7y+12=0．解得y1=4，y2=3．分别代入（3），得x1=4，x2=6．∴原方程组的解为21．已知气温的华氏度数y是摄氏度数x的一次函数，如图所示是一个家用温度表的表盘，其左边为摄氏温度的刻度和度数（单位：℃），右边为华氏温度的刻度和度数（单位：℉），观察发现表示﹣40℃与﹣40℉的刻度线恰好对齐（左一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，根据给定两组数据得出关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）将y=104带入（1）得出的函数关系式中，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由已知得：，解得：．故y关于x的函数关系式为y=x+32．（2）令y=104，则有x+32=104，解得：x=40．故当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为40℃．22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于D，O为AD上一点，以O为圆心，OA 为半径的圆交AB于G，交BC于E、F．且AG=AD．（1）求EF的长；（2）求tan∠BDG的值．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接AF，GE，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=BC=6，由勾股定理得到AG=AD==8，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（2）作GH⊥BC于H，推出AD∥GH，由相似三角形的性质得到，根据三角形函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）连接AF，GE，∵AD⊥BC，AB=AC，圆心在AD上，∴BD=CD=BC=6，ED=FD，∴BE=CF，∴AG=AD==8，BG=AB﹣AD=2，设BE=CF=x，则BF=BC﹣BE=12﹣x，∵四边形AGEF内接于⊙O，∴∠BEG=∠BAF，∠BGE=∠BFA，∴△BEG∽△BAF，∴，∴x（12﹣x）=20，∴x=2，x=10（不合题意舍去），∴EF=BC﹣2x=8；（2）作GH⊥BC于H，∵D⊥BC，GH⊥BC，∴AD∥GH，∴△BGH∽△BAD，∴，∴tan∠BDG═．23．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．（1）求证：∠CAD=∠ECB；（2）点F是AC的中点，连结DF，求证：BD2=FC?BE．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由三线合一定理可证得∠BAD=∠CAD，由CE⊥AB，得到∠ECB=∠BAD，由等量代换可得结论；（2）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，∠B=∠ACD，根据直角三角形斜边上的中线定理证得FD=FC，BD=ED，于是有∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，从而证得△BDE∽△CFD，由相似三角形的性质即可证得结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE⊥AB，∴∠ECB=∠BAD=90°﹣∠B，∴∠CAD=∠ECB；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠B=∠ACD，∵CE⊥AB，∴BD=FD，∵F是AC的中点，∴FD=FC，∴∠B=∠BED，∴∠B=∠BED=∠ACD=∠CDF，∴△BDE∽△CFD，∴，∴BD?CD=BE?FC，∴BD2=FC?BE．24．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y 轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；（2）根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；（3）分两种情况讨论：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，∴A（5，0），C（0，5），∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B，∴b=4，c=5，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，则D（2，3），∴=15；（3）①若△ABC∽△AOQ，如图，此时，OQ∥BC，由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5，∴OQ的解析式为：y=5x，由解得：，∴Q（，）；②若△ABC∽△AQO，如图，此时，，∵AB=6，AO=5，AC=，∴AQ=3，∴Q（2，3）．综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q（，）或Q（2，3）．25．