高中数学课件—— 微积分基本定理
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
高等数学《微积分基本定理》课件
5.3 微积分基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
高二数学选修课件第章微积分基本定理
例题1
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
《微积分基本定理》课件
证明方法三：使用不定积分和定积分的性质
总结词
利用不定积分和定积分的性质来证明微积分基本定理 。
详细描述
首先，我们知道不定积分的定义是$int f(x) dx = F(x) + C$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，$C$是常 数。然后，根据定积分的性质，我们知道 $int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$。因此，我们可以 将微积分基本定理的结论表示为$int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{Delta x to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x$ ，其中$xi_i$是每个小区间的中点，$Delta x$是每个 小区间的宽度。最后，我们利用不定积分的定义和极 限的性质来证明这个结论。
我们可以将积分看作是计算曲线下方的面积。对于一个给 定的函数，我们可以在坐标系中画出其图像。然后，将积 分区间分成若干个小区间，每个小区间的宽度为$Delta x$ ，高度为$f(x)$。因此，每个小矩形的高度与宽度的乘积 即为该小区间的面积。所有小矩形的面积之和即为整个曲 线下方的面积，即函数的积分值。
广义微积分基本定理的应用
广义微积分基本定理在数学分析和实变函数等领域中有 着重要的应用，例如在证明某些积分的收敛性和求解某 些特殊类型的积分等。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了函数积分与导数之间 的联系，为解决各种问题提供了重要的方法和思路。
微积分基本定理的背景
微积分基本定理的起源可以追溯到17世纪，当 时科学家们开始研究如何求解各种物理问题， 如速度、加速度、面积和体积等。
牛顿和莱布尼茨等科学家在研究这些问题时， 发现了微积分基本定理，从而为解决这些问题 提供了重要的方法和工具。
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的基本定理 课件
0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理课件32高二选修22数学课件
No 移，解决过程就是积分的思想。同学们考虑: 变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系。公式2:
Image
12/8/2021
第二十二页，共二十二页。
第二十页，共二十二页。
课堂 小结 (kètáng)
1.微积分基本定理(dìnglǐ)：
b
a f(x)dxF(b)F(a)
2.
公式1: ab1xdxlnxbalnblna
公式2:
b a
xndx
xn1 n1
b a
2021/12/8
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
4.2 微积分基本定理。(4)通过微积分基本定理的推倒过程,体会数学中以直代曲,化复杂为简单的处理方法.。重点 ： 正确运用基本定理计算简单的定积分。教材首先通过位移与时间(shíjiān)的解析式，求得从时刻a到时刻b，物体走过 的位移为，然后从另外的角度来分析物体走过的位移。在给定的时间(shíjiān)段，物体运动的速度，求物体走过的位
2021/12/8
第四页，共二十二页。
复习 引入 (fùxí)
定积分的概念(gàiniàn)及用定义计算
.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
(fēngē)
以直代曲
作和
逼近
2021/12/8
第五页，共二十二页。
复习 引入 (fùxí)
1.如何确定曲线(qūxiàn)上一点处切线的斜率
4.2 微积分基本 定理 (jīběn)
2021/12/8
第一页，共二十二页。
学习 目标 (xuéxí)
❖ (1)通过实际问题了解微积分基本定理的含义(hányì)，
❖ （2）认识微积ຫໍສະໝຸດ 基本定理的作用❖ (3)会用微积分基本定理求简单函数的定积分
Image
12/8/2021
第二十二页，共二十二页。
第二十页，共二十二页。
课堂 小结 (kètáng)
1.微积分基本定理(dìnglǐ)：
b
a f(x)dxF(b)F(a)
2.
公式1: ab1xdxlnxbalnblna
公式2:
b a
xndx
xn1 n1
b a
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内容(nèiróng)总结
4.2 微积分基本定理。(4)通过微积分基本定理的推倒过程,体会数学中以直代曲,化复杂为简单的处理方法.。重点 ： 正确运用基本定理计算简单的定积分。教材首先通过位移与时间(shíjiān)的解析式，求得从时刻a到时刻b，物体走过 的位移为，然后从另外的角度来分析物体走过的位移。在给定的时间(shíjiān)段，物体运动的速度，求物体走过的位
2021/12/8
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复习 引入 (fùxí)
定积分的概念(gàiniàn)及用定义计算
.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
(fēngē)
以直代曲
作和
逼近
2021/12/8
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复习 引入 (fùxí)
1.如何确定曲线(qūxiàn)上一点处切线的斜率
4.2 微积分基本 定理 (jīběn)
2021/12/8
第一页，共二十二页。
学习 目标 (xuéxí)
❖ (1)通过实际问题了解微积分基本定理的含义(hányì)，
❖ （2）认识微积ຫໍສະໝຸດ 基本定理的作用❖ (3)会用微积分基本定理求简单函数的定积分
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1.6 微积分基本定理（一）
复习引入
问题1：定积分的概念； 问题2：用定义计算定积分的步骤.
