全等三角形的证明1
全等三角形的判定(一)
14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。
2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。
数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。
问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。
情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。
【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。
【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。
【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。
另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。
“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。
【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。
2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。
教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。
全等三角形 全等三角形的判定(一)
全等三角形全等三角形的判定（一）一、知识概述1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．如果两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，互相重合的顶点叫做对应顶点．全等三角形用符号“≌”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子．如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DFE．读作“△ABC全等于△DFE”．2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．如图，若△ABC≌△DFE，则AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等)3、全等三角形的判定方法方法一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．方法二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．二、重难点知识1、常见的全等三角形的基本图型（1）平移全等型（如图）；（2）对称全等型（如图）；（3）旋转全等型（如图）．2、判定方法一中的角是两边的夹角，方法二中的边是两角的夹边．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.说明一个结论不成立只需举一个反例即可。
如图在△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=AD.∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能重合，故△ABC与△ABD不全等.所以应与两边及夹角对应相等的两个三角形全等区别开来，不能混为一谈。
三、典型例题分析例1、如下图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数.分析：根据全等三角的对应角相等的性质，并结合三角形的内角和进行计算求解.例2、如图（1），等腰△ABC与等腰△DEC共点于C，且∠BCA=∠ECD，连结BE、AD，若BC=AC，EC=DC，求证：BE=AD，若将等腰△DEC绕点C旋转至图（2）、（3）、（4）情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（1）（2）（3）（4）分析：先结合图形（1）证明结论BE=AD成立，是运用边角边公理证明的，比较（2）、（3）、（4）和（1）的关系，图形的位置变了，仔细观察，什么变了，什么没变，可以发现△EDC绕C旋转过程中，虽然∠BCE和∠ACD的大小变了，但它们总是相等的，所以△BCE≌△ACD，从而结论成立.例3、如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC.（1）若D是AE上任意一点，求证：△ABD≌△ACD.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试证明你的猜想.例4、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长.例5、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．1、全等三角形是（）A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的两个三角形2、如下图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3、已知线段BC交AD于O点，连接AB、CD，且△OAB≌△OCD，则AB与CD（）A．不一定相等B．一定平行C．一定相等且平行D．一定相等可能平行4、下列说法中错误的是（）A．两个全等三角形的面积相等B．面积不相等的两个三角形不全等C．不全等的两个三角形面积可能相等D．面积相等的两个三角形全等5、如下图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店中去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去6、如图所示，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，∠1=110°，∠BAE=60°，那么∠CAE=（）A．20°B．30°C．40°D．50°7、如图，已知AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（）A．∠B=∠C B．∠D=∠E C．∠1=∠2 D．∠CAD=∠DAC8、△ABC≌△DEF，若满足以下条件一定全等的是（）A．AB=DE，∠B=∠E，AC=DF B．AB=DF，∠A=∠D，AC=DEC．BC=EF，∠B=∠E，AB=DF D．AB=DF，∠A=∠F，BC=EF9、在△ABC与△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，AB=4，∠D=40°，∠E=80°，EF=4，则△ABC和△DEF（）A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．以上都不对10、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD=CD.∠A=120°，则∠C=（）A．30°B．60°C．90°D．45°B 卷二、解答题11、如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=5cm，（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由.12、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：（1）△ABC≌△DEF（2）∠CBF=∠FEC13、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证；AC⊥CE.14、如下图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=AB.（1）△ABE与△ADF全等吗？请说明理由.（2）阅读下面的材料：如图2，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度可以变到△ECD的位置.如图3，以BC所在的直线为轴把△ABC旋转180°可以变到△DBC的位置.如图4，以点A为中心，把△ABC旋转180°可以变到△AED的位置.像这样，其中一个三角形是另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变图形的位置，不改变图形大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.（3）回答下列问题：①在图1中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种变换方法，使△ABE变到△ADF的位置；②指出图1中线段BE与DF之间的关系，并说明理由.15、（2003年青海）此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类做，多做的题目不记分.（A类）已知：如图（1）所示，AB=AC，AD=AE，那么∠B=∠C.（B类）已知：如图（2）所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，那么OB=OC.（C类）如图（3）所示，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出推理过程.。
2021初中数学证明三角形全等方法总结
2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。
完整版全等三角形证明
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:∴FD=AD=a,即AF=2a.