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM?cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）过A作AH⊥BC，于是得到AH=CD=6，解直角三角形即可得到结论；（2）过M作MP⊥CD于P，MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，解直角三角形求得MK=2x=PC，NP=y﹣2x，MP=CK=5﹣x=QD，于是得到AQ=8﹣（5﹣x）=3+x，QM=6﹣2x，推出△AMQ∽△PMN，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（3）①当M在线段EF上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到QM=MP，列方程得到6﹣2x=5﹣x，解方程即可得到结论；②当M在FE的延长线上时，根据已知条件得到△AQM≌△MNH，由全等三角形的性质得到AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5﹣x=MH，MK=2x=CH，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC，∴AH=CD=6，∵tan∠ABC=2，∴，∴BH=3，∴CH=AD=8，∴AE=，∴CF=5；（2）过M作MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，在Rt△FMK中，FM?cos∠EFC=FK=x，∵∠EFC=∠B，∴tan∠EFC=2，∴MK=2x=PC，NP=y﹣2x，MP=CK=5﹣x=QD，∴AQ=8﹣（5﹣x）=3+x，QM=6﹣2x，∵∠AMN=90°，∵∠AMQ=∠PMN，∠AQM=∠MPN=90°，∴△AMQ∽△PMN，∴，解得：y=（0≤x≤1）；（3）①当M在线段EF上时，∵AM=MN，△AMQ≌△NMP，∴△AMQ≌△NMP，∴QM=MP，∴6﹣2x=5﹣x，∴x=1，∴FM=，②当M在FE的延长线上时，∵∠AMN=90°，∴∠AMQ+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°，∴∠AMQ=∠MNH，在△AMQ与△NMH中，，∴△AQM≌△MNH，∴AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5﹣x=MH，MK=2x，=CH，∴AQ=DH=2x﹣6，∴2x﹣6=5﹣x，∴，∴FM==，。
2011上海松江初中毕业生学业模拟考试试卷.doc
2010年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟） 2010.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列计算中，正确的是（A ）532a a a =+； （B ）632a a a =⋅； （C ）532)(a a =； （D ）222532a a a =+．2．在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 （A ）0142=-+y y ； （B ）0142=+-y y ； （C ）0142=++y y ；（D ）0142=--y y ．3．如果反比例函数xk y 12-=的图像在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是 （A ）21>k ； （B ）21<k ； （C ）0>k ； （D ）0<k ．4．如果将二次函数12-=x y 的图像向左平移2个单位，那么所得到二次函数的图像的解析式是（A ）12+=x y ；（B ）32-=x y ；（C ）1)2(2--=x y ； （D ）1)2(2-+=x y ．5．下列命题中，正确的是（A ）正多边形都是轴对称图形； （B ）正多边形都是中心对称图形；（C ）每个内角都相等的多边形是正多边形； （D ）正多边形的每个内角等于中心角． 6．下列各式错误的是（A ）033=-a a ； （B ）a a 9)3(3=⨯； （C ）a a a 633=+； （D ）b a b a 33)(3+=+． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算：111---x xx =__▲_. 8．函数3-=x y 的定义域是__▲__ ．9．因式分解：=-x x 3▲ . 10．方程21=-x 的解是___▲___ ．11．已知正比例函数的图像经过点（2-，4），则正比例函数的解析式是 ▲ ． 12．某商品原价a 元，连续两次降价%20后的售价为 ▲ 元．13．在不大于20的正整数中任意取一个正整数能被5整除的概率为 ▲ . 14．在半径为13的圆中，弦AB 的长为24，则弦AB 的弦心距为 ▲ ．15．在梯形ABCD 中，AD // BC ，E 、F 分别是两腰AB 、CD 的中点，如果AD = 4，EF = 6，那么BC = __▲__．16．已知一斜坡的坡比3:1=i ，坡面垂直高度为2米，那么斜坡长是 ▲ 米． 17．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，若B D ︰D C =1︰2，a AB =，b AC =， 那么AD = ▲ （用a 和b 表示）．18．如图，已知在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点C ′处，点A 落在点A ′处，则AA ′的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：31)33(27323212021-+++-+--．ABCD (第17题图)ABC(第18题图)20．（本题满分10分）解方程：32321942+--+=-x x x x ．21．(本题满分10分)已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD=AB ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点， 且FE ⊥AC ，若AC=8，2tan =∠B ，求EF 和AB 的长．22．（本题满分10分，第（1）题3分，第（2）题2分，第（3）题2分，第（4）题3分）有关部门想了解本区20000名初中生对世博知识掌握情况，对全区初中生进行世博知识统一测试，在测试结果中随机抽取了400名学生的成绩进行分析，并将分析结果（分数取整数）绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．