1.2 复数的有关概念
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
1.2 复数的有关概念
1．2 复数的有关概念1．两个复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a ＝c ，且b ＝d ．(1)分清两复数的实、虚部．(2)能把复数问题化为实数问题． (3)a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(4)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．2．复平面与复数的几何意义(1)复平面的定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．实轴：x 轴称为实轴． 虚轴：y 轴称为虚轴． (2)复数的几何意义①复数与复平面内的点一一对应，复数a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点(a ，b )表示． ②复数与以原点为起点的向量一一对应，复数a ＋b i 可以用向量OZ →表示，其中O (0，0)，Z (a ，b )．实轴上的点均表示实数，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，不在实轴虚轴上的点均表示非纯虚数．3．复数的模若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2．(1)复数的模为非零实数，可比较大小．(2)两个复数当且仅当都是实数时才能比较大小，否则不能比较大小．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)原点是实轴、虚轴的公共点．( ) (2)虚轴上的点都表示纯虚数．( ) (3)3i>i.( )答案：(1)√ (2)× (3)×若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3解析：选C.复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选 A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A. 如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是________． 解析：由z ＝1＋a i ，|z |<2，a ∈R 得 a 2＋1<2，解得－3<a < 3.答案：(－3，3)1．对复数概念的理解(1)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(2)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件．2．探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图表示：复数相等(1)设x ，y ∈R ，且(2x －3y ＋7)＋(x －y )i ＝(3x －2y )i ＋x ＋y .求x ，y .(2)已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．【解】 (1)因为x ，y ∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋7＝x ＋y ，x －y ＝3x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (2)由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．1.(1)若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( )A ．0B ．2C ．52D ．5(2)已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解：(1)选D.因为a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5.故选D.(2)由复数相等的意义，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0.②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0. 解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－2， 代入②得x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋2，y 1＝－1＋2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1－2，y 2＝－1－ 2.复数的几何意义已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12.本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2.(1)已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i解析：(1)选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限． (2)选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.复数的模及其计算在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 点Z 1，Z 3关于实轴对称，且点Z 1，Z 2，Z 3在以原点为圆心的单位圆上．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．3.(1)已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2(2)已知复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点P (x ，y )的轨迹是________． (3)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：(1)选A.依题意应有（x －1）2＋（2x －1）2<10，即5x 2－6x ＋2<10，解得－45<x <2，故选A.(2)因为|z |＝3，所以（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点P (x ，y )的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．故填以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．(3)因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)． 则|z －1|＝|b i －1|＝ 1＋b 2.又|－1＋i|＝2，由已知|z －1|＝|－1＋i|，得 1＋b 2＝2，解得b ＝±1，所以z ＝±i.规范解答利用复数在复平面内对应的点求参数的范围(本题满分12分)设复数z ＝log 2(1＋m )＋i log 12(3－m )(m ∈R )， (1)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若复数z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．【解】(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1＋m ）<0，log 12（3－m ）<0，1＋m >0，3－m >0，(2分)解得－1<m <0，故不等式组的解集为{m |－1<m <0}， (5分)所以m 的取值范围是－1<m <0.(6分)(2)由已知得点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，(8分)所以log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， 所以(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0， 所以m ＝1±2，(10分)且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，3－m >0， 所以m ＝1±2.