向量和矩阵范数及其应用
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
20:22
16/16
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11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
第五章--向量范数和矩阵范数
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
向量范数生成的矩阵范数
向量范数生成的矩阵范数矩阵范数在矩阵分析、系统理论、数值逼近等领域有着广泛的应用。
矩阵的范数是一个数学工具，用于度量矩阵的大小或者多样性。
它是矩阵理论中重要的概念之一，具有很多有用的性质。
矩阵范数的定义有很多种不同的形式，其中一种常见的定义是通过向量范数来生成的。
本文重点介绍向量范数生成的矩阵范数的定义、性质和应用。
一、向量范数的定义向量范数是将一个向量映射到非负实数的函数。
常用的向量范数包括欧几里得范数、曼哈顿范数、p-范数、无穷范数等。
以二维向量为例，这些向量范数的定义如下：1. 欧几里得范数：||x||₂ = sqrt(x₁² + x₂²)，其中x=(x₁,x₂)。
2. 曼哈顿范数：||x||₁ = |x₁| + |x₂|。
向量范数满足以下条件：1. 非负性：对于所有的向量x，||x||≥0，且等号成立当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的向量x和标量a，||ax|| = |a|||x||。
3. 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y||≤||x||+||y||。
给定一个矩阵A∈R^(m×n)，我们可以通过向量范数定义一种矩阵范数，记作||A||。
向量范数生成的矩阵范数定义如下：||A|| = sup{||Ax|| : x∈R^n, ||x||=1}。
其中||x||=1是指x的范数等于1，sup表示取最大值。
也就是说，矩阵A的范数等于将所有满足x的范数为1的向量Ax的范数取最大值。
4. Frobenius范数：||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|²)。
其中，1-范数和无穷范数是矩阵列向量和行向量的范数的最大值和最大值，而2-范数就是矩阵的谱半径。
Frobenius范数是矩阵元素绝对值平方和的开方。
三、性质和应用和向量范数一样，向量范数生成的矩阵范数也具有一些重要的性质，它们包括：3. 子多项式不等式：对于所有的矩阵A和所有次数不超过n的多项式p，有||p(A)||≤ ||p||_∞||A||。
向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法（norm）
向量与矩阵的范数及其在matlab中的⽤法（norm）⼀、常数向量范数L0范数‖x‖0def=向量中⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum( x(:) ~= 0 )L1范数‖x‖1def=m∑i=1|x i|=|x1|+⋯+|x m|，即向量元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：norm(x, 1)L2范数‖x‖2=(|x1|2+⋯+|x m|2)1/2，即向量元素绝对值的平⽅和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(x, 2)L∞范数极⼤⽆穷范数‖x‖∞=max{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(x, inf)极⼩⽆穷范数‖x‖∞=min{|x1|,⋯,|x m|}，即所有向量元素绝对值中的最⼩值其在matlab中的⽤法：norm(x, -inf)⼆、矩阵范数诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。
1. 诱导范数L1范数（列和范数）‖A‖1=max1⩽j⩽nm∑i=1{|a ij|}，即所有矩阵列向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,1)L2范数‖A‖2=λi，其中λi为A T A的最⼤特征值。
其在matlab中的⽤法：norm(A,2)L∞范数（⾏和范数）‖A‖∞=max1⩽i⩽mn∑j=1{|a ij|}，即所有矩阵⾏向量绝对值之和的最⼤值其在matlab中的⽤法：norm(A,inf)2. "元素形式"范数L0范数‖A‖0def=矩阵的⾮零元素的个数其在matlab中的⽤法：sum(sum(A ~= 0))L1范数‖A‖1def=m∑i=1n∑j=1|a ij|，即矩阵中的每个元素绝对值之和其在matlab中的⽤法：sum(sum(abs(A)))L F范数‖A‖F def=(m∑i=1n∑j=1|a ij|2)1/2，即矩阵的各个元素平⽅之和后开⽅其在matlab中的⽤法：norm(A,'fro')L∞范数√‖A‖∞=maxi=1,⋯,m;j=1,⋯,n{|a ij|}，即矩阵的各个元素绝对值的最⼤值其在matlab中的⽤法：max(max(abs(A)))核范数‖A‖∗=n∑i=1λi，λi为A的奇异值，即所有矩阵奇异值之和其在matlab中的⽤法：sum(svd(A))本⽂作者：本⽂为作者原创，转载请注明出处。
矩阵范数理论及其应用
