高二数学备课精选学案 第三章《不等式》复习 新人教B版必修5

《不等式》复习小结 学案
一、学习目标
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

二、重点，难点
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

三、掌握的知识点 1.本章知识结构
2、知识梳理
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,
(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b
a a
b b a 110,<⇒
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法 3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法
一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，
ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
有两相等实根
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解
2a b
+≤ 1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b
a
22
a b
+≤几何意义是“半径不小于半弦”
五、知识运用
1． 已知正数c b a ,,满足3242-=+++bc ac ab a ,则c b a ++2的最小值为 .
2． 已知,0,0>>y x 且
19
1=+y
x 则y x +的最小值为 . (2)已知y x m y x y x +=+=+4,lg lg )lg(则m 的取值范围是 . 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(在点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ,若函数在)1,2(-上单调递增,求b 的取值范围.
4．对于任意[]4,0∈a ,不等式342-+≥+a x ax x 恒成立,求实数x 的取值范围. 5．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(,其中c b a ,,满足 ),,(0
,R c b a c b a c b a ∈=++>>.
(1) 求证:两函数的图象交于不同的两点B A ,; (2) 求线段AB 在x 轴上的射影11B A 的长的取值范围.
参考答案： 1．法一:
因为*∈R c b a ,,324))(()()(2-=++=+++=+++c a b a b a c b a a bc ac ab a , 所以 )13(23242))((2)()(2-=-=++≥+++=++c a b a c a b a c b a . 法二:结论向条件靠,将次数升上去,方便使用条件,
bc ac ab c b a c b a 2444)2(2222+++++=++=2222)(4c b bc bc ac ab a ++-+++
=4(4-2)3+ ()324(4)2-≥-c b . 又*∈R c b a ,,,故)13(22-≥++c b a 2．（1）解:169210910)91)((=+≥++=+
+=+y
x x y y x y x y x 当且仅当4,12==x y 时等号成立.
或解：由
191=+y x 得9-=y y x ,则1699
919≥-+-+=+-=+y y y y y y x ,后略.
（2）解:由题意xy y x y x =+>>,0,0, 故
111=+y x ,945)11)(4(4≥++=++=+y
x x y y x y x y x , 当且仅当3,2
3
==
y x 时等号成立,9≥m . 3．解:由b ax x x f ++='23)(2及3)1(='f 得到b a -=2,则b bx x x f +-='23)(. 由题设可得032≥+-b bx x 对∈x )1,2(-恒成立.
即2
3)1(x b x -≥-对∈x )1,2(-恒成立x
x b --≥⇔132
对∈x )1,2(-恒成立
只需x
x b --≥132
在)1,2(-上的最大值.对于这个最大值的计算方法可以是平均值定理
法,也可以是导数法,下面我选择其中一种.
06613)1(3613)1((3132=-≤----=--+=--x
x x x x x (当0=x 时等号成立) 故0≥b .
4．令34)1()(2+-+-=x x a x a f ,则问题转化为对于任意[]4,0∈a ,0)(≥a f 恒成立,则问题⇔
1010340)4(0)0(2
2-≤⇔⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥-≥+-⇔≥≥x x x x f f 或3≥x 或1=x . 5．解: (1)由⎩⎨⎧-=++=bx y c bx ax y 2消y 得022=++c bx ax ,由题意,0≠a 且
)(44422ac b ac b -=-=∆.由条件不难得到0,0<>c a ,故02>-ac b 即0>∆.可得
两函数图象有两个不同的交点.
(2)设上述方程的两个根分别为21,x x ,则212212
2
14)(x x x x x x -+=-
=a c
a
c a a c a b 4)(44)2(2
22-+=-- 令a c u =
,则原式=4(13)2
1
(4)22++=++u u u . 由,,c a b c b a --=>>有c c a a >-->,又0>a ,0≠b , 因此
2->a c 且21-<a c ,且1-≠a c .即()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
----∈21,11,2 u . 所以∈-2
21x x ()()4,312,4 ,(
)()
32,22,321 ∈
-x x .。