证明:∵ ∠ABC=60°, ∴ ∠BAC+ ∠BCA=180°- ∠ABC=180°-60°=120°.
又∵CE平分∠ACB,
∴ ∠3= ∠4.
又∵ ∠5= ∠3+ ∠2=
1
∠12BAC+
∠B1CA
2
= (∠2BAC+ ∠BCA)
= 112?0°=60°,
2
一、截长补短
例1:如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD. 证明:∴ ∠6= ∠8=60°,
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
∵BD平分∠ABC,BD⊥AF.
四、补全图形
例4:如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a, 求BE的长. 解:延长AD、BC交于F.
例2:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连结 DE交BC于F.求证:DF=EF. 证明:∴DB=DH.
又∵CE=BD, ∴CE=DH. 又∵ ∠1= ∠2, ∴△DHF≌△ECF. ∴DF=EF.
三、利用角的平分线对称构造全等
三角形全等的判定1——边边边
D
A B C
2.如课本图11.2-3，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是 连接点A与BC中点D的支架。求证：AD垂直于 BC。 .
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
思考：你能用“边边边”解释三角形具 有稳定性吗？
例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， 求证：△AEB ≌ △ ADC。
三、教学目标设计
三、教学目标设计
1.知识与技能：
（1）掌握三角形全等的判定方法，能够用文字语言、图 形语言和符号语言分别表述三角形全等的四种判定方法 （2）通过自主探究，提高合情推理能力和表达能力。
2.过程与方法：
通过用几何画板探索三角形全等条件的过程， 提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度、价值观：
A
B 方法构想
E
D
C
两个三角形中已经的两组边对应 相等,只需要再证第三条边对应相 等就行了.
小结归纳
1
全等三角形证明的基本步骤：
①分析已有条件,准备所缺条件：
证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： • 写出在哪两个三角形中 • 摆出三个条件用大括号括起来
• 写出全等结论
2、如图，AB=CD，AC=BD， 随堂练习 △ABC和△DCB是否全等？试 说明理由。 1、已知：如图，AB=AD，BC=CD， 解：△ABC与△DCB全等， 求证：△ABC≌ △ADC 理由如下：
证明：在△ABC与△ADC中 A AB=AD
BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC C B D
在△ABC与△DCB中 AB=CD
BC=CB
AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB
A
证明全等三角形的五种方法
1.第一种方法争廊是：三组对应边分别相等的两个三角形全等。
俗称sss/边边
边。
也是最简单地证明三角形全阅巨等方法了，不过出题一般不会出此知识点。
2. 2
第二种方法是：有两边及其夹角对应相等的两个全等三角形全等，俗称SAS/边角边。
如下图三角形ABC与三角形ABD全等。
（边AB是公共角，边AC 等于边AD，角BAC=角度BAD)
3. 3
第三种方法是有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，俗称ASA/角边角
如下图：如下图三角形ACD与三角形ABE全等。
（角A是公共角，边AB 等于边AC，边AE=边AD)
4. 4
第四种方法是有两角及一角的对边对应相等的召民汽两个三角形全等，俗称边边角/AAS。
如下图三角形ACD与三角形BCD全等。
（BD是公共边，角A等于角B，角ACD=角BDC)
5. 5
第五种方法是关于直角三角形的。
直角三角形的全等条件是斜边及其一直角对应相等的两个直角三角形全等。
俗称HL/直角边。
如下图，三角形ACD与三角形BCD全等。
三角形全等的公式
全等三角形公式
1、SSS（Side-Side-Side）（边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。
2、SAS（Side-Angle-Side）（边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应相等，且这两条边的夹角（即这两条边组成的角）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。
3、ASA（Angle-Side-Angle）（角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应相等，且这两个角的夹边（即公共边，）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。
4、AAS（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应相等，且其中一个角的对边（三角形内除组成这个角的两边以外的那条边）或邻边（即组成这个角的一条边）对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。
5、HL定理（hypotenuse -leg）（斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。
扩展资料：
性质
1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等。
3、能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4、全等三角形的对应边上的高对应相等。
5、全等三角形的对应角的角平分线相等。
6、全等三角形的对应边上的中线相等。
7、全等三角形面积和周长相等。
8、全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形证明方法
全等三角形证明方法1. 引言在初等数学中，全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
证明两个三角形全等是数学中的基本技能之一。
本文将介绍三种常用的全等三角形证明方法，包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和ASA（角-边-角）证明方法。
2. SSS证明方法（边-边-边）SSS证明方法是基于三角形的三条边相等来推断两个三角形全等的方法。
2.1 定义与引理在此之前，我们先介绍一些定义和引理： - 定义1：三角形的边是指连接两个顶点的线段。
- 定义2：相等的边是指具有相同长度的边。
- 定义3：全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
- 引理1：若两个三角形的对应边相等，则两个三角形的对应顶点所在直线相等。
2.2 SSS证明方法步骤SSS证明方法的步骤如下： 1. 给定两个三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的边AB与DEF的边DE相等，边BC与边EF相等，边AC与边DF相等。
