三角函数向量复数
三角函数知识清单
三角函数是数学中的基础知识之一，主要包括正弦、余弦和正切三个基本函数。
以下是关于三角函数的知识清单：1. 定义：* 正弦函数：sin(x) = y = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)* 余弦函数：cos(x) = y = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2* 正切函数：tan(x) = y = sin(x) / cos(x)2. 性质：* 周期性：sin(x), cos(x)等具有周期性，周期为2π。
* 奇偶性：sin(x)是奇函数，cos(x)是偶函数。
* 有界性：sin(x), cos(x)的值域为[-1,1]。
3. 图像：* 正弦函数的图像是一个波浪线，余弦函数的图像也是一个波浪线，但相位差了π/2。
* 正切函数的图像是连续的直线，在每一个周期内都有无数条直线。
4. 公式：* 和差公式：sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny, cos(x+y) = cosxcosy -sinxsiny, tan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanxtany)。
* 积的和差公式：sinxcosy = (1/2)(sin(x+y) + sin(x-y)), cosxcosy = (1/2)(cos(x+y) + cos(x-y)), sinxsiny = (1/2)(cos(x-y) - cos(x+y))。
5. 应用：* 在物理、工程、计算机科学等领域中，三角函数都有广泛的应用。
例如，在交流电中，电流和电压是随时间变化的正弦和余弦函数。
在信号处理中，正弦和余弦函数用于表示各种波形。
在计算机图形学中，正弦和余弦函数用于生成各种动画效果。
6. 特殊角度：* sin0=0, cos0=1, tan0=0。
* sin30=1/2, cos30=√3/2, tan30=√3/3。
* sin45=√2/2, cos45=√2/2, tan45=1。
高考数学技巧如何利用复数解决三角函数问题
高考数学技巧如何利用复数解决三角函数问题在高考数学中，三角函数问题一直是学生们相对而言比较困惑的一部分。
然而，通过运用复数的概念和性质，我们可以巧妙地解决一些三角函数问题，进而提高解题的效率和准确性。
一、复数的定义和性质复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi（a、b为实数，i为虚数单位）的形式表示。
复数中的实部和虚部分别对应着直角坐标系中的横坐标和纵坐标。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，其性质与实数运算类似。
二、复数与三角函数的关系复数可以与三角函数建立密切的联系，从而在解决三角函数问题时发挥作用。
这种联系主要体现在以下两个方面：1. 欧拉公式欧拉公式是指e^ix = cosx + isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。
这个公式将复数与三角函数之间建立了一个重要的桥梁。
通过欧拉公式，我们可以将三角函数的表达式转化为复指数函数的形式，从而简化运算。
这对于求解复杂的三角函数方程非常有用。
2. 欧拉公式在解三角方程中的应用在高考数学中，经常会遇到求解三角方程的问题。
通过将三角函数转化为复数形式，我们可以更加简洁地解决这类问题。
例如，对于方程sinx=2cosx，我们可以用复数的形式进行变换。
令z = cosx + isinx，那么方程可以变为imag(z) = 2real(z)。
通过将等式两边用复数表示后进行实部和虚部的比较，我们可以得到简化后的方程实部为0，即cosx = 0，解得x = π/2 或3π/2。
三、利用复数解决三角函数问题的具体方法在实际解题中，利用复数解决三角函数问题的方法主要包括以下几个步骤：1. 将三角函数转化为复数形式。
例如，将sinx和cosx用复数表示。
2. 运用欧拉公式将复数形式的三角函数转化为复指数形式。
3. 根据所给的等式或条件，利用复数的性质进行运算。
可以通过比较实部和虚部，或者进行复数的加减乘除等操作。
4. 转换回三角函数的形式，得到最终的解。
高中数学教案复数与三角函数的运算
高中数学教案复数与三角函数的运算一、引言数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，复数与三角函数是数学中的重要概念。
在高中数学教学中，复数与三角函数的运算是一个关键的知识点。
本教案将系统地介绍复数与三角函数的运算方法和应用。
二、复数的运算1.复数的定义与表示复数是由实部和虚部构成的，一般表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复平面中，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
2.复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部和虚部分别相加减即可。
3.复数的乘法复数的乘法需要运用分配律和虚数单位i的平方等于-1的性质。
计算时，对应位置的实部和虚部相乘，然后相加即可。
4.复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方法，将除法转化为乘法。
即对于除法a/b，可以表示为a/b = (a * conjugate(b)) / (b * conjugate(b))，其中conjugate(b)表示b的共轭复数。
三、三角函数的运算1.三角函数的基本概念三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数与三角比有关，可以用来求解三角形中的各种角度和边长。
2.三角函数的性质- 正弦函数与余弦函数是周期函数，周期为2π。
- 正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
- 三角函数有一些特殊角的值，如sin、cos、tan在0°、30°、45°、60°、90°等角度的取值。
3.三角函数的加减法公式通过三角函数的加减法公式，可以将两个三角函数的和或差转化为已知角度的三角函数值。
常用的加减法公式有：- sin(x ± y) = sin(x) * cos(y) ± cos(x) * sin(y)- cos(x ± y) = cos(x) * cos(y) ∓ sin(x) * sin(y)- tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x) * tan(y))4.三角函数的倍角公式倍角公式是三角函数的重要运算公式，用于求解角度的倍数情况。
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
复数的几何意义用
复数的几何意义用复数是由实部和虚部组成的数学对象，在几何上可以用来表示和描述平面上的点和向量。
在以下内容中，我将详细介绍复数的几何意义以及其在几何应用中的重要性。
首先，让我们回顾一下复数的表示形式。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1、实部和虚部分别是复数在实轴和虚轴上的投影。
实际上，复数可以理解为平面上的一个点，其中实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。
将复数z = a + bi绘制在笛卡尔坐标系中，可以将其视为一个有序对(a, b)在平面上的位置。
复数的几何意义之一是表征平面上的向量。
对于一个复数z = a + bi，可以将其看作从原点(0,0)到点(a,b)的一个向量。
向量的长度可以通过计算复数的模来获得，模定义为 z 的绝对值模（，z，）如下所示：，z，= √(a^2 + b^2)。
因此，从几何意义上来说，复数的模表示该向量的长度。
此外，复数还可以通过角度表示。
复数z = a + bi可以与极坐标形式r*(cosθ + sinθ) 相互转换，其中 r 是模长，θ 是与x轴正向的夹角。
根据三角函数的性质，a = r*cosθ，b = r*sinθ。
这样，复数就可以用长度和角度来表示，而不仅仅是实部和虚部。
利用复数的角度表示，可以进行复数的乘法和除法运算。
复数的乘法相当于向量的旋转变换，而复数的除法则相当于向量的缩放和旋转变换。
这种特性在几何应用中非常有用，例如在图形的旋转、缩放和平移中。
此外，几何上的旋转可以使用复数乘法非常方便地表示出来。
给定一个复数z = a + bi，可以通过乘以一个单位复数e^iθ（其中θ是旋转角度）来将点(a, b)绕原点旋转。
这种使用复数进行旋转的方法，简化了复杂的旋转变换为简单的乘法操作，极大地提高了计算的效率。
在复数的几何应用中，除了表示点和向量的位置和变换，复数还可以用来描述直线和曲线。
复数的三角形式
的辐角主值 [0, ] [ 7 ,2) .
