4.2-3 解一元二次方程
苏科版七年级上册数学4.2《解一元一次方程》课件 (共20张PPT)
移项、合并同类项，得 5x=10
系数化为1，得 x=2
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如何解方程 x 2 x 1 3? 0.2 0.5
解：去分母，得 5(x-2)-2(x+1)=3 去括号，得 5x-10-2x-2=3 移项、合并同类项，得 3x=15 系数化为1，得 x=5
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解一元一次方程有哪些步骤？ 一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项； 未知数系数化为1.
讲授新课 例3、解方程：2x=5x-21 思考：方程2x=5x-21变形为2x-5x=-21 解：两边都减去5x，得 从形式上发生了什么变化？ 2x-5x=-21 合并同类项,得 -3x=-21 两边都除以-3，得 x=7 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一 边，这样的变形叫做移项 .
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例4、解方程：x-3＝4- 1 x
解：移项，得
1 x+
2 x＝4+3
合并同类项，得3 2 x=7
两边都除以
3，得2
14 x=
2
3
方 乘程2 ，32 都x=能7的把两未边知都数除的以系32数或化 3
为1.
注意：(1)移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，
把常数项移到等号的右边．
(2)移项要改变符号．
5x=15 系数化为1，得 x=3
(2) x 1 x 3 2
解：去分母，得 x-1=2(x+3) 去括号，得 x-1=2x+6 移项、合并同类项，得 -x=7 系数化为1，得 x=-7
移项，得 -4x=7-3-3
合并同类项，得 -4x=1
两边除以-4，得
1 x=-
4
(2)x-3 =2(x+1) 解：去括号，得 x-3=2x+2 移项，得 x-2x=2+3 合并同类项，得 -x=5 两边除以-1，得 x=-5
2022秋七年级数学上册第4章一元一次方程4.2解一元一次方程3用去括号法解方程授课课件新版苏科版
14 某超市为了回馈客户，决定实行优惠活动． 方案一：非会员购买所有商品可获九折优惠； 方案二：交纳200元会费成为该超市的会员，购买所 有商品可获八折优惠． (1)若用x(元)表示商品价格，请你用含x的式子分别表 示两种购物方案所花的钱数； 解：由题意，可得方案一：付费为0.9x元， 方案二：付费为(200＋0.8x)元．
3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月12日星期六3时47分18秒15:47:1812 March 2022
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错解：去括号，得 12－y＝－6y－1.移项，得 6y－y ＝－1－12.合并同类项，得 5y＝－13.系数化为 1， 得 y＝－153.
诊断：用去括号法解一元一次方程，去括号时
易漏乘某些项而出错．
10 解下列方程： (1)3(7x－5)－13(5－7x)＋17(7x－5)＝7(5－7x)； 解：把 7x－5 看成一个整体，将原方程变形为 3(7x －5)＋13(7x－5)＋17(7x－5)＝－7(7x－5)， 整体移项、合并同类项，得10＋1201(7x－5)＝0， 即 7x－5＝0.移项，得 7x＝5.系数化为 1，得 x＝57.
(6)x－2[x－3(x－1)]＝8.
解：去中括号，得 x－2x＋6(x－1)＝8. 去小括号，得 x－2x＋6x－6＝8. 移项、合并同类项，得 5x＝14. 系数化为 1，得 x＝154.
9 解方程：2(6－0.5y)＝－3(2y－1)．
正解：去括号，得 12－y＝－6y＋3.移项，得－y＋ 6y＝3－12.合并同类项，得 5y＝－9.系数化为 1，得 y＝－95.
