《极坐标系的概念》课件(已修改)
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极坐标系 课件
穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以 表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面
内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标
的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角 ，记为 θ ．有序数对 (ρ，θ) 叫做点
M的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0
，θ可
取 任意实数 ．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②
已知定点P4，π3 . (1)将极点移至O′ 2 3，π6 处极轴方向不变，求P点的 新坐标；
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 6 角，求P点的新坐 标．
[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求 法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然 后求相应的点的极坐标．
(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知
|OO′|＝2 3，|OP|＝4，∠POx＝π3 ，∠O′Ox＝π6 ， π
∴∠POO′＝ 6 .来自在△POO′中，ρ2＝42＋(2
3 )2－2·4·2
3 ·cos
π 6 ＝16
＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
π ∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝ 2 .
∴∠OPO′＝π3 . ∴∠OP′P＝π－π3 －π3 ＝π3 .
法一：由A(3，－
2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面
内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标
的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角
xOM叫做点M的极角 ，记为 θ ．有序数对 (ρ，θ) 叫做点
M的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0
，θ可
取 任意实数 ．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②
已知定点P4，π3 . (1)将极点移至O′ 2 3，π6 处极轴方向不变，求P点的 新坐标；
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 6 角，求P点的新坐 标．
[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求 法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然 后求相应的点的极坐标．
(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知
|OO′|＝2 3，|OP|＝4，∠POx＝π3 ，∠O′Ox＝π6 ， π
∴∠POO′＝ 6 .来自在△POO′中，ρ2＝42＋(2
3 )2－2·4·2
3 ·cos
π 6 ＝16
＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
π ∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝ 2 .
∴∠OPO′＝π3 . ∴∠OP′P＝π－π3 －π3 ＝π3 .
法一：由A(3，－
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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第1章 §2 21 极坐标系的概念
?
A(0,0) ，B(a,0)，C?
?
3a，π6???，D???2a，π3???，E???
3a，π2???，F???a，23π???.
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极坐标确定点的位置
已知点 A 的极坐标是 ???6，53π???，分别在下列给定条件下，画出点 A 关于极点 O 的对称点 A′的位置，并写出 A′的极坐标：
2.写点的极坐标要注意顺序：极径 ρ 在前，极角 θ 在后，不能颠倒顺序.
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[再练一题] 1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为 a，极轴通过它的一边，试求正 六边形各顶点的极坐标.
【导学号：12990004】
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【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B???2，53π???.
关于直线 l 的对称点为 C???2，23π???. 关于极点 O 的对称点为 D???2，43π???. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上.
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1.点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐 标是唯一确定的.
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由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点 O； (2)作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴； (3)以极点 O 为顶点，以极轴 Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴 Ox 确 定出极角的终边； (4)以极点 O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点 的位置.
阶
阶
段
极坐标系 课件
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0.
.
[例 1] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极 坐标．
(1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝π2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和 极角两个量，为此应明确它们的含义．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的 极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的 极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的 对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一 对应的．
[例 2] (1)把点 A 的极坐标(2，76π)化成直角坐标； (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0， 0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解 题．
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ，自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴 ；再选定一个 长度单位 ，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取
逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一 点M，用ρ表示 线段OM长度，用θ表示 射线Ox到OM的
[解] (1)x＝2cos76π＝－ 3，
y＝2sin76π＝－1，
故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
(2)ρ＝
12＋－
32＝2，tan
－ θ＝ 1
3＝－
3.
又因为点 P 在第四象限且 0≤θ<2π，得 θ＝53π.
因此点 P 的和直角坐标互化的前提条件有三，即极点 与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位， 三者缺一不可．
《极坐标系的概念》课件
关系：点和极半径
说明点在极坐标系中距离原点距离的表达方式
极坐标系的转换
1
转换方法
详细说明从直角坐标系到极坐标系的转换过程
2
示例图
提供转换后的极坐标系示例图以帮助理解
பைடு நூலகம்
极坐标系与直角坐标系的转换
1
转换方法
介绍极坐标系到直角坐标系的转换方法
例子讲解
2
使用几个实际例子进行转换方法的演示
总结
1 特点及应用
《极坐标系的概念》课件
# 极坐标系的概念 ## 什么是极坐标系 - 介绍直角坐标系与极坐标系的区别 - 解释极坐标系的定义及表达方式
极坐标系的应用
数学领域的应用
探索极坐标系在曲线描述和积分计算中的优势
物理领域的应用
解释极坐标系在力场和电场分布分析中的应用
极坐标系的基本元素
关系：点和极角
讲解点在极坐标系中位置的确定与极角的含义
概述极坐标系的特点及其在数学和物理上的广泛应用
2 重要意义
强调极坐标系在解决复杂问题和简化计算中的重要性
极坐标系的概念公开课获奖课件
练习: 写出如下各点负极径极坐标
（3, /4）
（3, - /4）
答: （-3， + /4） （-3， - /4）
第23页
负极径总结: 极径是负，等于极角增长 。 负极径负与数学中历来习惯相似，用来表
达“反向” 尤其强调: 后来不尤其申明， 0 。
由于，负极径只在很少数状况用。
第24页
五、极坐标系下点极坐标
在以…为X轴 以…为Y轴,
坐标是...
