利用动量矩定律可以导出水轮机的基本方程
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水流与叶片相互作用，使得水轮机做功。水流通过 水轮机时，叶片迫使水流动量矩发生变化，而水流 以反作用力作用在叶片上，从而使转轮获得力矩。
水能转变为旋转机械能的必要条件：水流在转轮出 口的能量小于进口处的能量，即转轮的进口和出口 必须存在速度矩的差值。
1.3 水轮机的效率及最优工况
作用在转轮流道 内全部水流质点 上的外力矩总和。
公式左边为单位时间内水流质量对水轮机主轴的动 量矩变化。实际为水流质量在转轮出口与进口间的 动量矩的差值。
13
1、微小流束的动量矩变化率
• 在水轮机流道内取一微小流束 • t时刻：微小流束在[1-2]的位
置； • t+dt时刻：微小流束流到1’-2’
为了研究问题的方便，工程上一般作如下假定： 假定叶片无限多、无限薄。这样可以认为转轮中
的水流运动是均匀、轴对称的。显然在此假定下， 流线也就和骨线的形状完全一致。（叶片翼形断 面的中心线称为骨线） 假定水流在进入转轮之前的运动是均匀的、轴对 称的。 假定水轮机在所研究的工况下保持稳定运行，即 水轮机的特征参数（H、Q、N、n）保持不变，从 而水流在水轮机各过流部件中的运动均为恒定流 动。 忽略水流的粘性：可认为这些流面之间是互不干 扰的。
它说明水流在转轮中进行能量交换是由转轮进出口速度 矩的改变来实现的。
又，水轮机的有效功率可表示为：
2019/7/23
18
在上述方程中，消去 得到水轮机基本方程：
Vu1
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速度环量
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二、基本方程的物理意义
方程的实质：由水流能量转换为旋转机械能的平衡 方程，方程左边为转换成的机械能。
速度分解的目的是为了讨论水轮机基本方程时应用动量矩定
律。
Z
圆周面
z
轴面
r
u 流面
9
速度三角形在流面的切面上的分解
流面上的任一点的速度三角形均在流面的该点切面
上，可分解为
Z
流面的切面上的速度分解
圆周面
z
轴面
r
u 流面
Vm：为流面上绝对速度的轴面分量 Wm：为流面上相对速度的轴面分量
10
速度三角形空间分解:只有Vu对主轴有速度矩
• 外力矩有：
•转轮叶片对水流的作用力矩
•重力矩：重力的合力与主轴重合，对主轴不产生 矩
•压力矩：上冠下环对水流的压力，对主轴而言是 对称的，合力与主轴平行，故也不产生矩
•摩擦力矩：数值很小可忽略，摩擦力所产生的水 头损失将在水轮机水力效率中体现。
16
4、外力对主轴的力矩总和等于叶片对水流的作用力矩 则
4
流面:水流轨迹线所在的喇叭形曲面 轴面:通过轴线的平面
水流质点运动: 沿着喇叭形空间 曲面(流面)而作 螺旋型曲线运动, 其轨迹是流面上 的螺旋线。
流面:某一流线 线饶主轴旋转而 成的回旋曲面。 整个流道中有无 数个这样的流面。
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轴面:转轮的旋转中心线与经过考 察点的径向线所构成的平面。
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水流质点速度可分解,绝对速度为相对速度和牵连速度 之和（速度三角形）
• 水流质点的速度分解 为相对速度W、牵连 速度U和绝对速度V， 构成速度三角形。
• 速度三角形的形状、 大小可以由它的两个 边和夹角唯一确定。
• 绝对速度是牵连速度 和相对速度的矢量和
沿流面展开图
6Baidu Nhomakorabea
三、进口速度三角形的形状、大小和参数
V
U
W
Z 圆周面 z 流面
轴面 r u
沿转轮圆周切线方 向的速度 通过轴心，即径向 速度 与水轮机主轴平行的 速度
轴面速度分量
对水轮机主轴均 不产生速度矩
圆周分 轴面分
速度
速度
圆周分 径向分 轴向分 速度 速度 速度
对水轮机主轴产 生速度矩
11
1.2 水轮机的基本方程
水轮机的基本方程（Basic Equation）是描述水 轮机转轮内能量转换的数学方程式，它是水轮机 转轮设计和运行的理论依据。
即
U2 V2
W2
对于某一水轮机，在某一工况下运行时，有一定的 进口速度三角形及与之对应一定的出口速度三角形。
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四、速度三角形的合成与分解
绝对速度由相对速度和牵连速度合成，为了研究问题的方便， 可以将这些速度向不同平面(轴面、流面切面、圆周切面)和 坐标轴(轴向、径向、切向)分解。
α1为V1与U1的夹角，称为V1的 方向角。 β1为W1与U1的夹角，称为W1的 方向角。
大小： 牵连速度U1
方向：切于圆周
大小： 绝对速度V1
