第11章数学活动平面镶嵌
人教版初中数学课标版八年级上册第十一章数学活动平面镶嵌共15张
360°÷90°=4
360°÷120°=3
探究一：
（四）用边长相等的正五边形能否镶嵌？
？
360°÷108°=？
探究一：
问题3.满足什么条件的边长相等的正多边形能镶嵌呢？ 1.相邻的多边形有公共边。 2.正多边的内角可以被 360°整除。
问题4.根据上面的条件，能单独用边长相等的正八边 形镶嵌吗？为什么？（正八边形每个内角是 144°）
拼了很久，都没办法 将地板铺好。
探究三：
这时，白雪公主提议：我们可以再用
和
或者
和
再多试一试，也许就成功啦！
是啊！我一块也搬 不动了，这可怎么 办，你们有什么好 办法吗？
可是，我们还没吃午饭， 每个人只能抬起一块地 砖哦！有没有办法一次 性就拼对呢？
活动：小小设计师
（1）四人一小组，打开黄色袋子，里面有好多 好多美丽的图形哦！开动脑筋，发挥自己的想象 力，你能用这些美丽的几何图形镶嵌吗？ （2）老师会从你们镶嵌的图案中，选取最漂亮 的三张，贴在黑板上。 （3）最后，每位同学都可将你手中的“赞”送 给自己最喜欢的那幅图案，赶紧来试一试，看看 自己的作品在“朋友圈”里会得到多少个“赞” 吧！
问题5.互相讨论，还能找到能单独用一种图形镶嵌的 其他正多边形60°
60°
60°
90° 90° 90° 90°
120°
120° 120°
正三角形
正方形
正六边形
探究二：
问题1.同桌合作， 打开蓝色袋子 ，有哪些我们常见的 几何图形？它们的内角有什么关系？
问题2.同桌合作，你们能用其中形状相同的三角形镶 嵌吗？如果能，请把结果贴在白纸上。
问题3.你能解释形状相同的任意三角形，在内角度数 不确定的情况下，为什么可以镶嵌呢？
数学活动 镶嵌
B 、3个正三角形和2个正方形可以进行镶嵌；
C、2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以 进行镶嵌；
D、2个正方形、1个正三角形和1个正六边形可以进行镶嵌.
只有选择正方形和正六边形时，不能镶嵌成一个平面图案，答案为A.
五边形三个内角的 和为324°
探究2：
你能设计出由两种正 多边形组合在一起的平面 镶嵌图案吗？
正六边形
正三角形
边长 相等
活动2：
用边长相等的正三角 形和正六边形进行平面镶 嵌，你能拼出几种不同的 图案？
正三角形与正方形
还有没有其他的两种多边形组合镶 嵌的形式呢？
+
+
如果允许用三种正多 边形组合起来镶嵌,由哪几 种正多边形能够做到呢？
能否镶嵌与
360
有关吗？
若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。 一个内角的度数
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360 .
正多边形 能否 平面 镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
正三角形
能
6
正四边形 能
4
正五边形 不能
正六边形
能
3
360°
下列拼图是镶嵌吗？
有缝隙
有重叠
第十一章 数学活动
平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多 边形把平面的一部分完全覆 盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面（或平面镶 嵌）的问题.
探究1： 如果只允许选 择一种正多边形进 行平面镶嵌，有哪 几种正多边形能镶 嵌成一个平面图案？
自主探究、合作交流
探究1：用一种正多边形进行平面镶嵌 （1）用同一种正三角形可以吗？
正三角形 正方形
人教版八年级数学活动第11章------平面图形的镶嵌
活动一、用同一种正多边形 镶嵌平面
分别用同种正三角形、正方形、正 六边形、正五边形试一试镶嵌平面， 你都能做到吗？
同种型号的正三角形的镶嵌
同种型号的正方形的镶嵌
同种型号的正六边形的镶嵌
同种型号的正五边形能镶嵌平面吗？为什么？
思考：同种型号的正多边形 能密铺的条件？
活动二：同一种“任意三角形”镶嵌平面
活动三：同一种“任意四边形”镶嵌平面
通过活动，你有什么结论？
考题展示
1、下列同种型号的多边形不能 进行平面镶嵌的是（ ） A、三角形 B、正方形 C、正五边形 D、六边形
2、用边长相等的正三角形和正 方形能否进行平面镶嵌？
小结：（说一说）
1 、通过今天的数学实践活动你有什么 收获和启示？
2、你还有哪些困惑和通过网络认识一 下：用几种多边形镶嵌平面； 还可以了解一下用同种“不规则” 图形镶嵌平面的图片。
两种图形的镶嵌
几种图形的镶嵌
“不规则图形”的镶嵌
课外应用
☆ 生活中离不开图形！我们可以利 用平面图形的镶嵌认识、设计图形！
★ 你能用图形知识为班旗的设计或 环保时装的设计贡献你的智慧吗？如 果你有设计思路，可以交上来给数学 老师或班主任了，在下节课前与大家 分享一下！
八年级数学上
人教版八年级上册
学习目标
1 、通过卡片制作锻炼学生作图能 力和图感。 2 、通过活动探究多边形镶嵌平面 的规律！培养同学“做数学”的意 识和习惯。
3、通过小组活动培养合作意识。
§11数学活动--平面图形的镶嵌
一、阅读P26页，交流：什么叫做平面图形 的镶嵌？ 1、用一些不重叠摆放的多边形把平面的 一部分完全覆盖叫做用多边形覆盖平面 （或平面镶嵌），也叫平面图形的密铺。 2、用同一种平面图形覆盖平面也叫同种 图形的平面镶嵌，或同种图形的密铺。
人教版八年级数学上册 平面镶嵌
正三角形
能
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
图形
一个顶点周围正
多边形的个数
3
规律总结
只用一种正多边形镶嵌有哪几种情形？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：
这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
镶嵌的条件是？
数学道理
正多边形
的边数n
3
4
5
6
7
8
9
10
12
每个内角
的度数
60
90
108
120
135
9
10
12
每个内角
的度数Βιβλιοθήκη 6090108
120
135
140
140
144
150
解不定方程 + = ，其中，是正多边形每
个内角的度数，，是对应正多边形的个数.
