2016课堂新坐标高考数学理科人教A版专题突破练5

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课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库第二章数列学业分层测评11及答案

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.等差数列前n 项和为S n ,若a 3＝4,S 3＝9,则S 5－a 5＝( ) A.14 B.19 C.28 D.60【试题解析】在等差数列{a n }中,a 3＝4,S 3＝3a 2＝9,∴a 2＝3,S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【参考答案】 A2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15【试题解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2＝313S 13.于是可知S 13是常数. 【参考答案】 C3.已知等差数列的前n 项和为S n ,若S 13<0,S 12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【试题解析】由⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6>－d2，故|a 6|>|a 7|.【参考答案】 C4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27【试题解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6－S 3,S 9－S 6构成等差数列,所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3),即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【参考答案】 B5.含2n ＋1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n【试题解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2,S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ,∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B.【参考答案】 B 二、填空题6.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知S 3＝9,a 4＋a 5＋a 6＝7,则S 9－S 6＝ .【试题解析】 ∵S 3,S 6－S 3,S 9－S 6成等差数列,而S 3＝9,S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7,∴S 9－S 6＝5.【参考答案】 57.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ,第k 项满足5<a k <8,则k ＝ . 【试题解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8, 得7.5<k <9,∴k ＝8. 【参考答案】 88.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ,且S 3＝S 8,当n ＝时,S n 取到最大值.【试题解析】 ∵S 3＝S 8,∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0,∴a 6＝0,∵a 1>0,∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0,a 7<0. 故当n ＝5或6时,S n 最大. 【参考答案】 5或6 三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 1＝9,a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9,a 4＋a 7＝0, 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0,解得d ＝－2, ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 a 1＝9,d ＝－2,S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25,∴当n ＝5时,S n 取得最大值.法二由(1)知a 1＝9,d ＝－2<0,∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0,则11－2n ≥0,解得n ≤112. ∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ＝5时,S n 取得最大值.10.若等差数列{a n }的首项a 1＝13,d ＝－4,记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |,求T n . 【解】 ∵a 1＝13,d ＝－4,∴a n ＝17－4n .当n ≤4时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2;当n ≥5时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎨⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5).[能力提升]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4＝40,S n ＝210,S n －4＝130,则n ＝( ) A.12 B.14 C.16D.18【试题解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80, S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40, 所以4(a 1＋a n )＝120,a 1＋a n ＝30, 由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210,得n ＝14.【参考答案】 B2.(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19,a n ＋1＝a n －3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9【试题解析】因为a n ＋1－a n ＝－3,所以数列{a n }是以19为首项,－3为公差的等差数列,所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大,则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，所以193≤k ≤223. 因为k ∈N *,所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7. 【参考答案】 B3.(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .【试题解析】设等差数列{a n }的项数为2n ＋1, S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1,S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1, 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433,解得n ＝3,所以项数2n ＋1＝7, S 奇－S 偶＝a n ＋1,即a 4＝44－33＝11为所求中间项. 【参考答案】 11 74.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1＝12,d ＝－2. 【导学号：05920069】(1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项;(3){S n }有多少项大于零？【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图.(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694,n ∈N *,∴当n ＝6或7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减. {S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零.。

课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库模块综合测评2及答案

模块综合测评(二)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列1,3,7,15,…的通项a n 可能是( ) A.2n B.2n ＋1 C.2n －1D.2n －1【试题解析】取n ＝1时,a 1＝1,排除A 、B,取n ＝2时,a 2＝3,排除D. 【参考答案】 C2.不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A.{x |x ≤－1或x ≥5} B.{x |x <－1或x >5} C.{x |1<x <5} D.{x |－1≤x ≤5}【试题解析】不等式化为x 2－4x －5>0,所以(x －5)(x ＋1)>0,所以x <－1或x >5. 【参考答案】 B3.在正项等比数列{a n }中,a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根,则a 8·a 10·a 12等于( )A.16B.32C.64D.256【试题解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0),∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【参考答案】 C4.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【试题解析】5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ac＝3,且a＝3b sin A,则△ABC的面积等于()A.12 B.32C.1D.3 4【试题解析】∵a＝3b sin A,∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A,∴sin B＝1 3.∵ac＝3,∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12,故选A.【参考答案】 A6.等比数列{a n}前n项的积为T n,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T25中也是常数的项是()A.T10B.T13C.T17D.T25【试题解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39,而T17＝a179,故T17为常数.【参考答案】 C7.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A,不等式x2＋x－6<0的解集为B,不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ,那么a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3【试题解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3},B ＝{x |－3<x <2},A ∩B ＝{x |－1<x <2},由根与系数的关系可知：a ＝－1,b ＝－2,∴a ＋b ＝－3. 【参考答案】 A8.古诗云：远望巍巍塔七层,红光点点倍加增.共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？( )A.2B.3C.4D.5【试题解析】远望巍巍塔七层,说明该数列共有7项,即n ＝7.红光点点倍加增,说明该数列是公比为2的等比数列.共灯三百八十一,说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯,就是求塔顶几盏灯,即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ,即381＝a 1(1－27)1－2,∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯. 【参考答案】 B9.若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(1,＋∞)D.[1,＋∞)【试题解析】实数x ,y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示. y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,y x 的取值范围为(1,＋∞).【参考答案】 C10.在△ABC 中,若c ＝2b cos A ,则此三角形必是( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形D.有一角为30°的直角三角形【试题解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B , ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ,即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B , 即sin A cos B －cos A sin B ＝0, 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π, 所以A －B ＝0, 即A ＝B . 【参考答案】 A11.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A.23＋2B.23－2C.2 3D.2【试题解析】 ∵x >1, ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【参考答案】 A12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2,BC →·BA →＝12,则tan B 等于( )A.32B.3－1C.2D.2－ 3【试题解析】由BC →·BA→＝12,得ac cos B ＝12,∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1, ∴a 2－b 2＋c 2＝1, ∴tan B ＝2－31＝2－ 3. 【参考答案】 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知点P (1,－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内,则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【试题解析】点P (1,－2)关于原点的对称点为点P ′(－1,2). 由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【参考答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214.(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.【试题解析】由题意有a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2).以上各式相加,得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1, ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2). ∵当n ＝1时也满足此式, ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *). ∴1a n ＝2n 2＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【参考答案】 201115.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a ＝2,且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.【试题解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ,a ＝2, 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c , ∴a 2－b 2＝c 2－bc , ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A , ∴A ＝60°.∵在△ABC 中,4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得), ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【参考答案】316.若1a <1b <0,已知下列不等式： ①a ＋b <ab ;②|a |>|b |;③a 2; ⑤a 2>b 2;⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______. 【试题解析】 ∵1a <1b <0, ∴b <a <0,故③错;又b <a <0,可得|a |<|b |,a 20,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由. 【解】 (1)∵a 3＝12,∴a 1＝12－2d , ∵S 12>0,S 13<0, ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0,S 13<0, ∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0,又由(1)知d <0.∴数列前6项为正,从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.18.(本小题满分12分)已知α,β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a ,b ∈R ,求b －3a －1的最大值和最小值.【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2, ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ,则上述不等式组表示的平面区域如下图所示.令k ＝b －3a －1,可以看成动点P (a ,b )与定点A (1,3)的连线的斜率. 取B (－1,0),C (－3,1), 则k AB ＝32,k AC ＝12, ∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32,最小值是12. 19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小;(2)若a ＝3,试求当△ABC 的面积取最大值时,△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0,由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0, 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc , ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12, ∵0<A <π, ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号. ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时,a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形.20.(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ,∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时,1≥0,不等式恒成立; ②当a ≠0时,则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知,a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0,得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1, ∴①当1－a >a , 即0≤a <12时,a <x <1－a ;②当1－a ＝a ,即a ＝12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0,不等式无解;③当1－a <a ,即12<a ≤1时, 1－a <x <a .综上,当0≤a <12时,原不等式的解集为(a,1－a ); 当a ＝12时,原不等式的解集为∅; 当12<a ≤1时,原不等式的解集为(1－a ,a ).21.(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ,其中d 为常数,则称数列{a n }为等方差数列.已知等方差数列{a n }满足a n >0,a 1＝1,a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和. 【解】 (1)由a 21＝1,a 25＝9, 得a 25－a 21＝4d ,∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1, ∵a n >0, ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝(2n －1)12n ,设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ,① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1,② ①－②,得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1, 即S n ＝3－2n ＋32n ,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .22.(本小题满分12分)如图1所示,某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处,12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处,12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口,如果轮船始终匀速直线航行,则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟,从点B 到点E 用时20分钟,而船始终匀速航行,由此可见,BC ＝4EB .设EB ＝x ,则BC ＝4x ,由已知得∠BAE ＝30°,在△AEC 中,由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AE sin C, 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x , 在△ABC 中,由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C , 即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中,由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313,所以BE＝313(千米).故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时).。