2. 根据引理1可得，由AB和DE所在直线，BC和EF所在直线，AC和DF所在直线相等。
3. 推断三角形ABC和DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
4. 结合引理1的推断，得出三角形ABC与三角形DEF全等。
2.3 示例2.3.1 例题1已知三角形ABC与三角形DEF的边长分别如下： - AB =DE = 5cm - BC = EF = 7cm - AC = DF = 9cm我们通过SSS证明方法证明三角形ABC与三角形DEF全等。
证明过程如下： 1. 根据给定边长，可得AB与DE相等，BC与EF相等，AC与DF相等。
2. 由引理1，能够推断出三角形ABC与三角形DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
3.结合引理1的推断，得出三角形ABC与三角形DEF全等。
由此可得，三角形ABC与三角形DEF全等。
2.4 注意事项在使用SSS证明方法时，需要确保给定的边长满足边-边-边的条件，即三条边分别相等。
全等三角形的证明过程
全等三角形的证明过程引言：全等三角形是初中数学中的基本概念之一，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。
在几何学中，我们经常需要证明两个三角形是否全等，以便解决各种问题。
本文将介绍全等三角形的证明过程，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同的三条边和三个对应的角的两个三角形。
全等三角形的定义可以表示为：如果两个三角形的对应边和对应角相等，则这两个三角形全等。
二、SAS判定法SAS判定法是全等三角形的一种常用证明方法，它指的是若两个三角形的两边长度分别相等，并且夹角也相等，则这两个三角形全等。
证明过程：1. 假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF。
2. 通过SAS判定法，我们需要证明∠BAC=∠DFE。
3. 首先，根据已知条件，我们可以得知两个三角形的一对对应边相等，即AB=DE。
4. 其次，根据已知条件，我们可以得知两个三角形的另一对对应边5. 然后，根据已知条件，我们可以得知两个三角形的一对对应角相等，即∠ABC=∠DEF。
6. 根据三角形内角和定理，我们知道∠BAC=180°-∠ABC。
7. 同理，根据三角形内角和定理，我们知道∠DFE=180°-∠DEF。
8. 由于∠ABC=∠DEF，所以∠BAC=∠DFE。
9. 综上所述，根据SAS判定法，我们可以得出结论：如果两个三角形的两边长度分别相等，并且夹角也相等，则这两个三角形全等。
三、ASA判定法ASA判定法是全等三角形的另一种常用证明方法，它指的是若两个三角形的两个夹角分别相等，并且夹角夹的边也相等，则这两个三角形全等。
证明过程：1. 假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠DFE，AC=DF。
2. 通过ASA判定法，我们需要证明BC=EF。
3. 首先，根据已知条件，我们可以得知两个三角形的一对对应角相等，即∠ABC=∠DEF。
全等三角形证明方法
全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等缺条边的条件：10、等于同一线段的两线段相等9、两全等三角形的对应边相等8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等7、等面积法6、等腰三角形5、角平分线性质4、等量差3、等量和2、中点1、公共边四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA 上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
全等三角形判定一(SSSSAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习4】1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、（2016•泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD ，BC=AC ，∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.举一反三：【变式】（2014•房县三模）如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．求证：△ACD ≌△BCE ．【答案】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ，∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案与解析】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2014秋•兰州期末）如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．【思路点拨】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC.要证明角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．【答案与解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ADC=∠BDC，即DC为∠ADB的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决．举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？【答案】证明：在△OPE与△OPD中∵OE OD OP OP PE PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OPE≌△OPD （SSS）∴∠EOP＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP平分∠AOB.。
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法三角形全等证明方法有多种，以下将按照易于理解的术语解释它们：1. SSS全等法：SSS是指边-边-边全等法。
当两个三角形的三条边分别相等时，我们可以断定它们全等。
这是因为，如果两个三角形的边长相等，那么它们的对应边角也必然相等，而根据三角形的性质，边角的相等可以推导出三角形全等。
2. SAS全等法：SAS是指边-角-边全等法。
当两个三角形的一条边及其两边夹角与另一个三角形的对应边及其两边夹角相等时，我们可以推断它们全等。
这是因为，边与夹角的相等可以唯一确定一个三角形，所以如果两个三角形有一对边及其夹角相等，那么它们必然全等。
3. ASA全等法：ASA是指角-边-角全等法。
当两个三角形的一对对应角及其一对对应边相等时，我们可以推断它们全等。
这是因为，角与边的相等可以唯一确定一个三角形，所以如果两个三角形有一对角及其对应边相等，那么它们必然全等。
4. RHS全等法：RHS是指直角-斜边-高全等法。
当两个直角三角形的斜边及其高相等时，我们可以断定它们全等。
这是因为，直角三角形的两个直角边相等时，它们的斜边和高也必然相等，而根据直角三角形的性质，斜边和高的相等可以推导出全等。
5. AAS全等法：AAS是指角-角-边全等法。
当两个三角形的两对对应角及其一对对应边相等时，我们可以推断它们全等。