(12分)(1)处忽视对数式中真数大于零这个条件，则会导致第(1)问的结果错误，造成失分． (2)处漏掉对方程根的验证，则会导致本例的解题步骤不完整，造成失分． (3)处理此类问题，复数的相关概念及结论必须牢记准确．1．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.2．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.因为1>0，2－sin θ>0， 所以复数对应的点在第一象限．3．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________． 解析：复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0， 解得m ＝2，所以z ＝3i ， 所以|z |＝3.答案：34．若方程x 2＋(m ＋2i)x ＋(2＋m i)＝0至少有一个实数根，试求实数m 的值． 解：方程化为(x 2＋mx ＋2)＋(2x ＋m )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋2＝0，2x ＋m ＝0，所以x ＝－m 2，m 24－m 22＋2＝0.所以m 2＝8.所以m ＝±2 2.[A 基础达标]1．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0解析：选A.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，故选A.2．下列复数模大于3，且对应的点位于第三象限的为( ) A ．z ＝－2－i B ．z ＝2－3i C ．z ＝3＋2i D ．z ＝－3－2i解析：选D.选项B 和C 中的复数对应的点分别为(2，－3)，(3，2)，都不在第三象限，选项A 中的复数对应的点为(－2，－1)，在第三象限，但它的模为5<3，故选D.3．向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.因为向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.因为点A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以OB →对应的复数为－2＋i ，故选B.5．已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两点 D ．线段解析：选B.由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆．6．复数z ＝sin 40°＋isin 230°的模等于________． 解析：|z |＝sin 240°＋sin 2230°＝sin 240°＋sin 250°＝sin 240°＋cos 240°＝1.答案：17．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9，m ＝1(舍去)．答案：9 8．使⎪⎪⎪⎪log 12x －4i ≥|3＋4i|成立的实数x 的取值范围是________．解析：由已知，得⎝⎛⎭⎫log 12x 2＋（－4）2≥32＋42，所以⎝⎛⎭⎫log 12x 2≥9，即log 12x ≤－3或log 12x ≥3，解得x ≥8或0<x ≤18.答案：⎝⎛⎦⎤0，18∪[8，＋∞) 9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：由①，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.代入②，得(5＋4a )－(10－4＋b )i ＝9－8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，解得⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.[B 能力提升]11．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i.于是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.解得a ＝34，b ＝1.所以z ＝34＋i.故选D. 12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( )A ．5B ．2C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ为何值时，(1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称；(2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ⇒ ⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋76π或2k π＋116π或k π＋π2(k ∈Z )， 所以θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2θ<2， 即3sin 2θ＋cos 2θ<2，所以sin 2θ<12， 所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )． 14．(选做题)设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．解：因为z ∈C ，所以|z |∈R ，所以1－|z |∈R ，由||z |－1|＝1－|z |得1－|z |≥0，即|z |≤1，所以A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }．又因为B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，所以∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．因为z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A ，且z ∈∁U B ，所以⎩⎨⎧|z |≤1，|z |≥1⇒|z |＝1，由复数模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆．。
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
高等数学复数教材
高等数学复数教材高等数学是大学阶段重要的数学学科，其中复数是其中一个重要的概念。
本教材旨在介绍高等数学中的复数，并提供相关的理论知识和求解方法。
第一章：复数的引入1.1 复数的定义复数由实数部分和虚数部分组成，可以表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.2 复数的基本运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，以及实数与复数的加法、减法、乘法和除法。
1.3 复数的复共轭复数的复共轭可表示为a - bi的形式，其中a和b与原复数相同，但虚部的符号相反。
第二章：复数的性质与运算2.1 复数的代数形式与三角形式复数可以以代数形式表示为a + bi，也可以以三角形式表示为r(cosθ + isinθ)，其中r是模长，θ是辐角。
2.2 复数的乘除运算复数的乘法与除法可通过代数形式和三角形式进行计算，并且有相应的公式和性质。
2.3 复数的指数表示欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ将复数以指数形式表示，简化了一些复数运算。
第三章：复数方程与方程组3.1 一元复数方程介绍一元复数方程的概念，并提供求解一元复数方程的方法和步骤。
3.2 一元复数方程的应用探讨一元复数方程在实际问题中的应用，例如电路分析和振动问题等。
3.3 复数方程组介绍复数方程组的概念和解法，包括利用高斯消元法和矩阵法求解复数方程组。
第四章：复数函数与复变函数4.1 复数函数的定义与性质复数函数是将复数域映射到复数域的函数，包括实部函数、虚部函数、模函数和辐角函数等。
4.2 复数平面与复平面函数探讨复数平面和复平面函数的概念，复平面函数通过曲线表示和性质分析。
4.3 复变函数的解析性与全纯函数介绍复变函数的解析性和全纯函数的概念，以及复变函数的柯西-黎曼条件。
第五章：复数级数与幂级数5.1 复数级数的概念和性质介绍复数级数的收敛性和性质，包括绝对收敛和条件收敛等概念。
5.2 幂级数的概念与收敛域探讨幂级数的收敛域和收敛半径的计算方法，以及幂级数收敛的判别法则。
7.1.2 复数的几何意义课件ppt
即-6a+4=0,解得 a= .