4 4
此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容 易出问题的是的范围的确定.仅有-1≤tg≤1 是不够的，还 应当注意到 =1+(a-1)i 的实部为 1，虚部 a-1 在[-1，1]内， 所以 所对的辐角只能在第一和第四象限.
解该题时，很多同学由于不注意、以及+的范 围，从而得出错误结论. 、分别在[0, 2)内，但+不一定在这个范围内， 要结合 z1·z2=-13+13i 对应的点在第二象限内，且
5 7 ，最后确定+的值. 2 2
3 1 2 2 2 3 i, i ，复数 z, z 在 例 2．已知复数 z 2 2 2 2
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
∴ z cos( ) i sin ( ) cos i sin , 6 4 6 4 12 12 ) ∴ z cos( ) i sin ( 12 12 3 3 2 3 又 z [cos( ) i si n ( )](cos i si n ) 3 3 4 4 5 5 cos i si n . 12 12 5 因此 OP，OQ 的夹角为 ( ) ， 12 12 2
三角函数与复数的欧拉公式与特殊值
三角函数与复数的欧拉公式与特殊值欧拉公式是数学中的一项重要发现，它将三角函数与复数联系起来，拓宽了我们对数学世界的理解。
本文将介绍欧拉公式的由来、表达方式以及一些特殊值的应用。
一、欧拉公式的由来欧拉公式由17世纪瑞士数学家欧拉提出，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
通过这个公式，我们可以用复数来表示三角函数，进一步研究其性质和应用。
二、欧拉公式的表达方式欧拉公式可以表示为：e^(iθ) = cosθ + isinθ其中，e为自然对数的底，i为虚数单位，θ为角度。
这个公式非常简洁，却包含了丰富的数学内涵。
三、欧拉公式的特殊值1. 当θ取特殊值时，欧拉公式中的三角函数的值具有特定的关系。
以下是一些常见的特殊值：(1) 当θ = 0时，欧拉公式变为：e^(i0) = cos0 + isin0化简得：e^(i0) = 1这个结果意味着在θ = 0时，三角函数的值等于1。
(2) 当θ = π时，欧拉公式变为：e^(iπ) = cosπ + isinπ化简得：e^(iπ) = -1这表明在θ = π时，三角函数的值等于-1。
(3) 当θ = π/2时，欧拉公式变为：e^(iπ/2) = cos(π/2) + isin(π/2)化简得：e^(iπ/2) = i这意味着在θ = π/2时，三角函数的值等于虚数单位i。
这些特殊值为我们研究三角函数的性质和运用提供了便利。
2. 欧拉公式还可以通过特殊值来计算其他三角函数的值。
例如，我们可以使用欧拉公式计算正弦函数和余弦函数的值。
以正弦函数为例，根据欧拉公式，我们可以将正弦函数写为：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)这个公式可以帮助我们计算各种角度的正弦函数值，进一步研究其性质和应用。
四、欧拉公式的应用欧拉公式在数学和物理学中有着广泛的应用。
其一就是在复数运算中的应用。
将欧拉公式应用于复数运算，可以简化复数的乘法和除法，并方便地表示复数的幂运算。
如何利用复数解决三角函数方程
如何利用复数解决三角函数方程三角函数方程是数学中常见的问题之一，求解三角函数方程的一种方法是利用复数。
本文将介绍如何利用复数解决三角函数方程的步骤和方法，以及相关的例题和应用。
一、利用复数解决三角函数方程的步骤和方法在解决三角函数方程时，可以考虑使用复数来进行求解。
下面是具体的步骤和方法：1. 将三角函数方程转化为复数形式：根据欧拉公式，三角函数可以用复数表示。
通常有以下等式：- $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$- $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$- $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$2. 将三角函数方程转化为关于复数的代数方程：将原方程中的三角函数用复数等式替代，得到关于复数的代数方程。
3. 求解代数方程：将代数方程进行化简，并求解出复数解。
4. 还原为三角函数方程的解：将代数方程的复数解转化为三角函数的解。
根据欧拉公式的逆公式，可以得到以下结果：- 对于正弦函数：$\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \frac{e^{i\theta}}{i}-\frac{e^{-i\theta}}{i} = -i(e^{i\theta})+i(e^{-i\theta}) = \frac{e^{i(\theta+\pi/2)}}{2}-\frac{e^{-i(\theta+\pi/2)}}{2}$- 对于余弦函数：$\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = \frac{e^{i\theta}}{2}+\frac{e^{-i\theta}}{2} =\frac{e^{i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}+\frac{e^{-i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}$ - 对于正切函数：$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$通过以上步骤和方法，可以利用复数解决三角函数方程。
复数和三角函数之间的公式
复数和三角函数之间的公式
一、复数和三角函数之间的公式
1.复数：
复数是由实数和虚数组成的数字，其中实数为复数的实部，虚数为复数的虚部，通常用z表示复数，z=a+bi（a为实数，b为虚数）。
2.三角函数：
三角函数是指用三角形的角度或其他测量单位（如弧度）作为自变量的函数，三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
二、复数与三角函数之间的公式
1.正弦函数
正弦函数的角度可以用复数来表示。
假设z=a+bi，则称函数sin(z)=sin(a+bi)true了一个被称为“加法
定理”的复数定理。
2.余弦函数
余弦函数也可以使用复数形式表示，假设z=a+bi，则函数cos(z)=cos(a+bi)满足“减法定理”，这就是
余弦函数使用复数来表示的基础。
3.正切函数
正切函数使用复数也是可以的，假设z=a+bi，则有函数tan(z)=tan(a+bi)，与上面的三角函数的关系是基于“乘法定理”推导出来的。
三角函数与复数运算
三角函数与复数运算引言：三角函数与复数运算是高中数学中重要的内容，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本教案将以三角函数与复数运算为主题，通过多个小节的论述，深入探讨它们的定义、性质以及应用。
