高数PPT

dy 1 x [cos(e x )]′ = [ln cos(e )]′ = dx cos(e x )
− sin(e x ) x ( e )′ = x cos(e )
= − e x tan(e x )
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高等数学
第二节
函数的求导法则
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式 1.常数和基本初等函数的导数公式
= f ′( u0 )ϕ ′( x0 ).
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第二节
函数的求导法则
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为
dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例8 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
第二节
函数的求导法则
于是法则(2)获得证明. 法则(2)可简单地表示为 于是法则(2)获得证明. 法则(2)可简单地表示为 (2)获得证明 (2)
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
= a2 − x2 .
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第二节
函数的求导法则
x2 + 1 例11 求函数 y = ln 3 ( x > 2) 的导数. 的导数. x +1
解
1 1 2 Q y = ln( x + 1) − ln( x + 1), 2 3
∴ y′ =
x 1 1 1 1 = 2 − ⋅ 2 ⋅ 2x − 2 x +1 3( x + 1) x + 1 3( x + 1)
且f ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f −1( x)在区间 I x = {x x = f ( y), y ∈ I y } 内也可导,且有
dy 1 1 = [ f ( x)]′ = ,或 f ′( y) dx dx
−1
dy
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
dy Q = cos u du du 2(1 + x 2 ) − ( 2 x ) 2 2(1 − x 2 ) = = 2 2 dx (1 + x ) (1 + x 2 ) 2 dy 2(1 − x 2 ) 2x = ⋅ cos ∴ 2 2 dx (1 + x ) 1 + x2
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y′ = 9 x 2 − 4 x + 2cos x
5 π f ( x ) = x + 4cos x − sin , 求 f ′( x ) 及 f ( ) 2 2
3
例2 解
f ′( x ) = 3 x 2 − 4 sin x 3 2 f ′( ) = π − 4 2 4
π
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1 1− x
2
.ห้องสมุดไป่ตู้
(arctan x)′ =
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
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例7 解
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函数的求导法则
的导数. 求函数 y = log a x 的导数.
Q x = a y 在I y ∈ ( −∞ ,+∞ )内单调、可导 , 内单调、
内有, 且 (a y )′ = a y ln a ≠ 0, ∴ 在I x ∈ (0,+∞ )内有,
∆x → 0
∴ [ f ( x )]′ = lim
−1
1 1 ∆y . = lim = ∆x → 0 ∆ x ∆y → 0 ∆x f ′( y ) ∆y
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例6 解
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函数的求导法则
求函数 y = arcsin x 的导数.
Q x = sin y在 I y ∈ ( −
π π
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证
第二节
函数的求导法则
任取x ∈ I x , 给x以增量 ∆x ( ∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ I x )
由y = f −1 ( x )的单调性可知 ∆y ≠ 0,
1 ∆y 连续, , Q y = f −1 ( x )连续, = 于是有 ∆x ∆ x ∆y
∴ lim ∆y = 0,
(log a x )′ =
1 1 1 = y = . y ( a )′ a ln a x ln a
1 特别地 (ln x )′ = . x
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高等数学 练习:求下列函数的导数 练习 求下列函数的导数
1、 = x 2e x sin x y ax 3 + bx 2 + c 2、y = a+b
1 4 3、y = 2 x − + 3 x ln x 4、y = sin x
第二节
函数的求导法则
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高等数学 练习题答案: 练习题答案
第二节
函数的求导法则
1、 = 2 x e x sin x + x 2 e x sin x + x 2 e x cos x y 1 2、y = ( 3ax 2 + 2bx ) a+b
sin 1 x
例12 解
求函数 y = e
y′ = e
sin 1 x
的导数. 的导数.