2016高考全国课标卷理科数学模拟试题五及详解

2016高考全国课标卷理科数学模拟试题五一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(14浙江理）设全集U={x ∈N|x≥2，集合A={x ∈N|x 2≥5}，则∁U A=( )A. ∅B.{2}C.{5}D.{2,5}解析:全集U={x ∈N|x≥2}，集合A={x ∈N|x 2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={x ∈N|x ＜3}={2}，故选：B 2. (13课标1理2)若复数z 满足(3–4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．–4B ．–45C ．4D ．45答案：D3. 12福建文理）函数f(x)=sin(x –π4)的图像的一条对称轴是（）A ．x=π4B ．x=π2C ．x= – π4D ．x=–π2解析：把x=– π4代入后得到f(x)=-1,因而对称轴为x=–π4,答案C 正确.4.（14课标2理9）.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则z=2x –y 的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 答案: B5.（11湖南理6）由直线x= –π3，x=π3，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（）A ．12B ．1C ．3D ． 3 解析:由定积分知识可得S=⎰33-ππcosxdx=3，故选D 。

6.（14浙江理03）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（）A. 90cm 2B. 129 cm 2C. 132 cm 2D. 138 cm 2解析:由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，≨几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2×21×3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm 2）．7.（10辽宁理）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A. 12B.125C. 14D. 61 解析：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则P(A)=P(A 1)+ P(A 2)= 23×14+13×34=1258.（12大纲理）已知α为第二象限角,sin α+cos α=33,则cos2α=（）解析：sin α+cos α=33,两边平方可得1+2sin αcos α=13，2sin αcos α=–23α是第二象限角,因此sin α>0，cos α<0, 所以(cos α-sin α)2=1–2sin αcos α=–15/3 cos2α=( sin α+cos α)( cos α-sin α)= –539.（12大纲理）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，,则数列{1n n a a 1+}的前100项和为（）A ．101100 B ．10199 C ．10099 D ．100101解析:依题a 1+4d=5，5a 1+10d=15，联立解得a 1=d=1，故a n =n ，由裂项相消法的T 100=100/10110.（11湖南理8）设直线x=t 与函数f(x)=x 2，g(x)=lnx 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（）A ．1B ．12C ．22D ． 32解析:由题|MN|=h(x)=x 2-lnx ，(x>0)，则h ′(x)=2x-1/x ，令h ′(x)=0解得x=22， |MN|达到最小。

【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件巧突破5

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(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，
当n＝1时，满足上式，所以an＝2n＋1.
3 在正项等比数列{bn}中，a1＝2b1＝3，则 b1＝2， 3 又 a3＝7，b3(a3－a1)＝b1，则 b3＝8. 1 设数列{bn}的公比 q>0，则 q＝2，
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数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差，等
比数列的求和公式，错位相减求和及裂项相消求和，数列求和常与函
数、方程不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上，又注意考查学生分析问题、解决问题的能力．
已知数列{an}的前n项和Sn
1 n＋ 1 －3· (2n＋1)· ， 2 6n＋15 所以数列{cn}的前 n 项和 Tn＝15－ 2n .

常见失分探因易漏 n＝1 判断 1 注意如何变形整理结果且不要忘记两边除以2
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已知等比数列{an}满足 2a1＋a3＝3a2，且 a3＋2 是 a2， a4 的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝an＋log2a ，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使 Sn－2n＋1＋47<0 成 n 立的 n 的最小值．
＝(2n－3)×2n＋3.
3．已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S7＝70，且 a1， a2，a6 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 2Sn＋48 (2)设 bn＝ n ，数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．
＝ n2 ＋ 2n ，数列 {bn}是正项等比数列，且满足 a1 ＝ 2b1 ， b3(a3 － a1) ＝ b1 ， (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

