高考数学第二轮复习 立体几何教学案

∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF= S,
V1= h(S+ S+ )= Sh
V2=Sh-V1= Sh，
∴V1∶V2=7∶5。
10.解：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。
在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∵AE⊥平面SBC，又SB 平面SBC， ∴AE⊥SB.
∴AE= A—SC—B的大小为arcsin
12.（Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G。
如图所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，
∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.
∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。
点评：对于立体几何问题，新课标更注重将其视为认识空间的一种方式方法，因此对于立体几何问题要重点关注其构图方式，因此，我们要特别重视空间重点线面的构成方式，可以是三视图还原位直观图，也可以是折叠问题，当然也可以是直接两个面的构成.
检测评估：
1．一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为450，，腰和上底的长均为1的等腰
∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得 =2r,∴r= a。
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
∴P、O、O′共线，球的半径R= 。又PO′= = = a，
∴OO′=R － a=d= ,(R－ a)2=R2– ( a)2，解得R= a,
考点扫描：
1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。
2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。
3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。
4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。
考题先知：
∴PG= （b－d），又B1G=h，∴tanB1PG= （b＞d），
∴∠B1PG=arctan ，即所求二面角的大小为arctan .
（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，
又CD是面ABCD与面CDEF的交线，
∴AB∥面CDEF。
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，
∴AB∥EF。
点评：以空间图形为背景的轨迹问题，有机的将解析几何与立体几何结合在一起，能培养学生的空间想象能力与运算能力。
例2．已知直三棱柱 中， ,点N是 的中点，求二面角 的平面角的大小。
解法1利用平面的法向量求二面角。以 为原点，以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图1）。依题意，得 .于是 .
设 为平面 的法向量，则由 ,得 ，
，可取 。同理可得平面 的一个法向量 >
由 ，知二面角 的平面角的大小为 。
评注：若二面角 的两个平面 的法向量分别为 ，则由 可求得二面角 的大小。
解法2利用异面直线所成角求二面角。
建立空间直角坐标系同上，过A、N分别作 的垂线AE、NF，垂足为E、F，则二面角 的平面角大小为 .
梯形，那么原四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．异面直线a,b所成的角为 ,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60 ，则 的取值可能是（ ）
A．30 B．50 C．60 D．90
3．下面的集合中三个元素不可能分别是长方体(一只“盒子”)的三条外对角线的长度(一条
外对角线就是这盒子的一个矩形面的一条对角线)是( )
解由题意可知，以A为坐标原点，AB、AQ（Q为CD的中点）、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系。设P的坐标为 ，P在平面ABCD内的射影为 ，由题意可知 即 即点P到直线 的距离为 ,
故点P在以 为轴，底面半径为 ，高为2的圆柱面上。又 ,所以P的轨迹为圆柱面的 , 因此，所求的面积为 .
7．解：因运动过程中水始终是矩形，且水柱部分始终与空柱部分分别与中心O成中心对称。所以（1）（2）（3）（4）均正确。
8．解：当 时， ；当 时， ．提示： ， ．沿BD折起，∠AOC是二面角的平面角 ，BD=AB=AD=a，故OA=OC= a，d=OA ．因为 ，所以当 时， ；当 时， ．
9.解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。
∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD。
（Ⅲ）V估＜V。
证明：∵a＞c，b＞d，
∴V－V估=
= ［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］
= （a－c）（b－d）＞0。
∴V估＜V。
第2课时 空间向量
考纲指要：
在立体几何中，以多面体和旋转体为载体，空间向量为运算技巧，解决有关线面位置关系的论证，角与距离的探求。
（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；
（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V= （S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）
考点扫描：
1．两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
2．点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；
3．平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；
考题先知：
例1．如图，设直四棱柱 所有的棱长都为2， ，动点P在四棱柱内部，且到顶点A的距离与它到底面ABCD的距离的平方差为2，求动点P的轨迹（曲面）的面积。
例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。
解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。
证明：如图，设四面体P-ABC的内切球的球心为O，过O作截面DEF交三条棱于点E、D、F，记内切圆半径为r,则r也表示点O到各面的距离，利用体积的“割补法”知：
=
= ，从而 。
例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？
（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC中， ，
，以∠BAC为例。
解：（1）记Rt△ABC，∠BAC=900， 记直角顶点A在平面上的正投影为A1，，且AA1= ，则因为 ，所以∠BA1C为钝角，即直角在平面内的正投影是钝角；
A、 . B、 . C、 . D、 .