4.2一元二次方程的解法(3)
4.2一元二次方程的解法（3）教案备课时间: 主备人:【学习目标】:1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
【重点和难点】：重点：掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式【知识回顾】1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；2、方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？【预习指导】如何解方程2x 2-5x+2=0？点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解【典型例题】例1、解方程：01832=++x x例2、-01432=++x x例3、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h=24t-52t 。
经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m ？【知识梳理】用配方法解一元二次方程的步骤是：【课堂练习】1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2. （3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程： （1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-（3）x x 10152=+ （4） 3y 2-y-2=06、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.【课外练习】解下列方程：（1）22x -8x+1=0；（2）212x +2x-1=0；（3）22x +3x=0； （4）32x -1=6x。
4.2 解一元一次方程(3)
随堂练习 1、解下列方程：
2x 1 x 2 (1) 1 3 4 1 1 (2) ( x 1) 2 ( x 2); 2 5
解方程的步骤归纳：
步骤
去分 母
具体做法
依据
注意事项
在方程两边都乘以各 等式 分母的最小公倍数 性质2 不要漏乘不含分母的项
去括 一般先去小括号，再去 分配率 去括号 不要漏乘括号中的每一项 号 中括号，最后去大括号 法则 移项 把含有未知数的项移 1）移动的项一定要变号， 到方程一边，其它项 移项 不移的项不变号 都移到方程另一边， 法则 2）注意项较多时不要漏项 注意移项要变号 合并 把方程变为ax=b 合并同类 1）把系数相加 同类 （a≠0 ) 的最简形式 项法则 2）字母和字母的指数不变 项 系数 将方程两边都除以未知 等式 解的分子，分母位置 数系数a，得解x=b/a 性质2 化1 不要颠倒
移项，得 -0.4x-0.2x=-3+2
合并同类项，得 0.2 x 5
两边同除以-0.2得 x 25
合并同类项，得 -0.6x=-1
∴
x 5 3
已知２ｘ＋１与－１２ｘ＋５ 的值是相反数，求ｘ的值。
解下列方程：
3 x x4 (1) ； 2 3 1 1 (2) ( x 1) ； 3 7 x2 x (3) ； 5 4 1 1 (4) ( x 1) ( x 1)。 4 3
(2)
x
得 2x-5（3-2x）=10x。 解得x=
15 。 2
想一想：解一元一次方程有哪些步骤？
解一元一次方程的步骤是： (1)去分母。 (2)去括号。 (3)移项。
(4)合并同类项
(5)等式两边除以未知数前面的系数。
高中数学必修2直线与圆的位置关系2
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
高中数学必修二第四章 4.2.2-4.2.3公开课教案课件教案课件
4．2.2 圆与圆的位置关系 4．2.3 直线与圆的方程的应用[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想．[知识链接]1．判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法． 2．两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含． [预习导引]1．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元,一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”要点一 与两圆相切有关的问题例1 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，① b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． 跟踪演练1 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程． 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③ 联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 要点二 与两圆相交有关的问题例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪演练2 求过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0.圆心为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，由题意得－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，∴λ＝－7.∴圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.要点三直线与圆的方程的应用例3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：跟踪演练3台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为() A．0.5小时B．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 答案 B解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.3．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 答案 A解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线．4．两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是( )A.10B. 5 C ．5 D.102答案 D解析 由题意可知(3－0)2＋(－1－0)2＝2r ，∴r ＝102.5．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________．答案 x ＋3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作．2．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：一、基础达标1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 两圆圆心坐标分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.3．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)．代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.5．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________．答案－5，－2，－1,2解析圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1、C2外切时有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1、C2内切时有(－2－m)2＋(m＋1)2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0解得m＝－1或m＝－2.6．