一、三角函数的定义与性质1. 三角函数的定义1.1 正弦函数的定义与性质1.2 余弦函数的定义与性质1.3 正切函数的定义与性质1.4 值域与周期性2. 三角函数的基本关系2.1 三角函数的基本关系式2.2 三角函数的奇偶性2.3 三角函数的周期性3. 三角函数的图像与性质3.1 正弦函数的图像与性质3.2 余弦函数的图像与性质3.3 正切函数的图像与性质3.4 三角函数的变换与特殊图像二、复数的定义与运算1. 复数的定义与表示1.1 复数的定义与性质1.2 复数的表示形式1.3 复数的实部与虚部2. 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法2.3 复数的乘法公式与除法公式3. 复数的共轭与模3.1 复数的共轭定义与性质3.2 复数的模定义与性质3.3 复数的共轭与模的运算三、三角函数与复数的关系1. 欧拉公式与三角函数1.1 欧拉公式的定义与证明1.2 欧拉公式的应用2. 三角函数的指数形式2.1 三角函数的指数形式定义与性质2.2 三角函数的指数形式与欧拉公式的关系3. 复数与三角函数的关系3.1 复数与三角函数的指数形式3.2 复数与三角函数的关系式3.3 复数与三角函数的应用结论：通过本教案的学习，我们深入了解了三角函数与复数运算的定义、性质以及它们之间的关系。
三角函数与复数运算在数学和物理等领域中有着广泛的应用，通过掌握其基本概念与运算规则，我们能够更好地理解和解决相关问题。
希望同学们通过学习本教案，能够对三角函数与复数运算有更深入的认识，并能够灵活运用于实际问题中。
三角函数的复数解释
三角函数的复数解释三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它们在代数、几何和物理等领域中都有广泛的应用。
然而，除了实数域上的解释之外，我们还可以将三角函数扩展到复数域上进行解释。
在本文中，将探讨三角函数在复数域上的解释以及其在实际问题中的应用。
一、复数的定义与表示首先，我们来回顾一下复数的定义与表示。
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，形如a + bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，并且i表示单位虚数，满足i² = -1。
复数可以表示为实轴和虚轴的交点，也可以用复平面上的点来表示。
二、在实数域中，三角函数的定义可以通过单位圆上的点和直角三角形来解释。
然而，在复数域上，我们可以使用欧拉公式将三角函数与复数联系起来，形成复数域上的三角函数定义。
欧拉公式是一条重要的数学公式，它将指数函数、三角函数和复数紧密地联系在一起。
欧拉公式表达如下：e^(ix) = cos(x) + isin(x)其中，e表示自然对数的底，i表示单位虚数，x为实数。
根据欧拉公式，我们可以得到复数域上的三角函数定义：cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz)) / (2i)这里，z为复数。
通过这种定义，我们可以将复数域上的三角函数推广到复数上，从而得到复数域上的正弦函数、余弦函数等。
这种复数域上的三角函数定义为我们研究复数运算和性质提供了重要的工具。
三、三角函数的复数解释的应用三角函数的复数解释在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的一些应用示例：1. 信号处理中的傅里叶变换：傅里叶变换是将时域信号转换为频域表示的重要工具，而三角函数的复数解释被广泛地应用于傅里叶变换的推导和实现过程中。
2. 振动分析与波动理论：三角函数的复数解释在振动分析和波动理论中有着重要的应用。
通过将振动和波动问题转化为复数域上的运算，我们可以更方便地进行计算与分析。
3. 量子力学中的波函数：在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
数学三角函数与复数的运算
数学三角函数与复数的运算Ⅰ. 引入尊敬的同学们，大家好！今天我们将学习数学中重要的概念，即三角函数与复数的运算。
掌握这一知识点，将为我们在解决数学问题中提供强有力的工具。
让我们一起进入这个有趣而富有挑战的数学世界吧！Ⅱ. 三角函数的定义与性质A. 正弦函数与余弦函数在解决角度和边长的关系问题时，我们常常会使用正弦函数和余弦函数。
令角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，则定义如下： - 正弦函数：sin(A) = a/c- 余弦函数：cos(A) = b/c请记住这两个定义，并了解它们的性质。
B. 正切函数与余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们定义如下： - 正切函数：tan(A) = a/b- 余切函数：cot(A) = b/a我们需要注意的是，当邻边b等于0时，正切函数的值不存在；当对边a等于0时，余切函数的值不存在。
Ⅲ. 三角函数的图像和性质A. 正弦函数与余弦函数的图像正弦函数的图像为一条连续的曲线，它在[0, 2π]的范围内波动。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是相位不同。
了解图像特征，对于解决三角函数的相关问题非常重要。
B. 正切函数与余切函数的图像正切函数的图像在每个π 的整数倍处都存在“无穷”处，并且以既定的周期性进行波动。
余切函数则是正切函数的倒数，其图像与正切函数相似。
Ⅳ. 复数的定义与运算A. 复数的定义复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a为实数，b为虚数单位i的系数。
复数有着丰富的性质和数学运算法则。
B. 复数的运算法则复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i通过掌握这些运算法则，我们可以进行复数的加减乘除。
复数 三角函数
复数三角函数
我们结合欧拉公式，可以得到复数平面上的三角函数，x(t)的复数形式是Ae^j(Ωt+Φ)，它是有实部和虚部组成
如果将三角函数的实部和虚部所表示的图形，与x(t)的复数形式一一对应，就得到如下样式，非常直观
为了更加形象的说明这一点：我们假设一个物体绕半径为1的圆在复平面上匀速转动，其中t表示时间，该运动在水平（实）轴上的投影为正弦波，在垂直（虚）轴上的投影为余弦波
我们运用欧拉公式，再结合向量很容易得到三角函数复数形式下的公式。
我们用三维模型来演示上述的原理
我们把它画成3D模型，其中x轴表示时间，y轴和z轴分别是复数信号的实部和虚部。
在3D图形中，这将是一个螺旋线
如果你继续观察就会发现：在时间轴和虚轴组成的平面上形成的投影是一个正弦波
如果将实轴和虚轴组成的平面绕时间轴旋转90度，形成的投影就是余弦波
另一方面，在实轴和虚轴上的投影是一个单位圆。
三角函数的复数表示与欧拉公式
三角函数的复数表示与欧拉公式作为数学中的重要概念，三角函数在许多领域中都有广泛的应用。
而三角函数的复数表示与欧拉公式更是让我们对三角函数的理解和运用有了更深入的认识。