高考数学二轮复习阶段提升突破练五理新人教A版

高考数学二轮复习阶段提升突版A破练五理新人教．阶段提升突破练(五)(解析几何)(60分钟 100分)一、选择题(每小题5分，共40分)-=1(a>0：，)1.(2017·资阳二模双曲线Eb>0)的渐近线的距离为aE，则E的一个焦点F 到的离心率是( )B. C.2 A. D.3【解题导引】由点到直线的距离公式计算可得焦b=a，进而由双曲线离点F到渐近线的距离为心率公式计算可得答案.-=1：的【解析】选C.根据题意，双曲线E±x，即y=焦点在x轴上，则其渐近线方程为ay±bx=0，设F(c，0)，F到渐近线ay-bx=0的距离，=b=d=-=1的一个焦点F：到E的渐近又由双曲线Ec==2a， b=a，线的距离为a，则=2.故双曲线的离心率e=22，右支上一点(sx【加固训练】若双曲线-y=2) ( 到直线y=x的距离为2，则s-t的值等于t)A.2B.2C.-2D.-222，(s右支上一点x-y=2【解析】选B.因为双曲线，y=x的距离为2t)到直线.，所以所以|s-t|=2d==2又P点在右支上，则有s>t，s-t=2.所以2的焦点为x=4y2.(2017·昆明二模)已知抛物线l，，抛物线的对称轴与准线交于点F，准线为Q最小时，m|PF|=m|PQ|，当P为抛物线上的动点，为焦点的椭圆上，则椭圆的QF，P点恰好在以)( 离心率为B.2- A.3-2-1 D. C.-由已知，D.选【解析】．F(0，1)，Q(0，-1)，过点P作PM垂直于准线，则PM=PF.记∠PQM=α，==sinα，则 m=当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于P，点P，设|PQ|=2，|PF|=2，所以， 1)可得P(±2，则|PF|+|PQ|=2a，=，所以-1.e=所以，a=+1c=1l ：kx+y-2=0(k ∈R)是直线圆C ：3.已知22Ck)作圆+y-6x+2y+9=0的对称轴，过点A(0，x) 则线段AB 的长为( 的一条切线，切点为B ，B.2A.2D.2 C.3利用配方法求出圆的标准方程可得【解题导引】l 的圆C 由直线：kx+y-2=0经过圆圆心和半径，的坐标，再k 的值，可得点A ，心(3-1)，求得. 的长AB 利用直线和圆相切的性质求得22得，-6x+2y+9=0+yx ：C 由圆D.选【解析】．22为圆心、半C(3，-1)(x-3)+(y+1)=1，表示以l kx+y-2=0由题意可得，直线：径等于1的圆. ，-1)，经过圆C的圆心(31)，，则点3k-1-2=0，得k=1A(0，故有. 即=|AC|=.|AB|==2则线段=-=1(a>0，深圳二模)b>0)已知双曲线4.(2017·的左、右顶点分别为A，A，M是双曲线上异于21A，A的任意一点，直线MA 和MA分别与y轴交2211于P，Q两点，O为坐标原点，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是( )B.[，+∞ ) A.(，+∞)，D.(1]C.(1 ，)【解析】选A.由题意得A(-a，0)，A(a，0)，21而M是双曲线上的点，令M(m，n)，求得直线MA：2Q，：，MA(x+a)y=，所以(x-a)y=1P；依次成等比数列，|OQ|，|OM|，|OP|而222①；×所以|OP||OQ|=|OM|，即=m+n而=1 -②；22；，c=联立解得a=率离心所以≥；e===经验=证，n=0时，不满足题意，所以双曲线的离心率(，即双曲线的离心率的取值范围是+e>.∞).22=2+(y-2))与圆x 相切，且·长沙二模5.(2017在两坐标轴上截距相等的直线有 ( )A.6条B.4条C.3条D.2条【解题导引】可设两坐标轴上截距相等(在坐标轴上截距不为0)的直线方程为x+y=a ，与圆的方22=4联立，利用Δ=0即可求得ax 程+(y-2)的值，从而可求得直线方程；另外需要考虑坐标轴上截. 的情况0距都为【解析】选C.设两坐标轴上截距相等(在l的方程为的直线坐标轴上截距不为0) x+y=a，则由题意得：y得：消去22+(4-2a)x+a-4a+2=0，2x222l-4所以Δ=(4-2a)+(y-2)=2相切，因为x与圆2 2(a ×-4a+2)=0，l x+y=4或解得a=0(舍去)a=4，所以；的方程为y=-x与当坐标轴上截距都为0时，由图可知y=x.与该圆相切.共有3条满足题意的直线2=2py(p>0)x点·武汉一模)M是抛物线6.(2017为抛物线的焦点，F的对称轴与准线的交点，点∠λsinsinP在抛物线上，在△PFM中，∠PFM=) ( PMF，则λ的最大值为B.1 A.C. D.，作|PF|λ|PM|=由正弦定理求得【解题导引】．PB垂直于准线于点B，根据抛物线的定义，则=，则λ取得最大值时，sinsinαα最=，小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，Δ=0，求得k的值，即可求得λ的最大值.【解析】选C.过P作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得B则，∠PMFsin ∠PFM=λsin|PF|=|PB|，由，λ|PM|=|PF|△PFM中由正弦定理可知：的倾斜角，设，所以PM=所以|PM|=λ|PB|，为α，则sinα=与PM当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线，则y=kx-抛物线相切，设直线PM的方程为22222 =0=0，所以Δ=4pk，-4p即x-2pkx+p ，1±=αtan，即1±k=所以．=.sinα，λ的最大值为=则【加固训练】222已知抛物线y=4x，圆F：(x-1)+y=1，过点F l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A 作直线，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是( )A.等于1B.最小值是1C.等于4D.最大值是42，准线，0)y=4x ，焦点F(1因为【解析】选A.l ：x=-1.由定义得：|AF|=x+1， A0又因为|AF|=|AB|+1，所以|AB|=x ， A 同理：|CD|=x ， D l ⊥x 轴时，则x=x=1，当AD 所以|AB|·|CD|=1， l ：y=k(x-1)时，代入抛物线方程，得：当2222 ，=0+4)x+k-(2kxk所以xx=1，所以|AB|·|CD|=1. DA 综上所述，|AB|·|CD|=1.7.(2017·郴州二模)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为，同时椭圆x轴上，C上存在焦点在一点与右焦点关于直线x+y-1=0对称，则椭圆C的方程为( )+ =1 B.=1 + A.=1+D.+=1 C.【解题导引】由椭圆的离心率，求得b=c，则椭222圆的标准方程转化成x+2y=2b，求得右焦点关于直线x+y-1=0对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程.a=c，A.由椭圆的离心率则e=，=选【解析】2222为程椭b=c=c，则，则设圆方-cb由=a222.+2y=2bx l的对称点设为y=-x+1：关于0)，(b设右焦点．解得)′，则(x′，y222由点(1，1-b)在椭圆上，得1+2(1-b)=2b，b=，2+，所以椭圆的标准方程为a==1.2-=1的右支上一点过双曲线8.xP ，分别向圆2222=1作切线，+y 和圆C ：C ：(x+4)(x-4)+y=42122的最小值为-|PN||PM|M ，N ，则切点分别为) (D.19 C.16 A.10 B.1322，的圆心为(-4B.圆C ：(x+4)+y=4【解析】选122的圆心为=1：C(x-4)+y0)，半径为r=2；圆212的左、=1，半径为(4，0)r=1，设双曲线x-2，PF ，0)(4，，连接PFF(-4右焦点为F ，0)，2112 F ，N ，可得FM 212222)-|-|PN|=(|PF|-)-(|PF|PM|2122-1)|-4)-(|PF|=(|PF 21 22-3-|PF=|PF||21．=(|PF|-|PF|)(|PF|+|PF|)-32211=2a(|PF|+|PF|)-321=2(|PF|+|PF|)-3≥2·2c-3=2×8-3=13. 21当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值为13.二、填空题(每小题5分，共20分)9.(2017·保定一模)已知等边△ABC 的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是________.【解析】如图所示：=-2，° =2x，y=-2tan60CC-2，).所以C(2y=，BC边所在的直线方程是(x-4)所以(x-4). y=即(x-4)答案：y=22mx+my+1=0=-10y抛物线10.x的焦点在直线m=________.上，则．2，的焦点坐标为(0【解题导引】抛物线x=-10y. 2mx+my+1=0，可得结论-2.5)，代入直线2，，-2.5)=-10y 的焦点坐标为(0【解析】抛物线x，所以，可得-2.5m+1=0代入直线2mx+my+1=0m=0.4.0.4答案：中，xOy 江苏高考)在平面直角坐标系·11.(20172的右准线与它的两条渐近线分别双曲线-y=1QPF ，则四边形F ，其焦点是，QF ，F 交于点P 2121________________.的面积是x ，渐近线为y=，±【解析】右准线方程为x=，(-2，不妨设0)P ，FQ ，1=2×. (2，0)，则S=4F 22答案：2上一点=2py(p>0))抛物线x12.(2017·昆明一模A，点A(，m)(m>1)到抛物线准线的距离为OAB为坐标原点，△O，B轴的对称点为y关于的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意·的取值范围为________. 一点，则A(利用点在抛物线上，求【解题导引】，m)=，求出到准线的距离为p+，即出m，点A 可解出抛物线方程，设点F(cosθ，2+sin θ)(θ为参数)，化简数量积，求解范围即可.A(，m)【解析】因为点在抛物线上，到准线的距离A ，m=，点所以3=2pm时，p=6或+p=6.=，解得当为p=2，x=ym=<1，故p=6舍去，所以抛物线方程为是正三OABB(-，3)所以，A(，3)，所以△22，+(y-2)角形，边长为=12，其内切圆方程为xθθθ，2+sinE)(设点.如图，所以F(cosθθ·=cos)参为数，则sin+3+，所以].3+，[3-∈·sin=3+3+，答案：][3-l：)已知直线【加固训练】(2017·汉中二模2=8x交于A，B两点，y=k(x-2)与抛物线C：yFl的则直线若|AF|=3|BF|，为抛物线C的焦点，倾斜角为________.【解析】如图，设A，B两点在抛物线准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为斜率k值，设|BF|=n，因为|AF|=3|BF|，所以|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，所以|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠==kk.BAC==，所以AFABl的倾斜角为所以直线.l.时也满足题意的倾斜角为直线根据对称性，或答案：三、解答题(每小题10分，共40分)2=y.x)如图，已知抛物线13.(2017·浙江高考，点P(x线上的点，A，B抛物，过点y)B作直线AP的垂线，垂足 Q. 为(1)求直线AP斜率的取值范围.·的最大值.(2)求【解析】(1)设直线AP的斜率为k，=x-， k=<x<，所以直线AP斜率的取值范围是因为-1).，(-1(2)联立直线AP与BQ的方程=，x 的横坐标是解得点Q Q(k+1)因为，|PA|= =|PQ|=(x ，-x)=-Q3所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)， 3令f(k)=-(k-1)(k+1)，2， f ′(k)=-(4k-2)(k+1)因为上单调上单调递增，在区间所以f(k) 递减，. ·|PQ|取得最大值因此当时，k=|PA|的左天津高考)设椭圆=1(a>b>0)+·14.(2017是抛A已知.，离心率为A，右顶点为F焦点为2l到抛物线的准线F物线y=2px(p>0)的焦点，的距离为..(1)求椭圆的方程和抛物线的方程l 与轴对称，直线APQ 关于(2)设x 上两点P ，轴相x ，直线BQ 与A)椭圆相交于点B(B 异于点的方AP 的面积为，求直线交于点D.若△APD.程，依题意，的坐标为(-c ，0).=【解析】(1)设F222. =，p=2，于是b=a-c ，=a 解得a-c=，a=1，c=2=1+所以，椭圆的方程为x，抛物线的方程为2=4x.y l与直线，≠的方程为设直线(2)APx=my+1(m0)Q故可得点x=-1的方程联立，P.，2，整理得x联立，消去=1+x与x=my+1将．22.由点，或By=(3m+4)y+6my=0，解得y=0).异于点A，可得点由B(，BQ的线方程为，Q可得直=0，(x+1)-令Dx=，所以故，解y=0，得=.又因为△APD的面积为|AD|=1-=，×，故整理×得m=. |m|=，所以|m|+2=03m-2，解得2±3x+y-3=0，或方线AP的程为直所以，y-3=0.3x-22和抛物：·泉州一模15.(2017)圆F(x-1)+y=12l与抛物线和圆依次交于的直线Fy线=4x，过四点，D，C，B，A．l的方程时，求直线. (1)当|BD|+|AC|=7l，使得三角形的直线OAB(2)是否存在过点F与三角形OCD的面积之比为4∶1，若存在，求l的方程，否则说明理由.出直线【解题导引】(1)先可以设直线AD的方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及抛物线的焦点弦公式，即可求得k的值，求得抛物线方程；|AD|=2p=5，求得直线也可以由AD的倾斜角，即可求得k的值，求得抛物线的方程；(2)由三角形的面积公式，求得|AB|∶|CD|=4∶1，根据抛物线的焦点弦公式，求得|AB|·|CD|=xx=1，即可求得x及x，代入即可2112求得k的值，求得直线AD的方程. 【解析】(1)方法一：抛物线的焦点坐标为F(1，0)，的斜率显然存在，设直线AD由题意可知：直线AD的方程为y=k(x-1)，A(x，y)，D(x，y)，22112222 =0k 整理得：x则-2(k+2)x+k，，=1xxx+x=，2112|BD|+|AC|=|AD|+|BC|=7，，则|AD|=5即+x由抛物线的焦点弦公式|AD|=x+p=x，+x+22112，k==3，解得：±2l y+2x-2=0. 的方程为或y-2x+2=0直线AD直线，设直线方法二：AD的方程为y=k(x-1) A(x的倾斜角为θ，，yy)，，)，D(x21212222 +2)x+k-2(k 则=0，xk整理得：x=+xx，=1，x2121，|BD|+|AC|=|AD|+|BC|=7 |AD|=5则，=+p=2p+xθ|AD|=x由tan，解得：=521，2±，2±k=的斜率为AD直线l的方程为y-2x+2=0直线或y+2x-2=0. (2)设O到直线AD的距离为d，由△OAB与△OCD的面积之比为4∶1，∶=4∶1=，即S∶S21所以|AB|∶|CD|=4∶1，设直线方程为y=k(x-1)，2222 =0，则整理得：kx-2(k+2)x+kx+x=，，xx=12211而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，则|BF|=|CF|=1，所以|AB|=|AF|-|BF|=x，|CD|=|DF|-|CF|=x.21所以|AB|·|CD|=xx=1，解得：|AB|=x=2，112=， |CD|=x22，k=±= =，解得：+x则x21l y+2为程方=0x-2或的线直以所=0.y-2x+222轴y的切线长与到=1+y(x+2)到圆P 已知点16.的距离之比为t(t>0，t≠1).。