3
(2)①若复数z的对应点P在虚轴上,
则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.
此时,z=6i或z=0.
②若复数z的对应点P在实轴负半轴上,
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究三
复数的模及其应用
例3若复数z=(a+2)-2ai的模等于 5 ,求实数a的值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为5的点的集合,即以原点O为圆心,以5为半径的圆.
方法点睛 复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距
离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深
理解.
当堂检测
1．已知z＝(m－3)＋(m＋1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第二象限，
则实数m的取值范围是
(
A．(－3,1)
2023
人教版普通高中教科书·数学
第七章
必修
7.1.2 复数的几何意义
第二册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解复平面的概念.(数学抽象)
2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关
系.(逻辑推理)
3.掌握复数模和共轭复数的概念,
会求复数的模和共轭复数.(数学
)
素养形成
复数模的意义
典例已知|x|=5,x对应的点为X,对于下列条件,点X对应的图形各是什么?
(1)在数轴上;
(2)在复平面内,x∈C.
分析分别利用绝对值、复数的模的几何意义解答.
1.2复数的运算及其几何意义
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义
高中数学 必修2(北师大)5.1.2复数的几何意义
方法归纳
(1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚部的 符号，再类比平面直角坐标系进行判断．
题型二 复数的模的计算——自主完成 1．已知复数 z＝3＋4i(i 为虚数单位)，则| z |＝________.
解析：方法一：因为复数 z＝3＋4i，所以 z ＝3－4i，故| z |＝ 32＋－42 ＝5.
方法二：| z |＝|z|＝ 32＋42＝5. 答案：5
2．已知 i 为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中 x，y∈R，则|x＋yi| ＝( )
解析：∵z＝a＋ 3 i 在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a<0. 由|z|＝2，得 3＋a2＝2，解得 a＝－1 或 1(舍去)， ∴z＝－1＋ 3 i. 答案：－1＋ 3 i
方法归纳
若复数 z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，已知复数的模求复 数，只需套用模长公式的方程即可．
解析：(1)∵32<m<1，∴2<3m<3，∴3m－2>0，m－1<0， ∴z 在复平面内对应的点的坐标在第四象限． 答案：(1)D
(2)实数 a 取什么值时，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a ＋2)i 的点
①位于第二象限？ ②位于直线 y＝x 上？
解析：(2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2 ＋(a2－3a＋2)i 的点为 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
复变函数论
arg
z
arctg
3 1
3
2 3
，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z
2(cos(
2
)
sin(
2
))
i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0
x
0,
y
0, arg
z
当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (
(
,
))
arctan
y
(
(
,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接
相关复数的知识点总结
相关复数的知识点总结一、一般规则1.1 单数名词加-s在英语中，大多数名词的复数形式都是在其单数形式后加上-s。
例如，cat变成了cats, dog变成了dogs等。
1.2 单数名词加-es当单词以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾时，其复数形式需要在其末尾加上-es。
例如，box变成了boxes, watch变成了watches等。
1.3 单数名词变化有些名词的复数形式与其单数形式完全不同。
例如，man的复数形式是men, woman的复数形式是women等。
二、特殊规则2.1 不规则复数在英语中，有一些名词的复数形式是不规则的，需要通过记忆来掌握。
例如，child的复数形式是children, foot的复数形式是feet等。
2.2 复数同形有一些名词的单数和复数形式是相同的。
例如，sheep的单复数形式都是sheep, fish的单复数形式也都是fish等。
三、名词与修饰语的一致性3.1 一致性在英语中，名词与修饰语在数方面需要保持一致。
当名词是复数形式时，其所对应的冠词以及修饰语也需要是复数形式。
例如，two cats是正确的，而two cats is不正确。
3.2 特殊形容词有一些特殊的形容词在其复数形式中需要做一些变化。
例如，good的复数形式是better, bad的复数形式是worse等。
四、可数名词与不可数名词的复数4.1 可数名词的复数可数名词的复数形式表示可以分为多个个体的事物。
例如，book的复数形式是books, pen的复数形式是pens等。
4.2 不可数名词的复数不可数名词通常不具有复数形式，因为它们表示不可分割的概念或物质。
例如，water就没有复数形式，furniture也没有复数形式等。
五、动词和复数5.1 动词的数在英语中，动词的数要与名词保持一致。
当主语是单数形式时，谓语动词也需要是单数形式；当主语是复数形式时，谓语动词也需要是复数形式。
例如，The cat is sleeping.与The cats are sleeping.分别表示单数和复数形式的句子。
数理方法总结
数理方法总结CH1复数的基本概念1.1复数的定义：复数是实数的扩充推广，复数可表示成直角坐标系XOY 上的点，也可由有序实数对（x,y ）定义，记为z=(x,y)或者z=x+iy ，实数x 可以看成实轴上上的点（x,0）或者z=x 表示。
1.2复数的表示 1.点表示一个复数z=x+iy 由一对有序实数（x,y ）唯一确定。
2.三角表示通过直角坐标与极坐标的关系：()22cos sin z x iy x y i θθ=+=++3.指数表示法在三角表示法的基础上，引进欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+ 则z 可表示成22i z x y e θ=+1.3复数的幂与方根1.复数的乘积与商121122,i i z r e z r e θθ== 则()121212i z z rr eθθ+=()121122i z r e z r θθ-= 2.复数的幂()nn i n in z re r e θθ==当1r = 时，得到德魔符公式：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ 3.复数的根-多值2,0,1,,1k ii n nnnz re rek n θπθ+===-L1.4复数序列的极限1.定义：按一定顺序排列的复数()1,2,n n n z x iy n =+=L 称为复数序列，记为}{n z 。
一个复数序列等价于两个实数序列}{n x 和}{n y 的有序组合。
2.极限当000,n n n z x iy z x iy =+=+时，0lim n n z z →∞= 的充要条件是00lim ,lim n n n n x x y y →∞→∞==。