本文将从三角函数的基本定义开始，介绍三角函数的复数表示和欧拉公式，并简要探讨其在数学和物理中的应用。
1. 三角函数的基本定义三角函数是数学中研究角的函数关系的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于单位圆上的点，正切函数的定义则是正弦函数与余弦函数之比。
2. 复数表示与欧拉公式复数是由实部和虚部组成的数，可以用复平面上的点表示。
三角函数的复数表示是一种将三角函数表示为复数形式的方法。
其中，欧拉公式是三角函数复数表示的基础，它表明:e^(ix) = cos(x) + isin(x)其中，e为自然对数的底，i为虚数单位，x为一个实数。
欧拉公式可以看作是复数与三角函数之间的桥梁，将三角函数与指数函数联系起来。
3. 复数表示的意义与优势复数表示能够将三角函数融入到复数运算中，扩展了三角函数的应用范围。
与传统的三角函数表达式相比，复数表示有以下几个优势：- 简洁：用复数表示可以通过一个点在复平面上的位置来表达三角函数的值，简化了表达形式。
- 通用：复数表示适用于所有的角度，包括任意角度和负角度。
- 运算方便：复数运算相比传统的三角函数运算更为直观和简便，特别是在计算场景中，如信号处理和电路分析等。
4. 复数表示与数学应用在数学中，复数表示的应用与三角函数的性质紧密相关。
例如，复数表示可以简化三角函数的乘法和除法运算，便于解决复杂的三角等式和方程组。
此外，复数表示还与复变函数、级数展开和积分计算等领域有着重要的关联。
5. 复数表示与物理应用在物理学中，复数表示的应用广泛存在于波动、振动和信号处理等领域。
例如，复数表示可以帮助描述电路中的交流电流和交流电压，以及频域分析中的傅里叶级数和傅里叶变换。
复数表示也在量子力学中发挥着重要的作用，用于描述波函数和量子力学算符的性质。
三角函数与复变函数的转换
三角函数与复变函数的转换三角函数和复变函数是数学中两个重要且广泛应用的分支。
它们之间存在一定的联系和转换关系，不仅能够互相补充和推广，而且在数学和物理等领域中均有着广泛的应用。
首先，我们从三角函数的定义出发，介绍一下三角函数在复数域中的表示。
三角函数定义为：1. 正弦函数（sine function）：sinθ = y/r2. 余弦函数（cosine function）：cosθ = x/r3. 正切函数（tangent function）：tanθ = y/x在复数域中，我们用复数来表示点的位置。
复数可以表示为z = x + yi，其中x和y都是实数。
在这个表示中，我们可以将三角函数的定义延伸到复数上。
复数的模长r可以表示为r =√(x² + y²)，而复数的辐角θ可以表示为θ = arctan(y/x)。
在复数域中，我们可以定义三角函数的复数形式。
复数形式与三角函数之间的关系可以用欧拉公式来表示。
欧拉公式可以表示为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中i为虚数单位。
这个公式将三角函数的定义与指数函数相联系，为复数域中的三角函数提供了一种全新的表达形式。
接下来，我们将讨论三角函数和复变函数之间的转换关系。
三角函数可以看作是复变函数的一种特殊形式。
复变函数是指自变量和因变量都是复数的函数，可以表示为f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别表示实部和虚部函数。
在三角函数和复变函数之间的转换中，三角函数可以看作是复变函数的实部或虚部函数。
具体而言，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2。
我们可以将三角函数的定义通过指数函数来表示。
另外，复变函数也可以通过三角函数的幂级数展开来表示。
复变函数的幂级数展开形式可以表示为f(z) = ∑(n=0 to ∞)(aₙzⁿ)，其中aₙ为复系数。
三角函数与复数的综合运用与证明
三角函数与复数的综合运用与证明在数学中，三角函数和复数是两个重要的概念。
三角函数用于描述角度和周期性的现象，而复数则用于表示实数与虚数的组合。
本文将探讨三角函数和复数的综合运用，并通过一些证明来展示它们之间的关系。
一、正弦函数与余弦函数的综合运用正弦函数和余弦函数是最常见的三角函数之一，在物理学、工程学以及其他科学领域中广泛应用。
我们可以用这两个函数来描述周期性现象。
1.1 频率和周期在描述周期性现象时，频率和周期是两个重要的参数。
频率表示单位时间内发生的周期性事件次数，通常用赫兹(Hz)来表示。
而周期则表示每个周期所需要的时间，单位为秒(s)。
1.2 幅值和相位另外，我们还需要考虑到信号的幅值和相位。
幅值表示信号的最大值与最小值之间的差异，而相位则描述了信号的起始点在周期中的位置。
1.3 实例分析以交流电为例，交流电的电流和电压可以分别表示为：I = I0*sin(ωt + φ) 和U = U0*cos(ωt)，其中，I0 和 U0 分别表示电流和电压的最大值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
这个例子展示了正弦函数和余弦函数在描述交流电时的综合运用。
二、复数的综合运用与证明复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，通常以a + bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.1 复数运算复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
其中，乘法是复数运算中的一个重要概念。
两个复数相乘后，实部相乘并减去虚部相乘得到新的实部，实部相乘再加上虚部相乘得到新的虚部。
2.2 欧拉公式欧拉公式是描述复数与三角函数之间关系的重要公式。
根据欧拉公式，可以通过复数的指数形式表示三角函数。
即：e^(ix) = cos(x) +i*sin(x)。
这个公式将三角函数与复数相连接，为我们在数学和物理问题中的计算提供了很大的便利。
2.3 复数的证明问题在数学中，我们经常需要证明一些关于三角函数和复数的性质。
高中三年数学掌握复数的三角形式与指数形式表示方法
高中三年数学掌握复数的三角形式与指数形式表示方法高中数学课程中，复数是一个重要的概念。
复数具有多种表示方法，其中三角形式和指数形式是两种常见的表示方法。
本文将介绍高中三年学生在数学课程中应该掌握的复数三角形式和指数形式表示方法以及两种方法的应用。
一、复数的三角形式表示方法复数的三角形式表示方法是将复数表示为模长和辐角的形式。
如果复数是z=a+bi（其中a和b为实数，i为虚数单位），则复数的模长为|z|=√(a^2+b^2)，辐角为θ=arctan(b/a)（其中a≠0）。
根据三角函数的性质，复数的三角形式可以表示为z=|z|(cosθ+isinθ)。
在学习复数的三角形式表示方法时，高中生需要了解以下几个关键点：1. 模长：复数的模长代表复数到坐标原点的距离，可以通过平面直角坐标系计算得到。
2. 辐角：复数的辐角代表复数与实轴之间的夹角，使用反正切函数可以计算得到，注意要根据实部和虚部的符号判断辐角属于哪个象限。