课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库第三章不等式学业分层测评17及答案

学业分层测评（十七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列不等式：①x 2>0;②－x 2－x ≤5;③ax 2>2;④x 3＋5x －6>0;⑤mx 2－5y <0;⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( ) A.5个 B.4个 C.3个D.2个【试题解析】根据一元二次不等式的定义知①②正确. 【参考答案】 D2.(2015·开封高二检测)二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0【试题解析】结合二次函数的图象(略),可知若ax 2＋bx ＋c <0,则⎩⎨⎧a <0，Δ<0.【参考答案】 D3.已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x 0的解集为{x |1<x 0的解集为(－2,1),则函数y ＝f (x )的图象为( )【试题解析】因为不等式的解集为(－2,1),所以a <0,排除C,D,又与坐标轴交点的横坐标为－2,1,故选B.【参考答案】 B5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12,则f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >－lg 2}B.{x |－1<x <－lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}【试题解析】由题意知,一元二次不等式f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12. 而f (10x )>0, ∴－1<10x <12,解得x <lg 12,即x <－lg 2. 【参考答案】 D 二、填空题6.(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________.(用区间表示)【试题解析】由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0,解得－4<x <1. 【参考答案】 (－4,1)7.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________.【导学号：05920075】【试题解析】 f (1)＝12－4×1＋6＝3, 当x ≥0时,x 2－4x ＋6>3, 解得x >3或0≤x <1; 当x <0时,x ＋6>3, 解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3,＋∞). 【参考答案】 (－3,1)∪(3,＋∞)8.已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0},B ＝{x |x －a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________.【试题解析】 A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2},B ＝{x |x <a }.若B ⊆A ,如图,则a ≤1.【参考答案】 (－∞,1] 三、解答题9.求下列不等式的解集： (1)x 2－5x ＋6>0; (2)－12x 2＋3x －5>0.【解】 (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2,x 2＝3,又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线,且抛物线与x 轴有两个交点,分别为(2,0)和(3,0),其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x |x >3,或x <2}.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,对于方程x 2－6x ＋10＝0,因为Δ＝(－6)2－40<0,所以方程无解,又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线,且与x 轴没有交点,其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为∅.10.解关于x 的不等式x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0. 【解】 ∵原不等式等价于(x －m )(x －m －1)<0,∴方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的两根分别为m 与m ＋1. 又∵m <m ＋1.∴原不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}.[能力提升]1.已知0<a <1,关于x 的不等式(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B.{x |x >a }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 【试题解析】方程两根为x 1＝a ,x 2＝1a , ∵0<a <1,∴1a >a .相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a . 【参考答案】 A2.设0(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为( )A.[1,3)B.(1,3)C.(－∞,1)D.(3,＋∞)【试题解析】原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知不符合题意;②当a >1时,b 1－a <x <b a ＋1,由题意知0<b a ＋1<1,∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需－3≤b 1－a<－2.整理,得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ,有2a －2<1＋a .∴a <3,从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3).【参考答案】 B3.(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______. 【试题解析】 ∵2x 2－x ＜4, ∴2x 2－x ＜22,∴x 2－x ＜2,即x 2－x －2＜0, ∴－1＜x ＜2.【参考答案】 {x |－1＜x ＜2}4.已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集,且M 中的一个元素是0,求实数a 的取值范围,并用a 表示出该不等式的解集.【解】原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0, 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0, 所以a <－1或a >32.若a <－1,则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5, 所以3－2a >a ＋12,此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a; 若a >32,由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54, 所以3－2a <a ＋12,此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上,当a <－1时,原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ,当a >32时,原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.。

2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程.doc

2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。

下面是教育小编为大家整理的2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程，请考生参考。

1.已知极坐标平面内的点P2，-53，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.2，3，(1，3)B.2，-3，(1，-3)C.2，23，(-1，3)D.2，-23，(-1，-3)解析：点P2，-53关于极点的对称点为2，-53+，即2，-23，且x=2cos-23=-2cos3=-1，y=2sin-23=-2sin3=-3，所以选D.答案：D2.(2009珠海模拟)圆=4cos 的圆心到直线tan =1的距离为()A.22B.2C.2D.22解析：圆=4cos 的圆心C(2,0)，如图，|OC|=2，在Rt△COD中，ODC=2，COD=4，|CD|=2.即圆=4cos 的圆心到直线tan =1的距离为2.答案：B3.已知直线l的参数方程为x=-1-22ty=2+22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A.1B.-1C.22D.-22解析：直线l的参数方程可化为x=-1+tcos 34y=2+tsin 34，故直线的斜率为tan 34=-1.答案：B4.直线3x-4y-9=0与圆：x=2cos y=2sin ，(为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但不过圆心解析：圆的普通方程为x2+y2=4，圆心坐标为(0,0)，半径r=2，点(0,0)到直线3x-4y-9=0的距离为d=|-9|32+42=952，直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，故选D.答案：D5.已知极坐标系中，极点为O,02，M3，3，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.解析：如图所示，|OM|=3，xOM=3，在直线OM上取点P、Q，使|OP|=7，|OQ|=1，xOP=3，xOQ=43，显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4，|QM|=|OM|+|OQ|= 3+1=4.答案：7，3或1，436.已知极坐标系中，极点为O，将点A4，6绕极点逆时针旋转4得到点B，且|OA|=|OB|，则点B的直角坐标为________.解析：依题意，点B的极坐标为4，512，∵cos 512=cos4+6=cos 4cos 6-sin 4sin 6=2232-2212=6-24，sin 512=sin4+6=sin 4cos 6+cos 4sin 6=2232+2212=6+24，x=cos =46-24=6-2，y=sin =6+2.点B的直角坐标为(6-2，6+2).答案：(6-2，6+2)7.设y=tx(t为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是________.解析：把y=tx代入x2+y2-4y=0得x=4t1+t2，y=4t21+t2，参数方程为x=4t1+t2y=4t21+t2.答案：x=4t1+t2y=4t21+t28.点M(x，y)在椭圆x212+y24=1上，则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________.解析：椭圆的参数方程为x=23cos y=2sin (为参数)，则点M(23cos ，2sin )到直线x+y-4=0的距离d=|23cos +2sin -4|2=|4sin+3-4|2.当+3=32时，dmax=42，此时M(-3，-1).答案：42(-3，-1)9.(2010新课标全国高考)已知直线C1：x=1+tcos ，y=tsin ，(t为参数)，圆C2：x=cos ，y=sin ，(为参数).(1)当=3时，求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：(1)当=3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3?x-1?，x2+y2=1，解得C1与C2的交点为(1,0)，12，-32.(2)C1的普通方程为xsin -ycos -sin =0.A点坐标为(sin2，-cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2，y=-12sin cos ，(为参数).P点轨迹的普通方程为x-142+y2=116.故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.10.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，6，半径r=3，(1)求圆C的极坐标方程;(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，求动点P的轨迹方程.解：(1)设M(，)为圆C上任一点，OM的中点为N，∵O在圆C上，△OCM为等腰三角形，由垂径定理可得|ON|=|OC|cos-6，|OM|=23cos-6，即=6cos-6为所求圆C的极坐标方程.(2)设点P的极坐标为(，)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，所以点Q的坐标为35，，由于点Q在圆上，所以35=6cos-6.故点P的轨迹方程为=10cos-6.以上是为大家整理的2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程的全部内容，更多内容请关注教育官网高考数学栏目。