问题4
用三种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面？
（1）正三角形、正方形和正六边形的组合
120°+90°+90°+60°=360 °
第十一章 三角形
数学活动
平面镶嵌
图案欣赏
图案欣赏
图案欣赏
从数学的角度看，用一些不重叠摆放的多边形把平面
的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
问题1
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能
镶嵌成一个平面？
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
尝试拼图
列表总结
正多边形
能否平
面镶嵌
120°+60°+60°+60°+60°=360°
数学人教版八年级上册第11章数学活动平面镶嵌(教案)
总之，今天的课堂让我收获颇丰，既看到了学生的进步，也发现了教学中需要改进的地方。在今后的教学工作中，我将不断反思、总结，努力提升自己的教学水平，为同学们提供更优质的教学服务。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平面镶嵌的种类和判断方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平面镶嵌相关的实际问题，如：如何用正三角形、正方形和正六边形进行镶嵌。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生将使用纸质图形进行实际镶嵌，观察不同图形的镶嵌效果。
-难点二：计算进行平面镶嵌时所需图形的数量。学生需要理解每个顶点处内角的和以及多边形边数与镶嵌图形数量的关系。
-难点三：设计具有美感的镶嵌图案。学生需要运用几何图形的对称性、周期性等美学原则，创造出美观的镶嵌图案。
举例：
-难点一：以正五边形为例，解释为什么不能单独进行平面镶嵌，因为其内角和不为360°，需要结合其他图形一起镶嵌。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对平面镶嵌的概念和种类表现出浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过提问日常生活中遇到的镶嵌实例，学生们迅速进入了学习状态，这让我感到很高兴。然而，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，在新课讲授环节，虽然我尽量用简洁明了的语言解释平面镶嵌的概念，但仍有部分同学在理解上存在困难。我意识到，对于这部分同学，可能需要更多具体的例子和直观的演示来帮助他们理解。在今后的教学中，我会尝试运用更多实物模型或互动式教学手段，以提高学生的理解程度。
人教版数学八年级上册 11.4 数学活动 -平面图形的镶嵌 课件(共45张PPT)
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
人教版初中数学2011课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌(共20张PPT)
探究1：同一种正多边形的镶嵌
利用学具，动手试一试，下列正多边 形能否镶嵌平面?
正方形
90°
正三角形 60°
当正多边形的每个内角的度 数满足什么条件时，可以镶 120° 嵌平面？ 正六边形
探究3
因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌成平 面图案。
1
4 3 1 2 2 1 3
3
4 3
1
2
4
不动手操作，你知道任意三角形能镶 嵌成一个平面图案吗？
1
2 3
1 1
3
2
2 3
1
3
2 2 3
1 1
3
2
1
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
任意三角形能镶嵌成平面图案。
1个正六边形 4个正三角形
2个正三角形
三、反思与小结
拼接在同一个点的各个角的和恰好等 于360度
作业
历史资料：
用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载 这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。
四、作业
1、边长相等的正八边形和正方形，是否能够镶 嵌成平面？为什么？ 2、(选做）下列正多边形（边长相等）的组合中 ，能否镶嵌平面？ • （1）正六边形、正三角形和正方形 • (2)正方形、正六边形和正十二边形
共同特征： 3个正三角形和 60° 2个正方形 90°
60°× 3 +90°× 2 = 360°
八年级数学上册《镶嵌》
课题学习：镶嵌
生活中的平面镶嵌
平面镶嵌
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问 题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
注意：1、不重叠 2、无缝隙
自主探究、合作交流
探究1：用一种正多边形进行平面镶嵌 （1）用同一种正三角形可以吗？
k
360 (n 2) 180
360
(n
n 2) 180
2n n2
n
因为k为大于等于3的正整数，所以 解只有三组：
2n 3，解得
n2
n 6 ，易得到它的整数
n 3,n 4,n 6 k 6,k 4,k 3
结论：用同一种正多边形进行平面镶嵌只有三种情况： 正三角形、正方形、正六边形.