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为________.答案2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为 d ＝|－3|1＋(－1)2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝⎛⎭⎫322＝ 2. 7．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 二、能力提升8．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82 答案 C解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.9．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝45D.⎝⎛⎭⎫x －352＋⎝⎛⎭⎫y －652＝45 答案 B解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 10．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2 解析曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.11．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．解 方法一 将圆C 化为标准方程得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，则圆心坐标为(－5，－5)，所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0. 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(0－b )2＝r 2，(0－a )2＋(6－b )2＝r 2，a －b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.方法二 由题意知所求的圆经过点(0,0)和(0,6)，所以圆心一定在直线y ＝3上，又由方法一知圆心在直线x －y ＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，得圆心坐标为(3,3)．所以r ＝32＋32＝32，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.三、探究与创新12．已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道． 将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.13．求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
北师大版八年级上册数学第四章教案
北师大版八年级上册数学第四章教案一、教学内容本节课选自北师大版八年级上册数学第四章《一元二次方程》，具体内容包括：4.1 一元二次方程的概念；4.2 一元二次方程的解法；4.3 一元二次方程的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作、探究的学习精神。
三、教学难点与重点重点：一元二次方程的概念和解法。
难点：一元二次方程解法在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
学具：教材、练习本、草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个实际问题：一个长方形的长比宽多3厘米，面积是12平方厘米，求长方形的长和宽。
2. 例题讲解讲解4.1节中的一元二次方程的概念，结合实际问题，引导学生列出方程，并解释方程的各个部分。
3. 随堂练习让学生独立完成4.1节后的练习题，巩固一元二次方程的概念。
4. 解法讲解讲解4.2节中的一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、公式法等。
5. 应用拓展结合4.3节内容，让学生运用一元二次方程的解法解决实际问题。
七、板书设计1. 一元二次方程的概念2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法八、作业设计1. 作业题目（1）列出教材4.1节后的练习题；（2）解决实际问题：一个正方形的面积比一个长方形的面积多4平方厘米，已知正方形的边长为2厘米，求长方形的长和宽。
2. 答案（1）练习题答案见教材；（2）长方形的长为3厘米，宽为1厘米。
九、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对一元二次方程的概念和解法掌握情况，以及对实际问题的解决能力。
2. 拓展延伸：布置一道难度较大的实际问题，让学生在课后独立完成，提高学生的应用能力。
八年级下册数学目录
八年级下册数学目录第一章代数与方程1.1 一元一次方程1.1.1 解一元一次方程的基本步骤1.1.2 一元一次方程的应用1.2 平方根与二次根式1.2.1 平方根的性质1.2.2 二次根式的性质1.2.3 平方根与二次根式的应用1.3 二次方程1.3.1 标准形式二次方程的解法1.3.2 一元二次方程的判别式1.3.3 二次方程的应用1.4 不等式与不等关系1.4.1 一元一次不等式的解集与图像1.4.2 二次不等式的解集与图像 1.4.3 不等关系的性质及应用第二章几何2.1 三角形与相似2.1.1 三角形的性质与分类2.1.2 相似三角形的判定条件2.1.3 相似三角形的性质应用2.2 二次根式与勾股定理2.2.1 直角三角形与勾股定理2.2.2 二次根式与勾股定理的应用2.3 圆的基本性质2.3.1 圆的定义与基本术语2.3.2 圆心角与弧度制2.3.3 角平分线与弦的性质2.3.4 弧长与扇形面积计算2.4 平移、旋转和翻转2.4.1 平移的定义与平移变换2.4.2 旋转的定义与旋转变换2.4.3 翻转的定义与翻转变换2.4.4 平移、旋转和翻转的组合变换第三章数据与统计3.1 连续统计3.1.1 连续统计的基本概念3.1.2 频率直方图的制作与解读3.1.3 频率分布表的制作与解读3.1.4 数据的分析与统计3.2 课题研究与折线图3.2.1 课题研究的提出与设定3.2.2 折线图的制作与解读3.2.3 数据的比较与分析3.3 概率与事件3.3.1 实验、样本空间和事件的定义 3.3.2 随机事件的概率计算3.3.3 事件的相互关系与应用3.4 等可能性与互斥事件3.4.1 样本空间的等可能性3.4.2 互斥事件的概率计算3.4.3 等可能性与互斥事件的应用第四章分析与应用4.1 函数的概念4.1.1 函数的定义与性质4.1.2 函数的表示与应用4.2 函数的图像与变换4.2.1 函数图像的基本性质4.2.2 函数的平移与翻转4.2.3 函数的伸缩与压缩4.3 线性函数与一次函数4.3.1 线性函数与斜率的关系4.3.2 一次函数的图像与性质4.3.3 一次函数的应用4.4 指数与对数函数初步4.4.1 指数函数的概念与性质4.4.2 对数函数的概念与性质4.4.3 指数函数与对数函数的应用总结通过本教材的学习，学生将对八年级下册数学的重要知识点进行全面的了解和掌握。
2021_2022学年新教材高中数学第四章概率与统计4.2.3二项分布与超几何分布学案含解析新人教B
