高斯讲座Lecture 13
GNSS专业名词释义
Navigation Lectures导航讲座DCW绝对定位（Absolute positioning）：用一台 GNSS信号接收机直接测定一个测站在给定全球大地坐标系（例如 WGS-84世界大地坐标系）内的点位三维坐标；后者是相对于坐标原点的绝对坐标，故称之为“绝对定位”。
近年来，人们常将它称为“单点定位”（single point positioning）。
精度（Accuracy）：它表示一个量的观测值与其真值接近或一致的程度，常以其相应值——误差（Error）予以表述。
对 GNSS卫星导航而言，精度直观地概括为用GNSS信号所测定的载体在航点位与载体实际点位之差；对于 GNSS卫星测地而言，精度是用 GNSS信号所测定的地面点位与其实地点位之差。
捕获（Acquisition）：它是 GNSS信号接收机能够接收和锁定 GNSS信号的能力，这是获取 GNSS观测值的关键一步。
历书（Almanac）：它是一组由卫星导航电文提供的描述所有在轨 GNSS卫星概略位置及其钟差的参数。
每颗 GNSS卫星向用户发送历书数据，用户利用它们不仅能选择工作正常和位置适当的卫星，以致它们能够构成较理想的空间几何图形，而且依据已知的码分地址能够较快地捕获到所选择的待测卫星。
模糊度（Ambiguity）：例如，当用 GPS第一载波测量时，其载频 fL1=1575.42 MHz，它的相应波长λ=19 cm，用该 19 cm电尺量测从 GPS信号接收机到 GPS卫星的二万余千米距离，其整尺段数（波数）约为1E+8。
如此巨大的波数是无法直接精确测定的，而需用一定的方法求解这个未知数，该未知数称为载波相位测量的模糊度，因为它是从接收机到卫星的载波相位测量的整周期数，在笔者所著的《GPS卫星导航定位原理与方法》和《全球导航卫星系统及其应用》两部著作中将它称为整周模糊度，它的解算是载波相位测量数据处理的一个特殊而又极重要的问题。
非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法
非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法张莉;王彦朝;宋卫平【摘要】基于标准的L2投影算子,对非定常Navier-Stokes方程提出了一种非协调有限元投影稳定化方法.这种非协调有限元方法的速度/压力空间采用非协调有限元NCPt-P1.该方法不仅绕开了inf-sup条件对等阶元的束缚,也克服了高雷诺数下对流占优引起的振荡.同时,结合外推公式,将非线性问题转化为线性格式进行处理,从而减少了计算量.最后给出了详细的稳定性分析和误差分析.%In this paper,we propose a new stabilized nonconforming finite element method based on L2 projection for the Navier-Stokes equations with high Reynolds number.This nonconforming method use the lowest equal-order pair of mixed finite elements (i.e.,NCP1-P1).The scheme not only avoids the requirement caused by the inf-sup condition but also overcomes the convection domination caused by the high Reynolds number.We transform the nonlinear problem into a linear problem using the Extrapolation formula to simplify the computation.The stability and error analysis of this method are given in detail【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)004【总页数】7页(P435-441)【关键词】Navier-Stokes方程;L2投影;高雷诺数;外推公式【作者】张莉;王彦朝;宋卫平【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;四川中电启明星信息技术有限公司,四川成都610041【正文语种】中文【中图分类】O241.82有限元方法[1]已经成为计算流体问题Stokes方程和不可压缩Navier-Stokes方程的一种重要而有力的工具.特别地，混合有限元方法[2]备受欢迎.然而混合有限元方法的研究面临2个方面的问题:1) 要求有限元空间必须满足inf-sup条件即稳定性条件.遗憾的是工程上计算方便的等阶有限元空间不满足inf-sup条件;2) 当方程呈现对流占优时，其有限元解会出现震荡.为了克服上述困难，采用稳定化技巧的混合有限元方法应运而生.目前常用的稳定化方法主要是基于残差的稳定化方法[3-4]和基于非残差的稳定化方法[5-10].又因为基于非残差的稳定化方法不需要计算二阶导数,使得稳定化格式简单而受到更多的关注.低阶元和等阶元在工程计算中的应用非常广泛，P. B. Bochev等[11]、Li J.[12]以及C. R. Dohrman等[13]分别对Stokes问题的低阶元和一般等阶元(P1-P1,Q1-Q1)的压力投影稳定化方法给出了详细的理论分析.Li J.等[14]和He Y.等[15]又把压力投影稳定化方法推广应用到Navier-Stokes方程，并给出了详细的理论分析和数值算例,其中，文献[14]对于瞬态的Navier-Stokes方程基于高斯积分提出了一种压力投影稳定化方法，有限元空间是采用的最低阶的等阶元.该方法虽然成功地绕开了inf-sup条件的限制，但是当雷诺数很大时，方程的解仍然可能出现不稳定性.随后,文献[16]对瞬态的Navier-Stokes方程提出了一种新的全离散粘性稳定化方法.