4．在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球的球心O，且与BC、DC、分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与A-EFC的表面积分别为S1、S2，则必有（ ）
A．S1 S2B．S1 S2C．S1=S2D．无法判断
5．在一个棱长为4的正方体内，你认为能放入几个直径为1的球（ ）
（2）原猜想错误。对于△ABC， ，记直角顶点A在平面 上的正投影为A1，设AA1= ，则 ，令∠BAC=∠BA1C，则由余弦定理得：
= ，解之得： ，即当点A离平面 的距离是 时，∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C等于它本身；
若取 ，则 ，从而 ，
，可知∠B A1C ∠BAC，即∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C小于它本身。
A．64 B．65 C．66 D．67
6．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的正投影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。则命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
7．水平桌面儿上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD—A1B1C1D1，其中装有 V的水。
（1）把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中水的形状始终是柱体；（2）在（1）中的运动过程中，水面始终是矩形；（3）把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内的一个定点；（4）在（3）中水与容器的接触面积始终不变。
复习智略：
例3．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图与左视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形。
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.
点拨与全解：
1．解：由题意得原四边形是一个上底为1，下底为 ，高为2的直角梯形，所以其面积等于 ，故选A。
2．解：过点O分别作 ∥a、 ∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60 ，等价于过点O有三条直线与 所成角都为60 ，其中一条正是 角的平分线。从而可得选项为
C。
３．B提示：令a，b，c(a≤b≤c)表示长方体三条边的长度.p，q，r(p≤q≤r)表示三个对角线的长度.由勾股定理,得 , , .
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何
第1课时 直线、平面、空间几何体
考纲指要：
立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。
则 ＜ .经验证,只有 不满足这个关系.
4．解：参考例1可知：选C。
5．解：第一层放16个球；第二层在空档中放9个球，使每个球均与底层的16个球中的4个球相切；第三层再放16个球；第四层又放9个球；第五层再放16个球，这样共放了66个球，且五层球的高度为 ，故选C。
6．答：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）。这是因为要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的正投影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。
∴S球=4πR2=3πa2。
11．（1）画出示意图，其中，SA=
（2）∵SC⊥平面AEFG，A又AE 平面AEFG，∴AE⊥SC，∵SA⊥平面BD，又BC 平面BD，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SBC，∴AF在平面SBC上射影为EF.
由三垂线定理得∠AFE为二面角A—SC—B的平面角，易得AF=
11.如图所示的一组图形为某一四棱锥S—ABCD的侧面与底面，
(1)请画出四棱锥S—ABCD的示意图，使SA⊥平面ABCD，并指出各侧棱长；
（2）在（1）的条件下，过A且垂直于SC的平面分别交于SB、SC、SD于E、F、G.
（3）求（1）（2）的条件下，求二面角A—SC—B的大小.
12．如图1，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。
分析：本题的构图Fra Baidu bibliotek式是通过三视图来给出，并且更为重视对空间几何体的认识.
解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD=6，故所求体积是
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1-ABCD，D1-BB1C1C，D1-BB1A1A组成。其拼法如图2所示.（Ⅲ）因△AB1E的边长AB1= ，B1E= ，AE=9，所以 ，而 ，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值= 。
以上说法正确的是_____.
8.将锐角A为60°，边长a的菱形ABCD沿对角线BD折成二面角 ，已知 ，则AC、BD之间的距离的最大值和最小值．
9．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。
10．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是。