二项分布与超几何分布4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)知识点一 n 次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．知识点二 二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，发生的概率为p ，不发生的概率q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝____________(k ＝0,1,2，…，n )，于是得到X 的分布列n n nq n －k ＋…＋C n n p n q 0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记做____________．知识点三 超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件(M <N )，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，则这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为________________(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．[基础自测]1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的概率是相等的； ④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 37C 510表示()A ．5件产品中有3件次品的概率B ．5件产品中有2件次品的概率C ．5件产品中有2件正品的概率D ．5件产品中至少有2件次品的概率题型一 独立重复试验中的概率问题例1(1)某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是3； ②他第三次击中目标的概率是；③他恰好2次击中目标的概率是2×2×； ④他恰好2次未击中目标的概率是3××2.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．题型二 二项分布例2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．状元随笔(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．方法归纳1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．题型三 超几何分布的分布列例3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．状元随笔方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．跟踪训练3袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．题型四 独立重复试验与二项分布综合应用状元随笔1.王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．例4甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．状元随笔(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23.(2)AB 表示事件A ，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．题型五 二项分布与超几何分布的综合应用例5在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10X 奖券，其中有一等奖奖券1X ，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3X ，每X 可获价值10元的奖品，其余6X 没有奖品．(1)顾客甲从10X 奖券中任意抽取1X ，看完结果后放回抽奖箱， ①若只允许抽奖一次，求中奖次数X 的分布列； ②若只允许抽奖二次，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10X 奖券中任意抽取2X ， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．状元随笔(1)从10X 奖券中抽取1X ，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B(2，p)(2)从10X 奖券中任意抽取2X ，其中含有中奖的奖券的X 数X(X ＝1,2)服从超几何分布．方法归纳区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N 件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M 件，从所有元素中一次任取n 件，这n 件中含甲类元素数目X 服从超几何分布．2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．教材反思4． 二项分布与超几何分布新知初探·自主学习知识点一重复地做n 次 相互独立 知识点二 C k n p k q n －k X ～B (n ，p ) 知识点三P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N[基础自测]1．解析：由n 次独立重复试验的定义知①②③④正确．答案：①②③④2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.答案：383．解析：根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B. 答案：B 课堂探究·素养提升例1【解析】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④. (2)①记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×2×3＝0.051 2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15××4＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14××3×＝0.02 048≈，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.【答案】(1)①②④(2)见解析跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. 答案：2027例2【解析】(1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为跟踪训练2 解析：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A －∩B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (A ∩B ＋A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为例3【解析】X 的可能取值是1,2,3.P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为跟踪训练3 解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 例4【解析】(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡23×13×12＋13×23×12＋⎦⎤13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243. 跟踪训练4 解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是方法二：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是例5【解析】(1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为②从10X 奖券中有放回的抽取2X ，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B ⎝⎛⎭⎫2，25(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2X 奖券中有1X 中奖或2X 都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为跟踪训练5 解析：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A －)＝C 14×C 22C 36＝420＝15， P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－233＋C 23×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A －B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12＋C 34C 36＝45， 则X 的分布列为。