能否镶嵌与
360
有关吗？
若不是整数倍，则不能进行平面镶嵌。 一个内角的度数
进行平面镶嵌的关键：
拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360 .
思考：用同一种正多边形进行平面镶嵌共有几种情况呢？能不能用数学 式子来论证一下呢？
设用同一种正n边形进行平面镶嵌时，在一个拼接点处有k个正n边形， 则有：
D、2个正方形、1个正三角形和1个正六边形可以进行镶嵌.
只有选择正方形和正六边形时，不能镶嵌成一个平面图案，答案为A.
归纳：用两种正多边形进行镶嵌时，先求出两种正多边形的每个内角，设 两种正多边形的每个内角分别为 m和 n，需要这样的两种正多边形的个数 分别为 x 个和 y个时，则需要满足：
m x n y 360
说明:(1)多边形的镶嵌方式有两种，①有些图案中的多边形的顶
人教版数学八年级上册第11章：﹡数学活动 平面镶嵌
《平面镶嵌》教案【教材解析】《平面镶嵌》是人教版八年级上册第十一章数学活动课内容.本节课由生活中存在的大量平面镶嵌图案来引入平面镶嵌的定义，然后以多边形内角和、正多边形的性质，以及二元一次方程为基础，探究一种正多边形平面镶嵌，两种正多边形平面镶嵌，及一种任意多边形的平面镶嵌这三个问题.本节课意在让学生经历对生活中平面图形镶嵌的观察、实验操作、分析、欣赏等过程，初步掌握简单平面镶嵌的的规律，让学生历经从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，以此提高数学思维能力.【教学目标】1.通过观赏图片学习平面镶嵌的定义，并通过观察镶嵌的图形归纳平面镶嵌的条件；2.会辨别可以镶嵌的特殊图形或一般图形，能用两种或两种以上正多边形进行平面镶嵌；3.在探索图形镶嵌条件的过程中，渗透由特殊到一般和方程的思想；4.在活动中经历观察、操作、交流等过程，培养学生协作能力和审美能力，激发学生的创造性思维，让学生感受数学与实际生活的紧密联系.【教学重点】掌握正多边形平面镶嵌的条件，能用两种常见的正多边形进行简单的平面镶嵌，了解可以镶嵌的任意多边形有哪些.【教学难点】通过构建方程归纳两种正多边形镶嵌的条件.【学情分析】八年级学生，思维活跃，求知欲强，有一定的独立思考问题的能力.在本节课之前，学生已经学习了多边形内角和、正多边形的性质等相关知识。
而通过镶嵌的学习，学生可以进一步丰富对图形的认识和感受，且通过动手操作，合作探究等过程，加深学生对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升到理性认识.【教学思路】创设情景----探究新知----小结反思----练习巩固.【教学过程】一、赏图获新知.1、课件展示埃舍尔版图《飞鸟与鱼》，引入平面镶嵌的课题.提问：从图中能看到什么？它们在位置关系上有什么特征？2、观察生活中的平面镶嵌，给出定义：用一些封闭的平面图形把一块平面既无空隙，又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌.3、课件展示动画拼图，巩固平面镶嵌的定义.提问：观察以下几组图案，哪组是平面镶嵌？哪组不是？为什么？3、观察公共顶点处的各个角，归纳平面镶嵌的条件：每个顶点处的角度和为360度.【设计意图】创设生活中的实际情境，用以激发学生的学习热情和求知欲，并引出课题，给出定义.再通过观察观反例与平面镶嵌图案的区别，加深对镶嵌定义的理解.最后，通过观察公共顶点处的各角度的数量关系，得出图形平面镶嵌的条件，培养学生的观察、归纳、和概括能力.二、拼图探规律.活动要求：1、三人一组；2、准备好正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形、任意全等三角形、任意全等四边形各若干个；3、合作拼图、展示交流；4、记录数据，探索规律.活动一：用一种正多边形的平面镶嵌.学生分小组，分别用正三角形、正方形、正五边形、正六边等多边形进行平面镶嵌，并记录镶嵌时各内角度数的数量关系.指名小组通过手机希沃软件，直接在电子白板上展示拼图的成果，并讲解镶嵌的过程以及得出的结论.归纳：一种正多边形镶嵌的条件：正多边形每一个内角的度数能整除360度.【设计意图】学生通过实验操作，更直观的感受哪些正多边形可以进行平面镶嵌，哪些不行。
人教版数学八年级上册第11章：﹡数学活动 平面镶嵌