这个方法不仅绕开了inf-sup条件的限制，同时克服了高雷诺数下对流占优引起的解的不稳定性,并且在时间计算上，每次只用进行线性计算，从而提高了计算效率.另一方面，不可压缩流体的非协调有限元相对于协调有限元方法更加简单，单元自由度较少，并且满足局部守恒条件，从而受到更多的关注和应用.在计算的过程中，变量之间的关联仅在相邻边的中点，所形成的方程未知数较少，进而更加有利于并行计算.文献[12,14]对Stokes方程和Navier-Stokes方程提出了一类局部稳定的协调有限元方法.其速度-压力有限元空间是P1-P1元，基于高斯积分构建稳定项，得到的新的有限元格式是稳定的，成功地绕开了inf-sup条件对等阶有限元的约束.随后文献[17]又将此稳定化方法推广应用到非协调元上计算Stokes方程，其速度-压力有限元空间是非协调元NCP1-P1元，并给出了详细的理论分析和数值算例.相对于一般的非协调元Crouzeix-Raviart(C-R)元，NCP1-P1元虽然不满足inf-sup条件，但是计算更加精确.这类局部稳定的有限元方法[12,14,17]比传统的混合有限元方法更加简单、有效且不依赖于稳定化参数.受以上讨论的启发,本文针对非定常的Navier-Stokes方程，建立了一种既能克服对流占优所引起的震荡，又能绕开inf-sup条件限制的非协调有限元稳定化方法.特别地，本文所给的投影不需要将速度或压力投影到异网格上进行计算，利用外推公式将非线性格式转换为线性格式,从而大大地减少了计算量，提高计算效率.本文考虑如下非定常Naiver-Stokes方程其中,Ω⊂R2为多边形区域，其边界Γ=∂Ω满足Lipschitz连续性,且Q=[0,T]×Ω,T>0.u(x,t)∈R2为速度，p(x,t)∈R为压力，f(x,t)∈R2为体力，λ=Re-1为粘性系数，Re为雷诺数，T>0为最终时间，，引入记号:(·，·)和‖·‖0，分别表示空间L2(Ω)(或L2(Ω)2)的内积和范数,((u,v))=(u,表示和X空间的内积和范数.在空间中，|·|1=‖·‖0与‖·‖1是等价的,因此统一用‖·‖1表示|·|1和‖·‖1.问题(1)的等价变分格式为:求(u,p)∈X×M,t∈[0,T]，对∀(v,q)∈X×M，满足关系其中且a1(u;v,w)有如下性质：对区域Ω进行正则三角形剖分，记为单元Kj的直径，为Γk的中点,[u]=u|Γjk-u|Γkj表示跳量.定义其中Pn(K)为单元K上所有次数小于等于n的多项式集合.本文考虑如下的速度和压力的有限元空间:Xh=NCP1，Mh=P1，其中其中P1(Kj)表示单元Kj上所有次数小于等于1的多项式集合.由定义不难得到空间NCP1满足相容性条件：和下列性质[17]:对于任意的(u,p)∈X×M,存在(Πu，Πp)∈Xh×Mh使得对于任意的(u,p)∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，存在(Πu,Πp)∈Xh×Mh使得其中‖|为能量范数.基于高斯积分引入稳定项Gh(·，·):其中g(x)dx表示单元Kj上的Gauss积分的近似，且当多项式次数i=1,2时，等于Gauss积分.另外，g(x)=p(x)q(x)是次数小于等于2次的多项式.进而，定义ρh:L2(Ω)→W0为标准的L2投影，其中W0表示单元Kj上的分片常数函数集合,满足如下性质[17-18]：记定理 2.1[17-18] 存在与h、λ、k无关的正常β，对任意的(uh,ph)，(vh,qh)∈Xh×Mh，使得记和分别是un、zn、τn和qn的空间逼近.引入如下稳定项来克服高雷诺数下对流占优引起的震荡:其中,α为稳定化参数,πl-1:L2(Ω)→(Pl-1(τh))2是标准的全局或局部L2投影，且满足性质为了便于表述，引入如下记号和引理：定义 2.1 对∀(u,p),(v,q)∈X×M,有根据文献[10]，有下列稳定性结论:引理 2.1 对于任意的ph∈Mh，存在常数β1满足:其中Gh(ph,ph)=‖.用类似于文献[7,10]的方法可以得到如下定理:定理 2.2 对任意(uh,ph)∈Xh×Mh,有其中常数β2与h和α无关.由此，得到(1)式的一个新的有限元稳定格式:对∀(vh,qh)∈Xh×Mh和所有n≥1，使得其中k>0是给定一个时间步长,)∈Xh×Mh为已经求解出来的值,是一个外推公式，.当n=0时，令.下面将详细证明格式(5)是稳定的，并且误差精度能达到O(h2+(k)4).3.1 稳定性为了推导过程中的形式简单,记.定理 3.1 格式(5)是稳定的，即对任意的h,k,n>0满足证明在(5)式的第一个式子中，取，由可得将上式两边同时对n从0到N-1求和,可得(6)式.证毕.3.2 误差估计定义 3.1 对任意(v,q)∈X×M,(vh,qh)∈Xh×Mh，令投影算子(Ph,Qh):X×M→Xh×Mh满足如下关系：其中引理 3.1[17-18] 投影算子(Ph，Qh)满足如下性质:对∀v,q∈X×M，则对∀v,q∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，则定理 3.2 设u∈L∞(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L∞(Ω))∩C0(0,T;H1(Ω))，u∈L∞(0,T;L∞(Ω))，ut∈L2(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L2(Ω))，utt∈L2(0,T;H1(Ω))，uttt∈L2(0,T;L2(Ω)),ptt∈L2(0,T;L2(Ω))，f∈L2(0,T;H-1(Ω))，并且是方程(5)的解,则存在一个与h、k、λ无关的常数c=c(Ω,u,p,T,f)>0，对∀n∈{0,1,…,N-1}使得证明在(2)式中，取，可得(8)式减去(5)式可得令对ξ=e,η,φh,σ,ζ,τh，定义.从(9)式中加上并减去可得其中在(12)式中令,则可得由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式易得其中接下来估计I1、I2、I3.