第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。
(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。
(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。
则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。
易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。
若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。
例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。
分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。
向量和矩阵的范数
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||
1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||
max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数
n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij
矩阵的范数
矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念，它是用来衡量矩阵大小的一种方式。
范数是一种将矩阵（或向量）映射到非负实数的函数，反映矩阵（或向量）的大小。
在实际应用中，矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。
矩阵范数的定义比较抽象，但其有严格的数学定义。
在此先介绍一下向量范数，然后再拓展到矩阵范数的定义。
1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。
向量范数必须满足以下性质：（1）非负性：对于所有向量x，有||x||>=0。
（2）同一性：当且仅当x=[0,0,...,0]时，有||x||=0。
（3）绝对值：||x||=|-x|。
（4）三角不等式：对于所有向量x和y，有||x+y||<=||x||+||y||。
常见的向量范数有：（2）L2范数：||x||2=√(∑xi^2)。
矩阵范数类似于向量范数，也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。
矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质（非负性、同一性、绝对值、三角不等式），同时还需要满足以下性质：（5）齐次性：对于所有矩阵A和实数t，有||tA||=|t|||A||。
（2）谱范数：||A||2=max|λi|，其中λi为A的特征值。
（5）核范数：||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A)，其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。
其中，Frobenius范数是最常用的矩阵范数，它等价于将矩阵展开成一个向量，然后计算向量的L2范数。
谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。
一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数，它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。
核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。
总之，矩阵范数是一种十分有用的工具，它不仅可以度量矩阵的大小，而且可以用于求解许多数学问题，如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
范数
（假定A 可逆）
max ( x ) T x =1 ） （3 = A 1 A min ( x ) A
x =1
（假定A 可逆）
例 3.3.1
x2 x2
T ( z2 )
T(z1)
z2
z1 x1 x1
(a) 单位圆 （b）单位圆在线性变换下的像
矩阵从属范数在逼近论中的应用
例 3.2.5
3.3 范数的应用
3.3.1 线性变换的误差分析 设T是线性变换，A是与之对应的矩阵，即
T( x ) = Ax
下面我们研究在此线性变换下“单位圆” 的象。
的结论：
x =1 x =1
（） ( x ) = max = A 1 max T Ax
1 A
1
Ax （2 min ( x ) = min = ） T
若令 u =
x x v
，则
u
v
=1
，此时
Ax x
v
v
x = A x v
= Au
v
v
因此，我们可得到如下结论。
定理3.2.1
A = max Ax
x =1
v
定理3.2.2 任意从属范数都是范数，即对 A ∈ C m × n ， ∈ C m × n ， C ∈ C n× p B 任意 λ ∈ C ，都有：
设 A∈ R
n×n
b ∈ R n×1 非奇异， ，考虑如下线性
方程组 Ax = b . 由于误差，设用Gauss消去法得到的解 为
x ，满足 ( A + E ) x = b
∧
∧
其中E是由舍入引
起的误差矩阵.