《平面镶嵌》教案【教材解析】《平面镶嵌》是人教版八年级上册第十一章数学活动课内容.本节课由生活中存在的大量平面镶嵌图案来引入平面镶嵌的定义，然后以多边形内角和、正多边形的性质，以及二元一次方程为基础，探究一种正多边形平面镶嵌，两种正多边形平面镶嵌，及一种任意多边形的平面镶嵌这三个问题.本节课意在让学生经历对生活中平面图形镶嵌的观察、实验操作、分析、欣赏等过程，初步掌握简单平面镶嵌的的规律，让学生历经从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，以此提高数学思维能力.【教学目标】1.通过观赏图片学习平面镶嵌的定义，并通过观察镶嵌的图形归纳平面镶嵌的条件；2.会辨别可以镶嵌的特殊图形或一般图形，能用两种或两种以上正多边形进行平面镶嵌；3.在探索图形镶嵌条件的过程中，渗透由特殊到一般和方程的思想；4.在活动中经历观察、操作、交流等过程，培养学生协作能力和审美能力，激发学生的创造性思维，让学生感受数学与实际生活的紧密联系.【教学重点】掌握正多边形平面镶嵌的条件，能用两种常见的正多边形进行简单的平面镶嵌，了解可以镶嵌的任意多边形有哪些.【教学难点】通过构建方程归纳两种正多边形镶嵌的条件.【学情分析】八年级学生，思维活跃，求知欲强，有一定的独立思考问题的能力.在本节课之前，学生已经学习了多边形内角和、正多边形的性质等相关知识。
而通过镶嵌的学习，学生可以进一步丰富对图形的认识和感受，且通过动手操作，合作探究等过程，加深学生对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升到理性认识.【教学思路】创设情景----探究新知----小结反思----练习巩固.【教学过程】一、赏图获新知.1、课件展示埃舍尔版图《飞鸟与鱼》，引入平面镶嵌的课题.提问：从图中能看到什么？它们在位置关系上有什么特征？2、观察生活中的平面镶嵌，给出定义：用一些封闭的平面图形把一块平面既无空隙，又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌.3、课件展示动画拼图，巩固平面镶嵌的定义.提问：观察以下几组图案，哪组是平面镶嵌？哪组不是？为什么？3、观察公共顶点处的各个角，归纳平面镶嵌的条件：每个顶点处的角度和为360度.【设计意图】创设生活中的实际情境，用以激发学生的学习热情和求知欲，并引出课题，给出定义.再通过观察观反例与平面镶嵌图案的区别，加深对镶嵌定义的理解.最后，通过观察公共顶点处的各角度的数量关系，得出图形平面镶嵌的条件，培养学生的观察、归纳、和概括能力.二、拼图探规律.活动要求：1、三人一组；2、准备好正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形、任意全等三角形、任意全等四边形各若干个；3、合作拼图、展示交流；4、记录数据，探索规律.活动一：用一种正多边形的平面镶嵌.学生分小组，分别用正三角形、正方形、正五边形、正六边等多边形进行平面镶嵌，并记录镶嵌时各内角度数的数量关系.指名小组通过手机希沃软件，直接在电子白板上展示拼图的成果，并讲解镶嵌的过程以及得出的结论.归纳：一种正多边形镶嵌的条件：正多边形每一个内角的度数能整除360度.【设计意图】学生通过实验操作，更直观的感受哪些正多边形可以进行平面镶嵌，哪些不行。
人教版八年级数学上册第11章数学活动镶嵌课件
结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说你的理解吗？
（1）用于拼接的图案都是平面图形； （2）拼接处没有空隙，没有重叠的现象； （3）铺成的图案把一个平面完全覆盖.
想一想
铺地板的学问
砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面全部覆盖不重叠.
❖平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形
正六边形
你还能找到能镶嵌的其他正 多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种 正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正 六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶 嵌．
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨论
60°
150° 150°
3
1
2
4 3
1
2
探究3：
用几个形状、大小相同的任意三 角形能镶嵌成一个平面图案吗？四 边形呢？
2 31
3
1
2
3
1
2
3
1
2
23
1
1
32
23
1
3
1
2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180° ∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
所以 任意三角形能镶嵌成平面图案
2 34
1 43
1
2
4
把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边 形覆盖平面或平面镶嵌.
利用镶嵌可以得到一些绚丽 多彩的图案
探究1：仅用一种正多边形镶
嵌，哪些正多边形能单独镶嵌成 一个平面图案？
（1）用边长相同的正三角形能否镶 嵌？