数学：3.3.3《函数的最值与导数》课件(新课标人教A版选修1-1)

已知P为抛物线 为抛物线y=x2上任意一点，则当点 上任意一点， 例3 已知 为抛物线 P到直线 到直线x+y+2=0的距离最小时，求点 到抛 的距离最小时， 到直线 的距离最小时 求点P到抛 物线准线的距离 到直线的距离最小时， 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 到直线的距离最小时 P处的切线斜率为 ，即函数在点 处的导数 处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 处的切线斜率为 于是有： 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1. ， 于是有
在区间[1， 内 例1、求函数 、求函数f(x)=x2-4x+6在区间 ，5]内 在区间 的最大值和最小值 将二次函数f(x)=x -4x+6配方 配方， 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
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例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间 ，5]内的极值与最值 求函数 在区间[1， 内的极值与最值 在区间
函数最值问题. 函数最值问题
在某些问题中， 在某些问题中，往往关心的是函数在整个 定义域区间上，哪个值最大或最小的问题， 定义域区间上，哪个值最大或最小的问题， 这就是我们通常所说的最值问题. 这就是我们通常所说的最值问题
求函数最值的一般方法： 求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数 三今天学习利用导数
练习P106、P107 6 练习
思考、已知函数 在区间[1,5] 思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2， 内的最小值为 ，求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1、曲线 、曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1，0)处的切线的 在点 ， 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) 、函数 的导数为( (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
3、已知过曲线y=x3/3上点 的切线方程为 、已知过曲线 上点P的切线方程为 上点 12x-3y=16，则点 的坐标为 . ，则点P的坐标为 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为 ) 、函数 的减区间为( 的减区间为 (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 5、若函数 的递减区间为( 、若函数y=a(x3-x)的递减区间为 − 的递减区间为
8、如果质点 按规律 、如果质点A按规律 按规律S=2t3运动，则在 秒 运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( 时的瞬时速度为 ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知 、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为 ， 的极大值为6， 的极大值为 那么a等于 等于( 那么 等于 ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为 ) 、函数 的极大值为( 的极大值为 (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
解法二、 解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 ， ， x 1 （1，2） 2 （2，5） ， ） ， ） y， y 3
5
-
0 2
+
11
故函数f(x) 在区间 ，5]内的极小值为 ， 在区间[1， 内的极小值为 内的极小值为3， 故函数 最大值为11，最小值为2 最大值为 ，最小值为
(1)若曲线 若曲线y=x3 在点 Ｐ 处的切线的斜率等于 在点Ｐ 若曲线 则点Ｐ的坐标为( ３，则点Ｐ的坐标为 ) (A)(2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) 或 (2)若曲线 若曲线y=x5/5上一点 Ｍ 处的切线与直线 上一点Ｍ 若曲线 上一点 y=3-x垂直，则此切线方程为 ) 垂直， 垂直 则此切线方程为( (A)5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 以上皆非 (3)曲线 曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角 在点Ａ 曲线 在点 . 为3π/4，则Ａ的坐标为 ，
f(x)在闭区间[a,b]上的最值： 在闭区间 上的最值： 上的最值
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区间 求 在区间(a,b)内极值 极大值或极小值 内极值(极大值或极小值 在区间 内极值 极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与 将 的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 比较， 的各极值与 、 比较 最大的一个为最大值， 最大的一个为最大值，最小的一个最小值 表格法
如果x 的一个根， 如果 0是f’(x)=0的一个根，并且在 0的 的一个根 并且在x 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近 右侧附近f’(x)<0， 左侧附近 ， ， 那么f(x 是函数 是函数f(x)的一个 的一个极大值 那么 0)是函数 的一个极大值 如果x0 是 f’(x)=0的一个根 ， 并且在x0 如果 的一个根， 并且在 的一个根 的左侧附近f’(x)<0， 在 x0 右侧附近 右侧附近f’(x)>0， 的左侧附近 ， ， 那么是f(x 函数 函数f(x)的一个极小值. 的一个极小值 那么是 0)函数 的一个极小值
复习: 复习 函数极值的定义 的定义—— 函数极值的定义 一般地，设函数 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 在 附近有定义，如果f(x 的值比 的值比x 附近有定义，如果 0)的值比 0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x )是 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值 如果f(x 的值比 极大值， 的值比x 函数的一个极大值，如果 0)的值比 0 附近所有各点的函数值都小， 附近所有各点的函数值都小，我们就 是函数的一个极小值 说f(x0)是函数的一个极小值。 是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值. 统称为极值 极大值与极小值统称为极值
恰有三个单调区间， 例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 恰有三个单调区间 实数a的取值范围 并求出这三个单调区间. 的取值范围， 实数 的取值范围，并求出这三个单调区间
思考、 已知函数 在区间[2， 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间 ， 在区间 6]内单调递增，求m的取值范围。 内单调递增， 的取值范围。 内单调递增 的取值范围
3 3 , 3 3
)， ，
的取值范围为( 则a的取值范围为 ) 的取值范围为 (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 、 ∈ 时 是 (A)单调递增函数 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 部份单调增， (D) 单调性不能确定 7、 如果质点 的运动规律为 、 如果质点M的运动规律为 的运动规律为S=2t2-1，则在 ， 一小段时间[2， 一小段时间 ，2+∆t]中相应的平均速度等于 中相应的平均速度等于 ( ) (A) 8+2∆t (B) 4+2∆t (C) 7+2∆t (D) –8+2∆t
例1、 若两曲线 、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 与 在 处的切线互相平行， 的值. 点x=1处的切线互相平行，求a的值 处的切线互相平行 的值 原题意等价于函数y=3x2+ax与 分析 原题意等价于函数 与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等， 的导数相等， 在 的导数相等 即：6+a=2-a
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点 ， 通过点P(1， 例2 、 已知抛物线 通过点 1)，且在点 处与直线y=x-3相切，求 相切， ，且在点Q(2，-1)处与直线 ， 处与直线 相切 实数a、 、 的值 的值. 实数 、b、c的值 由条件知： 在点Q(2，-1) 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点 在点 ， 处的导数为1， 处的导数为 ，于是 4a+b=1 又点P(1， 1)、 Q(2， -1)在曲线 ， 、 在曲线y=ax2+bx+c 又点 ， 在曲线 上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1 且
用导数法求解函数极值的步骤： 用导数法求解函数极值的步骤： 步骤 (1) 求导函数 `(x)； 求导函数f ； (2) 求解方程 `(x)=0； 求解方程f ； (3) 列表 检查 `(x)在方程 `(x)=0的根的 列表: 检查f 在方程f 在方程 的根的 左右的符号， 左右的符号，并根据符号确定极大值与极小 值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。