2016_2017学年高二数学下学期期中(第七次学分认定考试)试题理(含解析)
2016-2017学年山西省太原市高二(下)期中数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．255．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣26．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为07．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，811．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：复数2﹣i的共轭复数为2+i．故选：A．2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C．3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）【解答】解：根据题意，f（x）=2e x，则f′（x）=2（e x）′=2e x，即有f′（x）=f（x），故选：B．4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．25【解答】解：由题意，z=3+4i，则z•=．故选：D．5．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣2【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+c，∴f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，∴，解得b=2，c=0，∴f（x）=x2+2x．故选：C．6．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为0【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选：D．7．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣∴y'|x=0=﹣2∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y ﹣2=0令y=0解得x=1，令y=2x解得x=，y=1∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×1=，故选：B．8．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x轴上方部分（半圆）的面积∴dx==故选：B．10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，8【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，﹣=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12故选：C．11．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，（x）以此类推，可得出f n（x）=f n+4∴f2017（x）=f504（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；×4+1故选：A．12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第二象限．【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．故答案为：二．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=2．【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），则其导数f′（x）=1+，则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是4R2=a2+b2+c2．【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为（﹣5，﹣2）．【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①或②或③或④．解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k 的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=2+2i．∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4；（2）由=+，得．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞2，由f′（x）＜0，得﹣＜x＜2，∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣），[2，+∞）；单调减区间是[﹣，2]．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得，x2=2，列表，得：∴f （x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max =f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x 2；（2）证明：f（x）＞．【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2；（2）∵1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，当且仅当x=时取等号，∵f（）=＞，f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1=，∴，，又b n=||，得b1=4，b2=8，b3=16，猜想：；（2）由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则有．证明：当n=1时，成立；假设当n=k时，有，则当n=k+1时，=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．综上，成立．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．【解答】解：（1）∵S1=a1=，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），∴2S2=S2S1+1=S2+1，∴S2=；∴2S3=S3S2+1=S3+1，∴S3=；由S1=，S2=，S3=，可猜想S n=；证明：①当n=1时，S1=，等式成立；②假设n=k时，S k=，则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1=•S k+1+1，∴（2﹣）S k+1=1，∴S k+1==，即n=k+1时，等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，均有S n =（2）由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=，当n=1时，a1==满足上式，∴a n =，∴b n ===，n∈N*，设f（n）=x +，则有f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，∴当n=5或n=6时，b n 有最大值选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．【解答】解：（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，则f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）令f′（x）=0，记得x=﹣或x=0，）（则当x=﹣时，函数有极大值f（﹣）=，当x=0时，函数有极小值f（0）=0，当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即=1，解得：a=，（负根舍去）实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．令f′（x）=0，得x=1，x=﹣＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣．（2）存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣＜（﹣0）有唯一交点，结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴当且仅当﹣时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2016-2017年高二下期中考理科数学试题及答案
2016-2017年高二下期中考理科数学试题及答案DA. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭5. 已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且322315SS -=,则数列{}na 的公差为（ ）.A.3B.4C.5D.66. 已知向量()()1,2cos ,2sin ,1,a xb x →→==若//,a b →→则sin 2x =( ).A ．1-B ．12-C ． 12D ．17. 阅读右边程序框图，则输出结果s的值为（ ）.A ．21B ． 23 C. 0 D.38. 已知变量x y ，满足约束条件20701x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≥，则y x 的取值范围是（ ）.A.[36]，B.[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，， C.(][)36-∞+∞，， D. 开始 s= 0 ,n= 1是否n n = +1输出 s 结束? 71 0 2 ≤ n 3 = s + s sinπn965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．函数()31cos 31x x f x x+=⋅-的图象大致是（ ）.10.等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，点M ，N 分别是AB ，BC 中点，点P 是△ABC （含边界）内任意一点，则AN MP ⋅的取值范围是（ ）. A ．33[,]44- B ．13[,]44- C ．31[,]44-D ．13[,]4411.已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >下恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为（ ）.A ．1(0,]eB ．(0,1]C ．(0,]eD ．(1,]e12．如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）.A. 23B. 43C. 83D. 4二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.观察下列各式：35=125，45=625，55=3125，…，则20175的末三位数字为 ．14.已知复数z满足(12)43z i i+=+，则z =．15.已知数列{}na 的前n 项和21nnS=-，()3021n x dx =-⎰，则2log n a =．16.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3V kd =（6k π=）.与此类似，我们可以得到：(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比， 即3V ma =；(2)正方体（正六面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3V a =；(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比， 即3V na =，那么:m n = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分） 设函数xx x x f cos sin 32cos2)(2+=.（1）求函数()f x 的单调递减区间；(6分) （2）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,6a =,8b c +=,求△ABC 的面积.(6分)18.（本小题满分12分）2017年元旦假期期间，调查公司在高速公路某服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图．（1）该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2分)（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；(4分)（3）若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.(6分)19.（本题满分12分）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为1正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(5分) (2) 当SA 的值为多少时，二面角B －SC －D 的大小为120°？(7分)20.（本小题满分12分） 设抛物线)0(2:2>=p px yC 过点)22,2(-M .（1）求抛物线C 的方程；(3分) （2）过点)0,1(F 作相互垂直的两条直线1l ，2l ，曲线C 与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q .证明：12121114PPQ Q +=；(6分)（3）在（2）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论.请你写出关于椭圆22:143x y Γ+=的一个相类似的结论（不需证明）. (3分)21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(3分)(2)求函数()f x 单调增区间；(3分) (3)若存在12,[1,1]x x ∈-，使得)12()()1(,f x f x e e -≥-是自然对数的底数求实数a 的取值范围.(6分)22.（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 设函数()|1||2|f x x x =--+. （1）解不等式0)(>x f ；(5分)（2）若R x ∈∃0，使得20()27f x m m +>，求实数m 的取值范围.(5分)2016-2017年高二下学期期中考理科数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D B C C B D C A B B二、填空题13、125 14、5、5 16. 11:44或 三、解答题 17.解：（1）∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x f 2sin 232cos 21212sin 32cos 1)( …3分1)62sin(2++=πx ……………4分 由2326222πππππ+≤+≤+k x k ，∈k Z 知326ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ……5分所以()f x 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （∈k Z ） ……………6分 （2）2sin()1326A f A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭即sin()16A π+=又(0,)A π∈，所以7(,)666A πππ+∈，故62A ππ+=，从而3A π=……8分 由余弦定理2222cos a b c bc A=+-，得2236b c bc +-=， …………9分又8b c +=，所以283bc =…………10分 由△ABC的面积公式1128373sin 223S bc A ==⨯=. …12分18. 