设机器的有效数字为t，则
∧ ∧
向量范数和矩阵范数
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
范数的计算公式范文
范数的计算公式范文范数（Norm）是衡量向量或矩阵大小的一种数值度量方式。
在数学和工程领域中，范数有着广泛的应用，例如在线性代数、函数分析、优化算法等领域。
本文将介绍范数的定义、常见的范数计算公式，并对范数的性质和应用进行讨论。
一、范数的定义在数学中，范数是定义在线性空间上的函数，通常满足以下几个性质：1.非负性：对于任意向量x，其范数的值始终大于等于0，即∥x∥≥0，并且当且仅当x等于零向量时，范数的值为0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，范数的值满足∥αx∥=，α，∥x∥。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，范数的值满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
常见的范数计算公式有L1范数、L2范数、无穷范数等。
二、L1范数L1范数，也称为曼哈顿范数（Manhattan norm），用于衡量向量元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L1范数的计算公式为：∥x∥1=，x1，+，x2，+...+，xn三、L2范数L2范数，也称为欧几里德范数（Euclidean norm），用于衡量向量的长度。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L2范数的计算公式为：∥x∥2=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)四、无穷范数无穷范数，也称为最大范数（Maximum norm），用于衡量向量元素绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，无穷范数的计算公式为：∥x∥∞=max(，x1，,，x2，,...,，xn，)五、其他范数除了L1范数、L2范数和无穷范数外，还存在其他范数，如p范数和F范数等。
p范数是Lp范数的一般化，定义为：∥x∥p=(，x1，^p+，x2，^p+...+，xn，^p)^(1/p)F范数是针对矩阵的范数，也称为Frobenius范数。
对于m×n矩阵A，F范数的计算公式为：∥A∥F=√(∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)，a_ij，^2)六、范数的性质范数具有一些重要的性质，如：1.三角不等式：对于任意向量x和y，范数满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数与向量长度
范数与向量长度
一、范数的概念
在数学中，范数是一种衡量向量或矩阵大小的方法。
它的定义具有以下性质：
1. 非负性：对于任意的向量或矩阵x，其范数大于等于0。
2. 齐次性：对于任意的标量α和向量或矩阵x，有αx的范数等于|α|乘以x的范数。
3. 三角不等式：对于任意的向量或矩阵x和y，有x+y的范数小于等于x的范数加上y的范数。
二、向量长度与向量范数的关系
向量长度是向量的一个特殊范数，即L2范数。
向量的L2范数定义为其元素的平方和的平方根。
具体而言，对于一个n维的向量x，其L2范数为√(x₁² + x₂² + ... + xn²)。
向量长度表示了从原点到向量所代表的点的距离。
值得注意的是，除了L2范数外，还有其他的范数可以用来衡
量向量的大小。
常用的范数还包括L1范数、无穷范数等。
三、范数的应用
范数在数学、工程和机器研究等领域具有广泛的应用。
以下是
范数的一些典型应用场景：
1. 向量正则化：在机器研究中，通过对权重向量添加范数约束，可以控制模型的复杂度，避免过拟合。
2. 特征选择：通过计算特征向量的范数，可以评估其对目标变
量的贡献，从而选择出重要的特征。
3. 图像处理：范数可以用来度量图像之间的相似性，并用于图
像去噪、图像压缩等领域。
四、结论
范数是衡量向量或矩阵大小的一种方法，向量的长度是其中一
种常见的范数，表示了向量所代表点的距离。
范数在数学和多个应
用领域中发挥着重要作用，帮助解决各种问题。