高考新坐标2016届高考数学总复习专题突破五解析几何问题(精)

【典例 1】 (2015·济南四校联考)已知椭圆中心在坐标原点， 2 焦点在 x 轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线 x2＝4y 的 2 焦点． (1)求椭圆方程； (2)若直线 y＝x－1 与抛物线相切于点 A，求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的线的性质，求椭圆方程中待定参数 a，b，从而确定椭圆的标准方程．(2)联立方程求出圆心和半径．
[解] (1)由右焦点 F(2 2，0)，知 c＝2 2. 1 又 b，e，为等比数列， 3 c 1 所以 a 2＝ b. 3 又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2 3，b＝2， x2 y2 故椭圆 C1 的方程为＋＝1. 12 4
→ ＝1OB → ，则可知 O ，A ，B 三点共 (2)假设存在 A， B 满足 OA 2 线且 A，B 必不在 y 轴上．设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y＝kx. x2 y2 由(1)可知 C 2 的方程为－＝1. 8 4 y＝kx， 12 2 2 由 x ＋y ＝1，得(1＋3k2)x2＝12，即 x12＝， 2 1 ＋ 3k 12 4 y＝kx， 8 2 2 由 x －y ＝1，得(1－2k2)x2＝8，即 x22＝， 2 1 － 2k 8 4
图 53
b＝1， (1)由题意得 a＝2. x2 2 所以椭圆 C 的方程为＋y ＝1. 4 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线 l1 的斜
率存在，不妨设其为 k，则直线 l1 的方程为 y＝kx－1. 1 2 2 又圆 C2：x ＋y ＝4，故点 O 到直线 l1 的距离 d＝ 2 ， k ＋1
【典例 2】 (2014·陕西高考)如图 52，曲线 C 由上半椭圆 y2 x2 C1： 2 ＋ 2＝ 1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线 C2： y＝－x2＋1(y≤0) a b 3 连结而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为 . 2 (1)求 a，b 的值； (2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A， B)，若 AP⊥AQ ，求直线 l 的方程．

2016版高考数学二轮专题突破(浙江专用,理科)配套课件专题五解析几何第2讲

1 2 3 4
将
5 B－3
2
2 2 b y 2 1－b ，－ 3 代入 x2＋ 2＝1， b
2 得 b ＝3.
3 2 ∴椭圆 E 的方程为 x ＋2y ＝1. 3 2 2 答案 x ＋2y ＝1
2
考情考向分析
1. 以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率 .2. 以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.
x2 y2 A. 2 － 6 ＝1 2 y C.x2－ 3 ＝1
解析
)
x2 y2 B. 6 － 2 ＝1 x2 2 D. 3 －y ＝1
x2 y2 双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是
b b y＝± ax，故可知a＝ 3，
又∵焦点坐标为(2,0)，
∴c＝ a2＋b2＝2，解得 a＝1，b＝ 3.
x ＋c y0 y0 0 的中点坐标 kFQ＝，， 2 ， x － c 2 0
又∵(x0，y0)在椭圆上，
1 2 3 4
c22c2－a22 4c4 c 6 2 ∴ ＋ 6 4 ＝1，令 e＝，则 4e ＋e ＝1， a a a
2 ∴离心率 e＝ 2 .
答案 2 2
热点分类突破热点一圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
整理得 b＝c，∴a＝ b2＋c2＝ 2c，

课堂新坐标高中数学人教A版选修学案：章末分层突破含解析_1

章末分层突破,[自我校对]①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ②∑i ＝1np i ＝1③两点分布 ④超几何分布 ⑤P (B |A )＝P (AB )P (A )⑥0≤P (B |A )≤1P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) (B ，C 互斥) ⑦P (AB )＝P (A )·P (B )⑧A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 相互独立⑨P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)⑩E(aX＋b)＝aE(X)＋b⑪E(X)＝p⑫E(X)＝np⑬D(X)＝p(1－p)⑭D(X)＝np(1－p)⑮D(aX＋b)＝a2D(X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P(B|A)＝P(AB) P(A)；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件A B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.[再练一题]1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．【解】设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件 B.法一：P(A|B)＝P(AB)P(B)＝336636＝12.法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.从而P(A|B)＝n(AB)n(B)＝36＝12.相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．【精彩点拨】解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．【规范解答】记A i表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2B C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B ＋A2B C)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2B C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P(X＝1)＝P(BA0C＋B A0C＋B A1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.[再练一题]2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．【解】记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)·P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率为： P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝P 1＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性． 2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差. 【导学号：97270055】【精彩点拨】 (1)通过列方程组求P 1和P 2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．【规范解答】 (1)设“甲队胜乙队”的概率为P 1，“甲队胜丙队”的概率为P 2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16.① 乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.② 解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14. (2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为 P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P (ξ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P (ξ＝6)＝23×14＝16. 所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－1142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1142×712＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1142×16＝5916.[再练一题]3．(2015·天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解】(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为6 35.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝C k5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．某学校高三 2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．【精彩点拨】根据正态分布的性质求出P(550＜x≤600)，即可解决在550～600分的人数．【规范解答】∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550<X≤600)＝12[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)．[再练一题]4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图2-1所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()图2-1A．997B．954C．819D．683【解析】由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是 1 000×0.682 6≈683.【答案】D1．(2015·安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8B．15C．16D．32【解析】已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.【答案】 C2．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312【解析】 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.【答案】 A3．(2015·广东高考)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.【解析】由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎨⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.【答案】 134．(2015·四川高考)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15，所以X的分布列为因此，X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.。

2016版高考数学二轮专题突破(理科)文档：专题六自选模块第1讲含答案

第1讲导数及其应用1．（2013·浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x)的图象如图所示,则该函数的图象是( ）2．（2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y＝错误!x3－错误!x2－x B．y＝错误!x3＋错误!x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝错误!x3＋错误!x2－2x3．(2014·辽宁）当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ）A．[－5，－3] B．[－6，－错误!]C．［－6,－2］D．［－4，－3]4．（2015·课标全国Ⅱ）已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2)x＋1相切，则a＝______________.1。

导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点。

2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型。

热点一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x）在点P(x0，f（x0））处的切线的斜率，曲线f（x)在点P处的切线的斜率k＝f′（x0)，相应的切线方程为y－f(x0）＝f′（x0)（x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1 (1)（2015·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点（1，f（1）)处的切线过点（2,7），则a＝____________。

