复变函数引论Proving(E)
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
复变函数论 数学
复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。
复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。
它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。
复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。
复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。
2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。
但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。
3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。
洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。
4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。
它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。
亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。
5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。
它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。
积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。
残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。
复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。
复变函数复习资料
复变函数论（A ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1173，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of convergence of∑∞=++13)123(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(22+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (3z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ）5. If f is continuous on the plane and =+⎰Cdz z f z ))((cos 0 for every simpleclosed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(5z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+228122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=345)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin 1)(2+-+=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f k ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order k <.2. Show that 012797lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unite disk复变函数论（B ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1162，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function )1(sin )(2+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2cos . 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then 0z is a zero of order m off /1.（ ）3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be aconstant.（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the CauchyRiemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z z f sin )( is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that the function iy x e e z z f ---=)2()(2is an entire function.2. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of orderm <.3. Show that 0651lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .复变函数论（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(sin 0=-⎰Cn dz z z z, where n is an integer. 3. The radius of convergence of the power series∑∞=-12)63(n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(244-+=z z z z z f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛m z z , where m is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 45π are . 7. The integral of the function )(sin )(2ti t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z sin is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 013=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，thenit is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is a function ϕ that isanalytic at 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on somedeleted neighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on a line segment must beidentically zero.（ ）4. A function f is differentiable on open set D if and only if whose real andimaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed path C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(9z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-222142)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1(3)(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C ⎰-++=543)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Find ⎪⎪⎭⎫⎛+i z z ,)1(4Res 222. Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that 0233lim 242=+++⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is analytic and ||f is a constant on a domain a domainD , prove that a z f =)( for some constant a and all D z ∈.3. Show that the equation z z z z -=+-127234 has just three roots in the unite disk.《复变函数论》试题（D ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1153，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=++13)12(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(2+=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (5z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order m <.2. Show that 012783lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unitedisk.《复变函数论》试题（E ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n i n n z ⎪⎭⎫⎝⎛++-=211，thenlim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z and n is an integer ，then)(1210=-⎰C n dz z z i π. 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function 1cos )(2+=z zz f are . 5. 0 ,sin s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2sin . 7. The main argument and the modulus of the number i +1 are . 8. The square roots of )0(>A Ai are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )22(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a zero of order n of f ，then 0z is a pole of order n off /1.（ ）3. There is a non-constant entire function which maps the plane into the disk1000||<z .