对I1由Young不等式得在)中加上并减去，由三角不等式和,再由Young不等式得由E[·,·]的定义和u的正则性及逆不等式得将(19)和(20)式代入(18)式，则有下面考虑I3的估计.由三角不等式、Young不等式以及u的正则性有最后考虑)|,其中线性项的估计由Young不等式和泰勒公式可得其中θ1,θ2,θ3∈(0,1).对于中的非线性项，用泰勒公式、Young不等式以及u的正则性假设可得其中θ5,θ6∈(0,1).于是将(17)、(21)、(22)、(25)式代入(15)式,并取ε=1/20，可得将(26)式从1到n相加，并乘以2k可得当n=0时，取=0，(14)～(27)式的证明中只有三线性项的估计有所不同.事实上，注意到只需要将(21)式的最后一行估计中取η-1=e-1=0即可.因此有由u和p的正则性假设，三角不等式和Gronwall不等式，并综合(27)和(28)式可得(7)式.证毕.本文对非定常Navier-Stokes方程提出了一种非协调有限元投影稳定化方法.速度/压力空间采用非协调有限元NCP1-P1，基本L2投影算子构建速度和压力稳定项,由此构造的有限元方法不仅绕开了inf-sup条件对等阶元的束缚，同时也克服了高雷诺数下对流占优引起的振荡.文中给出了详细的稳定性分析和误差分析,由误差估计可以得到误差精度达到了O(h2+k4).文中结合外推公式，将非线性问题转化为线性格式进行处理，从而减少了计算量提高了计算效率.【相关文献】[1] GIRAULT V, RAVIART P A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations[C]//Lecture Notes in Math,749. Berlin:Springer-Verlag,1974.[2] BREZZI F, FORTIN M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M]. Berlin:Springer-Verlag,1991.[3] ZHOU T, FENG M. A least squares Petrov-Galerkin finite element method for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Math Comput,1993,60(202):531-543.[4] DOUGLAS J, WANG J. An absolutely stabilized finite element method for the Stokes problem[J]. Math Comput,1989,52(186):495-508.[5] BECKER R, BRAACK M. A finite element pressure gradient stabilization for the Stokes equations based on local projections[J]. Calcolo,2001,38(4):173-99.[6] CODINA R. Analysis of a stabilized finite element approximation of the Oseen equations using orthogonal subscales[J]. Appl Numer Math,2008,58(3):264-283.[7] BURMAN E. Pressure projection stabilizations for Galerkin approximations of Stokes’ and Darcy’s problem[J]. Numer Meth PDE,2008,24(1):127-143.[8] FENG M, BAI Y, HE Y, et al. A new stabilized subgrid eddy viscosity method based on pressure projection and extrapolated trapezoidal rule for the transient Navier-Stokesequations[J]. J Comput Math,2011,29(4):415-440.[9] QIN Y, FENG M, LUO K, et al. Local projection stabilized finite element method for Navier-Stokes equations[J]. Appl Math Mech,2010,31(5):651-664.[10] 覃燕梅，冯民富，尹蕾. Navier-Stokes方程的一种等阶稳定化亏量校正有限元法[J]. 计算数学，2010，32(1):1-14.[11] BOCHEV P B, DOHRMAN C R, GUNZBURGER M D. Stabilization of low-order mixed finite elements for the stokes equations[J]. SIAM J Numer Anal,2006,44(1):82-101. [12] LI J, HE Y. A stabilized finite element method based on two local Gauss integrations for the Stokes equations[J]. J Comput Appl Math,2008,214:58-65.[13] DOHRMAN C R, BOCHEV P B. A stabilized finite element method for the stokes problem based on polynomial pressure projections[J]. Inter J Numer MethFluids,2004,46(2):183-201.[14] LI J, HE Y, CHEN Z. A new stabilized finite element method for the transient Navier-Stokes equations[J]. Comput Meth Appl Mech Engine,2007,197(1/2/3/4):22-35.