方向：沿导叶端部切线方向
7
速度三角形形状和大小取决于直径、转速、水头和开度
从上面的讨论可以知道：进口速度三 角形的形状、大小取决于4个参数的 变化。即
同理可以导出：出口速度三角形的形 状、大小也取决于这4个参数的变化。
利用动量矩定律可以导出水轮机的基本方程。 动量矩定律：单位时间内转轮流道内全部水流的
质量对水轮机主轴的动量矩变化等于作用在该质 量上所有外力对同一轴的力矩总和。 用公式表示为：
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一、水轮机基本方程可由动量矩定理推导出来
转轮流道内所有水流质量的动 量矩总和，其中m、Vu、r分别 表示任一水流质点的质量、圆 周速度和所处位置的半径。
第二章 水轮机的工作原理
1.1 水流在反击式水轮机中的运动
/
一、水流在转轮中的运动是三维复合运动
相对运动、牵连运动 和绝对运动
叶片表面：三维扭曲面 叶道：三维扭曲空间 转轮：绕主轴旋转
所以水流在反击式水轮机 转轮中的运动是一个复杂 的三维空间的复合运动
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3
二、分析水流在水轮机中的运动要作假定
重力矩 压力矩 摩擦力矩 叶片作用力矩
又 所以
又根据作用力与反作用力定律，水流对转轮的作用 力矩M与转轮对水流的作用力矩 在数值上相等而 方向相反。即 故基本方程为
17
5、水流在转轮中进行能量交换是由转轮进出口速度矩 的改变来实现的
该式给出了水流对转轮的作用力矩与水流本身的动量矩 变化之间的关系——水流能量转换为旋转机械能的平衡 关系式。
的位置。
1’ 1 1
1’
22 2’ 2’
14
2、整个流道的动量矩变化
对微小流束在整个流道求和，得整个流道内水体的动量矩 变化
通过水轮机转轮的有效流量 水轮机出口断面圆周分速度 水轮机进口断面圆周分速度 水轮机出口断面矩速度 水轮机进口断面矩速度
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3、外力对轴的力矩总和
• 公式右边为作用在该质量上全部外力对同一轴的力矩 总和
水能转变为旋转机械能的必要条件：水流在转轮出 口的能量小于进口处的能量，即转轮的进口和出口 必须存在速度矩的差值。
1.3 水轮机的效率及最优工况
作用在转轮流道 内全部水流质点 上的外力矩总和。
公式左边为单位时间内水流质量对水轮机主轴的动 量矩变化。实际为水流质量在转轮出口与进口间的 动量矩的差值。
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1、微小流束的动量矩变化率
• 在水轮机流道内取一微小流束 • t时刻：微小流束在[1-2]的位
置； • t+dt时刻：微小流束流到1’-2’
为了研究问题的方便，工程上一般作如下假定： 假定叶片无限多、无限薄。这样可以认为转轮中
的水流运动是均匀、轴对称的。显然在此假定下， 流线也就和骨线的形状完全一致。（叶片翼形断 面的中心线称为骨线） 假定水流在进入转轮之前的运动是均匀的、轴对 称的。 假定水轮机在所研究的工况下保持稳定运行，即 水轮机的特征参数（H、Q、N、n）保持不变，从 而水流在水轮机各过流部件中的运动均为恒定流 动。 忽略水流的粘性：可认为这些流面之间是互不干 扰的。
它说明水流在转轮中进行能量交换是由转轮进出口速度 矩的改变来实现的。
又，水轮机的有效功率可表示为：
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在上述方程中，消去 得到水轮机基本方程：
Vu1
2019/7/23
速度环量
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二、基本方程的物理意义
方程的实质：由水流能量转换为旋转机械能的平衡 方程，方程左边为转换成的机械能。
速度分解的目的是为了讨论水轮机基本方程时应用动量矩定
律。
Z
圆周面
z
轴面
r
u 流面
9
速度三角形在流面的切面上的分解
流面上的任一点的速度三角形均在流面的该点切面
上，可分解为
Z
流面的切面上的速度分解
圆周面
z
轴面
r
u 流面
Vm：为流面上绝对速度的轴面分量 Wm：为流面上相对速度的轴面分量
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速度三角形空间分解:只有Vu对主轴有速度矩
• 外力矩有：
•转轮叶片对水流的作用力矩
•重力矩：重力的合力与主轴重合，对主轴不产生 矩
•压力矩：上冠下环对水流的压力，对主轴而言是 对称的，合力与主轴平行，故也不产生矩
•摩擦力矩：数值很小可忽略，摩擦力所产生的水 头损失将在水轮机水力效率中体现。
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4、外力对主轴的力矩总和等于叶片对水流的作用力矩 则