CH2解析函数2.1复变函数将函数的概念由实数域推广到复数域时，自变量及函数值的取值范围相应的推广到复平面上的点集（称为定义域和值域）。
1.区域邻域：集合}{()0,,0,z z z z c εε-≤∈∈+∞ 记为()0,U z ε单联通区域：中间没孔（圆域）。
复变函数第一章
1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x
我的高中数学目录 (2)
北师大版高中数学必修一·第一章集合·1、集合的基本关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、集合的含义与表示◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、集合的基本运算◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章函数·1、生活中的变量关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、对函数的进一步认识◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、函数的单调性◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、二次函数性质的再研究◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、简单的幂函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章指数函数和对数函数·1、正整数指数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、指数概念◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、指数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、对数◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、对数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、指数函数、幂函数、对数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·第四章函数应用·1、函数与方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、实际问题的函数建模◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步·1、简单几何体◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、三视图◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、直观图◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、空间图形的基本关系与公理◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、平行关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、垂直关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、简单几何体的面积和体积◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、面积公式和体积公式的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章解析几何初步·1、直线与直线的方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、圆与圆的方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、空间直角坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修三·第一章统计·1、统计活动：随机选取数字◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、从普查到抽样◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、抽样方法◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、统计图表◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、数据的数字特征◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、用样本估计总体◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、统计活动：结婚年龄的变化◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、相关性◎好◎一般◎较差◎完全不会·9、最小二乘法◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章算法初步·1、算法的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、算法的基本结构及设计◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、排序问题◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、几种基本语句◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章概率·1、随机事件的概率◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、古典概型◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、模拟方法――概率的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·1、周期现象与周期函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、角的概念的推广◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、弧度制◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、正弦函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、余弦函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、正切函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、函数的图像◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、同角三角函数的基本关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章平面向量·1、从位移、速度、力到向量◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、从位移的合成到向量的加法◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、从速度的倍数到数乘向量◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、平面向量的坐标◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、从力做的功到向量的数量积◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、平面向量数量积的坐标表示◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、向量应用举例◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