[15] HE Y, LI J. A stabilized finite element method based on local polynomial pressure projection for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Appl NumerMath,2008,58(10):1503-1514.[16] 覃燕梅，冯民富，周天孝. 瞬态Navier-Stokes方程的一种新的全离散粘性稳定化方法[J]. 应用数学与力学,2009,30(7):783-798.[17] LI J, CHEN Z. A new local stabilized nonconforming finite element method for the Stokes equations[J]. Computing,2008,82(2/3):157-170.[18] JING F, SU J, ZHANG X, et al. Characteristic stabilized nonconforming finite Element method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations[J]. Chin J Engine Math,2014,315:764-778.2010 MSC：49J20; 49K20; 65M12; 65M60。
高斯小学奥数六年级下册含答案第13讲_组合综合练习
21. 答案：1006．解答： 每连续 8 个数中， 最多能取 4 个． 2010 8 251L 2 ，所以从 1 到 2008 中，最多可以取出 1004
个数，再加上 2009 和 2010，所以最多能取出 1006 个数．
22. 答案：7．解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图
开了．剪开后，得到 7 块长方形．
第十三讲 组合综合练习
【学生注意】 本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟．
一、填空题 Ⅰ（本题共有 8 小题，每题 6 分）
1. 箱子里有 7 个红球、 8 个白球和 9 个蓝球，从中摸出 ______个球，才能保证每种颜色的球都至少有 一个．
2. 三位老师对四位同学的竞赛结果进行了预测． 邹老师说：“墨莫第一， 卡莉娅第四． ”李老师说：“萱 萱第一，小高第三． ”杨老师说： “卡莉娅第二，萱萱第三． ”结果四位同学都进入了前四名，而三 位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第 ________名．．
萱萱第四；情形二： “卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾．所以只能是情
形一，萱萱是第四名
3. 答案： 13．解答：所得的和数一定是 3 的倍数，最小是 6，最大是 42，中间的 3 的倍数也都能得到，所以一共有
42 6 3 1 13 个不同的和．
4. 答案： 111．解答：“ 5 啤酒瓶 =1 啤酒瓶 +1 酒”，所以“ 1 酒 =4 啤酒瓶”．由 89 4 22L 1 ，说明 89 个啤
4 升的水，那么至少要从河中取水
_______ 次．
10. 邮递员送信件的街道如图所示， 每一小段街道长 1 千米． 如果邮递员从邮局出
发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走
高斯分布正态分布
高斯分布正态分布高斯分布正态分布000正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
高斯讲座Lecture 07
The spin state of the molecule must also be specified when inputting an electronic structure calculation. •For closed shell systems, the spin state is a singlet (s=0) •For a system with a single dangling bond, the charge state is usually a doublet (s=1/2) •For a system with multiple unpaired electrons, the charge state is not often obvious.
QC Practical Issues
Lecture 7 Page 7
Methylene example
Methylene: Neutral molecule. Singlet or triplet? 2 CH bonds CH ~ 1.09Å 2 mirror planes. (C2V symmetry, like water).
3 Nodes
QC Practical Issues
Lecture 7 Page 2
Molecular Orbitals from SALC of Atomic Orbitals
We can make combinations of SALC of atomic orbitals to form molecular orbitals:
QC Practical Issues
Lecture 7 Page 6
Ethylene example
高斯状态
centered at the origin with width determined by d. Thus this state represents a particle
“localized” near the origin within a statistical uncertainty specified by d.