解：（1）系统抽样 ……………………2分（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…4分设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x=即中位数的估计值为77.5…………………6分(3) 从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m=⨯⨯=（辆）………7分车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m=⨯⨯=（辆）…………………8分设“车速在[65,70)的车辆至少有一辆”为事件A,这是一个古典概型，记车速在[60,65)的车辆设为1,2，车速在[65,70)的车辆为d c b a,,,，则所有基本事件有：()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,1,,2,,2,,2,,2,,a b c d a b c d()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d共15种…………………10分其中两辆车的车速均不在[65,70)的事件仅有()1,2一种，即车速在[65,70)的车辆至少有一辆的共14种，所以车速在的[65,70)车辆至少有一辆的概率为1514)(=A p .故从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆， 车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为 1514.……12分19. 证明：(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD，…1分∵四边形ABCD是正方形， …2分∴AC ⊥BD ，,SA AC A = …3分 ∴BD ⊥平面SAC ， …4分∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面SAC . …5分 解：(2)设SA ＝a ，以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，……6分 ∵AB ＝1，则C (1,1,0)，S (0,0，a )，B (1,0,0)，D (0,1,0)，∴SC ＝(1,1，－a )，SB ＝(1,0，－a )，SD ＝(0,1，－a )，…………7分设平面SBC 、平面SCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则111111100n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩∴y 1＝0，从而可取x 1＝a ，则z 1＝1，∴n 1＝(a,0,1)， ……8分222222200n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩∴x 2＝0，从而可取y 2＝a ，则z 2＝1，∴n 2＝(0，a,1)，…………9分∴cos 〈n 1，n 2〉＝1a 2＋1，要使二面角B －SC－D 为120°，则1a 2＋1＝12，即a ＝1. …11分即当SA ＝1时，二面角B －SC －D 的大小为120°. …………12分 20.解：（1）把点)22,2(-M 代入抛物线方程得2=p所以曲线C的方程为xy 42=. ……………3分（2）显然直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0， 不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，()111,P x y ，()222,P x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x kx k -++=，由韦达定理得：212224k x x k ++=，121x x =， ……………5分因为曲线C 与1l 交于点1P ,2P 且1l 过焦点()1,0F ， 所以12122PP x x =++22242k k +=+2244k k +=， (7)分 同理可得21221441k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭244k =+， ……………8分所以2221212111144444k PP Q Q k k +=+=++. (9)分（3）若1l ，2l 是过椭圆22:143x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ，则121211712PP Q Q +=. (12)分说明:（只写出121211PPQ Q +为定值，没有指出定值为712扣1分）21.解：⑴因为函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a'=-+，(0)0f '=， …………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． ………3分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln xx f x a a x a x a a'=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R上是增函数， …………4分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+， …………5分故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+． …………6分⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． …………7分 又因为，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞ 0(0,)∞+()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数， 所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==， …………8分()f x 的最大值()maxf x 为(1)(0)e 1f f --≥()1f -和()1f 中的最大值．……9分 因为x11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a--=--=--+++， 令1()2ln g a a a a =--，因为22121()1(1)g a a a a'=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数． …………10分 而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-； 当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． …………11分所以，当1a >时，，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+． …………12分22.解：（1）当2-<x 时，()|1||2|123f x x x x x =--+=-++=，0)(>x f ，即30>，∴2-<x ；当21x -≤≤时，()|1||2|1221f x x x x x x =--+=---=--，0)(>x f ，即210x -->，解得12x <-，又21x -≤≤，∴122x -≤<-；当1x >时，()|1||2|123f x x x x x =--+=---=-，0)(>x f ，即30->，不成立，∴x ∈∅.综上，不等式0)(>x f 的解集为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. --------5分（2）3,2()|1||2|21,213,1x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，∴()max ()23f x f =-=.∵R x ∈∃0，使得20()27f x m m +>，∴2max 72()3m m f x -<=，整理得：22730m m -+>，解得：132m m ><或，因此m 的取值范围是()1,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.--------10分。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理科)试题Word版含答案
2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，满分60分）1．复数z ＝11＋i3(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )．11.i 22A - 11B.i 22+ C.1i - D.1i + 2.给出下列命题，其中正确的命题为 （ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有的直线都不垂直C.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有的直线都不平行D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直 3.已知直线,a b ，平面,αβ，则//a α的一个充分条件是（ ）.,A a b b α⊥⊥ .//,//B a ββα .,//C b a a b ⊂ .//,//,D a b b a αα⊄4.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A .3C .4D5.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点，()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 的关系是（ ）A.垂直B.不垂直C.平行D.以上都有可能6.若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）{}.,,A a a b a b +- {}B.,,b a b a b +- {}C.,,c a b a b +- {}D.,,2a b a b a b +-+7.已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( )A.6πB.4π C. 3π D. 512π8.一个几何体的三视图如右图所示，正视图与侧视图为全等的矩形， 俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ） A.4B.8C.9D.129.已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，SD ABCD SD AB ⊥=平面，且，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（ ）.9A π C.12π D.10π10. 在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝PA ．若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角A PD Q 的余弦值（ ）611、如图在Rt△ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是( ) A ．(0，3]B.⎝⎛⎦⎥⎤22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4]12．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则点1C 到原点O 的最远距离为 （ ）A ．．．5 D ．4 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.在复平面内，复数21ii-对应的点坐标为______ 14．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==,G 为PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则该截面的周长为______15.如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ。
2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题Word版含解析
2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．复数i i ⋅-)21(的虚部是（ ）A ．1B.-1C.iD.-i【答案】A 【解析】试题分析：由题；(1)i i ⋅=，则它的虚部为：1。
考点：复数的运算及其概念.2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()0,02>σσN .若ξ在（0，1）内取值的概率为0.3，则ξ在（1，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】 B 【解析】试题分析：由题2(0)N σ，，则μ=0即正态分布曲线的对称轴为0，则由对称性可得；(0)(01)(1)0.5,(1)0.2P X P X P X P X >=<<+>=>=。
考点：正态分布的性质.3. 函数)(x f y =在点（x 0，y 0）处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim 000等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【答案】 D 【解析】试题分析：由点（x 0，y 0）处的切线方程为12+=x y ，则0()2f x k '==，可得；0000()()()lim2x f x f x x f x x →--'== ，即；0000()(2)lim 2()42x f x f x x f x x→--'==考点：导数的定义.4．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ,则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．16【答案】 B 【解析】试题分析：由题可运用定积分求阴影部分的面积即：323120121211)()033333x dx x x =-=-=⎰， 则由几何概型可得； 11313P ==考点：定积分求面积与几何概型. 5．已知命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的（ ） A ．（)p q ⌝∧ B ．()p q ∧⌝ C ． p ∧q D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<为真。
市2016_2017高二数学下学期期中试卷理
福建省泉州市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷理（含解析）一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．183．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）=19.8x﹣463.7 =e0.27x﹣3.84=0.367x2﹣202 =A． =19.8x﹣463.7 B． =e0.27x﹣3.84C． =0.367x2﹣202 D． =5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.16．n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24012．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954二、填空题复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）= ．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．19．（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．20．（12分）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）若a=2，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f （x ）在区间（1，e ）上恰有两个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）， （4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个． ∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D ．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．4．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度X 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与X 之间的回归方程，算出对应相关指数R 2如下表： 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ）=19.8x ﹣=e0.27x ﹣=0.367x 2﹣=A ． =19.8x ﹣463.7B ． =e 0.27x ﹣3.84C ．