这是因为，两个三角形的两个角相等可以唯一确定一个三角形，所以如果两个三角形有两对角相等及其一对对应边相等，那么它们必然全等。
这些全等证明方法是基于三角形的性质和几何定理。
通过观察和比较三角形的边长、角度和特殊性质，我们可以判断它们是否全等。
在证明中，我们需要详细列出已知条件和证明过程，以确保准确无误。
这些证明方法在解决几何问题和构造图形时非常有用。
全等三角形证明方法总结
敷学培fit 方法*»1-2価明三廊形全箸(舍倦段相著、角相等)的几种方法一、三角形全等的判定:① 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSSJo 【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】② 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】 r 当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检査“角是不是两边夹角“。
i ③ E鬲爲反養美另另航蒔京满不三浦花荃,新忑「① 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)o⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)o F ............................ } j 直角三角形全等的特殊证法。
但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。
： !如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90。
的角所对的边就能找到斜边: ................................................................................................. J 二、全等三角形的性质： ① 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
② 全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
①全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
几种常见全等三箱形的基本图形： 【平移】i 题目中只要得出“1对边及2对角相等"，那就能证明三角\ ；形全等，唯一要做的就是区分好是ASA 还是AAS三、找全等三痢形的方法：①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中:②可以从己知条件出发，看己知条件可以确定哪两个三角形相等;③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;①若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
全等三角形证明
全等三角形证明一、全等三角形证明方法二、全等三角形常见模型（一）基础模型1、平移型沿同一直线平移可得两三角形重合。
2、翻折型沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得两三角形重合。
3、组合型（平移+折叠、平移+旋转）AABCDAF BA将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后两三角形可关于这点所在的直线对称变换后重合或者绕该顶点旋转后重合。
（一）角平分线模型1、角平分线的性质模型辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC2、角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF ∥射线OBEAM CA例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（二）等腰直角三角形模型1、旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.2、旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.（三）三垂直模型（弦图模型）（四）手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60° .（3）OA平分∠EOF .2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形 结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .（五）半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ； （2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .引申120°的等腰三角形条件：∠CAD=60°三、课堂练习1、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE 相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数.2、（2019·陕西中考真题）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE EBA3、（2015·陕西中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC ，作AD⊥AB 交BC 的延长线于点D ，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE ，CE 相交于点E ，求证：AD=CE ．4、（2019·陕西初三期中）如图，在ABC V 中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作ND DM ⊥，交BM 于点N .求证：DBN DCM △≌△.5、（2017·西安市铁一中学中考模拟）如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC=BD ，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF ．6、（2019·陕西西安工业大学附中初三月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，12MOMB，AE＝2，求菱形ABCD的边长．7、（2019·陕西西安工业大学附中初三）如图，已知△ABC是等边三角形，点D在AC边上一点，连接BD，以BD为边在AB的左侧作等边△DEB，连接AE，求证：AB平分∠EAC．8、（2018·陕西初三期末）如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF、DE，若E是BC的中点.求证：CF＝DE．9、（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．10、（2018·陕西西北工业大学附属中学中考模拟）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：AF+AE=2AD．11、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E．（1）求证：△BEC≌△CDA；（2）当AD＝3，BE＝1时，求DE的长．