七年级(上)数学 4.2 解一元一次方程(3)学案
七年级(上)数学 4.2 解一元一次方程（3）学案学习目标：1、掌握含有括号的一元一次方程的解法。
2、初步了解解一元一次方程一般步骤。
3、进一步体会“转化”的思想方法。
学习过程：一、情境创设校团委要举办知识竞赛，共30道题。
规则规定：答对一题得5分，答错一题扣2分，不答不得分。
初一（8）班代表队回答了所有问题共得122分。
问该班代表队答对了几道题？解：设该班代表队答对了x道题则由题意可得方程____________________二、探索活动问题：1、如何去掉方程中的括号？依据是什么？2、上面列的方程你会解吗？三、例题教学例1、解方程：－3(x＋1)＝9思考：你还有其他方法去掉方程中的括号吗？例2、解方程2(2x＋1)＝1―5(x―2)拓展：解方程3x－2(3x＋1)＋7x＝6x―4(4―3x)例3、当x取何值时，代数式3(2－x)和2(3＋x)的值相等？四、巩固练习1、解下列方程：⑴5(x＋1)＝3(3x＋1) ⑵2(x―2)＝3(4x―1)＋92、某班在绿化校园的活动中共植树130棵，有5位学生每人种了2棵，其余学生每人种了3棵，这个班共有多少名学生？五、小结思考：解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什么？六、当堂检测：1、解下列方程：⑴2(x＋1)＝6 ⑵4(x－1)＝1－x⑶3－(1＋2x)＝2x ⑷3(2x―1)―2(1―x)＝92、y为何值时，2(3y＋4)的值比5(2y－7)的值大3？3、若y＝1是方程3―2(m―2y)＝5y的解，求方程m(x＋2)＝1―2(x―m)的解。
选做：解方程3{2x―1―[3(2x―1)＋3]}＝5。
六年级数学4.2解一元一次方程(3) (1)
六年级数学 《4.2解一元一次方程》导学案 （3）
执笔人高建成 参与人 谭婷婷 于正玉
●学习目标：
1知识与技能：1、记住解一元一次方程的基本方法：移项、去分母，掌握解一元一次方程的一般步骤。
2过程与方法：能熟练求解数字 的一元一次方程，并能根据实际问题判别解的合理性。
3情感态度与价值观：体会解一元一次方程中的转化思想。
●重点难点：。
教学重点：解一元一次方程的基本方法：移项、去分母，掌握解一元一次方程的一般步骤 教学难点：准确解一元一次方程 ●学习过程
【自主学习】情境：复习提问
解方程4﹙x ＋0.5﹚＋x ＝17
用两种不同的方法解方程：解下列方程 －2﹙x －1﹚＝4
【合作探究】认真完成，完成后组内交流
解方程：51﹙x ＋15﹚＝21－3
1
﹙x －7﹚
去分母，得
去括号，得 移项，得
合并同类项，得 两边同时除以___,得
【典例学习】独立完成后，组内交流
例1 解下列方程
（1）52x ＋21＝31x －61 (2)817 x ＝4
3
【跟踪练习】（A 类题全部同学都作，有能力的同学完成B 类题）
A 类: 课本P131随堂练习第1、(1) (2) (3) （4）题
B 类: P131随堂练习第1题(5)，（6）
【课堂小结】可以是对知识的理解，可以是系统的说明，也可以是情感上的收获组长整
【达标检测】
A 类：课本P131习题4、5第1、2 题
B 类：课本P131第3题。
第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标 1.了解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.知识点一利用直线与圆的方程解决实际问题解决此类问题的一般程序是：仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题，了解问题的实际情境，把握问题的数学本质.(2)引进数学符号，具体分析问题中的数量关系，正确建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答，求得结果.(4)转化为具体问题，做出解答.知识点二利用直线与圆的方程解决平面几何问题平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把点用坐标表示，直线、圆等用方程表示，并用代数方法研究几何问题，这就是人们常说的“坐标法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几何问题.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.1.用坐标方法解决平面几何问题时，平面直角坐标系建立的位置与解题过程无关.(×)2.圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.(√)3.已知点P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则PQ 与x 轴垂直.( √ )题型一 直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m.现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ 考点 题点解 建立如图所示的坐标系.依题意，有A (－10,0)，B (10,0)， P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0). 设圆拱桥所在圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2.解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4).把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过.反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.跟踪训练1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽为________米.答案 251解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆心为C ，圆的方程设为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r >0)，水面所在弦的端点为A ，B ，则A (6，－2).将A (6，－2)代入圆的方程，得r ＝10，则圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0>0)，将A ′(x 0，－3)代入圆的方程，得x 0＝51，所以当水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251(米). 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值. 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的综合应用解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.(1)设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.反思感悟 利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等. (2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.跟踪训练2 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值. 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的综合应用解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1,2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34.故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34.(2)令u ＝x －2y ，则u ＝x －2y 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得. 