=0.367x 2﹣202 D ．=【考点】BK ：线性回归方程．【分析】两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1， 这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.996是相关指数最大的值， ∴拟合效果最好的模型是指数曲线：=e 0.27x ﹣3.84．故选：B．【点评】本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布的对称性得出答案．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），∴P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=P（ξ≤1）﹣P（0＜ξ≤1）=0.5﹣0.4=0.1．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．6．（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况，则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中要注意各种排法间的关系，做到不重不漏．11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①．在2、6中任选1个安排在个位数字，②由倍分法分析前5个数位的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求为偶数，则其个位数字为2或6，有2种情况，②、将其余5个数字全排列，安排在前5个数位，由于其中有2个“3”，则前5个数位有=60种情况，则可以得到2×60=120个不同的偶数；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，注意数字中有两个“3”．12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．分两种情况：①恰有两架武装直升机命中目标，分为三种：甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；②三架直升机都命中．分别求出其概率，再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率．【解答】解：设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．k=1，2，3．这里A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.9，P（A2）=0.9，P（A3）=0.8．①恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）P（）+P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8=0.306②三架直升机都命中的概率为：0.9×0.9×0.8=0.648∴目标被摧毁的概率为：P=0.306+0.648=0.954．故选D．【点评】此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．二、填空题（2017春•泉港区校级期中）复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是﹣10 （用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得（2x+1 ）（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：∵（2x+1）（ x ﹣1）5=（2x+1）（•x 5﹣•x 4+•x 3﹣•x 2+•x﹣）故含x 3项的系数是2（﹣ ）+=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P （B|A ）=．【考点】CM ：条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x 与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x 与围成，其面积为（﹣x ）dx=（）=，A 表示事件“点P 恰好取自曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P （B|A ）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是 3 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【解答】解：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．综上，获得第一名的选手号数是3．故答案为：3．【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•泉港区校级期中）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）使用组合数公式计算概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是．（2）X的所有可能取值为1，2，3，， =，，∴X的分布列为：∴E（X）=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了组合数公式，超几何分布，数学期望的计算，属于基础题．18．（12分）（2012•雁塔区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE ∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．∴，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，∴．∵，∴，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由题意可知．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.，，，所以ξ的分布列为数学期望为．（3）设x i，y i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2.5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．20．（12分）（2017•黄山二模）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论． （2）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列、数学期望． 【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：，∵3.030＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．（2）X的所有可能取值为：0，1，2，3，依题意，X的分布列为：．【点评】本题考查独立性检验知识，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；51：函数的零点；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，因此，f（x）在区间上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）【点评】本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．22．（12分）（2017春•泉港区校级期中）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件得a=2，e=，由此能求出椭圆M的方程．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，得；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，由l与C相切，将直线l方程代入椭圆M的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此能求出||的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴a=2，∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e=，解得c=2，∴b2=8﹣4=4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0）（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得，又，两式联立消去y，得，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴，∴m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②，得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）===（1+），k≠0．∈（，12]．当k=0时，|AB|2=，∴|AB|∈[]．又当k不存在时，|AB|=，∴||的取值范围是[]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．。
山东省高二数学下学期期中试题 理(含解析)
2016-2017学年山东高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．342．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3． =（）A．B．C．D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．845．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．46．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．510．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．1011．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．2016-2017学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．34【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】直接利用组合数公式求解即可．【解答】解： ==3+6+10+15=34．故选：D．2．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i）2，可得=﹣1﹣i，进而可得结论．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵（1+i）=（1﹣i）2，∴=======﹣1﹣i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：C．3． =（）A．B．C．D．【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解： ===．故选：D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：的展开式中通项公式：T r+1=x9﹣r=（﹣1）r x9﹣2r，令9﹣2r=3，解得r=3．∴x3的系数=﹣=﹣84．故选：C．5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．4【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按女生的数目分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C21=8种情况，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C22=6种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14种；故选：A．6．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件，故选：A．7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，判断导函数的值域，即可判断选项．【解答】解：，可得f′（x）=2cos（2x+）∈[﹣2，2]，因为4∉[﹣2，2]，所以y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是：4．故选：D．8．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=e x cosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选C．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．5【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，二类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求其和即可【解答】解：由题意将问题分为两类求解第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为A21×A31=6种第二类，若乙与丙在B社区，则A社区沿缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为A31=3种故不同的安排种数是6+3=9种故选B10．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．10【考点】67：定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；【解答】解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）根据题意画出图形，曲线y=x3﹣3x和直线y=x围成图形的面积S=2 [x﹣（x3﹣3x）]dx=2（4x﹣x3）dx=2（2x2﹣x4）|=2（8﹣4）=8，故选：B．11．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】借助导数知识，根据（x﹣1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣1）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）为增函数∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）∴f（0）+f（2）＜2f（1）故选：A．12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…【考点】F1：归纳推理．【分析】根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来一般性结论．【解答】证明：∵cos=，∴2cos=；2cos=2=2cos=2=，观察下列等式：2cos=；2cos=；2cos=；…由上边的式子，我们可以推断：2cos=（n∈N*）14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．【考点】F3：类比推理；8G：等比数列的性质．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22， =b14q38，即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．故答案为：15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为56 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意知从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第几步是横向的，第几步是纵向的就可以，再进一步只要确定哪几步是横向走，问题转化为数学问题，是一个从八个元素中选三个的一个组合．【解答】解：∵从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走．∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2…8步取出5步（横向走）的一个组合，∴从A到B的最短路线共有C85=56条．故答案为：56．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ﹣1 ．