（2)（2015·宁波模拟)设函数f(x）＝ax3＋3x,其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直,则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（)A．1 B．3C．9 D．12思维升华（1)求曲线的切线要注意“过点P的切线"与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a〉0)与曲线C2：x2＋y2＝错误!的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．热点二利用导数研究函数的单调性1．f′（x）>0是f(x）为增函数的充分不必要条件,如函数f（x)＝x3在（－∞，＋∞)上单调递增，但f′（x)≥0.2．f′(x）≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f（x）为常函数，函数不具有单调性．例2 (2015·重庆)设函数f(x)＝错误!（a∈R)．(1)若f（x）在x＝0处取得极值，确定a的值,并求此时曲线y＝f（x)在点(1，f(1））处的切线方程；(2）若f（x）在［3，＋∞）上为减函数,求a的取值范围．思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导函数f′（x）；（3）①若求单调区间(或证明单调性），只要在函数定义域内解(或证明）不等式f′（x）>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 （1)函数f（x）＝错误!x2－ln x的单调递减区间为（) A．(－1，1］B．（0，1］C．[1，＋∞）D．(0，＋∞)(2)若函数f（x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax在[错误!，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′（x)〈0，则f(x0)为函数f（x）的极大值;若在x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）〉0，则f(x0）为函数f（x）的极小值．2．设函数y＝f(x）在［a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f（x)在[a，b ］上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2015·北京改编)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.（1)求f （x ）的单调区间和极值；(2)当x ∈[1，错误!］时，求f （x )的最小值．思维升华（1）求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′（x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3）求函数f (x )在闭区间［a ，b ]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f （x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0）． (1）若x ＝1是函数y ＝f （x ）的极值点，求a 的值;(2）若f (x ）<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A．e B．－eC.错误!D．－错误!2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则错误!的值为（)A．－错误!B．－2C．－2或－错误!D．2或－错误!3．已知函数f（x)＝x2－ax＋3在（0，1）上为减函数，函数g（x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x）＝x－错误!，g（x）＝x2－2ax＋4,若任意x1∈［0,1］,存在x2∈[1,2］，使f(x1)≥g（x2），则实数a的取值范围是__________．提醒：完成作业专题六第1讲二轮专题强化练专题六第1讲导数及其应用A组专题通关1.若函数y＝f(x）的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y ＝f（x)的图象可能为( )2．(2015·云南第一次检测）函数f(x)＝错误!的图象在点（1,－2）处的切线方程为（）A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝03．（2015·福建）若定义在R上的函数f（x）满足f(0）＝－1，其导函数f′(x)满足f′（x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（) A．f错误!＜错误!B．f错误!＞错误!C．f错误!＜错误!D．f错误!＞错误!4．设f(x)＝错误!x3＋ax2＋5x＋6在区间［1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( )A．［－错误!,＋∞）B．（－∞，－3］C．（－∞，－3］∪[－错误!，＋∞)D．[－错误!，错误!]5．已知a≤错误!＋ln x对任意x∈[错误!,2]恒成立，则a的最大值为( ) A．0 B．1C．2 D．36．(2015·陕西)函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________．7．若函数f(x）＝错误!在x∈(2，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f（x）＝4ln x＋ax2－6x＋b(a，b为常数）,且x＝2为f(x）的一个极值点，则a的值为________．9．（2015·重庆）已知函数f(x）＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－错误!处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x)＝f（x)e x，讨论g(x)的单调性．10．已知函数f（x）＝x28－ln x，x∈［1,3］．（1）求f（x）的最大值与最小值；(2）若f（x）〈4－at对任意的x∈［1，3］,t∈[0,2］恒成立，求实数a的取值范围．B组能力提高11．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1,x2,都有|f （x1)－f（x2）｜≤t,则实数t的最小值是( ）A．20 B．18 C．3 D．012．已知函数f（x）＝x（ln x－ax）有两个极值点，则实数a的取值范围为________．13．设函数f（x）＝a e x(x＋1)(其中，e＝2。

高考新坐标高考数学总复习第一章第1节集合课后作业-人教版高三全册数学试题

【高考新坐标】2016届高考数学总复习第一章第1节集合课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2013·某某高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2C．0 D．0或4[解析]当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.[答案]A2．(2015·某某质检)设集合P＝[0，＋∞)，且P∪Q＝Q，则集合Q可能是( )A．{y|y＝x2＋1} B．{x|y＝lg(x－1)}C．{y|y＝e x－1} D．{x|2x>1}[解析]由P∪Q＝Q，知P⊆Q，易判定A、B、D选项中的集合为P的真子集，不满足P⊆Q，且C中，Q＝(－1，＋∞)，满足P∪Q＝Q，C项正确．[答案]C3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}[解析]由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}．[答案]D4．(2015·某某模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|y＝lg(1－x)}，则A∩∁U B＝( )A．[1，＋∞) B．[1，2)C．(0，1] D．(－∞，1][解析]由1－x＞0得x＜1，因此B＝{x|x＜1}，∁U B＝{x|x≥1}，所以A∩∁U B＝{x|1≤x ＜2}＝[1，2)．[答案]B5．(2015·某某模拟)已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}[解析] 由题意，得B ＝{－1，1}，因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1，0，1}．[答案]D二、填空题6．已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．[解析] 由A∪B＝A 知B ⊆A ，则m ＝3或m ＝m.即m ＝3或0或1，经检验m ＝0或3时，符合题意．[答案] 0或37．(2015·某某调研)已知集合A ＝{x∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________．[解析] ∵A ＝{x |－5<x <1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝{x |－1<x <n }， ∴m ＝－1，n ＝1.则m ＋n ＝0.[答案] 08．(2015·潍坊联考)对于集合M ，定义函数f M (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M.对于两个集合A ，B ，定义集合A△B＝{x|f A (x)·f B (x)＝－1}．已知A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B 的结果为________．[解析] 要使f A (x)·f B (x)＝－1，必有x∈{x|x∈A 且x ∉B}∪{x|x ∈B 且x ∉A}＝{1，6，10，12}．所以A △B ＝{1，6，10，12}．[答案] {1，6，10，12}三、解答题9．已知集合A ＝{x|－2＜x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x|a≤x＜b}，A ∪B ＝{x|x ＞－2}，A ∩B ＝{x|1＜x ＜3}，某某数a ，b 的值．[解] 因为A∩B＝{x|1＜x ＜3}，所以b ＝3，－1≤a≤1.又因为A∪B＝{x|x ＞－2}，所以－2＜a≤－1.所以a ＝－1.综上知，a ＝－1，b ＝3.10．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，某某数m 的取值X 围．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.因此实数m 的取值X 围是{m |m ＞5或m ＜－3}．[B 级能力提升练]1．(2013·某某高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A∪B)＝{4}，B ＝{1，2}，则A∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅[解析] ∵U＝{1，2，3，4}，∁U (A∪B)＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．[答案]A2．设函数f(x)＝lg (1－x 2)，集合A ＝{x|y ＝f(x)}，B ＝{y|y ＝f(x)}，则图112中阴影部分表示的集合为________．图112[解析] 易知A ＝(－1，1)，B ＝(－∞，0]，∴A ∩B ＝(－1，0]，A ∪B ＝(－∞，1)．设全集U ＝A∪B，则阴影部分表示的集合是∁U (A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，1)．[答案] (－∞，－1]∪(0，1)3．已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }．若A ∪B ＝A ，试某某数a 的取值X 围．[解] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，易知A ＝{0，－4}．(1)当A ＝B ＝{0，－4}时，0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧16－8（a ＋1）＋a 2－1＝0，a 2－1＝0，∴a ＝1. (2)当B A 时，有B ≠∅和B ＝∅两种情况．①当B ≠∅时，B ＝{0}或B ＝{－4}，∴方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，∴a ＝－1，∴B ＝{0}满足条件．②当B ＝∅时，Δ＜0，∴a ＜－1.综上知所某某数a 的取值X 围为{a |a ≤－1或a ＝1}．。