a—b的范数 (2)
a—b的范数引言概述：在数学中，a—b的范数是一种用来衡量向量或矩阵的大小的方法。
它是通过对向量或矩阵中的元素进行求和、开方和取绝对值等操作得到的。
本文将详细阐述a—b的范数的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
正文内容：1. 概念解释1.1 a—b的范数是指将向量或矩阵中的每个元素的绝对值的p次方进行求和后再开p次方。
其中，p为范数的阶数。
1.2 当p为1时，a—b的范数被称为L1范数，它表示向量或矩阵中所有元素的绝对值之和。
1.3 当p为2时，a—b的范数被称为L2范数，它表示向量或矩阵中所有元素的平方和的平方根。
1.4 当p为无穷大时，a—b的范数被称为无穷范数，它表示向量或矩阵中所有元素的绝对值的最大值。
2. 计算方法2.1 对于向量a，其L1范数可以通过将向量中的每个元素的绝对值相加得到。
2.2 对于向量a，其L2范数可以通过将向量中的每个元素的平方相加后再开根号得到。
2.3 对于向量a，其无穷范数可以通过找到向量中绝对值最大的元素来得到。
2.4 对于矩阵A，其L1范数可以通过计算矩阵的每一列的L1范数，然后取最大值得到。
2.5 对于矩阵A，其L2范数可以通过计算矩阵的特征值的平方和再开根号得到。
2.6 对于矩阵A，其无穷范数可以通过计算矩阵的每一行的L1范数，然后取最大值得到。
3. 应用领域3.1 在机器学习中，L1范数和L2范数被广泛用于正则化方法，用于控制模型的复杂度和防止过拟合。
3.2 在信号处理中，L1范数被用于稀疏表示，可以帮助提取信号中的重要特征。
3.3 在优化问题中，L1范数被用于约束条件，可以实现稀疏优化。
3.4 在图像处理中，无穷范数被用于图像去噪，可以帮助去除图像中的噪声。
3.5 在统计学中，L2范数被用于最小二乘估计，可以帮助找到最优解。
总结：综上所述，a—b的范数是一种用来衡量向量或矩阵大小的方法。
它可以通过对向量或矩阵中的元素进行求和、开方和取绝对值等操作得到。
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-0.5
0
0.5
1
向量之间的距离
x, y R , d ( x, y ) || x y || 称为x, y之间的距离
n
向量序列的极限
(k ) T x ( k ) ( x1( k ) ,, xn ) Rn ,
ห้องสมุดไป่ตู้
lim xi( k ) xi* , i
k
lim x
k k
x A1b x ' A1b A1e
相容性
A
1
x x ' x
A1e x
A1 e b / A
e A b
A b 1 x
相容性
b Ax b A x
矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
问题二，A 存在扰动： – 给定方程组Ax=b，其解为x*， – 另给定包含误差方程组（A+F）x=b，其解为x’，分析其误差。（A+F可 逆） 令 x’= x*+δx，将方程（A+F）x=b与Ax=b 做差，并展开，得到：
i 1
n
x1 y1
矩阵分析-D.YE
∞-范数:
x x
max | xi | 0
1i n
0 x 0;
x
max | xi || | max | xi || | x
1i n 1i n
x y
1 i n 1 i n
max | xi yi |
2
n
0 3 1 4 1
2
5
2
解:
A 1 max aij
1 j n i 1
n
max{ 2 ,5 ,2} 5
1 j n
A max aij
1i n j 1
max{ 3 , 4 ,2} 4
1i n
由于
A2
max ( AT A)
因此 A F 与 x 2 也是相容的。
2 1 n 1。 i 1 n
1. 矩阵范数不一定是算子（诱导）范数。
|| Ix || || x || x 0, 1, || x || || x ||
而 || I || F
2. 矩阵范数不一定都是相容的。
但不满足相容性。 || A || max aij 是矩阵范数， 例： 1 i , j n
A 0，且 A 0 A 0 ；
A A , R；
A B A B
（3） 三角不等式 ：
例如，令 A F 2 a ij i 1 j 1
n n
1
2
类似于向量的2-范数.
可以验证满足上述条件，称为Frobenius范数,简称F-范数.