分组（分） 频数 频率90～100 100 0.25 80～90 70～80 80 0.20 60～700.10频数分布表F EDCBA(第21题图)10050 60 70 80 9040 80 120 160 200 (分)(人数) 频数分布直方图240根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布表； （2）补全频数分布直方图；（3）样本中学生成绩的中位数位于频数分布表中 ▲ 分数段内； （4）若90分及以上为优秀，请你估计该区有 ▲ 名学生测试成绩为优秀． 23.（本题满分12分，第（1）题5分，第（2）题7分）已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD ， EF ∥BC 交CD 于点O ．（1）求证：OE=OF ； （2）若点O 为CD 的中点， 求证：四边形DECF 是矩形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（2）小题5分）如图，在平面直角坐标系中，直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ． 二次函数c ax ax y +-=42的图象经过点B 和点C （-1，0），顶点为P . （1）求这个二次函数的解析式，并求出P 点坐标；（2）若点D 在二次函数图象的对称轴上，且AD∥BP ，求PD 的长；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为直径的圆与圆O 相切，求圆O 的半径．50～60 20 0.05 合计4001.00B y（第23题图）AB DCGOEF（第25题图）25．（本题满分14分，第（1）小题①4分，第（1）小题②5分，第（2）小题5分） 如图，正方形ABCD 中， AB =1，点P 是射线DA 上的一动点， DE ⊥CP ,垂足为E ，EF ⊥BE 与射线DC 交于点F ．（1）若点P 在边DA 上（与点D 、点A 不重合）． ①求证：△DEF ∽△CEB ；②设AP =x ，DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）当EFC BEC S S ∆∆=4时，求AP 的长．2010年松江区初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准 2010.4 一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、D ；5、A ；6、A 二、填空题7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、5； 15、8； 16、4； 17、 ； 18、 三、解答题19．解：原式= ………………………………5分= ……………………………………………………………………5分 20．解：方程两边同乘以 得：………………………………………1分 …………………………………………2分整理得： …………………………………………………2分ABCDABCD E FP解得：，………………………………………………………3分经检验：是原方程的增根；……………………………………………1分所以，原方程的解为．…………………………………………………1分21．解：连接AF，∵AD=AB，F是BD的中点∴AF⊥BC，∴…………………………………………………2分在中，∵E是AC的中点，∴………………………………………3分又∵FE⊥AC，∴…………………………………………2分在中，∵，∴，∴……………………3分22.(1)160；0.4；40……3分（2）图略；……2分（3） .……………2分（4）5000………………3分23.（1）证明：∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD∴……………………………………1分∵EF∥BC，∴………………………1分∴………………………………………1分∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF……………………………………………2分（2）∵点O为CD的中点，∴OD=OC，又OE=OF∴四边形DECF是平行四边形………………………………………………2分∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD∴………………………………2分∴………………………2分即，∴四边形DECF是矩形………………………………1分24.解：（1）因为直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．由得，，得，所以……………1分把代入中，得，解得…………………………………2分∴这个二次函数的解析式为……………………………1分，P点坐标为P ………………………………1分（２）设二次函数图象的对称轴与直线交于E点，与x轴交于F点把代入得，，∴，∴…………………………1分∵PE//OB，OF=AF，∴∵AD∥BP，∴，……………………………2分（3）∵，∴，∴设圆O的半径为，以PD为直径的圆与圆O相切时，只有外切，………1分∴，解得：，……………………………3分即圆O的半径为或25.解：1（1）∵，∴……………1分∵，…………………………1分∴，∴△DEF∽△CEB …………………………………1分（2）∵中，，∴∴△DEC∽△PDC，∴………………………………………1分∵△DEF∽△CEB，∴…………………………………1分∴，∴………………………………………………1分∵AP=x，DF=y，∴∴……………………………1分…………………………………………………………………1分（3）∵△DEF∽△CEB，∴（1）…………………………1分∵（2），∴（1）（2）得……………1分又∵，∴……………………………1分当P点在边DA上时，有，解得………………………………………………2分当P点在边DA的延长线上时，，解得……………………………………………1分。
2011松江高三数学二模题解