2016新课标创新人教A版数学必修5 1.2应用举例

第1课时正、余弦定理在实际问题中的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P11～P15，回答下列问题：(1)在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示：利用正弦定理和余弦定理．(2)如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，你能写出计算AB的关系式吗？提示(3)李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向．2．归纳总结，核心必记(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如图甲．(2)方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图乙所示．(4)基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(5)坡度坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)．[问题思考]如图所示，OA、OB的方位角各是多少？如何表示OA、OB的方向角？提示：OA的方位角为60°，OB的方位角为330°，OA的方向角为北偏东60°，OB的方向角为北偏西30°．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)仰角和俯角的概念是：；(2)方位角和方向角的概念是什么：；(3)方位角和方向角的区别：；(4)基线和坡度的概念是：．1．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达．[思考] 若要测出A ，B 两点的距离该如何操作？名师指津：要测出A ，B 的距离，其方法为在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB ．2．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达．[思考1] 我们在能到达的岸边能测出什么数据？又能求出其他什么数据？名师指津：能测出C 、D 两点的距离及角α、β、γ、δ的值；根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，能求出AD ，AC ，BD ，BC 的长．[思考2] 如何求出A ，B 两点间的距离？名师指津：在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB ．讲一讲1．(1)海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．103海里 B.1063海里C ．52海里D ．56海里(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 处和D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．(链接教材P 11－例2)[尝试解答] (1)在 △ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． (2)法一：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，又∵∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝32a .在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，∵DB sin ∠BCD＝CDsin ∠DBC，∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a ，在△ADB 中，∵AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB ＝34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋34a 2－2×32a ·3＋34a ·32＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 法二：同法一，得AD ＝DC ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°.∴BC ＝64a .在△ABC 中，∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ·64a ·22＝38a 2， ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . [答案] (1)D三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．练一练1．在本讲(1)中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变又如何求B ，C 间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°. 即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60° ＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC ＝10 3.则B ，C 间的距离为103海里．1．观察下图(该图为教材P 13－图1.2－4)．AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB 的方法．[思考1] 通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？名师指津：能够测量出的分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高h.[思考2]你能说出求AE长的一个解题思路吗？名师指津：求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．[思考3]根据以上问题的思考，你能写出求高度AB的解题过程吗？提示：见教材P13－例3的解析过程．2．观察下图(该图为教材P14－图1.2－5)在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α，在塔底C处测得A处的俯角β.已知铁塔BC部分的高为h.[思考1]若要求山高CD，应放在哪个三角形中求解？名师指津：△ABD或△ACD.[思考2]若在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边？又如何求出关键的这条边？名师指津：关键是求出边BD的长度．可在△ABC中利用正弦定理求出AB，然后在△ABD 中求出BD，即可利用CD＝BD－BC求得结论．[思考3]若在△ACD中求CD，则关键需要求出哪条边？又如何求出关键的这条边？名师指津：关键是求出边AC.可在△ABC中利用正弦定理求AC，然后在△ACD中求CD.[思考4]你能写出求山高CD的具体过程吗？提示：见教材P13～P14结论的解析过程．3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α的方向上，行驶a km后到达B处，测得此山顶在西偏北β的方向上，仰角为γ.[思考1]欲求出山高CD，你认为在哪个三角形中研究比较适合？为什么？名师指津：在△BCD中比较适合；因为在已知条件中，只告诉了B处的仰角为γ，在A 处的仰角不知道．[思考2]在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？名师指津：根据已知条件，在△ABC 中，易计算出BC 边． [思考3] 你能写出求山高CD 的过程吗？名师指津：在△ABC 中，由正弦定理求BC ，然后在△BCD 中求山高CD . 讲一讲2.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．(链接教材P 13－例3)[尝试解答] (1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(米)．即BC 的长为42米． (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42， ∴DC ＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. ∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23 ≈3.70＋3.464 ≈7.16(米)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．(1)解决测量高度问题的一般步骤： ①根据已知条件画出示意图； ②分析与问题有关的三角形； ③运用正、余弦定理解相关的三角形．在解题过程中，要综合运用立体几何与平面几何的知识，注意方程思想的运用． (2)测量高度问题的两个关注点：①“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．②“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．练一练2．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m解析：选D 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°，BC ＝CD ·sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，则AB ＝BC ·tan 60°＝106(m)．3．如图所示，在山根A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为多少米？解：∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， ∴∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)．讲一讲3．如图，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45° 方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15° 方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)[思路点拨] 根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，并运用正、余弦定理解决．[尝试解答] 设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇，则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9， ∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12，即128t 2－60t －27＝0，解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)．根据正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝5314，则cos ∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，∴θ＝45°－∠BAC ，sin θ＝sin(45°－∠BAC ) ＝sin 45°cos ∠BAC －cos 45°sin ∠BAC ＝112－5628.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．练一练4．在本讲中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．解：设乙船的速度为x 海里每小时，用t 小时甲船追上乙船，且在C 处相遇(如图所示)，则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝xt ，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝135°.由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB ，即28t sin 135°＝xtsin 30°.所以x ＝28×sin 30°sin 135°＝28×1222＝142(海里每小时)．故乙船的速度为142海里每小时．———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是分析测量问题的实际情景，从而找出解决实际问题的方法． 2．本节课要掌握三类问题的解法． (1)测量距离问题，见讲1. (2)测量高度问题，见讲2. (3)测量角度问题，见讲3.3．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之． (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．[即时达标对点练]题组1 测量距离问题1．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km解析：选C 由题意知，AB ＝24×14＝6 km ，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB ·sin ∠BAS sin ∠ASB ＝6sin 30°sin 45°＝3 2.2．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________m.解析：在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即120sin 90°＝CDsin 30°，∴CD ＝60(m)．∴河的宽度为60 m. 答案：603．如右图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45° 方向，此人向北偏西75° 方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45° 方向，B 在北偏东75° 方向，试求这两座建筑物之间的距离．解：依题意得，DC ＝30， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理可得，BC ＝DC ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30·sin 30°sin 120°＝10.在△ADC 中，由正弦定理可得， AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25， ∴AB ＝5.故这两座建筑物之间的距离为5 km. 题组2 测量高度问题4．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C ．20()1＋3 m D ．30 m解析：选A 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)．5.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．1003m解析：选B 法一：如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.法二：由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC ·cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.6．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，若设AB ＝h ，则BC ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3h .在△BCD 中，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ，即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，所以h 2＝2002，解得h ＝200(h ＝－200舍去)，即塔高AB ＝200米．题组三测量角度问题7．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市 B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h解析：选B 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2.则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.8．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________km.解析：由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝⎛⎭⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6. 答案：6－19．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在 △ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，∴BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，得sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.∵∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角， ∴cos ∠ACB ＝277.∴cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114.[能力提升综合练]1．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东 40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15 m B．5 m C．10 m D .12 m解析：选C如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 m C．200 3 m D．500 m解析：选D由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD 中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500 m.3．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行()A．102海里B．202海里C．30 海里D．302海里解析：选D如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×13＝102＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10 2.在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，∴B1B22＝400＋200－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102，∴乙船每小时航行302海里．4．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析：如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2, ∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案：75．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________n mile.解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，DC＝AC·sin ∠DAC＝30sin 60°＝15 3 n mile，AD＝AC·cos ∠DAC＝30cos 60°＝15 n mile，则在Rt△ADB中，DB ＝AD ·tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 36．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－cos 2C ＝432312，sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC ·sin ∠MACsin ∠AMC＝3132×35362＝35.从而有MB ＝MC －BC ＝15.故汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站．7．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解：如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t .CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.第2课时三角形中的几何计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 16～P 18，回答下列问题：(1)△ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a ，h b ，h c ，那么它们如何用已知边和角表示？提示：h a ＝b sin_C ＝c sin_B ， h b ＝c sin_A ＝a sin_C ， h c ＝a sin_B ＝b sin_A ．(2)若将上述问题中得到的结论代入三角形面积公式S ＝12ah ，可以推导出怎样的三角形面积公式？提示：S ＝12ab sin C＝12ac sin B ＝12bc sin A ． 2．归纳总结，核心必记三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin_A ＝12ac sin_B ．(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．[问题思考]如何利用三角形的面积公式(1)推导出面积公式(2)和(3)？(以锐角△ABC 为例) 提示：①如图作AD ⊥BC ，垂足为D .则S △ABC ＝12BC ·AD .又∵AD ＝AB ·sin B ，∴S △ABC ＝12BC ·AB ·sin B ＝12ac sin B .②如图，S △ABC ＝S △ABI ＋S △ACI ＋S △BCI ＝12AB ·r ＋12AC ·r ＋12BC ·r ，＝12(AB ＋AC ＋BC )r ＝12(a ＋b ＋c )r ．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． 1．三角形的面积公式有：； 2．如何选择恰当的公式求三角形的面积？．如图，△ABC 的三边分别为a ，b ，c .[思考1] 若已知a ，b 及∠C 的值，如何求△ABC 的面积？名师指津：S ＝12ab sin_C ．[思考2] 若已知a ，b 及∠A 的值，如何求△ABC 的面积？名师指津：法一：由正弦定理a sin A ＝bsin B，求出sin_B ，进而求出∠C 或sin_C ，利用S△＝12ab sin_C 求解．法二：利用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，求出c ，然后利用S △＝12bc sin_A 求解．[思考3] 若已知∠A ，∠B 和c ，如何求△ABC 的面积？名师指津：先利用A ＋B ＋C ＝π，求出C ，然后利用正弦定理求b 或c ，最后代入面积公式求解．[思考4] 若已知三角形的三边a ，b ，c ，如何求△ABC 的面积？名师指津：利用余弦定理求角的余弦值，进而求出该角的正弦值，然后代入面积公式求解．讲一讲1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．(链接教材P 16－例7) [尝试解答] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝π3，b ＝3，∴在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝b sin A sin B ＝65.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C＝12×65×3×3＋4310 ＝36＋9350.三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc ·sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．练一练1．在△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积，解：由正弦定理知AB sin C ＝ACsin B ，即23sin 120°＝2sin B ，所以sin B ＝12，由于AB >AC ，所以C >B ，故B ＝30°.从而A ＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×sin 30°＝ 3.讲一讲2．在△ABC 中，若c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .[尝试解答]如图所示，因为AD 是BC 边上的中线，所以可设CD ＝DB ＝x ，则CB ＝a ＝2x .因为c ＝4，b ＝7，AD ＝72，在△ACD 中，有cos C ＝72＋x 2－⎝⎛⎭⎫7222×7×x，在△ABC 中，有cos C ＝72＋（2x ）2－422×7×2x.所以72＋x 2－⎝⎛⎭⎫7222×7×x＝72＋（2x ）2－422×7×2x.解得x ＝92.所以a ＝2x ＝9.三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．练一练2．△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C . 解：(1)因为，所以AD ⊥AC ，所以sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ，因为sin ∠BAC ＝223，所以cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，即AD 2－8AD ＋15＝0，解得AD ＝5或AD ＝3.由于AB >AD ，所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知，BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB，又由cos ∠BAD ＝223，可知sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD BD ＝63，又∠DAC ＝90°，所以cos C ＝sin ∠CDA ＝sin ∠ADB ＝63.讲一讲3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .[尝试解答] 法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－b 2＝b 2－a 2＋2c (a cos B －b cos A )，即a 2－b 2＝c (a cos B －b cos A )，变形得a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ＝a c cos B －bc cos A .由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C .法二：sin （A －B ）sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C cos B －sin B sin Ccos A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A sin C ＝a c ，sin B sin C ＝bc，由余弦定理推论得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得sin （A －B ）sin C＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝2（a 2－b 2）2c 2＝a 2－b 2c2.∴原等式成立．三角形中的有关证明问题的基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a ，b ，c 的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．练一练3．在△ABC 中，求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝12(a ＋b ＋c )．证明：法一：左边＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A2＝a ＋c 2＋12a cos C ＋12c cos A ＝a ＋c 2＋12⎝⎛⎭⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ＋c 2＋b 2＝a ＋b ＋c2＝右边， ∴等式成立．法二：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，代入等式左边，左边＝2R sin A ·1＋cos C 2＋2R sin C ·1＋cos A 2＝R (sin A ＋sin A cos C )＋R (sin C ＋cos A sin C ) ＝R (sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝R [sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )] ＝R (sin A ＋sin C ＋sin B ) ＝2R sin A ＋2R sin C ＋2R sin B2＝a ＋b ＋c2＝右边， ∴等式成立．讲一讲4．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．[思路点拨] 把四边形中的边角放在三角形中，由正、余弦定理列出关系式． [尝试解答] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ＝13－12cos C ．(*)BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA ·cos A ＝5＋4cos C ．(**)由(*)(**)得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA ·sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3.解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．练一练4．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3a sin C ＋c cos A ， (1)求角A ；(2)若a ＝23，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．解：(1)由c ＝3a sin C ＋c cos A 及正弦定理得， sin C ＝3sin A sin C ＋sin C cos A ，又因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12，π6<A ＋π6<7π6，故A ＝2π3.(2)三角形面积公式为S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4，由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＋c ＝4，所以周长为4＋2 3.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．2．本节要重点掌握的规律方法 (1)与三角形面积有关的计算，见讲1. (2)与三角形中线段长度有关的计算，见讲2. (3)与解三角形有关的综合问题，见讲4.[即时达标对点练]题组1 三角形中的几何计算1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120°D ．30°或150° 解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ，所以sin A ＝32，故A ＝60°或120°，故选A.2．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．323 B ．16C ．323或16D ．323或16 3解析：选D 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b >a ，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当B ＝120°时，C ＝180°－30°－120°＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A.3 B ．3 C.7 D ．7 解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3. 即BC ＝ 3.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________．解析：设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0， ∴S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝103k 2＝103，∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝82＋52－2×8×5×12＝49，∴BC ＝7，∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝20. 答案：205．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2π3，sin A ＝45，b ＝2 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝2π3，sin A ＝45，∴C ＝π3－A ，cos A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝32cos A －12sin A ＝33－410.(2)由(1)知sin C ＝33－410，又∵B ＝2π3，b ＝23，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝165，∴S ＝12ab sin C ＝12×165×23×33－410＝72－32325.6．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解：∵AB ＝23，AC ＝2，B ＝30°， ∴根据正弦定理，有sin C ＝AB ·sin BAC＝23×122＝32，又∵AB >AC ， ∴C >B ，则C 有两解．(1)当C 为锐角时，C ＝60°，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝2 3.(2)当C 为钝角时，C ＝120°，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为23或 3. 题组2 三角形中的恒等式证明问题 7．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：法一：左边＝a －c （a 2＋c 2－b 2）2acb －c （b 2＋c 2－a 2）2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A ＝右边，其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos Bsin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边，(cos C ≠0)∴a －c ·cos Bb －c ·cos A ＝sin Bsin A.8．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0， ∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2. 题组3 三角形中的综合问题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A;(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解：(1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)∵bc ＝5，b ＋c ＝6， ∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.[能力提升综合练]1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，（1）12bc sin 60°＝103，（2）a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，（3）由(2)得bc ＝40.由(3)得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40. ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知c ＝3，a ＋b ＝9，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A ．9(22－2) B ．9(22＋2) C ．6(22－2) D ．5(22－2) 解析：选A ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(a ＋b )2－(cos C ＋1)2ab .∴ab ＝36(2－2)．∴S ＝12ab sin C ＝9(22－2)．3．△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0 解析：选C ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．即△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等．。