依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.坐标法的应用典例用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.考点题点证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.[素养评析](1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.②充分利用图形的对称性.③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.④关键点的坐标易于求得.(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3C.1D.3题点 答案 A解析 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.2.已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A.8 B.－4 C.6 D.无法确定 考点 题点 答案 C解析 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称， 所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0， 从而－m2＋3＝0，即m ＝6.3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( ) A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 考点 题点 答案 B解析 以半圆所在直径为x 轴，过圆心且与x 轴垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.易知半圆所在的圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时x ＝0.8或x ＝－0.8，代入x 2＋y 2＝3.62， 得y ≈3.51(负值舍去).4.圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，则周长最小的圆的方程为________.题点答案 x 2＋y 2－2y －9＝0解析 当AB 为直径时，过A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB 中点(0,1)为圆心， 半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10，即x 2＋y 2－2y －9＝0.5.如图，圆弧形拱桥的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________米.考点 题点 答案 13解析 设圆心为O ，半径为r ， 则由勾股定理得，|OB |2＝|OD |2＋|BD |2， 即r 2＝(r －4)2＋62，解得r ＝132， 所以拱桥的直径为13米.1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.一、选择题1.y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方所围成的图形的面积是( ) A.π4 B.3π4 C.3π2 D.π 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的简单应用 答案 D解析 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A.36 B.18 C.6 2 D.5 2 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的简单应用 答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， 圆心为(2,2)，半径为3 2.圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.3.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的简单应用 答案 B解析 圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0，即 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－2a ，故弦心距d ＝|－1＋1＋2|2＝2，再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a ＝2＋4， ∴a ＝－2.4.设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的简单应用 答案 B解析 如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.5.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B.1 C. 3 D. 2 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的综合应用 答案 B解析 x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6.若方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是( ) A.k ＝±3 B.k ∈(－2,2) C.k <－2或k >2D.k <－2或k >2或k ＝±3 考点 直线与圆的方程的应用 题点 直线与圆的方程的综合应用 答案 D解析 方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解等价于y ＝1－x 2与y ＝kx ＋2有唯一公共点.由图象(图略)知选D.7.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是()A.(－22，0)∪(0,22)B.(－22，22)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－1,1)考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交.|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.8.已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A.[－32，32]B.[－3,3]C.(－3,32]D.[－32，3)考点直线与圆的方程的应用题点直线与圆的方程的综合应用答案 C解析数形结合法，注意y＝9－x2，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b≤32时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.二、填空题9.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的简单应用答案 254解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254. 10.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________.考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的综合应用答案 x ＋y －2＝0解析 由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.11.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h.考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的综合应用答案 1解析 如图，以A 地为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B 处于危险区，即B 处于危险区时，台风中心在线段MN 上，可求得|MN |＝20，所以时间为1 h.