2011松江高三数学二模题解D6．若函数4y x x =+在],0(a x ∈上存在反函数，则实数a 的取值范围为 ]2,0(. 7．已知直线1l 的方程为32+=x y ，若直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 ▲ 21. 8.定义一种运算，运算原理如右框图所示，则cos 45sin15sin 45cos15⊗+⊗= ▲ 21-. 解：︒⊗︒+︒⊗︒75sin 45sin 15sin 45sin.2160cos 15cos 45cos 15sin 45sin 75sin 45sin 15sin 45sin -=︒-=︒︒-︒•︒=︒︒-︒•︒=9．在53x x ⎛ ⎝的展开式的各项中任取一项，若其系数为奇数时得2分，其系数为偶数时得0分，现从中随机取一项，则其得分的数学期望值是 ▲ ．43 解：r r rr r r xC xx C T34553551---+=•=，其系数分别为：1,5,10,10,5,1554535251505======C C C C C C 。
ξ0 2 P 31 32S a b =⊗.34322310=⨯+⨯=ξE10．在直线和曲线上各任取一点，若把这两点间距离的最小值定义为直线与曲线间的距离，则直线01342=++y x 与椭圆14922=+y x 间的距离为 ▲ ．1053. 解法1：设042=++λy x 与椭圆14922=+y x 相切，则由0576936100.149,0422222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++λλλx x y x y x()1005769100436222±=⇒=-⨯-=∆λλλ当10=λ时， 两平行线的距离105342|1310|22min=+-=d。
方法2：设M 椭圆14922=+y x 上任意一点，则())2,0[(sin 2,cos 3πθθθ∈M则点M 到直线的距离为52|1343arctan sin 10|42|13sin 8cos 6|22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=θθθd105352|1310|min =+-=d ，此时⎪⎭⎫⎝⎛---=58,59,43arctan 23M πθ。
松江区二模考试数学试卷题(印刷稿).doc
松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.4一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，第1〜6题每个空格填对得4分，第7〜12题每个空格填对得5分，否则一律 得零分.1.已知 /(x) = 2x -l,则广丫3)= ▲2.已知集合M={X ||X 4-1|<1),7V = {-1,0,1},则M N=▲ 3.若复数Z ［ =Q + 2Z,Z2 =2 + 7 （，是虚数单位），且乙违为纯虚数,则实数a= ▲圆上存在点P ,使P 到直线尤二丄的距离是|P 川与\PF^ C为 ▲ • 11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P 在大圆上，P4与 小圆相切于点A , Q6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ •7. 若幣数=在区间［0,1］上有零点，则实 数d 的取值范围是_ ▲・8. 在约束条件卜+1| +卜一2匕3下，目标函数z = x+2y 的最大值为 ▲.9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是 否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是丄，则3 这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_▲ 10.b<l ）的左、右焦点分别为耳、鬥，记闪坊| = 2c ・若此椭 俯视图 、j 寺左-r•项, 4. 直线L-茫 [>' = 34-y[lt （f 为参数）对应的普通方程是5. 若(兀 + 2)" +股"° + + N*,n>3),且/? = 4c,则 a 的值为 ▲已知椭圆F+ 则〃的最人值为小圆上的点，则PA PQ的取值范围是_ ▲.(B)①反映了建议(I ),(C)②反映了建议 I ),④反映了建议(II)12. 已知递增数列｛a 讣共有2017项,且各项均不为零,捡7=1，如果从｛勺｝中任取两项 a 「cij,当i< j 时，幻—q 仍是数列｛%｝中的项，则数列｛勺｝的各项和S 2017 = A .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答 题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 设a 、b 分别是两条异面直线厶、厶的方向向量，向量a 、b 夹角的取值范围为4,厶、厶所 成角的取值范围为B ,则“ a w A ”是“ ccwB"的(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件P 位于函数j = sin 2x 的图像上，贝9(A )心［,s 的最小值为f (B) r = —, s 的最小值为? 26 2 6 (C) f =丄，S 的最小值为壬 (D) t = — . S 的最小值为壬2 12 2 12 15. 某条公共汽车线路收支差额〉，与乘客量兀的函数关系如图所示(收支差额二车票收入-支 出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(I)不改变车票 价格，减少支出费用；建议(II)不改变支11!费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中, 实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则14. 将函数y = sin 7Tx ---- 12图像上的点p(-^ 14丿 向左平移s(s > 0)个单位，得到点P,若 ③反映了建议(II) (A)①反映了建议16. 