1 sin 1 1 1 ′ = e x ⋅ cos ⋅ ( )′ (sin ) x x x
1 sin x 1 =− 2e ⋅ cos . x x
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1
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例13 解
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x
函数的求导法则
dy y = ln cos(e ), 求 dx
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证(3)
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
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函数的求导法则
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函数的求导法则
于是法则(3)获得证明. 法则(3) (3)可简单地表示为 于是法则(3)获得证明. 法则(3)可简单地表示为 (3)获得证明
sin x = = sec x tan x 2 cos x
即 (secx)′ = secx tan x.
同理可得 (csc x)′ = − csc x cot x.
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函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理 如果函数x = f ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
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例4 解
第二节
函数的求导法则
求 y = tan x 的导数.
sin x y′ = (tan x )′ = ( )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x(cos x )′ = cos 2 x
cos 2 x + sin 2 x 1 = = sec 2 x = 2 cos 2 x cos x
第二节
函数的求导法则
x a2 x 2 2 a − x + arcsin 的导数 . ( a > 0) 例10 求函数 y = 2 2 a
解
x a2 x 2 2 ′=( ′ + ( arcsin )′ y a −x ) 2 2 a
1 2 1 x2 a2 a − x2 − = + 2 2 2 2 a −x 2 a2 − x2
第二节
函数的求导法则
x 例3 y = e (sin x + cos x ), 求 y ′
解
y′ = (e x )′(sin x + cos x ) + e x (sin x + cos x )′ = (e x )(sin x + cos x ) + e x (cos x − sin x ) = 2e x cos x
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = ⋅ cos x = = ⋅ ∴ = cot x u dx du dx sin x
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第二节
函数的求导法则
2x dy ,求 y = sin 例9 1 + x2 dx 2x 2x y = sin 解 复合而成， 2 可看作由 y = sin u, u = 2 复合而成， 1+ x 1+ x
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
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证(2)
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
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证:(根据导数的定义证) :(根据导数的定义证) 根据导数的定义证
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
第二节
函数的求导法则
于是法则(1)获得证明. 法则(1) (1)可简单地表示为 于是法则(1)获得证明. 法则(1)可简单地表示为 (1)获得证明
x= x0
= f ′(u0 ) ⋅ϕ′( x0 ).
因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
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证
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函数的求导法则
由y = f ( u)在点 u0可导 ,
1 3、y = + 2 x x sin x − x cos x ⋅ ln x 4、y = x sin 2 x 1
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函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
定理 如果函数u = ϕ( x)在点x0可导, 而y = f (u)
在点u0 = ϕ( x0 )可导,则复合函数y = f [ϕ( x)]在点 x0可导,且其导数为 可导, dy dx
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第二节
函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式
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第二节
函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、
定理 如果函数 ( x), v( x)在点x处可导, u 处可导, 则它
, )内单调、可导 , 内单调、 2 2
− 且 (sin y )′ = cos y > 0, ∴ 在 I x ∈ (−1,1)内有
(arcsin x)′ =
同理可得
1 1 1 1 = . = = 2 2 (sin y )′ cos y 1− x 1 − sin y
(arccos x)′ = −
1 ; 2 1+ x
们的和、 (分母不为零) x 们的和、差、积、商分母不为零)在点 处也 可导, 可导,并且
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得 (cot x)′ = −csc2 x.
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例5 解
第二节
函数的求导法则
求 y = secx 的导数.
y′ = (sec x )′ = ( 1 )′ cos x
(1)′ cos x − 1(cos x )′ = cos 2 x
∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆u → 0 ∆u 则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∴ lim = f ′( u0 ) ∆u → 0 ∆ u
∆y ∆u ∆u ∴ lim ] = lim [ f ′( u0 ) +α ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim = f + lim α lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
′ u u′v − uv ′ . = 2 v v
在法则(2)中 在法则(2)中,当 (2)
v(x) = c
(C 为常数)时,有 为常数)
(Cu )′ = Cu ′
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函数的求导法则
例1 求 y = 3x3 − 2x2 + 2sin x − 9的导数. 解