全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)

加试模拟训练题（82）

1 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。

2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．

3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线

E

B R

C T

A P S D

F

中至少有三条经过同一点．

4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。

加试模拟训练题（82）

1如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长

E

B R

C

T

A

P S

D F

线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 先证两个引理。 引理1:

A 1

B 1

C 1

D 1

E 1

F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有

11

11

111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △ OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有 △

O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， O

F O

D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11

11111111111=⋅⋅A F F

E E D D C C B B A ，

引理2：

圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足

11

11

111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。 该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。

例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FD

FP

DS PA =

. 两式相乘，得

FD

EP FP

EB DS BR ⋅⋅=

. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知

EP EC PD CR =，FA

FP

AS PD =

. 两式相乘，得FA

EP FP

EC AS CR ⋅⋅=

② 由①，②得FD

EC FA

EB CR DS AS BR ⋅⋅=

⋅⋅. 故 =⋅⋅AB SA DS CD RC BR CE

DC

FD AF BA EB ⋅

⋅. ③ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有1=⋅⋅CE

DC

FD AF BA EB ④

由③，④得1=⋅⋅AB

SA

DS CD RC BR .

由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线。 2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．

【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供．

B F A E 1

O

C D 1

1

1

1

1

【证】设P 1（x ）=x ，P n+1（x ）=P n （x ）（P n （x ）+1/n ），（n ≥1）那么P n

（x ）是正系数的2n-1

次多项式．于是x n =P n （x 1），由于x n+1＞x n 与x n ＞1-1/n 等价，问题可改为证明存在唯一的正实数t ，使得1-1/n ＜P n （t ）＜1（n=1，2，）．

由于P n （x ）是严格的增函数（x ≥0），P n （0）=0，且P 1（1）=1，P n （1）＞1（n ≥2），我们可以找到唯一的a n ＜b n ≤1，使P n （a n ）=1-1/n 及P n （b n ）=1．

又由P n+1（a n ）=1-1/n 及P n+1（a n+1）=1-1/（n+1），可得

a n ＜a n+1

同理，由P n+1（b n+1）=1及P n+1（b n ）=1+1/n ，得b n+1＜b n ． 由于[a n ，b n ] [a n-1，b n-1]，所以P n-1（a n ）≥P n-1（a n-1）≥

≥P 1（b n ）-P 1（a n ）=b n -a n

由“区间套定理”，存在唯一实数t ，使得对所有n 均满足a n ＜t ＜b n ，由此得1-1/n ＜P n （t ）＜1．

3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．

【题说】 第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题4、十年级题5．

【证】 由梯形的面积等于高和中位线的积可知：分正方形成面积比为2:3的两个梯形(或矩形)的每条直线，都把沿着梯形的中位线作出的正方形的中位线分成同样的比．

如图，分正方形中位线为2:3的点共有四个，而直线有9条，故至少应有三条直线过这些点中的某一个．

例7 已知49个正整数的集合M ，M 中的每个数的质因数不大于10，证明：M 中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。 注：不妨假设i m M ∈且1234

2357

i i i i p

p

p

p i m =，考虑下面的有序数组()1234,,,i i i i p p p p ，从各

自的奇偶性看，共16种，所以肯定有4个有序组，它们的奇偶性次序完全相同。这样讨论有缺陷。先从49个有序组种取17个有序组，肯定有两个有序组的奇偶次序完全相同，这样两个有序数组记为()()1112131411121314,,,,,,,a a a a b b b b ，原来的49个有序组，还剩余47个有序，再取17个，又有两个有序组，()()2122232421222324,,,,,,,a a a a b b b b ，一次可以取17对有序组，