3. 基本关系：根据欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，复数的三角形式可以写成z=|z|e^(iθ)的形式。
复数的三角形式表示方法在向量、极坐标和电路分析等领域有着广泛的应用。
高中生需要掌握如何通过复数的三角形式计算模长、辐角，以及如何进行复数的加减乘除等运算。
二、复数的指数形式表示方法复数的指数形式表示方法是将复数表示为指数函数的形式。
对于复数z=a+bi（其中a和b为实数，i为虚数单位），可以使用euler公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，将复数表示为z=r*e^(iθ)的形式。
其中，r=|z|=√(a^2+b^2)为复数的模长，θ为复数的辐角。
在学习复数的指数形式表示方法时，高中生需要理解以下几个要点：1. 指数函数：指数函数是以e为底的指数幂函数，其中e是数学常数，近似取值为2.718。
2. 欧拉公式：欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是复数三角形式与指数形式之间的桥梁，高中生需要了解该公式的定义和用法。
三角函数与复数
三角函数与复数是数学中重要的概念，它们之间有着密切的联系。
在本文中，我们将深入探讨的关系，探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数三角函数是数学中最基本的函数之一，它们是以单位圆中角度的度数或弧度为自变量的函数。
最常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和物理等领域中得到广泛应用。
在三角函数中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
正弦函数的定义为：$y=\sin x=\frac{opposite\ side}{hypotenuse}$，其中$x$为角度数或弧度数，$y$为对边与斜边之比。
余弦函数的定义为：$y=\cos x=\frac{adjacent\ side}{hypotenuse}$，其中$x$为角度数或弧度数，$y$为邻边与斜边之比。
二、复数复数是数学中另一种重要的概念，它可以表示为一个实数和一个虚数的和。
具体来说，$a+bi$就是一个复数，其中$a$是实数，$b$是虚数，$i$是单位虚数，满足$i^2=-1$。
复数也有重要的应用，尤其是在电工学和电子工程学中。
例如，复数可以用来描述电路中的信号和电阻等。
复数还常常用于计算机科学中，因为它们可以用于表达和储存图像和多媒体数据。
三、三角函数和复数之间有着密切的联系。
特别地，正弦函数和余弦函数可以很容易地表示为复指数函数。
具体而言，我们可以将三角函数表示为$e^{ix}=\cos x+i\sin x$和$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$，其中$x$为角度数或弧度数。
通过以上公式，我们可以看出，三角函数可以被视为复数的实部或虚部。
也就是说，正弦函数是一个复数的虚部，而余弦函数是一个复数的实部。
这种联系使得三角函数和复数之间的转换成为了可能。
四、应用三角函数和复数在数学和物理学中得到广泛应用。
三角函数常常用于描述波的传播、质点的运动和周期性现象等。
例如，在声学中，正弦函数可以用于描述声音的波动。
复数也有重要的应用，特别是在电工学和电子Engineering学中。
复数与三角函数转换
复数与三角函数转换
复数与三角函数转换
《复数与三角函数转换》是数学中一类重要的问题，也是数学分析中的基础。
复数是一种特殊的数字，其中包含实部和虚部，因此可以用来表示复平面上的点。
而三角函数则是一类特殊的函数，用来表示复平面上的点与极轴之间的关系。
复数与三角函数之间的转换是一项重要的技能，可以用来解决复数和三角函数之间的关系。
复数可以转换为三角函数，通过指数变换法可以将复数转换为三角函数。
另一方面，三角函数也可以转换为复数，通过反三角函数可以将三角函数转换为复数。
复数与三角函数的转换是数学分析中重要的基础，也是很多数学问题的解决方案。
它可以帮助我们理解复数和三角函数之间的关系，从而解决更多的数学问题。
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三角函数向量复数齐民友(大学数学与统计学院430072)1 三角函数新课标中有关三角函数的容分在数学4 ( 两个项目:三角函数,三角恒等变换) 和数学5 (解三角形) 中,共给了32 个学时. 其起点是初中已学过的锐角三角函数, 讲法上强调了利用向量方法, 发挥单位圆的作用,而且强调要淡化三角恒等变换的技巧性容. 这些都是很好的, 但我以为如果突出三角函数的最本质容, 不但用不了这么多时间, 而且更有利于学生现在和以后的学习. 这个最本质的容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.但是为了讲清楚它, 教学次序要调整一下:先讲平面向量(包括余弦定理, 这种讲法的数学上的根据,我已在“前文”:“中学数学教学中的向量”(以下引用此文处较多, 均简称“前文”) 中作了详细讨论.匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题, 三角学源自天文学,因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆, 天体则是球, 天体的运行必是匀速旋转. 这些命题被亚里斯多德当成了形而上学的根本原则, 却是有人类认识的经验基础的. 由此,首先要回答什么是角. 初中水平的几何和三角学里讲的角是两条边“夹”出来的. 因此无所谓始边终边,角的大小也是非负的,其围在0 ≤θ≤π,因此有锐角钝角之分. 比π更大的角有时称为“优角”,比0更小的角就谈不上了. 到了高中,第一个最重要的概念是:角是“转”出来的:具有固定起点的平面有向线段(即平面向量, 向量起点如前文所述,一定在原点. 以下我们时常混用有向线段与向量二词,应该不会有困难,) 绕此起点(原点) 在此平面旋转就得到一个角. 有始边, 终边之分, 顺时针方向转的称为负角, 逆时针方向转的称为正角. 所以刻划一个平面向量a ,先要给定一个平面向量(例如i )作为参照( 即始边) , 然后, 让这个参照向量绕原点在此平面旋转直到与a “重合”( 其实只需部分重合, 因为i 与a 不一定同长) ,记旋转角为θ,再令a 之长为r =| a | ,它对角的性质无影响,所以我们以后总设r = 1 , 即只讨论单位向量旋转所成的角. 这个向量起点是(0 ,0) ,终点是22(,),1x y x y +=, 于是我们就说角就是单位圆上的点(,)x y 在其圆周上旋转所成的. 这种角习惯上称为任意角. 学生们时常以为任意角就是可取任意值的角. 这些当然是对的,但又不止于此,还有以上的丰富容, 主要是有方向.既然如此, 要研究匀速旋转, 一方面可以研究角θ的变化,例如设角速度为ω,则有0wt θθ=+.0θ是角的初始位置. 这一点不仅有数学意义, 更重要的是有物理意义. 