12、（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AB边上一点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，且交BC于点F，AG平分∠BAC交CD于点G.求证：BF=AG.13、（2018·陕西西北工业大学附属中学中考模拟）已知：如图.D是△ABC的边AB上一点，CN//AB，DN交AC于点M，MA=MC.（1）求证：CD=AN；（2）若∠AMD=2∠MCD，试判断四边形ADCN的形状，并说明理由.14、（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD 于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．15、（2017·陕西高新一中中考模拟）如图，在ABC △中，AB AC =，BD 、CE 分别是边AB 、AC 上的高，BD 与CE 交于点O ．求证：BO CO =．16、（2017·陕西中考模拟）正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，若AE BF =，求证：AE BF ⊥．17、（2019·浙江初三月考）如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD=CE ．求证：MD=ME ．18、（2018·陕西初三期末）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．(1)求证：AE=BF．(2)若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．19、（2019·陕西初三）已知▱ABCD中，E是AB边上的一点，点F、G、H分别是CD、DE、CE的中点，求证：△DGF≌△FHC．20、（2018·陕西中考模拟）如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，DE=BC，AC=AE，求证：AD平分∠BDE．21、正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证：EF＝AP22、（2019·陕西中考模拟）已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．23、（2019·陕西中考模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．24、（2018·陕西中考真题）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．25、（2018·陕西中考模拟）如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE 与BD相交于点O．求证：EC=ED．26、（2018·陕西初三期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，已知BD=CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD 是矩形．27、（2017·陕西中考模拟）如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE∥BC28、（2017·陕西中考模拟）如图，已知90ABC ∠=︒，D 是AB 延长线上一点，AD BC =，过点A 作AF AB ⊥，并截取AF BD =，连接DC 、DF 、CF ，请判断CDF V 的形状并证明．29、如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 上一点，点F 是BC 延长线上一点，且AE CF =.求证：DEFDFE ∠=∠.30、如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于点G ，点F 在BE 上，且BF AE =，FBD EAD ∠=∠，连接DE 、DF . 求证：DE DF ⊥.。
如何写全等三角形的证明过程
如何写全等三角形的证明过程
全等三角形的证明过程如下：
假设有两个三角形，记为△ABC和△DEF。
我们要证明这两个三角形全等，即△ABC≌△DEF。
证明过程分为以下几步：
步骤1：首先，我们通过给出两个三角形的对应边相等来引出全等的条件。
假设AB=DE，AC=DF，BC=EF。
步骤2：接下来，我们通过给出两个三角形的对应角相等来引出全等的条件。
假设∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
步骤3：然后，我们可以使用两边夹角的定理来推导出两个三角形对应相等的第三边。
假设，∠ABC为直角，则根据两边夹角定理，∠BAC=∠EDF为直角。
步骤4：通过步骤1、步骤2和步骤3，我们可以得出三个对应边和角都相等的结论。
即AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠BAC=∠EDF，
∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
步骤5：根据SSS（边-边-边）全等条件，当两个三角形的对应边和角都相等时，这两个三角形全等。
因此，根据步骤4中得到的结论，我们可以得出△ABC≌△DEF。
以上是全等三角形的证明过程，通过对边和角的等量关系的证明，我们可以得到两个三角形全等的结论。
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法在几何学中，全等是指两个或多个几何体的大小、形状以及内部结构完全相同。
对于三角形而言，如果两个三角形的对应边长相等，对应的角度也相等，则它们是全等三角形。
在证明两个三角形全等时，有多种方法可以使用，本文将详细介绍其中的几种方法，并给出说明和举例。
【1. SSS (Side-Side-Side) 全等法】SSS全等法则是指如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法简单直接，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的三边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的三边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知AB = DE，BC = EF，AC = DF。
根据SSS全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。
【2. SAS (Side-Angle-Side) 全等法】SAS全等法则是指如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法也是常用的，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知∠BAC = ∠EDF，AB = DE，AC = DF。
根据SAS 全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。
【3. ASA (Angle-Side-Angle) 全等法】ASA全等法则是指如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法也非常常用，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