We define this state by giving its components in the position basis, i.e., its wave
function:
1
x2
ψ(x) = x|ψ =
√ π1/4 d
exp ikx − 2d2
.
You can check as a good excercise that this wave function is normalized:
Combining systems in quantum mechanics
In our generalization from a particle moving in 1-d to a particle moving in 3-d we tacitly took advantage of a general quantum mechanical scheme for combining systems to make composite systems. In particular, we viewed a particle moving in 3-d as essentially 3 copies of a particle moving in 1-d. We do this sort of thing all the time in physics. For example, if we have a satisfactory kinematic model of a particle and we want to consider a kinematic model for 2 particles, we naturally try to use two copies of the model that we used for one particle. As another example, we have presented a model of a spin 1/2 system, what if we want to describe 2 spin 1/2 systems? Or what if we want to describe a particle with spin 1/2? All these situations require us to know how to combine quantum mechanical models to make composite models. Here we outline the scheme using our generalization from a 1-d particle to a 3-d particle as illustration. Later we will have occasion to use this construction again.
数学家高斯的故事优质PPT课件下载
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
同学们，你知道高斯使 用了什么快捷的方法吗
请看下图：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
……
=21
……
=21
=21 =21
第一个数和倒数第一个数相加， 1+20 等于 21
第二个数和倒数第二个数相加， 2+19 等于 21
第三个数和倒数第三个数相加， 3+18 等于 21
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
数学家的故事—高斯 ppt课件
PPT课件
11
高斯的研究领域
PPT课件
12
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、 复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于 天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生 共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟 的作品发表出来。
高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈到：“任何一个花 过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”
PPT课件
13
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明 开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出 了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺 失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的 证明。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函 数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函 数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发 明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以 外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰 出的贡献。
PPT课件
14
高斯的个人著作
PPT课件
15
著作
《算术研究》 《天体运动理论》 《曲面的一般研究》 关于代数基本定理的博士论文 《高等大地测量学理论》上 《高等大地测量学理论》下 《地磁的一般理论》
——大地测量
PPT课件
9
1820年前后，高斯把注意力转向大地测量——用数学方法测定地球表面的形 状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。
数学家高斯的故事ppt课件
1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ?
5
50个101
1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050
6
老师看着小高斯的答卷，惊讶得说不出 话。其他学生过了很长时间才交卷，而且 没有一个是算对的。高斯的计算能力，更 主要地是高斯独到的数学方法、非同一般 的创造力，使布特纳对他刮目相看。他特 意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说： “你已经超过了我，我没有什么东西可以 教你了。”
7
从此，小高斯“神童”的美名不胫 而走。村里一位伯爵知道后，慷慨 出钱资助高斯，将他送入附廷根大学学习。刚进入大学时， 还没立志专攻数学。后来听了数学 教授卡斯特纳的讲课之后，决定研 究数学。卡斯特纳本人并没有多少 数学业绩，但他培养高斯的成功， 足以说明一名好教师的重要作用。
12
1+2+3+4+3+2+1= 5+6+7+8+9= 1+4+7+10+13+16=
13
同学们，只要你对数学抱有浓 厚的兴趣，专注的态度，勤于动 脑，积极主动、思考，你也能成 为小高斯这样的数学家。
14
我们一起 努力 吧！
15
数学家高斯的故事
（外国文化节—走进德国课程）
1
高斯简介