【考点】63：导数的运算．【分析】f（x）=sinx+2xf'（），可得f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（），进而得出f'（）．【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（Ⅰ）设出复数z=x+yi，根据，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）设复数z=x+yi，得到关于x，y的方程，整理判断即可．【解答】解：（ I）设，由可得，所以，∴；（ II）设复数z=x+yi，由|Z+2|+|Z﹣2|=8，得，其轨迹是椭圆，方程为．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（ I）利用的展开式中的通项公式，通过x的幂指数为0，确定常数项求解即可；（Ⅱ）利用赋值法，转化求解表达式的值即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）通项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令20﹣，解得r=8，常数项﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6 …第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n…（2）下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n①当n=1时，由已知得原式成立；…②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k…那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1（a∈R）（ I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，推出函数f（x）的单调性；（Ⅱ）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可．【解答】（本题满分12分）解：（ I）f'（x）=3x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a≤0，f'（x）=3x2﹣a≥0，f（x）在R上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若函数f（x）的递减区间为，递增区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）由（1）知，函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．设函数f（x）=alnx﹣x﹣（ I）a=2，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（ I）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f （x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a，通过a与﹣的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．【解答】（本题满分12分）解：，x＞0（ I）a=2，当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，无极小值，（ II）设g（x）=a﹣x﹣x2，△=1+4a若﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若，当，x2≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0，x2＞0，函数．﹣﹣﹣﹣﹣22．设函数φ（x）=e x﹣1﹣ax，（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；（ III）证明不等式e x≥1+x+．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．（ II）φ'（x）=e x﹣a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a ≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a﹣1﹣alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．（ III）设函数通过（1）当x≤0时，判断函数的单调性，（2）当x＞0时，设，构造设h（x）=e x﹣x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．【解答】（本题满分14分）解：（ I）ϕ（x）=e x﹣1﹣x，ϕ'（x）=e x﹣1x＜0时，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）递减；x＞0时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）递增ϕ（x）min=ϕ（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）φ'（x）=e x﹣a若a≤0，φ'（x）=e x﹣a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上没有零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a≤1时，极值点x0=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）无零点当a＞1时，极值点x0=lna＞0，设g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点所以，a的取值范围是（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ III）证明：设函数（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣∞，0）上递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x＞0时，设，设h（x）=e x﹣x，h'（x）=e x﹣1＞0（x＞0）h（x）=e x﹣x在（0，+∞）上递增，∴h（x）＞h（0）=1＞0，即当x＞0时，，f（x）在（0，+∞）上递增，﹣﹣﹣﹣由（1）（2）知，f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题word版含答案
2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题时间:120分 满分150分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.第Ⅰ卷一. 选择题(每小题5分,满分60分)1.已知某条曲线的参数方程是12()(12()x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），则该曲线是（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线2.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）A. 0.4 2.3y x =+B. 2 2.4y x =-C. 29.5y x =-+D. 0.3 4.5y x =-+3.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（ ）项A.4B.3C.2D.1 4. 下列说法不正确的是（ ）A.随机变量,ξη满足23ηξ=+，则其方差的关系为()4()D D ηξ=B.回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和越小 C.画残差图时，纵坐标一定为残差，横坐标一定为编号 D.回归直线一定过样本点中心5. 设随机变量X ～N (2,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6. 根据如下样本数据得到的回归方程为 ˆˆ,y bxa =+则 A.ˆˆ0a＞＞，b 0 B. ˆˆ0a ＞＜，b 0 C. ˆˆ0a ＜＞，b 0 D. ˆˆ0a ＜＜，b 0 7. 掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A ，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B,则P(A|B), P(B|A)分别为（ ） A.22,155 B. 33,145 C. 11,35D. 44,515 8. 某班主任对班级90名学生进行了作业量多少的调查，结合数据建立了下列列联表：利用独立性检验估计,你认为推断喜欢电脑游戏与认为作业多少有关系错误的概率介于A.0.15~0.25B.0.4~0.5C.0.5~0.6D.0.75~0.85 (观测值表如下)9.某商场利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 A. 4A B. 3A C. 2A D. 1A10.在二项式n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( )A.16 B. 712 C. 13 D. 51211．在回归分析与独立性检验中:① 相关关系是一种确定关系 ② 在回归模型中,x 称为解释变量,y 称为预报变量 ③ 2R 越接近于1,表示回归的效果越好 ④ 在独立性检验中，||ad bc -越大,两个分类变量关系越弱;||ad bc -越小，两个分类变量关系越强 ⑤残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度越窄，回归方程的预报精度越高,正确命题的个数为（ ）A.5B.4C.3D.212. 设计院拟从4个国家级课题和6个省级课题中各选2个课题作为本年度的研究项目,若国家级课题A 和省级课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是m,那么二项式28(1)mx +的展开式中4x 的系数为（ ） A.54000 B.100400 C. 100600 D.100800第Ⅱ卷二.填空题(每小题5分,满分20分)13. 在40件产品中有12件次品,从中任取2件,则恰有1件次品的概率为 . 14.64(1)(1)x x -+的展开式2x 的系数是 .15. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，在区间(,),(2,2)μσμσμσμσ-+-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.27%，95.45%和99.73%，某中学为10000名员工定制校服，设学生的身高（单位：cm ）服从正态分布N （173,25），则适合身高在158~188cm 范围内学生穿的校服大约要定制 套.16. 设集合U={1,2,3,4,5},从集合U 中选4个数,组成没有重复数字的四位数,并且此四位数大于2345,同时小于4351,则满足条件的四位数共有 .三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.在直角坐标系x0y 中,直线l 的参数方程为1(4x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）,在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=.(1) 写出直线l 一般式方程与曲线C 的直角坐标的标准方程; (2) 设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ,求d 的取值范围.18.已知在n 的展开式中，只有第5项二项式系数最大.(1) 判断展开式中是否存在常数项,若存在,求出常数项;若不存在,说明理由; (2)求展开式的所有有理项.19. 在直角坐标系x0y 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,曲线C 的极坐标方程为2sin 1sin θρθ=-. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P （0,2）作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A,B 两点， ① 求线段AB 的长; ②11||||PA PB +的值. 20. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．3 钟的概率. (注:将频率视为概率)21. 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，在学习积极性高的25名学生中有7名不太主动参加班级工作，而在积极参加班级工作的24名学生中有6名学生学习积极性一般.(1) 填写下面列联表;(2)参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(3)试运用独立性检验的思想方法分析：能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系.(观测值表如下)22．在《我是歌手》的比赛中，有6位歌手（1~6号）进入决赛，在决赛中由现场的百家媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他一定不选2号，；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1) 求媒体甲选中5号且媒体乙未选中5号歌手的概率;(2) ξ表示5号歌手得到媒体甲，乙，丙的票数之和，求ξ的分布列及数学期望.2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案1~12 DCBCA BABBD CD 13.286514. -3 15. 9973 16. 54 17. (1) 223013y x y x -+=+=minmax 2sin()3(2)2222d d d d πα-+====⎢⎣⎦的取值范围为，18.（1）n=8116388((1)814216-3014316,,kC kk k k k T C xk k k T k k k N --==-+=+=∈若为常数项，则即又这不可能，所以没有常数项（2）解：若1T k +为有理项，当且仅当16304k-=为整数 因为08,,0,4,8k k N k ≤≤∈=所以即展开式中的有理项检有3项，它们是59421351,,8256T x x xT T -===19.22(1)2(2),22y x x y x y =⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩代入得2121240,4,11||||||4t t t t t AB PA PB --==-+==+=①②20. (1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则由于顾客的结算相互独立得121212121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)(1)2)(2)(1)( 1.5)( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=((3333331331331112020201010204202041010400=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率为111400.21. (1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1＝2450＝1225，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2＝1950.(2)由K 2统计量的计算公式得k ＝50× 18×19－6×7 224×26×25×25≈11.538，由于11.538>10.828，所以能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系.22. 设A 表示事件上：“媒体甲选中5号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中5号歌手”， （1）1244235523()()55P A P B CC CC====所以__234()()()15525P A B P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ (2) 事件C 表示“媒体乙选中5号歌手”25361()2P C C C== 因为X 可能的取值为0,1，2，3，所以3)25__231(0)()(1(1)(1)552P X P A B C ===-⨯-⨯-= ______(1)()()()23123132119(1)(1)(1)(1)55255255250P X P A B C P A B C P A B C ==++=⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯= ___(2)()()()2312123311955252555250P X P AB C P A B C P A BC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2313(3)()55225P X P ABC ===⨯⨯=所以X 的分布列为所为X 的期望为3191933()0123255050252E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