设函数y = /(x)的定义域是R,对于以下以个命题：(1) 若y = f(x)是奇函数，则y = /(/(x))也是奇函数；(2) 若y = /(x)是周期函数,则y = /(/(X))也是周期函数；(3) 若y = /(%)是单调递减函数，则y = /(/G))也是单调递减函数；(4) 若函数y = /(x)存在反函数y = f-\x),且函数y = f(x)-f \x)有零点，贝U函数y = f M-X也有零点.其中正确的命题共有(A) 1 个(B)2 个(C) 3 个(D) 4 个三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)直三棱柱ABC-A}B}G中，底面ABC为等腰直角三角 A.一点，设MC = h・⑴若3M丄AC,求/?的值；(2)若力=2 ,求直线3人与平面ABM所成的角.18. (本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)设函数/(x) = 2X ,函数gCr)的图像与函数/(Q的图像关于y轴对称.(1) 若/(x) = 4gCr) + 3,求兀的值；(2) 若存在xe[0,4],使不等式/(a + ^) - g(-2x) > 3成立，求实数G的取值范围.19. (本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)如图所示，ZPAQ是某海湾旅游区的一角，英屮ZPA2=120\为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ±分别修建观光长廊AB和AC,英屮AB是宽长廊，造价是80()元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道4D (平台大小忽略不计)，水上通道的造价是1000元/米.(1) 若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求AABC的面积最大，那么和AC的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道初还需要多少钱？20. (本题满分16分；笫1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)设直线/与抛物线y2=4x相交于不同两点A、B,与圆(x-5)2 + / =r2(r>0) 相切于点M,且M 为线段AB中点.(1) 若AAOB是正三角形(0是坐标原点)，求此三角形的边长；(2) 若厂=4,求直线/的方程；(3) 试对re(0,4^))进行讨论，请你写出符合条件的直线/的条数(直接写出结论).21. (本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)对于数列｛。
松江高三数学二模题解
松江高三数学二模题解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2011松江二摸题解2011.4考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.２．本试卷共有23道试题，满分1５0分，考试时间120分钟.一、填空题 (本大题每满分５6分）本大题共有1４题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数xx y 2log 2-=的定义域为 ),2()0,(+∞-∞２．若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则b a +＝ －13．若)2,1(=a ,)5,2(2-=k b ，b a //，则k =3± 4.2222lim()212121nnnnn →∞++++++＝．2解:原式=().21212lim 1221212lim 1=+-=+--+∞→∞→n n n n n n5.已知数列}{na 的前n 项和27nSn n=-，若第k 项满足912ka <<,则k ＝ ９．６．若函数4y x x =+在],0(a x ∈上存在反函数,则实数a 的取值范围为 ]2,0(.７．已知直线1l 的方程为32+=x y ,若直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 ▲21.8．定义一种运算,运算原理如右框图所示，则cos 45sin15sin 45cos15⊗+⊗= ▲ 21-. 解：︒⊗︒+︒⊗︒75sin 45sin 15sin 45sin.2160cos 15cos 45cos 15sin 45sin 75sin 45sin 15sin 45sin -=︒-=︒︒-︒•︒=︒︒-︒•︒=9.在531x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项中任取一项，若其系数为奇数时得2分,其系数为偶数时得0分，现从中随机取一项，则其得分的数学期望值是 ▲ ．43 解：r r rrr r xC xxC T34553551---+=•=,其系数分别为：1,5,10,10,5,1554535251505======C C C C C C 。
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当x
2 1 时， 原式=
2 2 ………………………………2 分 2
20．解：由（1）得 x 4 ；由（2）锝 x 1 ……………………………………4 分 所以原不等式组解集为 4 x 1 ………………………………………2 分 在数轴上表示为：
[来源:学 科网 ZX XK][来 源:Z#x x#k.Co m]
6．已知两个同心圆的圆心为 O，半径分别是 2 和 3，且 2＜OP＜3，那么点 P 在 （A）小圆内； （B）大圆内； （C） ）小圆外大圆内； （D）大圆外．
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
2
7. 已知
a c 2 ac （ b d 0) ，则 __▲_. b d 5 bd
▲ .