课标上要求重视三角学与其它学科的联系与结合是非常重要的. 而且依我之见, 最重要的是它与振动和波动的联系, 因为这可以说是几乎全部高科技的基础(或再加上“之一”二字, 以免有绝对化之嫌?) 而其出发点就在于此. 但这又是当前数学教学(不只是中学) 的薄弱环节. 这一点以下再说. 我们下面常取0θ=0,这纯粹是为了数学上的方便.研究匀速旋转最重要的是研究(,)x y 的变化,即是研究x 和y 作为θ的函数. 于是我们给出定义cos ,sin (1)x y θθ==当然如果(,)x y 不是单位向量，则令cos ,sin x y r r θθ==我们会越来越多地看到, 最好是不把正弦余弦看作两个函数, 它们是密切相关的. 所以最好是把二者合起来看成一个向量值函数()(cos ,sin )cos sin ((cos ,sin )cos sin a i j r r r i r j θθθθθθθθθ==⋅+⋅=⋅+⋅或这个概念虽然不难,但是中学生能不能接受,我没有把握. 至少,好一点的学生是可以的, 而一旦接受了,会有很大方便.前文中我建议把这一部分(但0wt θθ=+一段暂时不讲) 放在向量一章里讲. 一方面, 可以对向量的方向有一个比较可操作的刻画方法, 即用辐角θ刻画. 这种刻画方法即使在中学阶段也十分重要.利用这种把正余弦定义为角的终边的坐标的方法,我们突破了初中讲sin θ,cos θ时θ限于锐角的限制,说明这已是一个推广,而为下面更进一步的展开作一铺垫. 这样定义正余弦更直接地是为介绍余弦定理作准备. 对余弦定理则要从如何计算向量或有向线段AB u u u r 之长入手,看出它是匀股定理的推广, 而不是把它简单地看成解三角形的工具. 解三角形只是余弦定理一个小小的应用:屠龙宝刀也可以用来杀鸡! 以下就可以进入三角函数理论本身了. 但在这以前请读者注意,我们多次强调了现在我们讲的是平面向量. 因为三维空间的旋转是一个非常困难的问题,对中学生是不宜去讲的. 但是从左图可以看到:如果把正方形Ⅰ先绕z 轴转2π得Ⅱ,再绕x 轴转2π得Ⅲ. 但是若首先绕x 轴转2π得Ⅱ, 再绕z 轴2π得到的Ⅲ(右) 与前一个Ⅲ不同. 学生们自己用一本书在桌子边上实验一下即知. 这说明三维空间中旋转的乘法( 连续施行两次旋转称为它们的乘积) 是不服从交换律的. 大概多数中学老师会告诉学生有不可交换的乘法这回事. 给一两个例子即可使学生看到这一点, 不必等到系列3的选修课对称与群再讲了. 类似的例子在中学数学里多的是. 课标也把形成一定的数学视野⋯⋯作为高中阶段学习数学的总目标的一部分. 不能一提到一个问题就一定要开一门课, 列一个章节, 而可以随时注意提醒一些重要概念,“随风潜入夜, 润物细无声”可能是更易收效的.整个三角函数理论,其实可以归结为4 点:(1) 沙尔定理. 设α角的始边为OA u u u r ,终边为OB uuu r ,如果再以OB uuu r 为始边旋转到终边OC u u u r ,则由OA u u u r 旋转到OC u u u r 的角是αβ+我们在前文中已经讲到沙尔定理, 这里又是一个. 那么, 沙尔是谁?这个定理是怎么说的?沙尔 (Michel Chasles , 1793 - 1880) 是一位重要的法国数学家. 在19 世纪之始, 当笛卡儿的解析几何已经 “占据了统治地位”时, 有一批几何学家出来说, 解析几何代数味太重, 不算几何, 因此主复兴综合几何. 这批几何学家以蒙日为首, 沙尔也是一员大将. 言词之争是小事, 射影几何学却由此发展起来了,以至于大数学家凯莱甚至说: 几何学就是射影几何学. 沙尔在1852 年出版的《高等几何学》一书中提出了以下的定理.沙尔定理: 设A ,B ,C 为直线上三点, 则AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r这就是“正宗”的沙尔定理. 不过因为它太简单,只能当作一个练习题, 人们似乎也不太重视. 但是沙尔本人是充分了解其意义的, 其实质意义就是,应该让几何量有正负号, 这样许多定理的证明就不必分成许多特例来分别证明了. 因此, 沙尔把他的这个定理称为几何学的基本定理. 后来人们把沙尔定理也推广到面积, 体积上去. 大数学家克莱因( Felix Klein , 爱尔朗根纲领的提出者, 而不是我们比较熟悉的写了数学史巨著的作家克莱因:M. Kline ,名字拼法也不同) 写过一本《从高观点看初等数学》,全书分三卷,第二卷几何学对这个观点及其发展作了非常精彩的论述. 附带提一句, 有向线段与有向角的概念也是沙尔引入的. 这样读者可以理解,本文和前文都把一个定理冠以沙尔之名是有道理的.(2) 勾股定理.22cos sin 1θθ+=它的证明确实就是勾股定理: 221x y +=.初中生也知道这个公式, 但是现在讲的是它的一个推广:θ不限于锐角, 而是任意角. 它的几何意义也很简单:如果一个点(x ,y) 在单位圆上转,则转来转去还在单位圆上.这两个定理都简单得不能再简单了. 把它们当作基本的东西未免可笑. 但是, 它们确实起了基本作用. 说到底,三角函数就应该那么简单. 过去把它搞得那么复杂是由于没有认识到它的本质. 因此另两个定理就是讲的圆的基本性质———对称性(3) 对称定理.圆的最重要的性质就是其对称性. 圆有丰富的对称性. 我们不必拘泥于中心对称, 轴对称等等名词. 总之,圆在许许多多的变换下仍变为圆. 这就是对称性. 我们不妨从单位圆上的一个向量, (即一个角θ或一个点(,)x y ) 开始, 而且让它旋转. 首先是每次转90°(向左转) 或90°(向右转) ,而且是连续不断地施行这一变换(当然转了360°以后一定还原) :从θ变到,0,1,2,2k k πθ+=±±L .这里看起来有无穷多个旋转,其实都可以由向左转90°(即2πθθ→+) 生成:向后转即连续两次向左转,向右转则可以先作3次向左转再反向转360°:3[]222ππθθθπ→-=+-.但是另一个重要变换θ→- θ(对x 轴反射) 不能这样生成. 所以我们把这个变换也列为基本的. 有了这两个基本的变换以后,例如对y 轴的反射θ→π- θ也可由θ→- θ再继之以两次向左转.总之,所有的,0,1,2,2k k πθθ→±+=±±L 都可以由1:2T πθ→和2:T θθ→-生成. 这里我们用大写字母T 表示变换.变换是整个数学的核心概念之一. 在讲三角函数时把它溶化进去是有好处的, 当然这不等于要对中学生用上一大堆记号. 而可以用两个引理来概括我们所需的变换.引理1 若单位圆上一点(,)x y 经1T 变为((,)x y ''则,cos[]sin ,sin[]cos (2)22x y y x ππθθθθ''=-=+=-+=或证明太简单了, 画一个图就明白. 但是用向量来表述这个证明更加简单. (,)x y 点就是向量xi yj +, 但是在旋转2π后i 变成为j , j 则变成- i. 所以xi yj +变成x i y j yi xj ''+=-+. 此即所求证的结果.可能有读者喜欢画图, 但是, 画图只能给出一个特例,通常会把θ画在第一象限. 岂非还要对θ在二、三、四象限的情况分别再给以证明?应用了向量以及基底在旋转2π后的情况, 这些麻烦就全消失了.在讲复数后还可以给出另一个统一的十分简单的证明. 