2016-2017学年广东省高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．复数43i1+2i+的实部是（ ）A. 2-B. 2C. 3D. 4 2．函数，已知在时取得极值，则= （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=没有实数根”时，要做的假设是A. 方程20x ax b ++=至多有一个实根B. 方程20x ax b ++=至少有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 4．函数()f x =的定义域为A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C.()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D. ][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭5．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A. 1433AD AB AC =-+B. 1433AD AB AC =-C. 4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC =-6．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数（ ）A. -56B. 56C. -336D. 3367．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点()2,4P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A.163 B. 83 C. 43 D. 238．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为( )A. B. C. D.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>则C 的渐近线方程为（ ）A. 14y x =±B. 13y x =±C. 12y x =± D. y x =±10．观察下列各式：2233441,3,4,7a b a b a b a b +=+=+=+=， 5511,a b += ，则1010a b += （）11．已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()'f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.12．()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-<时， a 的取值范围是 （ ）A. ()0,4B. 50,2⎛⎫⎪⎝⎭C.15,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =________.14．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为_________.15．已知正弦函数sin y x =具有如下性质: 若()12,,...0,n x x x π∈,则1212sin sin ...sin ...sin n n x x x x x x n n ++++++⎛⎫≤ ⎪ (其中当12...n x x x ===时等号成立).根据上述结论可知,在ABC ∆中,sin sin sin A B C ++的最大值为_______.16．下列几个命题：①方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；②1y x =+和y =表示相同函数;③ 函数()33f x x =--是非奇非偶函数;④方程1x a a -=有两解，则01a << 其中正确的有___________________.三、解答题17．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,22x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =， 22b =， q d =， 10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形， 135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ， 90BAP ∠= ， 2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．21．已知椭圆∑： 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，且经过点(P ．（Ⅰ）求椭圆∑的方程；（Ⅱ）A 、B 是椭圆∑上两点，线段AB 的垂直平分线l 经过()0,1M ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．22．已知函数()2ln ,f x x ax x a R =++∈.(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在点(1， ()1f )处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅲ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB AN λλ=≤≤求证().f u k '<高二下学期期中考试数学（理）试题答案解析1.【答案】B 【解析】因为43i 1+2i + ()()()()4312105212125i i i i i i +--===-+-，所以43i 1+2i +的实部是2，应选答案B 。
山东省临沂市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
山东省临沂市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60 度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至少有一个大于60度D. 假设三内角至多有二个大于60 度【答案】B【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，假设应为“三个内角都大于60°”，故选B．考点：反证法．2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因，故复数对应的点在第三象限，应选答案C。
3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为，故选C．考点：利用定积分求面积．4. 用数学归纳法证明，的第一个取值应当是A. 1B. 3C. 5D. 10【答案】C【解析】时，成立，时，，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，满足成立，的第一个值是，故选5. 定义一种运算“*”：对于自然数满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1 等于A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.【方法点睛】本题考查叠代法及新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6. 若直线与曲线相切，则A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】D【解析】的导数为，设切点，则，又切线方程的斜率为，即，解得，则，故选D.7. 若复数满足其中为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】B【解析】复数满足，设， ,可得，可得，故选B.8. 下列等式中，不正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】对于,正确；对于，不正确；对于，正确；对于，正确，故选B.9. 编号为1，2，3，4，5，6，7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有A. 60种B. 20种C. 10种D. 8种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选D．考点：1、排列；2、组合．10. 函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，，故函数图象过原点，可排除A，又∵，故函数的单调区间呈周期性变化，可排除B，且当，，可排除D，故选C.考点：函数的图象.11. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】圆周上每四个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点，所以这些弦在圆内交点最多为个，故选D.12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令，或，列表如下：，而，所以存在，使得，存在唯一的零点，且不符合条件，应舍去，当时，，解得或，列表如下：而时，，所以存在，使得，存在唯一的零点，且，所以极小值，化为，综上可知，的取值范围是.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及函数的零点.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13. 设，则 _____．（不用化简）【答案】【解析】，，，故答案为.14. 若，则等于___________.【答案】-4【解析】由，得：，取得：，所以，故，故答案为.15. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】试题分析：由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是男生只有一种选法，故共有种选法．考点：排列、组合的应用．16. 已知是曲线：的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为___________．【答案】【解析】试题分析：因为，故，即，从而得，故切线方程为，与，即与，由平行线间距离公式可得，，故．考点：导数几何意义，平行线间距离．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17. 设复数（,），满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．(1)求复数；(2)若为纯虚数，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于，可得，又复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，可得，联立即可解得；（2）利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.试题解析：（1）由得………①又复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，则，即，………②由①②联立的方程组得或．∵，∴．（2）由（1）得，.∵为纯虚数，∴.18. 已知函数，．（1）若在处取得极小值，求实数的值；（2）若在区间为增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出导函数，由可得实数的值；（2）在区间为增函数等价于时恒成立，用分离参数法可得结果...................试题解析：（1），由在处取得极小值，得，∴（经检验适合题意）.（2），∵在区间为增函数，∴在区间恒成立，∴恒成立，即恒成立，由于，得.∴的取值范围是.19. 设，，令．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行求出的值，根据其共性可猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，一定注意步骤的规范性以及利用归纳假设的必要性.试题解析：（1）∵，∴，，.（2）猜想：．下面用数学归纳法证明：当时，，猜想成立；假设当时猜想成立，即：，………9分当，.∴当时猜想也成立．由①，②可知，对任意都有成立．【方法点睛】本题通过考查数列的递推公式、归纳推理，数学归纳法的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.20. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时,求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.21. 设，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出的导函数，利用导数的几何意义，能求出曲线在处的切线方程；（2）由导数性质求出，当时，且，设，由此利用导数性质能求出当时，对任意的，恒有成立.试题解析：（1）当时，，，时，，，∴ 曲线在处的切线方程为．（2）对任意的，恒有成立，即，∵，∴，当时，，则为减函数；当时，，则为增函数；又，，，∴，∴恒成立，即恒成立，等价于恒成立，只需求，令，则，且，当时，，，∴，即在区间上为增函数；当时，，，∴，即在区间上为减函数，∴，∴．22. （1）已知椭圆，是椭圆上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点．证明：；（2）对于双曲线写出类似的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设的坐标分别为和，因为线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即，又交点为，故，把点坐标代入，同时把代入椭圆方程，最后联立方程即可得到，关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围；（2）根据椭圆与双曲线的相似性质，由类比推理可得结果.试题解析：（1）设，，由在线段的垂直平分线上，得．由两点在椭圆上，得，，即．∵，∴．∵，又，∴，∴ ．（2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则.（或）.。
山东省2016-2017学年高二第二学期期中数学试卷理(含解析)
2016-2017学年山东高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1． =（）A．31 B．32 C．33 D．342．i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3． =（）A．B．C．D．4．的展开式中x3的系数为（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．845．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．46．“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7．设P（x0，y0）是图象上任一点，y=f（x）图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A．0 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．9．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A．12 B．9 C．6 D．510．曲线y=x3﹣3x和直线y=x所围成图形的面积是（）A．4 B．8 C．9 D．1011．对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（0）+f（2）＞2f（1）12．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36二、填空题（每题5分，满分20分）13．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos=；2cos=；2cos=；…14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．15．如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为．16．设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）= ．三、解答题（满分70分）17．（ I）设复数z和它的共轭复数满足，求复数z．（Ⅱ）设复数z满足|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（ I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣。