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专题突破练(五)(教师用书独具) [A 级基础达标练]一、选择题1．若直线ax ＋by ＝1过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≥1 B ．a 2＋b 2≤1 C.1a 2＋1b 2≤1D ．1a 2＋1b 2≥1[解析] 点M (cos α，sin α)在单位圆上，且点M 在直线ax ＋by ＝1上， ∴|a ×0＋b ×0－1|a 2＋b2≤1⇒a 2＋b 2≥1⇒a 2＋b 2≥1. [答案] A2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1 B ．x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1[解析] 依题意知：2m ＝12，得m ＝4.由n 2＝m 2－22＝12，所以所求椭圆方程是x 216＋y 212＝1.[答案] B3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8[解析] 设等轴双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a 2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4. [答案] C4．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )A.95 B ．125 C ．4D ．5[解析] 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，则|OP |2＝|OM |2＋|PM |2＝1＋|PM |2，因此，若|PM →|取得最小值，则|OP |有最小值．于是应有点P 为双曲线的顶点(－3,0)或(3,0)，由双曲线C ：x 29－y 216＝1，知渐近线为4x ±3y ＝0. ∴所求的距离d ＝|(±3)×4＋0|42＋32＝125. [答案] B5．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B ．12 C.22D ．32[解析] 由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a 2＝b 4a2.∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵A (a,0)，B (0，b )， ∴k AB ＝b －00－a＝－ba . 又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ， ∴－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c . 从而a ＝2c .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c 2c ＝22.[答案] C 二、填空题6．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．[解析] 由题意A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ， ∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63. [答案] 637．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．[解析] 由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a＝3，解得a＝2，b＝23，故双曲线方程为x24－y212＝1.[答案]x24－y212＝18．如图5-4所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.图5-4[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)．将点A(2，－2)坐标代入x2＝－2py，得p＝1.于是x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)，(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.[答案]2 6三、解答题9．如图5-5所示，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.图5-5(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．[解] (1)由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，故直线PF 2的斜率为因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a .由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：直线PQ 的方程为y －2ab 2a －2a ＝x －a 2c－c －a 2c ，即y ＝ca x ＋a .将上式代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．10．(2014·山东高考改编)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，试判断直线AE 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；否则请说明理由．[解] (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)问，知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)．因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线 AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.①当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)．由y 20＝4x 0，整理得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，所以直线AE 过定点F (1,0)．②当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．综合①，②知，直线AE 恒过定点F (1,0)．[B 级能力提升练]1．(2014·四川高考)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D ．10[解析] 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎨⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1， ∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立． [答案] B2．如图5-6所示，椭圆x 22＋y 2b 2＝1(b ＞0)与过点A (2,0)、B (0,1)的直线有且只有一个公共点T ，则椭圆的离心率e ＝________.图5-6[解析] 直线AB 的方程为x2＋y ＝1，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2b 2＝1，x 2＋y ＝1，有唯一解．∴(b 2＋12)x 2－2x ＋2－2b 2＝0有相等的实根， ∴Δ＝(－2)2－4(b 2＋12)(2－2b 2)＝0， ∴b 2＝12，从而c 2＝a 2－b 2＝32，c ＝62， ∴e ＝c a ＝622＝32.[答案] 323．如图5-7所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．图5-7(1)求椭圆方程；(2)点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝b 2上，点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．[解] (1)由右焦点为F 2(1,0)，可知c ＝1.设左焦点为F 1，则F 1(－1,0)，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，则 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(1＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝3，即椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1(|x 1|≤2)，|PF 2|2＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝14(x 1－4)2，∴|PF 2|＝12(4－x 1)＝2－12x 1. 连结OM ，OP ，由相切条件知： |PM |2＝|OP |2－|OM |2＝x 21＋y 21－3＝x 21＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214－3＝14x 21，显然x 1>0，∴|PM |＝12x 1.∴|PF 2|＋|PM |＝2－x 12＋x 12＝2. 同理|QF 2|＋|QM |＝2－x 22＋x 22＝2. ∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝2＋2＝4为定值．。