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss， 1777年4月30日－1855年2月23日），男， 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地 测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学 家之一，并有“数学王子”的美誉。生于布伦 瑞克，1792年进入Collegium学习，在那里他 独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的 “二次互反律”、素数定理、及算术-几何平 均数。1795年高斯进入哥廷根大学，1796年 得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正 十七边形尺规作图之理论与方法》。1855年2 月23日去世。高斯在历史上影响巨大，可以 和阿基米德、牛顿、欧拉并列。
高斯单位制
参考文献^ 1.01.11.2"CGS"(/~rowlett/units /cgsmks.html), in How Many? ADictionary of Units of Measurement ,by Russ Rowlett and the University of North Carolina at Chapel Hill 1.^ 2.02.1例如，研究院学生广泛使用的J.D. Jackson 所著电磁学教科书《Classical Electrodynamics 》，发行于1975年的第二版只采用高斯单位制；但是，发行于1978的第三版，大半内容改采用国际单位制。
2.^3.03.1Littlejohn, Robert. Gaussian,SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory(http://bohr.physics.berkeley .edu/classes/221/0708/notes/emunits.pdf)(pdf). Physics 221A, University ofCalifornia, Berkeley lecture notes. Fall 2007 [2008-05-06].3.^Kowalski, Ludwik, 1986, "A Short History of the SI Units in Electricity,(4./~kowalskiL/SI/SI_PAGE.HTML)" The Physics T eacher 24(2): 97-99.Alternate web link (subscription required) (/10.1119/1.2341955)^ 5.05.1Jackson, John David,Classical Electrodynamic. 3rd., USA:John Wiley & Sons, Inc.. 1999: pp.782-783, ISBN 978-0-471-30932-15.^Cardarelli, F ., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights andMeasures: Their SI Equivalences and Origins ( /books?id=6KCx8Ww75VkC). 2nd.,Springer. 2004: 20–25,ISBN 1-8523-3682-X6.^Cohen, Douglas, Demystifying Electromagnetic Equations: A Complete Explanation of EM Unit Systems and EquationT ransformations (SPIE Press Monograph Vol. PM106), SPIE Publications. 2001: pp. 155ff,ISBN 978-08194423457.取自“/w/index.php?title=高斯單位制&oldid=25839192”本页面最后修订于2013年3月19日 (星期二) 01:51。
高斯求和讲解
第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。
1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。
于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。
小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。
若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。
后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。
其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。
例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。
由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。
原式=（11+31）× 21÷2=441。
在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。
根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。
高斯过程协方差函数的正定性与Karhunen-Loeve展开
国内图书分类号：O211.61 国际图书分类号：519.21
பைடு நூலகம்
学校代码：10213 密级： 公开
理学硕士学位论文
高斯过程协方差函数的正定性与 Karhunen-Loeve 展开
硕 士 研 究 生 ：何昀锋 导 师：刘国庆副教授
申 请 学 位：理学硕士 学 科：概率论与数理统计
所 在 单 位：理学院数学系 答 辩 日 期：2011 年 6 月 授予学位单位：哈尔滨工业大学
Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
摘
要
随机过程是研究偶然现象的重要手段。高斯过程是最重要的随机过程。它是 信号处理的重要工具，与核函数、紧算子、小偏差概率联系紧密，且有十分良好 的性质：线性组合正定性、协方差函数的正定性、独立与不相关等价性等等。 本文“高斯过程协方差函数的正定性与 Karhunen-Loeve 展开”以高斯过程为 核心，讨论了几类协方差函数的正定性，及其 Karhunen-Loeve 展开，最后用它的 协方差函数构造了相应的再生核希尔伯特空间。 本文主要研究内容如下： （1）讨论了复数域上的正定函数的定义、性质、判别法。研究了利用内积的 分解判别法和利用半正定矩阵的判别法，并且根据矩阵构造了正定函数。 （2）研究了高斯过程协方差函数的正定性，得到了几类高斯过程的 Karhunen-Loeve 展开。 （3） 根据高斯过程 Karhunen-Loeve 展开与再生核希尔伯特空间的联系构造了 高斯过程对应的再生核希尔伯特空间。 本文结构如下：第一章绪论介绍了本课题的背景、现状等相关情况；第二章 系统研究了二元函数的正定性；第三章给出了几类高斯过程的 Karhunen-Loeve 展 开；第四章用第三章的高斯过程构造对应的再生核希尔伯特空间。 关键词：正定函数；正定矩阵；Karhunen-Loeve 展开；高斯过程；再生核希尔伯 特空间
非线性非高斯滤波讲义