算太慢了！
第4页
以天河路为X轴
请问：
以广州大道为Y轴... 去广州塔怎么走？
第5页
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
痴线！
第6页
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
第7页
从这向东 米。
请问： 去广州塔怎么走？
第8页
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
第11页
题组一: 说出下图中各点极坐标
2
4
5
6
C
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
第12页
尤其规定: 当M在极点时，它极
坐标 = 0， 可以取任意值。
想一想？Βιβλιοθήκη 极点（0, ）（ R） 即极点有无数个极坐标。
①平面上一点极坐标与否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表达措施？ ③坐标不唯一是由谁引起？ ④不一样样极坐标与否可以写出统一表达式？
题组二: 在极坐标系里描出如下各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
极坐标系 课件
置.建 立 适 当 的 极 坐 标 系, 写 出 各 点 的 极 坐 标.
解 以点A为极点, AB所在射
线为极轴(单位长度为1m,E的极坐标分
别
为0,0
,
60,0,
120,
3
,
60
3,
2
,
50,
3
4
.
D
C
120m
E
450
50m
600
x 这就是极坐标与直角坐标的 互化公式.
y
O x Nx
图1 14
例3
将点M的极坐标
5,
2
3
化成直角坐标.
解
x
5
cos
2
3
5 2,
y
5 sin
2
3
53 2.
所以
,
点M的直角坐标为
5 2
,
5
3 2
.
例3 将点M的直角坐标 3,1 化成极坐标.
把直角坐标 转化为极坐 标 时, 通 常 有 不同的表示 法(极角相差
画点的位置时的区别吗?
由 终 边 相 同 的 角 的 定 义可 知, 上 述 极 坐 标 表 示
同一个点.实际
上,
4,
6
2k
k
Z
都表示这
个点.
一般地, 极坐标, 与, 2k k Z 表示
同一个点.特别地, 极点O的坐标为0, R.
和 直 角 坐 标 不 同, 平 面 内 一 个 点 的 极 坐 标有 无
如图1 10 ,在平面内取一定
M,
点 O,叫做 极点 ;自极点 O 引 一 条 射 线Ox,叫 做 极 轴; 再 选 定一个长度单位一个角度单 O
《极坐标系的概念》课件 (1)
O
而反向延长也可以说成旋转 ，因此， 所谓“负极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致，用“负” 表示“反向 ”。
Page 17
P
O X
M
5 6
2 F 3• B
2
4
•
•
D 。 O
• A
1
x
•
5 4 [小结] (, )
Page 18
•
E
C 2
5 3 (-, +)
4 3
Page 9
•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
特别规定：当M在极点时，它的极坐标
= 0， 可以取任意值。
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标。
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
Page 21
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的 最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点 作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是 什么？直线MN的极坐标方程是什么？
M x
射线OM：
； O
45°
射线ON：
Page 22
；N
和
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于
5 ( 0) 4
2、求过极点，倾角为
4
的直线的极坐标方程。
5 或 4 4
Page 28
几种特殊的直线的极坐标方程：
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：
cos a
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐 标方程： cos a
人教版选修——极坐标系的概念-PPT
问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：请问到江山怎么走？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？
精品文档
情境2：请问到江山怎么走？ 请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向西走1000米！
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
精品文档
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 ,0的点M（，）所组成的图形
3
若（ 3）中的R，则 M表示什么样的图形
极坐标系的概念精品文档与角α终边相同的角：β=α+2kπ,k∈Z
平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单最常
y
b
P(.a,b)
用的一种坐标系，但不是唯一 的一种坐标系. 有时用别的坐标
O
a x
系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问 题.
精品文档
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
精品文档
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
M
[1]给定（ , ）,就可以在极坐标平
(ρ,θ)
面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
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Page 18
Page 14
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 )对应的点的位置？ 当<0时，点 M(,( , )的位置规定： 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 6 ° O M(-2, 5) 6 ° O
M
极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 计算角度的正方向 ____________________； O (, ) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____
X
Page 9
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
Page 11
3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
建构数学
1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度 单位（通常取弧度）及其正方向 （通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
Page 8
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角
从这向东 2000米。
请问： 去广州塔怎么走？
Page 6
请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
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极坐标系的概念
Page 1
与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ 一一 对应的.
y 平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别 的坐标系比较方便.
b
O
P(a,b)
.
a
x
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
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4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2 4
5 6
D
• E •
F
•
C
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 )
。 O1
• B
• •
A
x
5 D(5, ) 6 E(4.5, )
4 3
Page 10
•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练 ] 在图1-11上描下列点：
Page 13
数学运用
例2、在极坐标系中， （ 1）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 4 5 （2）已知两点P（5、 ），Q（ 1， ），求线段PQ的长度。 4 ,4 （3）说明满足条件
3
, 0的点M（，）所组成的图形
若（ 3）中的 R，则M表示什么样的图形？
x
Page 15
x • •M(-2, 5) M (, ) 6 小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
5 6
2 F 3• B
2
4
•
•
D 。 O
• A
1
x
•
5 4 [小结] (, )
Page 16
•
E
C 3 2
5 3 (-, +)
Page 2
如何确定以下两船 的位置关系呢？ （1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北20º .
发现走私!!!
20º
拯救船
O
Page 3
x
距离40 km
π 方向： 4
O
Page 4
x
从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
4 A(3, 0)、B(6, 2 )、C (3, )、D(5, )、 2 3 5 5 E (3, )、F (4, )、G (6, ) 6 3 [小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点. 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 17
课后作业
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 2 2 (A) (10,4 ) (B) (-10, 5 - ) (C) (10, - ) (D)(10, 3 3 3 3
11 6
A(-4,0) 5 B(3, 6 ) C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 ) ( 4, F 3
(, 2k+)
都是同一点的 极坐标. (-, +(2k+1))
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.