8．因式分解： x 2 4 xy
9．方程 3 2 x 1 的解是___▲___ ． 10．已知关于 x 的方程 x 2 x m 0 有两个相等的实数根，那么 m=__▲__ ． 11．如果反比例函数的图像经过点（1，-3） ，那么这个函数的解析式为 ▲ ．
2 2
12．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外 其它都一样，现从中任意摸出 一个球，摸出绿球的概率是 ▲ ． 13．某人在高为 h 的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为 60°，那么这个观察点到建筑 物的距离为 ▲ ． （用 h 来表示） 14．在□ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O， AB a ， AD b ，那么 AO = ▲ （用 a 和 ． b 表示） 15．从多边形一个顶点可作 9 条对角线，则这个多 边形内角和为 ▲ 度．
C
（第 23 题图）
4
24． （本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）①小题 4 分，第（2）②小题 5 分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直角梯形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，CB∥OA， OC=4， BC=3，OA=5，点 D 在边 OC 上，CD=3，过点 D 作 DB 的垂线 DE，交 x 轴于点 E． （1）求点 E 的坐标； C （2）二次函数 y x bx c 的图象经过点 B 和点 E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴； ②如果点 M 在它的对称轴上且位于 x 轴上方， 满足 S CEM 2S ABM ，求点 M 的坐标． D O E
2 4 8
2 4 8
2011.4
2
6
2
3
a ； 2
（C） ） a ；
2
（D ） a 4 ．
2
[ 来源:学科网]
3．用换元法解分式方程 于 y 的整式方程是 （A） y y 1 0 ；
2
x 2 1 2x 2 x2 1 1 0 ，如果设 y ＝ ，那么原方程可化为关 x2 x2 1 x2
16．在空中，自地面算起，每升高 1 千米，气温下降若干度（℃） ．某地空中气温 t（℃）与 高度 h（千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 h= ▲ 千米时，气温为 6（℃） ． t ( ℃) 24 A 4
(第 16 题图)
D
E G O
C F B
h（千米）
(第 17 题图)
17．如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么 AD= ▲ ． 18．在矩形 ABCD 中，AD=4，对角线 AC、BD 交于点 O，P 为 AB 的中点，将△ADP 绕点 A 顺时针旋转，使点 D 恰好落在点 O 处，点 P 落在点 P/处，那么点 P/与点 B 的距离为 ▲ ．
（第 24 题图）
2
y B
A
x
25． （本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分） 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D 是 BC 边上一点，CD=3，点 P 在边 AC 上（点 P 与 A、C 不重合） ，过点 P 作 PE// BC，交 AD 于点 E． （1）设 AP=x，DE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时，求 DPE 的正切值； （3）将△ABD 沿直线 AD 翻折，得到△AB/D，联结 B/C．如果∠ACE=∠BCB/，求 AP 的值． A
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
……………………………………………4 分 21．解：过 A 作 AE⊥BD 于 E， ∵AB=AD， ∴BE=DE=
1 BD ………………………………………………2 分 2
在 Rt△ABE 中， ∵AB=10，cos∠ABD= Rt△BCD 中， ∵∠C=90°，BD=8，∠BDC=60°∴BC= 4 3 22.(1)35；……2 分 （2）40%；……2 分 ……………………………4 分
2
[来源:Z§xx§k .Com]
9 3b c 4 b 6 ,解之得 ………………2 分 1 b c 0 c 5