精选2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)
衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。
A。
点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。
意在考查学生的计算求解能力。
2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。
所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。
故选C。
点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。
意在考查学生的转化与计算求解能力。
3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。
，所以因为-1<0，所以。
故选B。
点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。
（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。
详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。
故选D。
点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。
5. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B”，那么，故选B。
点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。
2016-2017学年下学期高二数学期中考试理科试题
2016-2017学年下学期高二数学期中考试试题（理科）以下公式或数据供参考： ⒈1221;ni ii nii x y nx ya y bxb xnx==-⋅=-=-∑∑．⒉对于正态总体2(,)N μσ取值的概率:在区间(,)μσμσ-+、(2,2)μσμσ-+、(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68．3%，95．4%，99．7%．3、参考公式4、))()()(()(22d b c a d c b a n K bc ad ++++=- n=a+b+c+d一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知函数()3sin 2cos f x x x x =+-的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为3，则0tan x 的值是（ ） A ．12 B ．12-．2、 某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种 不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为（ ）A ： 2，6B ：3，5C ：5，3D ：6，23、为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( ) (A) 1l 与2l 重合 (B) 1l 与2l 一定平行 (C) 1l 与2l 相交于点(,)x y (D) 无法判断1l 和2l 是否相交4、设()52501252x a a x a x a x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A ： －122121 B ：－6160C ：－244241D ：-15、若()......x a a x a x a x -=++++929012915，那么......a a a a ++++0129的值是 ( )B.94C. 95D. 966、随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A.32 B. 31C. 1D. 0 7、有一台Ｘ型号的自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率为０.８，有四台这种型号的机床独立的工作，则在一小时内至多两台机床需要工人照看的概率为（ ）8、已知函数()f x ，()g x 满足()11f =，()11f '=，()12g =，()11g '=，则函数()()()2f x F xg x =的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．3450x y -+= B ．3450x y --= C. 4350x y --= D ．4350x y -+=9、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ） A ．66 B ．153 C ．295 D ．36110、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种11、某厂生产的零件外直径ξ~N （10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm 和9.3cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常,下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常 12、甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是32，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ）Ａ．2027Ｂ．49Ｃ．827Ｄ．1627二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f ' ．14、在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中,计算得51i i x =∑=25, 51i i y =∑=250, 521i i x =∑=145,51i ii x y=∑=1380,则该回归方程是 .15、某城市的交通道路如图，从城市的东南角A 到城市的西北角B不经过十字道路维修处C ，最近的走法种数有_________________16.设随机变量X 服从正态分布N(0,1),已知P(X<-1.96)=0.025, 则P(︱X ︱<1.96)= _________.三 解答题：（本大题共6小题，共70分）17、有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件． 求：⑴第一次抽到次品的概率； ⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 18、已知nx x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）． （2）求nx x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x项的系数．19、用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？A（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？20、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm )满足关系()35kC x x =+()010x ≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值。
山东省17学年高二数学下学期期中(第七次学分认定考试)试题文
山东省2016-2017学年高二数学下学期期中（第七次学分认定考试）试题 文 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数1276,47,z i z i =-=-则12z z -=（A ）i +3 （B ）i -3 （C ）i 1311- （D ）i 133-（2）复数z 满足5)2)(3(=--i z (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（A ）i +2 （B ）i -2 （C ）i +5 （D ）i -5（3）已知数列{}n a 中，11=a ，2≥n 时，121-+=-n a a n n ，依次计算2a ，3a ，4a 后，猜想n a 的表达式是（A ）13-n （B ）34-n （C ）2n （D ）13-n （4）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（A ）4- （B ）54 （C ）4 （D ）54- （5）不等式2|2|2<-x 的解集是（A ）)1,1(- （B ）)2,2(-（C ）)1,0()0,1( - （D ）)2,0()0,2( -（6）若R ,,∈c b a ，且b a >，则下列不等式成立的是（A ）ba 11< （B ）22b a > （C ）1122+>+c b c a （D ）||||c b c a > （7）观察下列各式： ,11,7,4,3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ，则 =+1010b a（A ）28 （B ）76 （C ）123 （D ）199（8）用数学归纳法证明“)N (122221*12∈-=++++-n n n ”的过程中，第二步k n =时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到（A ）12222211122-=++++++--k k k （B ）11221222221+++-=+++++k k k k （C ）12222211112-=+++++++-k k k （D ）1222221112-=++++++-k k k（9）用反证法证明命题：“N ,∈b a ，若ab 可被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（A ）b a ,都能被5整除 （B ）b a ,都不能被5整除（C ）b a ,不都能被5整除 （D ）a 能被5整除（10）若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是（A ）),2()4,(+∞--∞ （B ）),1()4,(+∞--∞（C ）)2,4(- （D ）]1,4[-（11）设26,37,2-=-==c b a ，则c b a ,,间的大小关系是（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>（12）我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a 23，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（A ）a 36 （B ）a 46 （C ）a 33 （D ）a 43 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）若bi a ibi +=-+13(b a ,为实数，i 为虚数单位)，则=+b a ________.（14）已知,0,0>>b a 且0)ln(=+b a ，则ba 11+的最小值是 ． （15）若关于实数x 的不等式a x x <++-|3||5|无解，则实数a 的取值范围是________．（16）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：第（16）题图将三角形数 ,10,6,3,1记为数列}{n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列}{n b ，可以推测：2017b 是数列}{n a 中的第________项．三、解答题：本大题共6小题，共70分.（17）(本小题满分10分) 在复平面内，复数ii z +=12(i 为虚数单位)的共轭复数z 对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限； （Ⅱ）向量对应的复数．（18）(本小题满分12分)设d c b a ,,,均为正数，且d c b a +=+，若cd ab >，证明： （Ⅰ）d c b a +>+；（Ⅱ）||||d c b a -<-．（19）(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(1)(21)n n a n =--．（Ⅰ）求；4321,,,S S S S（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明．（20）(本小题满分12分)设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明： （Ⅰ）31≤++ca bc ab ； （Ⅱ）1222≥++a c c b b a ．（21）(本小题满分12分)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若|4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．（22）(本小题满分12分)已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（Ⅰ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）求bt at ++12的最大值．2015级第七次学分认定考试参考答案一、选择题二、填空题13.3 14.4 15.8≤a 16.5044三、解答题17. 解：在复平面内，复数z ＝ii +12(i 为虚数单位)的共轭复数z －对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限；（Ⅱ）向量 OB → 对应的复数．解：（Ⅰ）z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以点A (1，－1)位于第四象限．……………5分（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称．∴点B 的坐标为B (－1,1)．因此向量OB →对应的复数为－1＋i ．……………10分18. 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，若ab ＞cd ，证明： （Ⅰ）a ＋b ＞c ＋d ；（Ⅱ）|a －b |＜|c －d |．证明：（Ⅰ）因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .……………………6分（Ⅱ）(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.……………………12分19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(1)(21)n n a n =--，（Ⅰ）求1234S S S S 、、、；（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明.解：（1）1234253574S S S S =-=--+==-1=-1+3=-1+3=-1+3……………………………………（4分）（Ⅱ）猜想(1)n n S n =-，证明如下：（1）当1n =时，由(1)得结论成立； ……………………………………（5分）（2）假设当n k =时，结论成立，即()()()13571211k k k k -+-+++--=- …………………（6分）那么，当1n k =+时，左边()()()()11357121121k k k k +=-+-+++--+-+()()()()()()()111112112111k k k k k k k k k +++=-+-+=--++=-+。
2016-2017学年下学期期中考高二数学理科参考答案 精品
2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。
………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。
山西省2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 理(含解析)