总之, 我们又一次看到, 抓住绕原点的旋转,总能得到优美简单的证明.引理2 若单位圆上一点(,)x y 经2T 变为(,)x y '', 则(,)x y ''仍在单位圆上,而且,cos()cos ,sin()sin (3)x x y y θθθθ''==--=-=-或 引理2与引理1大异其趣. 引理1 利用了圆在旋转下的不变性(对称性) , 引理2 则用到它对于轴反射的对称性. 读者会问, 圆还有对于其它直径如轴的对称性, 那里又会有什么新鲜事呢?看来不会再有本质上不同的结果了. 所以, 引理1 ,2 也就够用了. 所谓“诱导定理”其实就是反复应用这两个引理. (也许还要加上一个周期性引理, 它虽然也可以从引理1 ,2 得出,但是周期性是一个重大问题,所以还是把它列出引理0 正余弦函数均以2π为周期. )“诱导定理”至此就讲完了. 可以由它们得出许多公式,例如cos()cos[[]]22sin[]2sin[()]2cos()cos πππθθπθπθθθ-=+-=--=-+-=--=-等等. 有时同一个结果可以有多种证法. 应该告诉学生,哪一种证法都可以, 无所谓哪一个更好. 用惯了就行. 重要之处在于. 一定要使学生们懂得,现在θ不再只是锐角了. 麻烦在于, 这些公式中有一些非常常见,如cos[]cos[()]sin()sin 22sin[]sin[()]cos()cos 22ππθθθθππθθθθ-=+-=--=-=+-=-=而且有时还有特殊的名称, 如上式称为“余角公式”. 如果每一个公式都要起一个名字, 都要让学生自己推导, 那也太麻烦了. 所以课标里特别提到2π±θ,π±θ的正余弦公式,我看就是要背!至于名称, 当然可以免了. 讲上面这些引理的目的, 是请大家注意,它们都只是圆的对称性的表现. 必须抓住三角函数是为了刻画匀速圆周运动的, 这样就真正抓住了要领,就能以简驭繁. 我们应该要求于学生的,只是真正懂得那两条引理, 并且逐步学着由它们推导出需用的公式, 最好背得几个. 绝对应该避免把三角函数的理论变成一大堆公式!关于“诱导公式”一词, 也想做一点翻案文章:究竟是什么公式“诱导”了什么公式?是“诱导”出更好的还是一般的?查一下外国文献, 似乎从无“诱导公式”一说, 倒是有很多文献说到了“reduction formula ”(简化公式) 3 . 据我回忆,在上世纪50 年代前,国教材说“简化公式”的是有的, 意思也清楚.所以本文就大胆不用“诱导公式”这个词了. 但是说 “对称定理”肯定是不完美的,因为它远没有把圆的对称性表现充分. 因为这里要求每次转90°, 转了四次就周而复始,那么为什么不能每次转60°呢?按道理说是可以的, 也可以得到一些公式,只不过公式太繁,用处不大. 等到讲了复数以后,就一切都明白了.(4) 加法定理它就是我们常说的“和角公式”与“差角公式”.把它们合称为加法定理是否有点故弄玄虚?这一方面是由于加法定理一词在数学中是很常用的. 许多重要的函数()f x 都有自己的加法定理, 就是把()f x y +与()f x ,()f y 联结起来的公式. 三角函数的加法定理只是其一例. 更重要的是, 它虽然包含了许多公式, 其处理方式都是一样的, 而且其结果在引入复数以后又都与一个最重要的“加法定理”,(0)x y x y a a a a +=>统一. 所以我们主就只使用一个名词逐渐地取代现在通用的许多名词.加法定理仍然本质地反映了圆的对称性. 如果说,对称定理回答了旋转90°的问题,现在则要回答旋转任意角度的问题. 为此, 取一个单位向量OA u u u r ,为简单计就把它放在x 轴上成为x 轴正方向的单位向量. 以OA u u u r 为始边转一个角α, 设终边为OB uuu r , 当然||||1OB OA ==u u u r u u u r,所以B 点仍在单位圆上. 现在以OB uuu r 为始边再转一个β角成为OC u u u r ,C 点当然仍在单位圆上. 单位圆转来转去仍是单位圆, 这是它的不变 性也就是它的对称性. 不妨把这个说法与欧几里德的说法作一点比较:欧几里德的《几何原本》就是以此性质来刻画圆的(圆上任一点到圆心距离相同) ,我们只不过加上两个新名词: 不变性和对称性. 这又是不是故弄玄虚?当然不是. 不变性与对称性密切相关. 中学教材中讲过不少对称性:点对称、轴对称、球对称等等. 但是要问对称性的定义, 则只能这样说:若有一图形G 以及一类变换,使得G 经这一类中的任一变换后仍保持不变, 就说G 关于这类变换具有对称性. 所以圆对于绕圆心的旋转具有旋转对称性.“不变性”、“对称性”和“变换”一样,都是整个数学科学的核心概念. 欧几里德讲圆只是接触到对称性的一个特例. 课标选修系列3 中的“对称与群”这一专题则是为的初步介绍一般的对称性概念的数学理论. 在讲三角函数时当然不能去讲群论, 但是我们使用变换, 不变, 对称这些“词”而不加任何进一步说明,正是为了使学生能或多或少“得其意”,为他们今后的发展作一点铺垫. 下面回到正题.单位向量OA u u u r 绕O 旋转一个角α而成OB uuu r , 再经过旋转一个角β终于成了OC u u u r .对此有两种看法: 一是OA u u u r 经旋转角α+β达到OC u u u r (沙尔定理) ,所以OC u u u r 的辐角是α+β,而有cos()sin()(3)OC i j αβαβ=+⋅++⋅u u u r另一种看法是OC u u u r 是OB uuu r 经旋转β而得, 如果把OB uuu r 看成新的x 轴,则记其上的单位向量为i ′, 并记新的y 轴上的单位向量为j ′,有 cos sin (4)OC i j ββ''=⋅+⋅u u u r但是i ′是OA u u u r 旋转了角α而得的终边,故cos sin i i j αα'=⋅+⋅j ′则是i ′再转2π而得,也就是由OA 转2πα+而得 (沙尔定理) ,故 cos[]sin[]sin cos 22j i j i j ππαααα'=+⋅++⋅=-⋅+⋅ 这里用了一次引理1. 以i ′, j ′之式代入(4) 即有cos [cos sin ]sin [sin cos ](cos cos sin sin )(sin cos cos sin )(5)OC i j i j i i βααβαααβαβαβαβ=⋅+⋅+-⋅+⋅=-⋅++⋅u u u r比较(3) 与(5) 利用平面向量的基本定理,即有正余弦函数的加法定理. 对任意角α+β有cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin )(6)αβαβαβαβαβαβ+=-+=+这就是和角公式. 把β换或- β并利用引理2 又可得到差角公式.这个证法优于一般教材上的证法主要不在于它比较简单而且一下子给出了4 个公式, 而在于它来自一个基本的思想,即三角函数的加法定理反映了圆的对称性这一基本性质, 而且通过沙尔定理可以完全不受α,β在不同象限需要不同处理方法的影响. 我们在讲沙尔定理时引述了沙尔本人对几何量应该允许取不同符号的话. 实际上, 这个证明并不需要图2 ,证明的文字中从来没有“见图2”的字样.读者不妨试一下,完全不看图, 只看文字, 应该不太困难地看懂它,最多是有一些生疏.关于三角函数的论述基本已完成. 