章三角恒等变形·1、两角和与差的三角函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、二倍角的正弦、余弦和正切◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、半角的三角函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、三角函数的和差化积◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、三角函数的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修五·第一章数列·1、数列的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、数列的函数特性◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、等差数列◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、等差数列的前n项和◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、等比数列◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、等比数列的前n项和◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、数列在日常经济生活中的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章解三角形·1、正弦定理与余弦定理正弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、正弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、余弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、三角形中的几何计◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、解三角形的实际应用举例◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章不等式·1、不等关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·1.1、不等式关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·1.2、比较大小◎好◎一般◎较差◎完全不会2，一元二次不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会·2.1、一元二次不等式的解法◎好◎一般◎较差◎完全不会·2.2、一元二次不等式的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、基本不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.1 基本不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会·3.2、基本不等式与最大（小）值◎好◎一般◎较差◎完全不会4 线性规划·4.1、二元一次不等式与平面区◎好◎一般◎较差◎完全不会·4.2、简单线性规划◎好◎一般◎较差◎完全不会·4.3、简单线性规划的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会选修1-1第一章常用逻辑用语1命题◎好◎一般◎较差◎完全不会2充分条件与必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1充分条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2．3充要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2存在量词与特称命题◎好◎一般◎较差◎完全不会3．3全称命题与特称命题的否定◎好◎一般◎较差◎完全不会4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非4．1逻辑联结词“且◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2逻辑联结词“或◎好◎一般◎较差◎完全不会4．3逻辑联结词‘‘非◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章圆锥曲线与方程1椭圆◎好◎一般◎较差◎完全不会1．1椭圆及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会1．2椭圆的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2抛物线2．1抛物线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2抛物线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会3 曲线3．1双曲线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2双曲线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率◎好◎一般◎较差◎完全不会2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2导数的几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会3计算导数◎好◎一般◎较差◎完全不会4导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章导数应用4．1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会选修1-2第一章统计案例1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2相关系数◎好◎一般◎较差◎完全不会1.3可线性化的回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会2独立性检验2.1条件概率与独立事件◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 独立性检验◎好◎一般◎较差◎完全不会2.3独立性检验的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会2.4独立性检验的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章框图1 流程图◎好◎一般◎较差◎完全不会2结构图◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章推理与证明1 归纳与类比◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1归纳推理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2类比推理◎好◎一般◎较差◎完全不会2 数学证明◎好◎一般◎较差◎完全不会3 综合法与分析法3.1综合法◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2分析法◎好◎一般◎较差◎完全不会4反证法◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1数的概念的扩充◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2复数的有关概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2复数的四则运算2.1复数的加法与减法◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2复数的乘法与除法◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-1第一章常用逻辑用语1 命题◎好◎一般◎较差◎完全不会2 充分条件与必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会3 全称量词与存在量词◎好◎一般◎较差◎完全不会4 逻辑联结词“且”“或”“非”◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章空间向量与立体几何1 从平面向量到空间向量◎好◎一般◎较差◎完全不会2 空间向量的运算◎好◎一般◎较差◎完全不会3 向量的坐标表示和空间向量◎好◎一般◎较差◎完全不会4 用向量讨论垂直与平行◎好◎一般◎较差◎完全不会5 夹角的计算◎好◎一般◎较差◎完全不会6 距离的计算◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章圆锥曲线与方程1 椭圆1．