2016-2017学年山西省高二下学期期中考试理科数学一、选择题：共12题1．已知复数，若是纯虚数，则实数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查纯虚数.由题意可得,则a=1.2．用三段论推理：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以”，你认为这个推理A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【答案】A【解析】本题主要考查三段论,考查了逻辑推理能力.三段论形式正确,但是,大前提错误,因为任何实数的平方大于3．函数在区间上的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了利用导数求函数最值的方法.,当时,, 当时,,所以x=1是函数的极小值点,也是函数的最小值点,则x=1时,函数取得最小值为04．曲线与直线围成的封闭图形的面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查定积分,考查了曲多边形面积的求法. 曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),则封闭图形的面积为5．用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是A.、至少有两个不小于2B.、至少有一个不小于2C.、都小于2D.、至少有一个小于2【答案】C【解析】本题主要考查反证法,考查了反证法的基本证明方法与过程.根据对立事件的思想考虑可得,假设应该是:、都小于2.【备注】反证法的结论与假设可看作是两个对立事件6．若函数有极值，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极值,考查了转化思想与逻辑推理能力.,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得7．二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，观察发现；三维空间球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查类比推理,考查了逻辑推理能力.由题意可知, 四维测度的导数,则8．已知函数=，若存在使得，则实数的取值范围是A. B.( C. D.【答案】C【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.令,则存在使得,即,令,则,则函数在上是增函数,所以函数的最大值是,则.9．用数学归纳法证明不等式则与相比,不等式左边增加的项数是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查数学归纳法,考查了逻辑推理能力.因为当时,左边为,共有项;当时,左边为,共有项,因此增加的项数为,故答案为D.10．设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.,因为导数的最大值为3,所以=3,则,令,则,令k=0可得,故答案为A.11．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种A.24B.60C.72D.120【答案】B【解析】本题主要考查排列与组合,考查了分析问题与解决问题的能力.由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.12．已知函数=，其中为自然对数的底数，若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,函数的性质与零点,考查了转化思想与数形结合思想,逻辑推理能力.由可得,则=,=,令=,则,因为函数在区间内有两个零点，所以函数的图象在区间内有两个不同的交点,如图所示,当,即时,两个函数的图象最多只有1个交点,不符合题意;当,即,故答案为A.二、填空题：共4题13．设复数满足,则__________.【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为,所以, 则.14．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有________种.【答案】81【解析】本题主要考查分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力.因为每一封信均有3种投法,所以不的投法有15．已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,-3)处的切线方程是_______________.【答案】【解析】本题主要考查导数与性质的几何意义,函数的解析式与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意, 当时，则，,则,所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,则切线方程为16．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】本题主要考查函数的构造,导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力.令,在上,由，则有，故函数在上是减函数,则由不等式可得,即,即不等式的解集为三、解答题：共4题17．某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器(如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米)，按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计 )，已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为千元.(1)求关于的函数关系，并求其定义域；(2)求建造费用最小时的.【答案】(1) 由容积为立方米，得,解得. 又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域为.(2)，又，所以，所以建造费用在定义域上单调递减，所以当时建造费用最小.【解析】本题主要考查导数,函数的解析式与性质,考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 由容积为立方米，得,求出r的取值范围,再根据圆柱与球的表面各积公式,易得，定义域为;(2)求导并判断函数的单调性,则结论易得.18．已知=,其中.(1)若在处取得极值，求实数的值.(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)由可得；经检验，满足题意.(2)函数在单调递增.在上恒成立.即在上恒成立.即=，.检验，时，=，仅在处取得.所以满足题意..【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极点,三角函数的性质考查了恒成立问题,逻辑推理能力与计算能力.(1),由,求出a的值,再验证结论即可;(2)由题意可得在上恒成立,即,利用三角函数的性质求出在上的最小值即可.19．已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线平行.(1)求的值.(2)若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)因为曲线在处的切线与直线平行，所以，所以. (2)由得令得.当时，；当时，；当时，在，单调递增，在单调递减.又若函数在区间上有三个零点，等价于函数在上的图象与有三个公共点.结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,极值与零点,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.(1)求导,由易得可得, 求解可得结果;(2),判断函数的单调性,并求出函数的极值与区间端点的函数值,结合函数的大致图象,则易得结论.20．设函数,其中.(1)讨论的单调性；(2)若在区间内恒成立，求的取值范围.【答案】(1)①当时，，，在上单调递减.②当时，=当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于在上恒成立.一方面，令=，只需在上恒大于0即可.又∵，故在处必大于等于0.令，，可得.另一方面，当时，∵故，又，故在时恒大于0.∴当时，在单调递增.∴，故也在单调递增.∴，即在上恒大于0.综上，.【解析】本题主要考查导数,函数的性质,考查了恒成立问题与分类讨论思想,逻辑推理能力与计算能力.(1),分,两种情况讨论的符号,则可得函数的单调性;(2)根据题意, 令=, 只需在上恒大于0即可.易知,由，则有在处必大于等于0, 可得.令,求导并判断函数的单调性,则结论易得.11。
2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)
数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。
A。
点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。
意在考查学生的计算求解能力。
2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。
所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。
故选C。
点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。
意在考查学生的转化与计算求解能力。
3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。
，所以因为-1<0，所以。
故选B。
点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。
（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。
详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。
故选D。
点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。
辽宁省2016_2017学年高二数学下学期期中试题理(新)
2016——2017学年度下学期高二期中考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.) 1．复数11ii-+(i 是虚数单位)的虚部为( ) A. i - B. 2i - C. 1- D. 2- 2．已知集合2{|230}A x x x =--<， 1{|0}xB x x-=<，则A B ⋂=( ) A. {|01}x x << B. {|13}x x -<<C.{|1003}x x x -<<<<或D. {|1013}x x x -<<<<或 3．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则1cos 2sin 22θθ+=( ) A. 1- B. 12- C. 75 D. 724．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S =( )A. 12B.32C.60D. 120 5．设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( ) A. 如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于β B. 如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥ C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β D.如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β6．已知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A. 12-B.32-C.12D. 327．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为( )A. 72种B.52种C.36种D. 24种8．某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( ) A. 323 B. 643C.16D. 329．设抛物线2:4C y x = 的焦点为F ，倾斜角为钝角的直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，若16||3AB =，则l 的斜率为( ) A. 1-B.C.2-D. 3- 10．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如右图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n 的值为(参考数据： sin150.2588︒=， sin7.50.1305︒=)( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 4811．实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则22ba--的取值范围是 ( ) A. 2(0,)3 B. 2(,)3-∞ C. 2(,2)3 D. 2(,)3+∞12．已知,a R b R +∈∈, e 为自然对数的底数，则()()221ln 22a e b a b ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦的最小值为( ) A. ()21ln2- B.()221ln2- C. 1ln2+)1ln2- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知随机变量X 服从正态分布1(6,)3N ，则X 的数学期望()E X = ____________. 14．若 6()x a +展开式中3x 的系数为160，则1aa x dx ⎰的值为____________.360第8题图俯视图15．三角形ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知222sin cos cos 3sin sin B A C B C +-=，且三角形ABC 外接圆面积为4π，则a =________.16．已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是_________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量(3sin 23,cos ),(1,2cos )a x x b x =+=，设函数()f x a b =⋅. (1)求函数()f x 的最小正周期和其图像的对称中心； (2)当7[,]1212x ππ∈时，求函数()f x 的值域.18．(12分)在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和.19．(12分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100(1)根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？(2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(3)现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考数据：()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．(1)求证：PA //平面EDB ； (2)求二面角F DE B --的正弦值．DCBAPE F21．(12分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ，点12,F F 为椭圆的焦点，且三角形12MF F 是边长为2的等边三角形，若直线:23l y kx =+与椭圆E 交于不同的两点,A B ．(1)直线,MA MB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求三角形ABM 的面积的最大值．22．(12分)设函数()1=ln xf x x e--， ()()211g x a x x=--. (1)判断函数()y f x =零点的个数，并说明理由；(2)记()()()x xe exh x g x f x xe -=-+，讨论()h x 的单调性；(3)若()()f x g x <在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学(理)参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．B 二、填空题 13．6 14．73 15．2 16．172,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．解：(1)()2sin(2)46f x x =++，----------------(2分)则()f x 的周期T =，----------------(3分)图象的对称中心为(,4),212kk Z -∈.