12.2全等三角形的判定(一)
12.2三角形全等的判定(一)（SSS）教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），•及利用全等三角形进行证明．教学目标1．知识与技能了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2．过程与方法经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．3．情感、态度与价值观培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．重、难点与关键1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形．教具准备一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．(1) (2)教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．教学过程【活动1】设疑求解，操作感知【教师活动】（出示教具）问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1•的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，•剪下模板就可去割玻璃了．【理论认知】如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，•如果△ABC 与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA= C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：•只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．信不信？【作图验证】（用直尺和圆规）先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．规范证明三角形全等的步骤。
全等三角形证明方法【范本模板】
全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定:(1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS）;（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）；(5）直角三角形全等的判定:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等；(2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等;（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。
①积极发现隐含条件:公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角：图1:平行转化图2 :等角转化图3：中点转化图4 :等量和转化图5：等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8：等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线：当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等.关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点,F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
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全等三角形的证明
1、 已知：（如图）AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA 。
2、已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB 。
3、已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE 。
4、已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD 。
求证：AB=DE ，AC=DF 。
5、已知，D 是△ABC 的边AB 上的一点，DE 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB 。
求证：AE=CE 。
6、已知，如图，AB=AD ，DC=CB ，求证：∠B=∠D 。
A B C
D
2 A C B
E D
1
A B F D
C E A
D B C F E
A
D
C B
A
E B C
F
D
7、已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC
8、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，
求证：BE=CD 。
9、已知：如图。
A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，
求证：AB ∥DE ；BC ∥EF
10、已知：BE ⊥CD ，BE=DE ，BC=DA ，求证：DA ⊥BC.
11、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ， （1）若BC=16，BD=10，求点D 到AB 的距离．
（2）若BC=16，BD ：CD=5：3，求点D 到AB 的距离．
12、已知在△ABC 中，∠A=Rt ∠，AB=AC ，BD 是角平分线，求证：AB+AD=BC ．
C
B
C E A C
B D E F B
C D
E F
A
A
C
D E
13、已知：如图，△ABC 中，M 是BC 边上的一点，CE ∥BF ，CE=BF ，
求证：AM 是BC 边上的中线.
14、已知：如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
15、已知：在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 的中点，求证CD=2CE.
16、如图，已知BD=CE ，∠B=∠C ，求证：（1）AB=AC ，（2）BE=CD.
17、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠ADC=∠BCD
18、已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.
A B C D
1 2 B E C
D A
E
F D F A B C
M E
F
19、如图，已知∠A=∠B，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AD=BC.求证：AE=BF.
20、如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.
21、已知:如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2.求证:∠3=∠4
22、如图，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB.求证：点D在∠BAC的平分线上.