三、解答题12.已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动.(1)求y －1x －2的最大值与最小值； (2)求2x ＋y 的最大值与最小值.考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的综合应用解 (1)设y －1x －2＝k ，即kx －y －2k ＋1＝0， 则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33， ∴y －1x －2的最大值为33，最小值为－33. (2)设2x ＋y ＝m ，则m 表示直线2x ＋y ＝m 在y 轴上的截距.当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由|1－m |5＝1，解得m ＝1±5， ∴2x ＋y 的最大值为1＋5，最小值为1－ 5.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路上的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的综合应用解 以O 为坐标原点，OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离.此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 答 DE 的最短距离为(42－1)km.14.若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.[2－3，1]B.[2－3，2＋3]C.⎣⎡⎦⎤33，3D.[0，＋∞)考点题点答案 B解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(2,2)，半径为3 2.由圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，可得圆心到直线l 的距离d ≤32－22＝2， 即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2， 则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若b ＝0，则a ＝0，不符合题意，所以b ≠0，则①式可化为1＋⎝⎛⎭⎫a b 2＋4a b ≤0.②又直线l 的斜率k ＝－a b，所以②式可化为1＋k 2－4k ≤0，解得k ∈[2－3，2＋3]. 15.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)考点 直线与圆的方程的应用题点 直线与圆的方程的简单应用解 如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程为x 2＋y 2＝252.直线AB 方程为x 40＋y 30＝1， 即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h). 答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0（a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：用直接开平方法解方程:1．9x2—25＝0;2．（3x+2）2—4＝0；4．（2x+3)2＝3（4x+3)．解:1．9x2—25＝09x2＝252．(3x+2）2-4＝0（3x+2）2＝43x+2＝±23x＝—2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3）4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c;方程的两边都除以二次项系数,使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程:1．x2—4x-3＝0； 2．6x2+x＝35;3．4x2+4x+1＝7; 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2—4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x—2）2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2—3x—3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0）的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2—a（3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x）．2．2x2+7x—4＝0∵a＝2,b＝7,c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(—4）＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b）-b2＝0（a-2b≥0)x2—3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2—ab—b2b2—4ac＝（—3a)2-4×1×（2a2+ab-b2)＝9a2—8a2—4ab+4b2＝a2—4ab+4b2＝（a—2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中,一次项与常数至少缺一项。
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。
本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。
仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列{}n F：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。
2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把{}n F 设为裴波纳契数列，不难发现数列{}n F 是由递推关系式：21F F =，213F F F +=，……，21--+=n n n F F F ()3≥n ()* 所给出的一个数列。
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课 题
§4.2-3 解一元二次方程
学
习
内
容
订正栏 学习目标
能灵活运用去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤解一元一次
方程
一、课前预习
1．方程3x －4(x+1) =1去括号变形为_______________________________ 。
2.在解方程()()032312=---x x 中，去括号正确的是 （ ） A 、09612=+--x x B 、03622=---x x
C 、09622=---x x .
D 、09622=+--x x 二．合作探究
1．解方程=+)1(31x )32(71
+x
2. 已知2ax=(a+1)x+6，求当a 为何整数时，方程的解是正整数.
3.方程
++122334x x x ++⨯⨯⨯… x =200220022003
⨯ 的解是多少？
三．达标检测
【基础演练】
1．下列方程去括号正确的是 （ ） A 、由2x-3（4-2x ）=5得x-12-2x=5 B 、由2x-3（4-2x ）=5得2x-12-6x=5 C 、由2x-3（4-2x ）=5得2x-12+6x=5 D 、由2x-3（4-2x ）=5得2x-3+6x=5
2.已知y=1是方程2-y y m 2)(3
1
=-的解，则关于x 的方程m(x+4)=m(2x+4)
的解是（ ）
A x=1
B x=-1
C x=0
D 方程无解
3.解下列方程：
（1） )2(51)12(2--=+x x （2） 1)1(37-=--x x
（3）
【能力提升】
4.解答题：
（1）当k 取何值时，方程1)1(37=--k x 的解是－2？
（2）若方程5x+1=4x —3和方程2(x+1）－m=－2（m —2）的解相同，则求m
的值？
（3）m 是什么整数时，方程x mx -=4的解是正整数？。