----------------(5分)(不写k Z ∈扣1分) (2)()2sin(2)46f x x =++，7[,]1212x ∈，42[,]633x +∈，----------------(7分) ()[43,6]f x ∴∈----------------(10分)18．解：(1)证明 由已知122nn n a a +=+，得1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+. 11n n b b +∴-=，又111b a ==.∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．----------------(6分) (2)解 由(1)知，n b n =，12nn n a b n -==.∴12n n a n -=⋅. ∴122112232(1)22n n n S n n --=+⋅+⋅++-+⋅两边乘以2得：12121222(1)22n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减得：21212222n n S n --=++++-⋅212(1)21n n n n n =--⋅=-⋅-，∴(1)21nn S n =-⋅+.----------------(12分)19．解：(1)由列联表得()22100262030340.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．----------------(4分)(2)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为305350⨯=人，“非古文迷”有205250⨯=人． 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．----------------(6分)(3)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．()1232353110C C P C ξ===，()213235325C C P C ξ===，()33351310C P C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P310 35 110于是123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．----------------(12分) 20．(1)证明：连结,AC AC 交BD 于点G ，连结EG .以D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，依题意得)21,21,0(),1,0,0(),0,0,1(E P A .因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,21,21(，且11(1,0,1),(,0,)22PA EG =-=-.所以2PA EG =,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB , 因此PA //平面EDB ．----------------(6分)(2)(1,1,0),(1,1,1)B PB =-,又11(0,,)22DE =,故0PB DE ⋅=,所以DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥，且EFDE E =,所以⊥PB 平面EFD .----------------(7分)所以平面EFD 的一个法向量为(1,1,1)PB =-.11(0,,),(1,1,0)22DE DB ==,不妨设平面DEB 的法向量为(,,)a x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00)(21y x z y不妨取1=x 则1,1=-=z y ，即(1,1,1)a =-----------------(10分)GDCAPE F设所求二面角B DE F --的平面角为θ1cos 3||||a PB a PB ⋅=-=因为],0[πθ∈，所以322sin =θ． 二面角B DE F --的正弦值大小为322．----------------(12分) 21．解：(1)因为三角形12MF F 是边长为2的等边三角形， 所以22c =，b =，2a =，所以2,a b ==，所以椭圆22:143x y E +=，----------------(2分) 所以点M . 将直线:l y kx =+E 的方程，整理得：22(34)360k x +++=，(*)设1122(,),(,)A x y B x y ，则由(*)式可得:222(163)4(34)3648(49)0k k k =-+⨯=->，所以，33(,)(,)22k ∈-∞-⋃+∞，----------------(4分)121223634x x x x k +=⋅=+，所以直线,MA MB 的斜率之积12MA MBk k⋅=22212122()3343634k k k k -++===++229361364k k -=+=所以直线,MA MB 的斜率之积是定值14.----------------(6分) (2)记直线:l y kx =+与y轴的交点为(0,N ，则211||||||2ABMANMBNMSSSMN x x =-=-=612===≤当且仅当24912k-=，即33(,)(,)222k=±∈-∞-⋃+∞时等号成立.所以三角形ABM分)22．解(1)由题意知0x>故()f x在()0,+∞单调递增，又()11f=-，()1110eeef e ee-=-=->，因此函数()y f x=在()1,e内存在零点.所以()y f x=的零点的个数为1.----------------(3分)(2)()()212111ln lnxxeh x a x x e ax a xx x e-=---++-=--，()21212(0)axh x ax xx x--=>'=，当0a≤时，()0h x'<，()h x在()0,+∞上单调递减；当0a>时，由()0h x'=，解得x=（舍去负值），所以x⎛∈⎝时，()0h x'<，()h x单调递减，x⎫∈+∞⎪⎭时，()0h x'>，()h x单调递增.综上0a≤时，()h x在()0,+∞单调递减，a>时，()h x在⎛⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎭单调递增. ----------------(6分) (3)由题意：()21ln1xex a xe x-<--，问题等价于()211lnxea x xx e-->-在()1,+∞恒成立，设()1x x xe e exk x x e xe -=-=，若记()1x k x e ex =-，则()1x k x e e =-'，当1x >时，1()0k x '>，()1k x 在()1,+∞单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()()f x g x >，即当()()f x g x <在()1,+∞恒成立时，必有0a >. 当0a >时，设()()21ln h x a x x =--，1>，则102a <<时，由(2)知x ⎛∈ ⎝，()h x单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎭，()h x 单调递增，因此()10h h <=，而0k >，即存在1x =>，使()()f x g x >， 故当102a <<时，()()f x g x <不恒成立.1≤，即12a ≥时，设()()211ln x e s x a x x x e =---+，()2112x es x ax x x e+'=--， 由于2ax x ≥且()10x k x e ex =->，即1x e e x <，故1x e e x->-，因此，故()s x 在()1,+∞单调递增.所以()()10s x s >=时， 即12a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. 综上：1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. ----------------(12分)。
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山东省2016-2017学年高二数学下学期期中（第七次学分认定考试）试题理（含解析）说明:（1）考试时间120分钟，满分150分（2）将答案填写在答题卡上第I卷（60分）一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分）1. =( )A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D【解析】本题选择D选项.2.为虚数单位，，则=（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】本题选择C选项.3. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. 的展开式中的系数为（）A. -36B. 36C. -84D. 84【答案】C【解析】的展开式中通项公式为：，令9-2r=3，得r=3，所以的系数为本题选择C选项.5. 某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所选的四人中至少有一名女生的选法为本题选择A选项.6. “”是“复数（）为纯虚数”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】复数（）为纯虚数，则所以“”是“复数（）为纯虚数”的充要条件。
本题选择A选项.7. 设是图象上任一点，图象在P点处的切线的斜率不可能是（）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】，而∴图象在P点处的切线的斜率不可能是4。
本题选择D选项.点睛：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．8. 函数在点处的切线斜率为（）A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】，所以函数在点处的切线斜率为1.本题选择C选项.9. 六名同学安排到 3 个社区A，B，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为( )A. 12B. 9C. 6D. 5【答案】B【解析】略10. 曲线和直线所围成图形的面积是（）A. 4B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】曲线y=x3-3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（-2，-2），根据题意画出图形，曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积本题选择B选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．11. 对于上可导的函数,若满足,则必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵对于R上可导的任意函数f(x),(x−1)f′(x)>0∴有，即当x∈(1,+∞)时,f(x)为减函数，当x∈(−∞,1)时,f(x)为增函数∴f(0)<f(1),f(2)<f(1)∴f(0)+f(2)<2f(1)本题选择A选项.12. 两位男生和三位女生共五位同学站成一排，若男生甲不站两端，三位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A. 60B. 48C. 42D. 36【答案】B【解析】甲站在第二个位置,则有种；甲站在第三个位置,则有种；.....................根据加法原理，不同的排法种数是48种本题选择B选项.第II卷（90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 从下列等式中归纳出一个一般性的结论．；；________________________________ .【答案】【解析】观察等式，我们可以推断：14. 设等差数列的前项和为，则成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，________，________，成等比数列．【答案】 (1). (2).【解析】试题分析：当数列是等差数列时成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为.考点：类比推理.15. 如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为_______________.【答案】56【解析】∵从A到B的最短路线，均需走8步，包括横向的5步和纵向的3步，只要确定第1，2…8步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走。
∴每一条从A到B的最短路线对应着从第1,2…8步取出5步(横向走)的一个组合，∴从A到B的最短路线共有条。
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．16. 设___________.【答案】-1【解析】∵，令 ,可得：,解得，则三、解答题（满分70分）17. （I）设复数和它的共轭复数满足，求复数.（Ⅱ）设复数满足,求复数z对应的点的轨迹方程.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用复数的运算法则得到关于实数x,y的方程，求解方程可得(Ⅱ)设复数，利用距离公式可得轨迹方程为椭圆：.试题解析：（I）设可得所以.（II）设复数，由得其轨迹是椭圆.方程为.18. （I）求的展开式中的常数项；（Ⅱ）设，求.【答案】（I）；（II）1.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用通项公式：，令r=8可得展开式中的常数项是. (Ⅱ)利用赋值法可得.试题解析：（I）通项令，常数项（II）-.19. 观察以下5个等式：……按以上式子规律．．．．．．．：（I）写出第个等式，并猜想第个等式（）；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立（）.【答案】（I）第个等式为，第个等式为；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）先写出第六个等式,再用归纳推理猜想出结论；（2）借助题设条件运用数学归纳法求解．试题解析:（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6第n个等式为 -1+3-5+7-9+……+（-1）n（2n-1）=（-1）n n（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+……+（2n-1）=n（1）当时，由已知得原式成立；（2）假设当时，原式成立，即-1+3-5+7-9+……+（-1）k（2k-1）=（-1）k k那么，当时，-1+3-5+7-9+……+（2k-1）+（2k+1）=k+（2k+1）=（-k+2k+1）=（-1）k+1（k+1）故当时，原式也成立．由（1）（2）可知：-1+3-5+7-9+……+（2n-1）=n对n∈N*都成立。
考点：归纳推理及数学归纳法的运用．20. 已知函数（I）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先对函数求导，然后分别讨论和两种情况即可；(Ⅱ)结合(I)的结论，得到,据此可得.试题解析：（I）若在上单调递增若函数的递减区间为，递增区间为（II）由（1）知，函数在区间上单调递减,.21. 设函数（I），求函数的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性.【答案】（I）,无极小值；（II）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求得函数的导函数，结合函数的单调性可得,无极小值；(Ⅱ)令分类讨论：若当，当，函数试题解析：（I），当,无极小值（II）设若若，当，，当，，函数22. 设函数，（I）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的范围；（III）证明不等式.【答案】（I）；（II）；（III）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究函数的单调性可得；(Ⅱ)利用题意讨论函数的单调性，结合函数零点存在定理可得实数的范围是；(Ⅲ)设函数结合函数的性质构造新函数，综合(Ⅰ)(Ⅱ)的结论即可证得题意不等式的结论.试题解析：（I）（II）若上递增，且，所以在上没有零点若所以当时，极值点，又，在无零点当时，极值点，在上递减，，在上递增所以，所以在上有零点所以，的取值范围是 .（III ）证明：设函数(1)当，在上递减(2)当时，设即当时，，在上递增，由（1）（2）知，即.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．11。