非线性/非高斯滤波讲义L ECTURE N OTES ON N ONLINEAR N ON-G AUSSIAN F ILTERING（第0.3版）张永安哈尔滨工业大学航天学院电话：150********；Email：zhangyongan76@2012年3月符号表∼：随机变量（向量）x具有概率分布密度函数()p x。
x p x()Pr()x：x取某值的概率。
∼：x服从均值为x、自协方差阵为P的高斯分布密度函数。
(;,)x N x x Pexp()x：x的指数函数，也可写作x e。
第一章 最优滤波的一般描述1.1 预备知识z 符号表示：()x p x ∼：随机变量（向量）x 具有概率分布密度函数()p x ； Pr()x ：x 取某值的概率；(;)x N x x P ∼：x 服从均值为x 、自协方差阵为P 的高斯分布密度函数；exp()x ：x 的指数函数，也可写作x e 。
z 估计（Estimation ）：从受到各种噪声和干扰影响的信号中按一定准则提取有用信号的过程。
z 估计器（Estimator ）：用作估计的算法。
z 估值（Estimate ）：被估计量经估计后得到的真实值的估计值。
z 决策（Decision ）：从一组离散的物理量中选取其中一个的估计过程。
z 滤波（Filtering ）：估计动态系统当前状态的过程。
z 导航（Navigation ）等运动状态信息。
z 跟踪（Tracking ）：通过遥测的方法估计运动体的状态信息。
引理1：分块矩阵求逆 给定11122122P P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则其逆阵为11122122T T T T T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中()()111111122221112211122221112111222121222111T P P P P T P P P P V P P TV P P T −−−−−−⎧=−⎪⎪⎪=−⎨⎪=−⎪=−⎪⎩引理2 矩阵逆引理 设,A C 可逆，则()1111111()A BCD A A B DA B C DA −−−−−−−+=−+若用1A −代替A ，1C −代替C ，则()1111()A BC D A AB DAB C DA −−−−+=−+1.2 高斯随机向量的概率特征n 维随机向量n x ∈ 可以由其概率分布函数()F x 或者概率分布密度函数()p x 来表征，若其具有分布密度函数()p x ，则()()xF x p x dx −∞=∫x 也可以由其特征函数来决定，x 的特征函数为其概率分布密度函数的傅里叶变换：()()()TTnjx jx x E e e p x dx ωωφω=∫ ，()1()()2T njx x np x ed ωφωωπ−=∫顾名思义，高斯随机向量的概率分布为高斯分布（也称多维正态分布）。
热噪声
热噪声加性白高斯噪声（AWGN ：Additive White Gaussian Noise ）是最基本的噪声与干扰模型，通信中遇到的多数噪声和干扰都符合这个模型，其中最典型的是热噪声(Thermal Noise)。
一 电阻的热噪声将一个电阻从正中间画一条线分成上下两部分，那么线上的自由电子数和线下的自由电子数的数目是随机的，上下数目差也是随机的。
这个数目差意味着一个电动势，如果有闭合回路的话（如图4.8.2），就会形成一个随机电流，这就是热噪声。
叫热的原因是因为在绝对0度时，电子不运动，这样就不会有随机的电动势。
很显然，电阻的温度越高，随机性也就越强。
每个电子都在随机运动，上下数目差是这些电子随机运动的后果。
电子的总个数足以满足中心极限定律的条件，由此可知热噪声具有高斯的特征。
电子的运动速度极高。
相对于通信中的时间单位如ms 、µs 乃至ns 而言，在极短的一个时间间隔后，上下的电子数目已经毫不相关了，就是说热噪声的自相关函数对于我们的时间刻度来说是一个冲激函数，因此热噪声是一个白噪声。
综合这两点就是说：热噪声是白高斯噪声。
特别注意：白与高斯是两个单独的特征。
高斯是指一维分布，白由二维分布决定。
设()X t 是随机过程，下面的陈述A 涉及一维分布，陈述B 涉及二维分布。
A. 对X(t)进行了大量测试后发现，80%高于4.5，60%高于3.5；B ．对X(t)同时观察相隔10秒的两个值()X t 和()10X t −，大量观察发现，在90%的情况下，()X t 与比10秒前相比，相差不会超过1±V ；在80%的情况下，相差不会超过±0.5V 。
物理学家告诉我们，热噪声的单边功率功率谱密度为0N KT =，其中231.3810K −=×是波尔兹曼常数，T 是绝对温度。
热噪声在带宽B 内的噪声功率KTB （本讲中所谈论的噪声功率均指在匹配负载上的可获功率）。
PDE数值方案的稳定性分析
这个问题的，另外的将在稍后介绍。尤其是 lectureGBNS 进行的一系列计算在细节上显示了
这个方案是如何失败的。我们用一组结果来展示这个问题。
例 1.1 考虑方程（1.5）具有如下初始条件（周期为 T=2）：
u(x, 0)
=
u0
( x)
=
1 2
(1 +
cos(π
x))
和
v(x, 0) = v0 (x) ≡ 0
G 被称为增加因子，很显然有：
对于所有k， G < 1才稳定
(2.2)
否则一些模式将在每一个时间步长内被 G 因子放大，最终影响解。对于一个方案，如果它
在对时间步长有 0 < ∆t ≤ τ (∆x) 的限制时（其中 τ 是它的模的正函数 ）满足稳定条件
G ≤ 1，那么它就被称为时稳定的。注意后一个形式的限制要可以在任意的时间和空间步
一致性的简单意思是，随着 ∆x, ∆t 的消失，满足方程的数值方案的解的误差也要随之消失。
这事实上正是方程（1.6）所要告诉我们的有关（1.7）中的方案的内容。一致性确保了数值 方案真正的逼近于我们所要解的方程（而不是其他的）。 稳定性的简单意思是方案不会放大误差。很明显这非常重要，因为在任何数值计算中，误差 都是无法避免的。事实上，即使在无限精确的理想条件下，我们也要处理离散误差，即（1.6） 中的 O 项。很明显，如果误差被放大，它很快就会影响到所有计算（使其无用）。
5
——它对应于例 1.1 中 N = 100 的情况，并用（1.7）解 0 ≤ t ≤ 0.5 时的方程。这类似于我们
在前一个例子中所作的，只不过这里我们是（通过改变参数 a）来改变初始值，而不是改变
N 来调节分辨率。在第一个计算中，我们取一个相对较大的 a，比如 a = 10 。图 1.4 显示出
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Many of the errors inherent in the approximations needed to make ab initio methods practical are systematic. Various correction methods have been developed to estimate the size of the errors due to these approximations, and to determine approximate corrections for the various methods. Corrections have been developed for: • vibrational frequencies • basis set truncation • correlation energy Each of these corrections can be applied to a specific calculation individually, or combined to form a method, for example the G2 method.