新课讲授
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)（ v(t) ≥0），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的 路程可用 速度函数 表示为
T2
v ( t )dt .
T1
0
2
sinxdx;
( 3)
2
0
sinxdx .
例题讲解
例3.汽车以每小时32公里速度行驶，到 某处需要减速停车.设汽车以等减速度 a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少距离？
课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与 路程的关系以及图形得出了特殊情况 下的牛顿——莱布尼兹公式成立，进 而推广到了一般的函数，得出了微积 分基本定理，得到了一种求定积分的 简便方法，运用这种方法的关键是找 到被积函数的原函数，这就要求大家 前面的求导数的知识比较熟练，希望， 不明白的同学，回头来多复习！
(1)
2
பைடு நூலகம்
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
例题讲解
例1.计算下列定积分：
(1)
2
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
练习.
计算
1 0
x dx .
2
例题讲解
例2.计算下列定积分：
(1) sin xdx; ( 2)
a b
若上式成立，我们就找 到了用f ( x )的 原函数(即满足F ( x ) f ( x ))的数值差F ( b ) F ( a )来计算f ( x )在[a , b]上的定积分的方法 .
新课讲授
定理：
如果函数F ( x )是[a , b]上的连续函数 f ( x )的任意一个原函数，则
新课讲授
另一方面，这段路程还可以通过位置 函数S(t)在[T1,T2] 上的增量S(T1)－S(T2) 来 表达，即
T2
v ( t )dt
T1
S (T1 ) S (T2 ).
而S ( t ) v ( t ).
新课讲授
对于一般函数 f ( x )，设F ( x ) f ( x )， 也有 f ( x )dx F ( b ) F (a )
课后作业
《学案》与《习案》.
b
f ( x )dx F (b ) F (a ).
b
a
为了方便起见，还常用 F ( x ) |a 表示 F ( b ) F ( a )，即
b
a
f ( x )dx F ( x ) |a F ( b ) F ( a ).
b
微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.
例题讲解
例1.计算下列定积分：
复习引入
问题1：定积分的概念； 问题2：用定义计算定积分的步骤.
新课讲授
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)（ v(t) ≥0），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的 路程可用 速度函数 表示为
T2
v ( t )dt .
T1
0
2
sinxdx;
( 3)
2
0
sinxdx .
例题讲解
例3.汽车以每小时32公里速度行驶，到 某处需要减速停车.设汽车以等减速度 a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少距离？
课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与 路程的关系以及图形得出了特殊情况 下的牛顿——莱布尼兹公式成立，进 而推广到了一般的函数，得出了微积 分基本定理，得到了一种求定积分的 简便方法，运用这种方法的关键是找 到被积函数的原函数，这就要求大家 前面的求导数的知识比较熟练，希望， 不明白的同学，回头来多复习！
(1)
2
பைடு நூலகம்
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
例题讲解
例1.计算下列定积分：
(1)
2
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
练习.
计算
1 0
x dx .
2
例题讲解
例2.计算下列定积分：
(1) sin xdx; ( 2)
a b
若上式成立，我们就找 到了用f ( x )的 原函数(即满足F ( x ) f ( x ))的数值差F ( b ) F ( a )来计算f ( x )在[a , b]上的定积分的方法 .
新课讲授
定理：
如果函数F ( x )是[a , b]上的连续函数 f ( x )的任意一个原函数，则
新课讲授
另一方面，这段路程还可以通过位置 函数S(t)在[T1,T2] 上的增量S(T1)－S(T2) 来 表达，即
T2
v ( t )dt
T1
S (T1 ) S (T2 ).
而S ( t ) v ( t ).
新课讲授
对于一般函数 f ( x )，设F ( x ) f ( x )， 也有 f ( x )dx F ( b ) F (a )
课后作业
《学案》与《习案》.
b
f ( x )dx F (b ) F (a ).
b
a
为了方便起见，还常用 F ( x ) |a 表示 F ( b ) F ( a )，即
b
a
f ( x )dx F ( x ) |a F ( b ) F ( a ).
b
微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.
例题讲解
例1.计算下列定积分：