（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then it is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find the integral ⎰+C zdz z e 12, where C is the circle 7||=z .2. Find the value of ⎰⎰==+-+235121)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1(1)(--=z z z f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=765)(2，where {}4|:|==z z C ，find )1(i f +'.5. Given )0(2:,2)(πθθ≤≤=+=i e z C zz z f ，find dz z f C⎰)(.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 020914lim 242=++-⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is an entire function and there is a constant M and apositive integer m such that )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m . Prove thatm m z a z a z a z f +++= 221)(for some constants 1a , m a a ,,2 and all z in the plane.3·Show that the equation 01438=-+-z z z has just three roots in the unite disk2005－2006学年第一学期期末考试2003级数学与应用数学专业《复变函数论》试题（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(10=-⎰Cn dz z z , where n is an integer. 3. The radius of the power series∑∞=123n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(24-=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛nz z , where n is a positive integer. 6. The main argument and the modulus of the number iie 42π are . 7. The integral of the function )(sin )(4i t t t w += on ]1,1[- is .8. The definition of z cos is .9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 012=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is analytic function ϕat 0z with 0)(0≠z ϕ such that m z z z z f )()()(0-=ϕ on some deleted neighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on the real axis must be zero.（ ）4. A function f is differentiable on a domain D if and only if whose realand imaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰C dz z f )(0 for everysimple closed contour C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find ⎰=++1||)23)(13(z z z zdz .2. Find the value of ⎰⎰==-+-22216)1(sin z z z dz z dz z z z . 3. Let )2)(1()(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus {}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C⎰-++=143)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'. 5. Evaluate ),)1((Res 222i z z +.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 02316lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is differentiable and ||f is a constant on a domain D , prove that A z f =)( for some constant A and all D z ∈.3. Show that the equation 0127234=-++-z z z z has just three roots in the unite disk.复变函数考试试题（G ）1. 求通过1z 和2z 的线段的参数方程（用复数形式表示）。
复变函数与积分变换概念公式
复变函数与积分变换概念公式一、复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量均为复数。
复数可用标准形式表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部。
复变函数可以将一个复数映射到另一个复数，即 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u 和 v 分别表示实部和虚部。
复变函数通常具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x复变函数的求导规则也与实变函数类似，可以通过对u和v分别对x和y求偏导得到。
复变函数的积分也可类似地进行，即将曲线积分转换为线积分，并利用格林公式等方法进行计算。
积分变换是指将一个函数通过积分的方式转换为另一个函数，常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和z变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实函数转换为复函数的积分变换方法，可以用于求解微分方程和信号处理等问题。
拉普拉斯变换的定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中 f(t) 为已知的函数，s 为复变量。
拉普拉斯变换具有线性性质，即 L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和g(t) 分别为待变换的函数。
2.傅里叶变换傅里叶变换是一种将复函数表示为基本正弦和余弦函数的线性组合的积分变换方法，主要用于信号处理和频谱分析等领域。
傅里叶变换的定义为：F(ω) = F{f(t)} = ∫[-∞,+∞] f(t)e^(-jωt)dt其中 f(t) 为已知的函数，ω 为角频率。
傅里叶变换也具有线性性质，即 F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和 g(t) 分别为待变换的函数。
3.z变换z变换是一种将离散信号表示为z的幂次的线性组合的积分变换方法，主要用于差分方程的求解和数字信号处理等领域。
复变函数论第1章第3节
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
第一章第二节复变函数
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
上海市考研数学复习资料复变函数重要定理总结
上海市考研数学复习资料复变函数重要定理总结复变函数是数学分析中的一个重要分支，它研究的是具有两个自变量、复数值的函数。
在数学领域，复变函数具有广泛的应用，尤其是在实分析、几何学、物理学等方面。
为了帮助准备上海市考研的同学们复习复变函数知识，下面将对其中的重要定理进行总结。
1. 复数定义定理复变函数中，我们首先需要了解复数的基本定义。
复数定义定理指出，复数是由实数和虚数构成的，可以表示为 z = a + bi 的形式，其中a 和b 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。
2. 柯西—黎曼方程柯西—黎曼方程是复变函数理论的核心定理之一。
它表明一个复变函数在某个区域内可导的充要条件是它满足柯西—黎曼方程。
柯西—黎曼方程分别表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中，u 和 v 分别表示复变函数的实部和虚部。
满足柯西—黎曼方程的函数称为全纯函数。
3. 柯西—黎曼积分定理柯西—黎曼积分定理是复变函数的基本定理之一，它建立了复变函数与沿闭合曲线的积分之间的关系。
柯西—黎曼积分定理可以表述为：∮C f(z) dz = 0其中，C 是一个闭合曲线，f(z) 是在 C 内全纯的复变函数。
4. 柯西积分公式柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理之一，它描述了全纯函数的积分与函数在曲线内部的取值之间的关系。
柯西积分公式可以表示为：f(a) = 1/(2πi) * ∮C f(z)/(z-a) dz其中，C 是一个围绕点 a 的闭合曲线，f(z) 是在 C 内全纯的复变函数。
5. 柯西积分定理柯西积分定理是柯西积分公式的推广和拓展，它描述了在连通区域内全纯函数的积分与边界上的取值之间的关系。
柯西积分定理可以表示为：∮C f(z) dz = 2πi * f(z0)其中，C 是一个围绕连通区域内的任意简单闭合曲线，f(z) 是在 C 内全纯的复变函数，z0 是 C 内的任意一点。
6. 极值定理复变函数中的极值定理指出，在全纯函数的定义域内，除非函数为常数，否则函数在其定义域内不可能同时取得最大值和最小值。
复变函数第二章 解析函数
f (z)在点z0处可导, 称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw 记作 f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
记作 z f 1 ( w ) 当反函数单值时z f 1 [ f ( z )] z E 一般z f 1[ f ( z )]) (
当 函数(映 射)w f ( z )和 其反 函数 逆 映射) ( z ( w )都 是单 值的 ， 则 称函 数 射)w f ( z ) (映 是 一一 对应 的。
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f w G ( w平面）的映射变换). (z) (
定义域 y
值域
称w为z的象，而 称为w的原象。 z
(z)
w=f(z) v
(w)
G
z
o
E
w=f(z)
w
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
z z0 z z0
f ( z ) lim f ( z ) A z z0 lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0 B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 .
( z z )2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2z .