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 5
The G2 Method
The G2 method is similar to the CBS-Q and CBS-4 methods and also involves a series of calculations: 1) HF/6-31G(d) opt for geometry. 2) HF/ 6-31G(d) freq for ZPE. 3) MP2/6-311G(d,p) opt from HF opt in 1. Use this geometry for all later jobs. 4) MP4/6-311G (d,p) Single point for base level energy. 5) MP4/6-311+G (d,p) Single point to correct base for diffuse functions 6) MP4/6-311G (2df,p) Single point to correct base for polarization functions (set to zero if greater than from step 5) 7) QCISD(T)/6-311G(d,p) Correction for correlation energy 8) MP2/6-311+G(3df,2p) Correct for non-additive corrections in 5, and 6 9) High level corrections and Spin correction
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 2
Corrections for Basis Set Truncation
All calculations must be performed at a particular basis set. • The larger the basis set, the more accurate the calculation (usually). However the calculation also becomes more expensive with bigger basis sets. • Various studies have noted that the largest errors in calculating total energies usually come from the finite size of the basis set. • We also know that successively increasing the size of the basis set leads to smaller and smaller improvements in energy. Thus, the asymptotic convergence of the total energy with basis set size can be used to determine an extrapolated estimate for the energy for the complete basis set. Various schemes have been developed to do this and all involve a series of calculations with different basis sets (and sometimes at higher level methods) to determine the extrapolation.
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 1
Vibrational Frequencies
Scaling factors can be derived to correct vibrational frequencies. This is done by performing calculations on small molecules with well characterized frequencies similar to the molecule of interest to obtain a multiplicative scaling factor:
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 6
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 4
CBS Methods
CBS: Complete Basis Set extrapolation methods. CBS-4 1) HF/3-21G(d) opt for geometry. 2) HF/3-21G(d) freq for ZPE. 3) HF 6-311+G(3d2f,2p) For base energy. 4) MP2/6-31+G with basis set extrapolation to correct basis set and correlation to 2nd order. 5) MP4 /6-31+G(d,p) to estimate higher order corrections. The CBS-Q method is similar: CBS-Q 1) MP2/6-31G(d) opt for geometry. 2) HF/6-31G(d) freq for ZPE. 3) HF 6-311+G(3d2f,2p) For base energy. 4) MP2/6-31+G with basis set extrapolation to correct basis set and correlation to 2nd order. Basis set extrapolation done with more points that CBS-4 5) MP4 /6-31+G(d,p) and QCISD(T) to estimate higher order corrections. Higher order corrections for spin contamination and core correlation often added.
Systematic Corrections
Lecture 13 Page 3
Correlation Energy Corrections
Not only can correction schemes be developed to determine the effects of basis set truncation, but extrapolation to higher order methods that include more correlation energy can also be performed. Extrapolation schemes consist of a series of calculations at higher levels of theory to estimate the convergence point of the total energy with level of theory. A series might include HF, MP2, MP4 and QCISD. HF is used as the base method. MP2 is used to include second order corrections to the energy. MP4 is used to approximate higher order corrections. QCISD is used to determine how well MP4 approximated the higher order corrections and thus how to include the higher order corrections. The best calculations would involve performing high level methods (say QCISD or CCSD) at very large basis sets. Because it is impractical to do this calculation we approximate the best calculation by correcting for both basis set and correlation energy together. Several methods have been developed to do this. CBS Methods: CBS-4 and CBS-Q G1, G2, and G3