在教学过程中不费力气就可以得到倍角公式, 和差化积, ⋯等等. 下面对三角恒等变换的教学讲一点看法. 主要的看法是, 目前的中学教学对此仍然看得过重, 我则主进一步淡化处理. 这一部分和证明几何题一样是很有吸引力的,对学生(特别是好学生) 的数学能力的培养有好处. 为什么还要淡化, 看一下历史发展就明白了. 最简单恒等变换如和角公式, 差角公式以及某些和差化积公式, 托勒密就已证明了.但是大家不把它们看作恒等变换, 因为托勒密是用的初等几何方法( 主要依靠所谓托勒密定理: 圆接四边形两对边乘积之和等于对角线乘积) , 而没有用三角函数之间的关系式,直到16 - 17 世纪, 由于天文学和测量学计算的需要, 常遇到各种三角函数的关系问题. 一个著名的例子: 积化和差公式1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-就被用来计算两数乘积:设有A>0 ,B>0.首先找一个适当整数n(可正可负) 使0101n A <<. 对B 也一样处理.因此可设0 < A , B < 1 然后查三角函数表找到α,β使A = cos α, B = cos β. 再用三角函数表计算cos (α+β) ,cos (α- β) . 取其半和即得A ·B ( 还要再乘以10n - ,即移动小数点位置) . 这样作虽然繁,但比直接相乘仍然简便. 从哥白尼,第谷·布拉到开普勒都是这样作的. 这个公式还有一个很长的名字:prosthaphaeresis 公式(其实这个看来深奥的字是由两个希腊字合成的:prosthesis , 加法,afaero 减法) , 可见人们对这个公式确实是重其事的. 它的作用是把乘法化为加法. 纳皮尔和对数的其他发明者都是受了它的启发. 这类公式越积越多, 许多大数学家都有贡献. 但是技巧方面虽然得到了发展, 这些公式相互之间有什么联系都是茫然. 老实说, 现在流行的许多三角恒等式的辅导材料, 培训教材等等, 从总的数学水平来看, 仍然没有超出那个时代. 到后来对数发明了,再没有必要使用三角学积化和差公式了. 三角函数表早就可以用微积分方法来作. 就再也不必如托勒密那样, 用某些特殊角如30°,45°, ⋯用勾股定理,比例中项以及半角公式等等来作其它角的正余弦了. 微积分的出现给了人们新的视野,三角函数的研究中要引入无穷级数, 微分方程, 也开始了新纪元. 不妨说最突出的成就是cos sin ix e x i x =+. 欧拉公式在这个历史背景下, 有一些三角恒等式如和差角公式,倍角半角公式, 和差化积, 积化和差等等, 因为其常用, 已被吸收为数学基础教育的一部分, 另一些则失去了重要性. 甚至成了历史的遗迹, 例如使用“正弦线”的概念, 是因为当时数尚未发展起来(纳皮尔就不使用小数) , 只好把半径取得很大(甚至取到1010 ) , 再测量表示sin x 的弦长,这时正弦确实是一条线(弦) , 所以称为正弦线.现在有什么必要还在我们的中学教材中把它作为一个“概念”, 一个“知识点”, 甚至问没有正弦线怎么作sin x 的图象?因此在今天的教学中就没有必要在这类问题上花功夫. 有同志提出积化和差不能不要,否则怎样计算sin sin nx mxdx ⎰?这当然是事实.确实不应该简单地“规定”, 例如只“准”讲和差化积,不“准”讲积化和差. 有些容是应该记忆的, 有的则不然. 到需要时再提醒一下也是可以的. 主在三角恒等式上多下一点功夫的人还有一个理由,就是它可以锻练学生的能力. 这个论点也是成立的. 有一个著名的例子. 著名的物理学家, 诺贝尔奖金获得者费曼多次说, 正是因为看到了cos20°cos40°cos80°=18很是奇怪,大大激发了他学习数学的兴趣. 这个题目对他的一生的影响, 他一直难忘. 波利亚说过,解数学题是一个创造过程, 难题是比较大的创造,容易的题也是小的创造. 因此,本质的问题是如何帮助学生走上创造的道路. 对有兴趣也有能力的学生给一些比较难的题目, 我想是很有好处的. 前文讲了几个几何“难题”, 如果利用复数还可以解决难得多的几何难题. 我们的目的,不是提倡做难题,而是说明向量以及复数的一种应用. 这个目的,靠题海战术是达不到的. 就以上题而论,这个题目实在不难, 绝大多数高中生都很容易作出来. 可是成为费曼的终究只有一个人, 而且费 曼绝不是单靠难题就能成功的.以上用了很大篇幅讲为什么要淡化三角恒等式. 有淡化就有强化,那么应该强化什么?从三角学发展的轨迹来看, 我以为首先应该加强围绕Acos(ωt +θ)的训练. 包括A ,ω,θ的物理意义,它们的值对图象的影响,特别是0cos()y A A wt θ=++的图象与A 0 的关系. 原因在于除了天文和测量之外,到18 世纪以后, 三角函数与振动和波动现象的关系越来越成为人们关注的焦点. 人类从自然界和社会生活中得到的关于振动和波动的信息越来越多. 简单的如三相交流电, 如一个地方日出时间在一年中的变化, 如各种乐器发出的声音, 各种各样的无线电波———雷达、电视, ⋯———地震波, 甚至物种种群大小的周期变化, 无不归结为cos()A wt θ+的组合. 因此, 例子极多, 关键在于选取. 尤其重要的是三角函数的图象的教学. 应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、升降性、周期性, 解释各种简化公式的几何意义. 从我自己上课的经验来看,用粉笔在黑板上画正弦函数的图像, 真是一场灾难. 特别是横坐标,要画出 1.57082x π==,而且希望比其在纵轴上的最大值大1. 6 倍⋯. 写讲义时只好用一薄纸蒙在书上描!我这样说决非轻视图象问题, 恰好相反, 我以为现在的中学教学对图象问题太轻描淡写, 而且许多时候, 可以说是该讲的没有讲, 反而讲了不该讲的东西:如什么“五点法”,“正弦线”确应取消. 在讲三角函数时不妨采用实验方法. 让学生做一个实验:用一透明胶片蒙在教本( 教本上的图形应该是比较准确的, 而且通常既有正弦又有余弦) 上画一条正弦曲线, 画图时最好用中性笔或者记号笔,使得胶片的正反两面都能看得清楚. 但是不要画坐标轴,只在图像上标明对应于3,,,22x πππ=L 的各点. 这样一来,坐标轴印在书上是不能动的. 然后把透明胶片左移2π,您就会发现正弦变成了余弦, (这时,需帮助学生弄明白把()f x 的图象向左移2π, 得到的是()2f x π+ 而不是()2f x π-这可能要费一点口舌, 但是在研究其它函数时也会用得上) 如果再左移,,2ππL 则sin x 又变成了- sin x , - cos x , ⋯然后又变回来了. 可以问学生得到的是哪一个公式?(引理1) . 再把胶片左右翻转(透明胶片的好处在于两面都看得见) , 问问学生我们做的实验上是什么变换( x →- x) ?得到了什么公式?(引理2 ,上下翻转,即自变量x 不变,函数值y 反号, 需要到复数中去考察. ) 至少,学生们会懂得:(1) 正弦余弦其实是一个东西, 只不过看它的位置(即坐标系) 变了. 这句话,最好从物理上理解:对于y = sin x , 我们有时称x 是其位相(或简称为相) .“位相”或“相”, 是数学与物理学, 工程学里常用的词,但是没有明确的数学定义. 更多时候, 是指其中的ωt +θ.。