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数complex function第二章复变函数的积分complex function integral第三章幂级数展开power series expansion第四章留数定理residual theorem第五章傅立叶变换Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角(ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
《复变函数映射》课件
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复变函数论
复变函数论
复变函数论是数学中的一个分支领域，研究复数域上的函数理论和分析。
它包括对复变函数性质、解析函数、幂级数、留数理论和复积分等的研究。
复变函数论对于多个学科领域如物理学、工程学和应用数学等都有着重要的应用。
以下是复变函数论的主要内容和特点：
1.解析函数：解析函数是复变函数论的基本概念。
解析函数
是指在某个区域内可导，且在该区域内处处可导。
复变函数论研究解析函数的性质，例如连续性、可微性、全纯性等。
2.幂级数：复变函数论中的幂级数是一种重要的函数表示形
式，具有许多重要的性质。
通过研究幂级数的收敛性和展开性，可以推导出复变函数的性质和行为。
3.留数理论：留数理论研究的是在复平面内的奇点和复积分
的关系。
留数定理是复变函数论的核心结果之一，它建立了在一个封闭曲线内的积分与奇点的留数之间的关系。
4.复积分：复变函数论中的复积分是对复变函数在曲线上的
积分的研究。
通过复积分的计算，可以得到一些重要的结果，如导数表示、Cauchy积分公式等。
5.解析延拓与调和函数：解析延拓是复变函数的重要概念之
一，指的是将一个函数解析地延拓到整个复平面。
调和函数是解析延拓的一种特殊情况，它在物理学、工程学和数
学中都有广泛的应用。
6.辐角原理与解析函数的性质：辐角原理是复变函数理论中
的一项基本原理，它建立了解析函数的辐角变化与函数的零点和极点分布之间的关系。
复变函数论的理论结果和技术在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
它不仅在纯数学领域有独特的地位，也在实际问题的建模和解决中发挥着重要作用。
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
定理2.5 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x)
3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.
z0
这说明 f (z) x 2 yi 在复面内处处连续.
但是,
f (z z) f (z)
z
( x x) 2( y y)i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的
y
z o
y 0 x
方向趋向于 0, 即 x 0, y 0. 于是
x 2yi
§2.1 复变函数的概念、极限 与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 称在 E上确 定了一个复变函数，用=f (z)表示.z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1
证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限. x2 y, x y2在平面上处处有极限
复变函数的罗尔定理及其推论
复变函数的罗尔定理及其推论
罗尔定理，也叫反函数定理，源于罗尔（Lloyd）在1932年第一次提出，是在数学上有关复变函数的一种重要定理，是函数的一种重要概念。
罗尔定理揭示了复变函数的对称性，主要用于解决复函数的特征和性质。
罗尔定理，一般用五个表达式定义如下：数学上x为复变函数关于直角坐标系的图像。
其中，定义域为：D={(x,y)},D是原函数的域，反函数关于X轴对称反函数为fY={(fx,y)},当fx在fX内，则fY为反函数。
那么根据罗尔定理，D=fY。
另外，罗尔定理也提出了反函数的两重性质。
一是反函数一定是复变函数，其次它在定义域的关系是反的，用文字来说就是反函数关系的映射是反的。
罗尔定理的定义为研究复变函数提供了重要的观点，给后续复变函数的理论提供了基础。
在推导复变函数关系时，要注意反函数定理中定义域和值域之间转换的关系。
如果把反函数定理的定义转变为复变函数的式子，可以解决许多复变函数的计算问题。
此外，罗尔定理还提供了复变函数的特殊性，如一个复变函数的反函数正好是另一个复变函数的反函数的情况。
罗尔定理是复变函数的重要定理，也是数学上一种有趣的概念。
对于复变函数的深入研究，它就非常重要，可以帮助我们更好地理解复变函数并给出解决问题的技巧。
复变函数论论文
论文目录1．摘要 (1)2．关键词 (1)3．引言 (1)4．理论 (1)5．参考文献 (6)8．英文摘要 (6)全文共15 页2,148 字复变函数论- - 2 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
2复变函数2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res 和Imz 。
复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=ϕρi e z =叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。
2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。
商的定义物理与电子信息学院期中论文- 3 -.e )]sin(i )[cos()i(212121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=n 次根号的应用.e )sin i (cos /i n n nnnn z ϕρϕϕρ=+=2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。
复变函数的概念
一、复变函数的概念
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y)
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部 和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。
一、复变函数的概念
1.复变函数的定义
设D为给定的平面点集，若对于D中每一个复数 z=x+yi ，按照某一确定的法则 f ，总有确定的一个或 几个复数w=u+vi与之对应，则称f 是定义在D上的复变 函数（复变数w是复变数 z的函数），简称复变函数， 记作 w=f(z) 。
其中 z 称为自变量， w 称为因变量，点集D 称为函 数的定义域。
v0
.