1 椭圆及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会1．2 椭圆的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2 抛物线2．1 抛物线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2 抛物线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2 双曲线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会4 曲线与方程4．1 曲线与方程◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2 圆锥曲线的共同特征◎好◎一般◎较差◎完全不会4．3 直线与圆锥曲线的交点◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-2第一章推理与证明1 归纳与类比◎好◎一般◎较差◎完全不会2 综合法与分析法◎好◎一般◎较差◎完全不会3 反证法◎好◎一般◎较差◎完全不会4 数学归纳法◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章变化率与导数1 变化的快慢与变化率◎好◎一般◎较差◎完全不会2 导数的概念及其几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1导数的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2导数的几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会3 计算导数◎好◎一般◎较差◎完全不会4 导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4.2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会5 简单复合函数的求导法则◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章导数应用1 函数的单调性与极值◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1导数与函数的单调性◎好◎一般◎较差◎完全不会2 导数在实际问题中的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1实际问题中导数的意义◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2最大、最小值问题◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章定积分1 定积分的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1定积分背景-面积和路程问题◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2定积分◎好◎一般◎较差◎完全不会2 微积分基本定理◎好◎一般◎较差◎完全不会3 定积分的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会3.1平面图形的面积◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2简单几何体的体积◎好◎一般◎较差◎完全不会第五章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1数的概念的扩展◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2复数的有关概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2 复数的四则运算◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1复数的加法与减法◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2复数的乘法与除法◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-3第一章计数原理1.分类加法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 分类加法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2 分步乘法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会2.排列2.1 排列的原理◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 排列数公式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.组合3.1 组合及组合数公式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2 组合数的两个性质◎好◎一般◎较差◎完全不会4.简单计数问题◎好◎一般◎较差◎完全不会5.二项式定理5.1 二项式定理◎好◎一般◎较差◎完全不会5.2 二项式系数的性质◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章概率1.离散型随机变量及其分布列◎好◎一般◎较差◎完全不会2.超几何分布◎好◎一般◎较差◎完全不会3.条件概率与独立事件◎好◎一般◎较差◎完全不会4.二项分布◎好◎一般◎较差◎完全不会5.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差◎好◎一般◎较差◎完全不会5.2 离散型随机变量均值与方差◎好◎一般◎较差◎完全不会6.正态分布6.1 连续型随机变量◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章统计案例1.回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2 相关系数◎好◎一般◎较差◎完全不会1.3 可线性化的回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会2.独立性检验2.1 独立性检验◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 独立性检验的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会2.3 独立性检验的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-1第一章直线、多边形、圆1.全等与相似◎好◎一般◎较差◎完全不会2.圆与直线◎好◎一般◎较差◎完全不会3.圆与四边形◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章圆锥曲线1.截面欣赏◎好◎一般◎较差◎完全不会2.直线与球平面与球的位置◎好◎一般◎较差◎完全不会3.柱面与平面的截面◎好◎一般◎较差◎完全不会4.平面截圆锥面◎好◎一般◎较差◎完全不会5.