23、已知，如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.
求证：(1)CF=EB；(2)请你判断BE+DE与DF的大小关系，并证明你的结论.
24、如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=
2
1
AB ，已知 △ABE ≌△ADF.(1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置.(2)线段BE 与DF 有什么位置关系？证明你的结论.
25、如图，已知BO=OC ，AB=DC ，BF ∥CE ，且A ，B ，O ，C ，D 五点在同一直线上.
求证：(1) △BOF ≌△COE(2) AF ∥DE.
26、 已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 为AD 上的点，EB=EC ，∠BAE=∠CAE.
求证：∠ABE=∠ACE. 证明：在ABE 和ACE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=第一步
)(AE AE CAE BAE EC EB
∴△ABE ≌△ACE( ) 第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的根据；若不正确，指出错在哪一 并写出正确的证明过程.
27、如图，AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，点E 在DC 上.求证：AD+BC=AB
A B C
D
E
28、已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C=∠D ， 求证： △AMC ≌△BMD ；
29、已知CE=CB ，∠1=∠2，AC=DC ，求证：△ABC ≌△DEC ；
30、已知：如图。
A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC
AB=DE ，BC=EF ，求证： △ABC ≌△DEF
31、已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD=CF ，求证：△ABC ≌△DEF ；
32、已知：BE ⊥CD ，BE=DE ，EC=EA ，求证：① △BEC ≌△DAE ② DF ⊥BC
33、已知如图，B 是CE 的中点，AD =BC ，AB =D C ．DE 交AB 于F 点
求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．
B
C
E
F
A
B
C
D
34、已知EF 是AB 上的两点，AE =BF ，AC ∥BD ，且AC =DB ，求证：CF =DE ．
35、 已知∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，AB=AC .
证明：BD=CE.
36、已知：如图，∠A ＝∠D ＝90°，BD 与AC 相交于点O ，
且BD ＝AC 。
求证：OB ＝OC
37、如图，AB=CD ，AD=BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 、CD 于E 、F 。
求证：OE=OF.
38、 如图，AB=AC,∠BAC=900
,BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，
且BD ＞CE ，求证:BD=EC+ED.
39、、如图， AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，且AD=AB ， 求证：BC=DC
A
B C D E A
B C D O
A
B
C
D
40、已知：点 A 、C 、B 、D 在同一条直线，AC=BD ，AM∥CN，BM∥DN．
求证： AM=CN ，MB=ND 。
41、如右图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：AB=AD
42、已知： D 是△ABC 的边AB 上一点，DE
交
AC 于点E ，DE=FE ，FC∥AB． 求证：AE=CE ．
43、已知：△ABC 中，∠A 是锐角，AB=AC ，AC 、AB 边上的高分别为BE 、CF ．求证：BE=CF ．(画出图形并证明)
44、如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BF ⊥AF ，CE ⊥AD 求证：BF=CE
A
B
C
D
E
A
B
C
D E F
45、已知：如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证： AB∥DC，AD∥BC
46、已知：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC 的同旁，AB=DCAC=DB ，AC 和DB 相交于点O ．
求证：(1) ∠ABC ＝∠DCB (2)OA=OD
47、已知：如图，AB=AC ，FB=FC ．F 是AD 的延长线上一点．求证：DB=DC ．
48、已知：如图，AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ．
求证：BD=CD ．
49、工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合．过角尺顶点P 的射线OP 便是∠AOB 的平分线．根据做法，结合图形写出已知、求证、证明
50、、已知：如图，在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE=AD ．连结BD 、CE 相交于点O ，
连结AO ，∠1=∠2．求证：① △A OE ≌△A OD ②∠B=∠C
51、如图，已知AB ⊥AC ，BD ⊥DC ，且AB=DC ， 求证：①AC=DB ②AO=DO
52、已知AB ⊥AC ，AD ⊥DC ，且BC=DC ， 求证：∠ABD ＝∠ADB
53、如图，AD∥BC 且AD ＝BC ，AE=CF 求证：①AB=DC ②EB=DF
A
B
C
D
A
B C
D
E
F。