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
设 f (z) 在点 z0 的某邻域内有定义 ，若
lim
zz0
f (z)
f (z0)
则称 f (z) 在 z0 处连续。
若 f (z)在区域D 内每一个点都连续，则称函数 f (z) 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性
2. 连续的复变函数的性质
x2
y
y2
二、复变函数的极限
1. 复变函数的极限的定义
设 f (z) 在点 z0 的某去心邻域内有定义，若对任
意给定的正数ε（无论它多么小）总存在正数δ，
当复数 z 满足 0 | z z0 | 时，对应的函数值
f (z) 都有
| f (z) A |
则称复常数 A 为函数 f (z) 在当 zz0 时的极限。 记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 )
复变函数理论
复变函数理论复变函数理论是数学领域中的一个重要分支，主要研究定义在复数域上的函数及其性质。
它不仅在数学本身具有深刻的影响，同时在物理、工程和计算科学等多个领域都有着广泛的应用。
复数与复平面复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为(z = a + bi)，其中(a)和(b)是实数，而(i)是虚数单位，满足(i^2 = -1)。
复平面复数可以在复平面上进行几何表示，其中横轴代表实部，纵轴代表虚部。
每个复数对应复平面上的一个点。
复变函数定义复变函数是定义域和值域均为复数的函数。
通常表示为(f(z))，其中(z)是一个复数变量。
全纯函数全纯函数（或解析函数）是复变函数中一类具有特殊性质的函数，它们在其定义域内不仅连续，而且可导。
全纯函数在局部可以展开成幂级数，这是复变函数理论研究的核心内容之一。
复变函数的性质连续性与可导性复变函数的连续性与实变函数类似，但可导性的条件更为严格。
一个复变函数在某点可导，意味着它在该点附近不仅连续，而且极限 [ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} ] 存在且唯一。
积分性质复变函数的路径积分在复分析中非常重要，特别是与路径无关的条件——Cauchy积分定理。
这个定理表明，如果一个全纯函数在一个简单闭合路径及其内部定义，那么沿这个路径的积分为零。
应用举例电磁学在电磁学中，复变函数用于简化电场和磁场的计算。
通过使用复数表示波动方程，可以更容易地处理和求解问题。
信号处理在信号处理领域，复变函数被用于分析和处理频率响应，特别是在傅里叶变换中，复数的使用极大地简化了计算过程。
结论复变函数理论是数学中一个深奥而美丽的分支，它不仅提供了丰富的理论知识，还广泛应用于科学和工程的多个领域。
通过学习复变函数理论，我们能更好地理解自然界中的许多现象，并解决实际问题。
复变函数课件第三节 格林公式及其应用
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D 的取正向的边界曲线, 其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式. 公式(1)叫做格林公式. (1)叫做格林公式
20122012-2-20 第十一章曲线积分和曲面积分
(1)
1
y
D
o
x
20122012-2-20
则以下四个条件等价: 则以下四个条件等价: (1)沿 D 中任意光滑闭曲线 L ,有 ∫ L Pdx + Qdy = 0 ； (1)沿 (2)对 (2)对 D 中任一分段光滑曲线 L ,曲线积分
∫
L
Pdx + Qdy 与路径无关,只与起点和终点有关. 与路径无关,只与起点和终点有关.
ห้องสมุดไป่ตู้记为
20122012-2-20
2013115第十一章曲线积分和曲面积分设闭区域d由分段光滑的曲线l上具有一阶连续偏导数则有qdypdxdxdy的取正向的边界曲线公式1叫做格林公式
格林公式
定理1 定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D 上具有一阶连 续偏导数, 续偏导数, 则有
第十一章曲线积分和曲面积分
2
格林公式的实质: 格林公式的实质:
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系. 二重积分之间的联系
便于记忆形式: 便于记忆形式
∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂ydxdy = ∫L Pdx + Qdy. D P Q
20122012-2-20
第十一章曲线积分和曲面积分
3
平面上曲线积分与路径无关的条件 是一个单连 单连域 定理 2 设 D 是一个单连域,函数 P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在区域 D 内具有一阶连续偏导数. 内具有一阶连续偏导数.