4
流面:水流轨迹线所在的喇叭形曲面 轴面:通过轴线的平面
水流质点运动: 沿着喇叭形空间 曲面(流面)而作 螺旋型曲线运动, 其轨迹是流面上 的螺旋线。
流面:某一流线 线饶主轴旋转而 成的回旋曲面。 整个流道中有无 数个这样的流面。
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轴面:转轮的旋转中心线与经过考 察点的径向线所构成的平面。
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水流质点速度可分解,绝对速度为相对速度和牵连速度 之和（速度三角形）
• 水流质点的速度分解 为相对速度W、牵连 速度U和绝对速度V， 构成速度三角形。
• 速度三角形的形状、 大小可以由它的两个 边和夹角唯一确定。
• 绝对速度是牵连速度 和相对速度的矢量和
沿流面展开图
6Baidu Nhomakorabea
三、进口速度三角形的形状、大小和参数
V
U
W
Z 圆周面 z 流面
轴面 r u
沿转轮圆周切线方 向的速度 通过轴心，即径向 速度 与水轮机主轴平行的 速度
轴面速度分量
对水轮机主轴均 不产生速度矩
圆周分 轴面分
速度
速度
圆周分 径向分 轴向分 速度 速度 速度
对水轮机主轴产 生速度矩
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1.2 水轮机的基本方程
水轮机的基本方程（Basic Equation）是描述水 轮机转轮内能量转换的数学方程式，它是水轮机 转轮设计和运行的理论依据。
即
U2 V2
W2
对于某一水轮机，在某一工况下运行时，有一定的 进口速度三角形及与之对应一定的出口速度三角形。
2019/7/23
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四、速度三角形的合成与分解
绝对速度由相对速度和牵连速度合成，为了研究问题的方便， 可以将这些速度向不同平面(轴面、流面切面、圆周切面)和 坐标轴(轴向、径向、切向)分解。
α1为V1与U1的夹角，称为V1的 方向角。 β1为W1与U1的夹角，称为W1的 方向角。
大小： 牵连速度U1
方向：切于圆周
大小： 绝对速度V1
方向：沿导叶端部切线方向
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速度三角形形状和大小取决于直径、转速、水头和开度
从上面的讨论可以知道：进口速度三 角形的形状、大小取决于4个参数的 变化。即
同理可以导出：出口速度三角形的形 状、大小也取决于这4个参数的变化。
利用动量矩定律可以导出水轮机的基本方程。 动量矩定律：单位时间内转轮流道内全部水流的
质量对水轮机主轴的动量矩变化等于作用在该质 量上所有外力对同一轴的力矩总和。 用公式表示为：
2019/7/23
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一、水轮机基本方程可由动量矩定理推导出来
转轮流道内所有水流质量的动 量矩总和，其中m、Vu、r分别 表示任一水流质点的质量、圆 周速度和所处位置的半径。
第二章 水轮机的工作原理
1.1 水流在反击式水轮机中的运动
/
一、水流在转轮中的运动是三维复合运动
相对运动、牵连运动 和绝对运动
叶片表面：三维扭曲面 叶道：三维扭曲空间 转轮：绕主轴旋转
所以水流在反击式水轮机 转轮中的运动是一个复杂 的三维空间的复合运动
2019/7/23
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二、分析水流在水轮机中的运动要作假定
重力矩 压力矩 摩擦力矩 叶片作用力矩
又 所以
又根据作用力与反作用力定律，水流对转轮的作用 力矩M与转轮对水流的作用力矩 在数值上相等而 方向相反。即 故基本方程为
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5、水流在转轮中进行能量交换是由转轮进出口速度矩 的改变来实现的
该式给出了水流对转轮的作用力矩与水流本身的动量矩 变化之间的关系——水流能量转换为旋转机械能的平衡 关系式。
的位置。
1’ 1 1
1’
22 2’ 2’
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2、整个流道的动量矩变化
对微小流束在整个流道求和，得整个流道内水体的动量矩 变化
通过水轮机转轮的有效流量 水轮机出口断面圆周分速度 水轮机进口断面圆周分速度 水轮机出口断面矩速度 水轮机进口断面矩速度
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3、外力对轴的力矩总和
• 公式右边为作用在该质量上全部外力对同一轴的力矩 总和