圆锥曲线的几何性质◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-4第一章坐标系1 平面直角坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会2 极坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会3 柱坐标系和球坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章参数方程1 参数方程的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2 圆锥曲线的参数方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3 参数方程化成普通方程◎好◎一般◎较差◎完全不会4 平摆线和渐开线◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-5第一章不等关系与基本不等式l不等式的性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2含有绝对值的不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3平均值不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会4不等式的证明◎好◎一般◎较差◎完全不会5不等式的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章几个重妻的不等式1柯西不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会2排序不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3数学归纳法◎好◎一般◎较差◎完全不会。
复数和平面向量知识点总结
复数和平面向量知识点总结一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数是形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。
1.2 复数的加减法复数的加减法与实数类似，直接对应实部和虚部进行运算。
1.3 复数的乘法复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i1.4 共轭复数若 z=a+bi，则其共轭复数为 z* =a-bi。
共轭复数的性质是 z*z = |z|² = a² + b²，其中 |z| 表示z 的模。
1.5 复数的除法复数的除法可以借助共轭复数进行运算。
1.6 复数的几何意义复平面上，复数 a+bi 对应于坐标为 (a, b) 的点，即复数与点的对应关系。
复数的模 |z| 对应于复平面上点到原点的距离，幅角 arg(z) 对应于复平面上与正实轴的夹角。
二、平面向量的定义和性质2.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，通常用 (x, y) 表示。
其中 x 和 y是有向线段在 x 轴和 y 轴上的投影长度。
2.2 平面向量的加法平面向量的加法采用平行四边形法则，也可以通过坐标表示进行运算。
2.3 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为a•b = |a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 是向量的模，θ 是 a 和 b 的夹角。
2.4 平面向量的叉乘平面向量的叉乘定义为a×b = |a||b|sinθn，其中 n 是向量 a 和 b 所在平面上的法向量。
2.5 平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等领域，包括力、速度、位移等概念。
三、复数与平面向量的关系3.1 复数与平面向量的对应关系复数 z=a+bi 可以看作是平面向量 (a, b)，二者之间存在一一对应的关系。
3.2 复数与平面向量的加法和乘法复数的加法和乘法与平面向量的加法和数量积类似，可以通过坐标表示进行运算。
高中数学复数与向量的运算
高中数学复数与向量的运算复数与向量是高中数学中重要的概念与工具，在数学的各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍复数与向量的基本概念和运算，以及它们在数学中的应用。
一、复数的基本概念与运算1.1 复数的定义复数由实部和虚部构成，通常表示为z=a+bi。
其中，a称为实部，b 称为虚部，i为虚数单位，i满足i²=-1。
1.2 复数的运算复数的四则运算与实数类似，只需注意虚部之间的运算即可。
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，其中a1、b1、a2、b2为实数，则复数的运算如下：- 加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i- 减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i- 乘法：z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i- 除法：z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2²+b2²)+((a2*b1-a1*b2)/(a2²+b2²))i1.3 共轭复数若z=a+bi是一个复数，则它的共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数是复数的实部不变，虚部取相反数的结果。
1.4 复数的模与参数对于复数z=a+bi，它的模记作|z|=√(a²+b²)，参数记作θ=tan⁻¹(b/a)。
模表示复数的绝对值大小，参数表示复数所在的极坐标角度。
二、向量的基本概念与运算2.1 向量的定义向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在空间中，向量可以表示为一个有序数组(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃为实数。
2.2 向量的表示与坐标在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有向线段，起点为原点，终点为箭头所指向的位置。
向量也可以通过坐标表示，例如向量AB可以表示为向量→AB=(x₂-x₁, y₂-y₁)。
2.3 向量的加法与减法向量的加法和减法操作可以通过将向量首尾相接的方法进行。
设向量→A=(x₁, y₁)，→B=(x₂, y₂)，则向量的加法和减法如下：- 加法：→A+→B=(x₁+x₂, y₁+y₂)- 减法：→A-→B=(x₁-x₂, y₁-y₂)2.4 向量的数量积与向量积向量的数量积又称为点积，表示为→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ为→A和→B之间的夹角。
1.2.11.1.2复平面及复数的几何意义
二、复数向量表示法
y
1 点表示法
y
复数 z x i y 可以由复平面上
的点(x , y)表示。
O
2 向量表示法
y
复数 z x i y 还可以由
y
从原点指向点P 的向量 OP 表示。
O
z xiy
x, y
x
x
z xiy
P x, y
x
x
三、复数的模与辐角
1.模
若 z x i y 是一个不为0 y
1 复平面的定义 2 复数的表示法 3 复数的模与辐角
一、复平面的定义
一个复数 z x i y 由一个有序实数对(x , y)唯一确定，
而有序实数对与平面上的点一一对应。
因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来 表示全体复数，横轴上的点表示实数，称为实轴； 虚轴上的点表示纯虚数，称为虚轴，该坐标平面 称为复平面或 z 平面。
y
z2
z1
z1
O
x
O
x
z1 z2
显然，z1 z2 表示两点 z1和z2 z2 之间的距离。
三、复数的模与辐角
2. 辐角
y
以正实轴为始边，以向量 y
OP 为终边的角的弧度数
叫做 z 的辐角x, y
x
x
三、复数的模与辐角
2. 辐角
说明：
① 复数的辐角有无穷多个值；
x 0, y 0 x 0, y 0
其中 π arctan y π .