复变函数引论 教学大纲
复变函数引论一、课程说明课程编号：130212Z10课程名称（中/英文）：复变函数引论/Introduction to Functions of Complex Variables课程类别：专业核心课学时/学分：40/2.5先修课程：数学分析，高等代数适用专业：信息与计算科学教材、教学参考书：1．西安交大高等数学教研室编,《复变函数》(第四版)，高等教育出版社，1996年.2．东南大学高等数学教研室编,《积分变换》，高等教育出版,2004年3．钟玉泉编《复变函数论》，高等教育出版社,2004年4．《复变函数》余家荣编，高等教育出版社,2000年二、课程设置的目的意义复变函数是数学分析、高等代数课程的后继课程，是信息与计算科学专业的专业选修课。
复变函数论是数学的重要分支之一，它本身在发展中已成为一门庞大的学科。
复变函数与积分变换的理论与方法在信息编码、信息处理、数字信号和数字图象处理，工程和科学计算专业领域以及在数学、自然科学和科学技术中有着广泛的应用，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，掌握复变函数导数和积分概念以及其计算方法，理解留数的概念，掌握和应用留数定理进行积分计算，为今后科研和实际工作奠定必要的理论基础。
三、课程的基本要求复变函数具有很强的理论性和实用性，要求学生掌握较多的复变函数方面的基础理论与方法，培养学生利用复方法从事科学研究的能力。
要求任课教师要有扎实的数学理论和系统的专业知识。
在讲授本课程的过程中既要注重理论分析，方法讲解，更要注重解决实际问题的思想和方法的培养。
本课程所承载的知识、能力和素质培养的具体要求如下。
知识要求：○1使学生了解复变函数的相关背景知识、理解和掌复变函数的基本概念○2熟练掌握复变函数的极限和连续性○3熟练掌握复变函数导数求法○4理解解析函数、调和函数、共轭调和函数及其关系，掌握复变函数的积分○5理解并能正确应用柯西积分定理、泰勒级数，罗朗级数，会求复变函数的积分与留数○6掌握付里叶变换与拉普拉斯变换的方法极其应用能力要求：①具有较强的分析能力、归纳能力、抽象能力、空间想象能力、演绎推理能力，培养学生运用复变函数的极限、解析函数性质，柯西积分定理，泰勒级数，留数，付里叶变换、拉普拉斯变换的方法等分析问题和解决问题的能力；②具有准确计算的能力、运用数学软件的能力；③具有学习新的数学知识的能力；○4具有较高的理论联系实际的能力、较强的解决实际问题的能力；○5有创造性思维，有一定的科学研究能力以及对新知识、新技术的敏锐性。
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Ⅳ. Proving
1. Show that the function is an entire function.
iy x e e z z f −−−=)2()(22. Show that if , then is a polynomial of order .
)(0)()(C z z f m ∈∀≡)(z f m <3. Show that 06
51lim 242=+++∫+∞→R C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
4. Suppose that and f f are differentiable on a domain , prove that D A z f =)( for some constant A and all D z ∈.
5. Show that the equation has just two roots in the unite disk.
01424=−+−z z z 6. Show that 02316lim 242=+++∫+∞→R
C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
7. Suppose that is differentiable and is a constant on a domain , prove
that for some constant f ||f D A z f =)(A and
all D z ∈. 8. Show that the equation has just three roots in the unite disk.
0127234=−++−z z z z 9. Show that if , then is a polynomial of order .
)(0)()(C z z f k ∈∀≡)(z f k <10. Show that 012
797lim 242=+++∫+∞→R C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
11. Show that the equation has just two roots in the unite disk.
012524=−+−z z z 12. Show that 020
914lim 242=++−∫+∞→R C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
13. Suppose that is an entire function and there is a constant f M and a positive integer such that . Prove that
m )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m
m m z a z a z a z f +++=L 221)(for some constants , and all in the plane.
1a m a a ,,2L z 14. Show that the equation has just three roots in the unite disk.
01438=−+−z z z 15. Show that if , then is a polynomial of order . )(0)()(C z z f m ∈∀≡)(z f m <
16. Show that 012
783lim 242=+++∫+∞→R C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
17. Show that the equation has just two roots in the unite disk.
012524=−+−z z z 18. Show that 020975lim 242=++−∫+∞→R
C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
19. Suppose that is an entire function and there is a constant f M and a positive
integer such that . Prove that
m )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m
m m z a z a z a z f +++=L 221)(for some constants , and all in the plane.
1a m a a ,,2K z 20. Show that the equation 1438+−=z z z has just three roots in the unite disk.
21. Show that 02316lim 242=+++∫+∞→R
C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
22. Suppose that is differentiable and is a constant on a domain , prove
that for some constant f ||f D A z f =)(A and
all D z ∈. 23. Show that the equation has just three roots in the unite
disk.
0127234=−++−z z z z 24. Show that 0233lim 242=+++∫+∞→R
C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
25. Show that if , then is a polynomial of order .
)(0)()(C z z f m ∈∀≡)(z f m <26. Show that 012
783lim 242=+++∫+∞→R C R dz z z z , where is the circle centered at with radius R C 0R .
27. Show that the equation has just two roots in the unite disk. 012524=−+−z z z。