二次函数的解析式为 y x 2 6 x 5 ，………1 分 对称轴为直线 x 3 …………………1 分
C
B
D O E F A x
1
2011 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学试卷
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟）
考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出 证明或 计算的主要步骤． 一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分 ，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中， 有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1．下列计算中，正确的是 （A） x x x ； （ B） ( x ) x ； （C） 2 x 3 x 5 x ； （D） x x x ． 2．下列各式中，最简二次根式是 （A） 8a ； （B）
[ 来源:学, 科,网 Z,X,X,K]
A
P
E
C
（第 25 题图）
D
B
C
备用图
D
B
5
2011 年松江区初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准
2011.4 一、选择题 1、B ； 2、D； 3、B； 4、C； 5、A ； 6、C． 二、填空题 7、
2 3 1 ； 8、 x( x 4 y ) ； 9、 x 1 ； 10、 1 ； 11、 y ； 12、 ； 5 x 3
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
21．(本题满分 10 分) 如图，已知在四边形 ABCD 中，∠C=90°，AB= AD=10， D C
x
2 cos∠ABD= ， ∠BDC=60°．求 BC 的长． 5
A
（第 21 题图）
B
22． （本题满分 10 分，第（1）题 2 分，第（2）题 2 分，第（3）题 2 分，第（4）题 4 分） 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学 举行了一次“环保知识竞赛” ，并从中随机抽取了部分学 生成绩（得分取整数，满分为 100 分）为样本，绘制成 14 人数
2 ，∴BE=4，∴BD=8， ………………………………4 分 5
（3） 80 ~ 90 .……………2 分
（4）23；644………………4 分 23.（1）证明：∵点 O 为边 AC 中点，∴AO=CO ………………………………1 分 又∵CE∥AB，∴∠DAC=∠ECA，∠ADE=∠CED…………………………2 分 ∴△ADO≌△CEO，∴OD=OE …………………………………………………2 分 ∴四边形 ADCE 为平行四边形 …………………………………………………1 分
13、
3 1 1 h ； 14、 a b ； 15、1800； 16、3； 17、3； 18、6． 3 2 2
三、解答题
19．解:原式=
x3 ( x 1) 2 1 ………………………………6 分 ( x 1)( x = …………………………………………………2 分 x 1 x 1 x 1
6
（2）当四边形 ADCE 为菱形时，AD=BD， ………………………………………1 分 ∵四边形 ADCE 为菱形，∴AD=CD，∴∠BAC=∠ACD ……………………2 分 ∵∠BAC+∠B=90° ，∠BCD+∠ACD=90°， ………………………………1 分 ∴∠B=∠BCD，∴CD=BD，∴AD=BD…………………………………………2 分 24. 解： （1）∵BC∥OA，∴BC⊥CD，∵CD=CB=3，∴∠CDB=45° …………1 分 ∵BC⊥CD，∴∠ODE=45°, ∴OE=OD=1，∴E（1，0）…………………2 分 （2）①易知 B（3，4） ，由（1）得 E（ 1，0） y 二次函数 y x bx c 的图象经过点 B 和点 E．
（B） y y 2 0 ； （D ） y y 2 0 ．
2
2
（C） y 2 y 1 0 ；
2
4．无论 m 为任何实数，直线 y x 2m 和 y x 4 的交点不可能在 （A）第一象限； （B）第二象限； 5．下列命题中，错误的是 （A）有一个角是直角的平行四边形是正方形； （B）对角线相等的菱形是正方形； （C）对角线互相垂直的矩形是正方形； （D）一组邻边相等的矩形是正方形． （C） ）第三象限； （D）第四象限．
三、解答题： （本大题共 7 题，满分 78 分） 19． （本题满分 10 分） 先化简，再求值：