2
x2
的复数，将其所对应的向量 y
OP 的长度称为 z 的模，
z r
z xiy
P x, y
记作 z x2 y2 .
O
x
高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1.2复数的几何意义课件北师大版必修第二册
§1 复数的概念及其几何意义
复数的几何意义
课程标准
核心素养
通过本节的学习，培养学生从数量
1．通过类比实数的几何意义来理 与数量、图形与图形关系中抽象出
解复数的几何意义．
数学概念及概念之间的关系，从事
2．理解复数的两种几何意义． 物的具体背景中抽象出一般规律和
3．了解复数模的意义.
结构，并用数学语言予以表征的素
A．1或3
B．1
( A)
C．3
D．2
[解析] 依题意可得 m－32＋m－12＝2，解得 m＝1 或 3，故选 A．
3．(2021·天津模拟)若复数 z＝32－12i，则其复数 z (z 与 z 的实部相等，
虚部互为相反数)在复平面内对应的点位于
(A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应
的点不可能位于
( B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)z＝－1－2i 对应点 Z(－1，－2)，位于第三象限. (2)复数 z＝(3m－2)＋(m－1)i 在复平面内的对应点 P(3m－2，m－1)， 当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<23时，P 在第三象限，当23<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝23时，P 在 y 轴上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B．
[解析] (1)∵A(－1,2)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－2)，∴向量O→B对 应的复数为－1－2i.
(2)因为复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量O→A与O→B，所以O→A＝(4,3)， O→B＝(－2，－5)，又A→B＝O→B－O→A＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所 以向量A→B表示的复数是－6－8i.
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1.2 复数的有关概念
【选题明细表】
基础达标
1.下面给出4个不等式,其中正确的是( C )
(A)3i>2i (B)|2+3i|>|1-4i|
(C)|2-i|>2i4(D)i2>-i
解析:∵不全是实数的两个复数不能比较大小,
∴选项A、D都是错误的.
∵|2+3i|=,|1-4i|=,>,
即|2+3i|<|1-4i|,
∴选项B是错误的.
∵|2-i|=,2i4=2,
∵>2,
∴|2-i|>2i4.故选C.
2.在复平面内,复数z=-2+3i-i2对应的点位于( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:z=-2+3i-i2=-2+3i-(-1)=-1+3i,对应点坐标为(-1,3).故选B.
3.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点位于虚轴上,则实数m的值为( C )
(A)-1 (B)4
(C)-1或4 (D)-1或6
解析:由题意可得m2-3m-4=0,解得m=-1或m=4.故选C.
4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( C )
(A)1 (B)1或-4
(C)-4 (D)0或-4
解析:⇒a=-4.故选C.
5.(2012年温州高二检测)已知复数z1,z2在复平面内对应的点依次为
A、B,O为原点,若z1=1+i,△AOB是以角O为直角的等腰直角三角形,且点B在第二象限,则z2= .
解析:如图所示,点A、B关于虚轴对称,故B(-1,1),
∴z2=-1+i.
答案:-1+i
6.若复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,t),且|z|≤,那么实数t满足的条件是.
解析:由已知得≤,解得-2≤t≤2.
答案:-2≤t≤2
7.已知复数z=x-2+yi(x,y∈R)的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是.
解析:由=2,得(x-2)2+y2=8.
答案:(x-2)2+y2=8
能力提升
8.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k的值
为.
解析:∵只有两个实数才可以比较大小.
又∵z<0,k∈R,
∴
解得k=2.
答案:2
9.已知a∈R,复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应的点的轨迹是什么?
解:∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,
-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴复数z的实部为正数,虚部为负数,
因此,复数z的对应点在第四象限.
设z=x+yi(x、y∈R),
则
消去a2-2a得:y=-x+2(x≥3).
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线,方程为y=-x+2(x≥3).。