由Rayleigh原理， n || x || 2 || x || A 1 || x || 2
矩阵分析-D.YE
范数等价性
对于任何有限维向量空间V上定义的任意两种范数||x||a,
||x||b, 都存在两个与x 无关的正常数C1, C2，使得
x
a
C1 || x || b ,
x (1, 4,3, 1)T
2
max ( AT A)
称A的2 范数
其中max ( AT A )为AT A的特征值的绝对值的最 大值
矩阵分析-D.YE
n n 2 A F aij i 1 j Ax 2 A 2 x
2
1
2
A 2 max ( AT A) A F
2
AF x
矩阵分析-D.YE
范数相容性： 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ,
若x R n , A R n n , 都有
Ax A x
则称所给的向量范数 和矩阵范数 相容；如果
AB
A
B , A, B R nn
则称该矩阵范数 是相容的
x0
Ax 1 x1
max aij ；
1 j n i 1
n
A的每列绝对值之和的最 大值,
(2) A max
x0
称A的列范数
n
Ax x
max aij ；
1i n j 1
A的每行绝对值之和的最 大值, 称A的行范数
(3) A 2 max
x0
Ax 2 x
3.0237
3.6056
AF
292
A1
容易计算 较常使用
A
A2
计算较复杂
AF
较少使用
对矩阵元素的 变化比较敏感 性质较好 使用最广泛
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
| i | ，其中 为 定义：矩阵A的谱半径记为 (A) = max i 1 i n A 的特征根。
性质：对于任意算子范数有： ( A) || A || 证明： 由算子范数相容性可得：
x
b
C 2 || x || a
例 1 求下列向量的各种常用范数
解:
x 1 x1 x2 x4 9 x
x
2
( x1 x2 x4
max xi
1i 4
2
2
2
)
1
2
27 3 3
4
矩阵分析-D.YE
向量范数的几何意义
P大于1，p范数为凸函数
(k )
x R
*
n
lim d ( x ( k ) , x* ) lim || x ( k ) x* || 0
k
矩阵分析-D.YE
矩阵范数
矩阵A R nn 的某个非负实值函数 N ( A) A ，
若对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件： （1） 正定性 ：
（2） 齐次性 ：
且 x
x2 x
矩阵分析-D.YE
向量的能量范数(自行验证, 利用正定矩阵
的分解A = UTU,参见教材第五章课后习题）：
设A R
nn
为对称正定阵， x R n ,
T 1/ 2
N A ( x) x A ( x Ax)
( a ij xi x j )
i , j 1
n
12
1/ p
x1 x2
p
p
1
x1 x2
p
p
1
P小于1，p范数不为凸函数 范数的凸性对求解最优 化问题很重要。 P=5范数 P=0.4范数
x1 sin 2 / p (t ), x2 cos 2 / p (t )
1 0.5 0 -0.5 -1 -1
矩阵分析-D.YE
P=2范数 P=1范数
1 1 2 2 A 如： 1 1 ， 2 2 ， B
4 4 AB 4 4 ，
|| AB || 4
|| A || || B || 2 1 2
矩阵分析-D.YE
例3
求矩阵A的各种常用范数
1 2 A 1 2 0 1
1
矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
例：线性方程组： 2 x1 3.00001x2 8.00002 的解为 x1＝， 1 x2＝2 若方程系数有一个小的扰动， 2 x1 3 x2 8 2 x1 2.99999 x2 8.00003 解此方程得 x1＝8.5， x2＝－3 2 x1 3 x2 8
n
1 p
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
x
p
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
( p 时),
1
所以 x
也是 x p的特例
矩阵分析-D.YE
矩阵的算子（诱导）范数：
N ( A) A v max
x0 xR n
Ax x
v
v
矩阵的算子（诱导）范数满足相容性条件：
(1) Ax
v
A
v
x v；
(2) AB v A v B v (A, B R nn )。
矩阵分析-D.YE
常用的矩阵算子（诱导）范数
(1) A 1 max
|| Ax || || A || || x || 将任意特征值对应的特征向量u带入得： | | || u || || u || || Au || || A || || u || A 由于为任意特征值，则 ( A) max | i | || A ||
矩阵分析-D.YE
因此先求AT A的特征值
1 T A A 2 0 1 0 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 0 1 0 9 1 1 1 2 1
1 1
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
1 性质：(算子范数） || ( E B) ||
1 , 如果 || B || 1 1 || B ||
证明： 如果 || B || 1, 则E B可逆.
否则x* 0, Bx* x*, || B || 1
E ( E B) ( E B) 1 ( E B) 1 B( E B) 1 ( E B) 1 E B( E B) 1 || ( E B) 1 || 1 || B |||| ( E B) 1 || || ( E B) 1 || (1 || B ||) 1 1 || ( E B) || 1 || B ||