《高等数学Ⅰ》12级半期测试题(极限导数)及答案
《高等数学》测试题DY(附答案)
《高等数学》测试题DY（附答案）【编号】ZSWD2023B0067一．选择题1.函数y=112x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x)=cosx+1,则f(x)为（ ）A 2x 2－2B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)= 为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212 }4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6． 1)1sin(lim 21x x x （ ）A.1B.0C.2D.1/27．设 x x xk1(lim e 6 则k=( )A.1B.2C.6D.1/68.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x2-1B. x3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（ ）A、B、eC、-eD、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（ ）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（ ）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（ ）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（ ）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（ ）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（ ）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a， 则f`(-x)=（ ）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑ ，则y’|x=0=（ ）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）A、-1B、0C、1D、 不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（ ）A、0B、1/ ㏑2C、1D、 ㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（ ）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（ ）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（ ）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A、0B、-dxC、dxD、 不存在36、极限ln 11(lim 1xx x x 的未定式类型是（ ）A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限 012sin lim( x x xx 的未定式类型是（ ）A、00型B、0/0型C、1∞型 D、∞0型38、极限 xx x x sin 1sinlim20=（ ）A、0B、1C、2D、不存在39、x x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x的（ ）A、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（ ）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（ ）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（ ）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（ ）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（ ）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（ ）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限1lim x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ） 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点轨迹方程（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
12级高数(i)期末考试题a卷及答案.doc
西南财经大学本科期末考试试卷（A）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第1学期专业：全校各专业学号：年级：2012 姓名：考试时间：2012年月曰（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［7］开卷［］（____ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：计算器［］字典［］__________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩〉考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌而左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
-、填空题（每小题2分，共20分）Vsinx + 1 -1 门--------------- x 01.函数/(%) = < ln(l + x) _____________ 在兀=0处连续，贝％二ax = 02. 设厂(1) = 3,则 lim /(1)7(1-力) __________________ . 2 X 3・1HB 竺fZ 1 -兀2兀2 —14. ____________________________________________ 函数门劝=—的无穷间断点为 _________________________________________________ ・— 3x + 25•设/(x)可导 y = f(e x ),则 y"=7. _____________________________________________________ 已知 f\e x) = \ + x,则/(x) = ___________________________________________________ . 8・a= ___________ , b = ____________ 时，点(1,3)是曲线y = ax 3+bx 2的拐点。
全国名校高考专题训练12导数与极限(解答题3)
全国名校高考专题训练12导数与极限(解答题3)51、已知函数)0(1)1ln()(≥-+-=x x e x f x，（1）求函数)(x f 的最小值； （2）若x y <≤0，求证：)1ln()1ln(1+-+>--y x e yx ．解：（1）)(x f '=11+-x e x ，………………2分 当0≥x 时，111,1≤+≥x e x ，所以当0≥x 时，)(x f '0≥，则函数)(x f 在[)∞+,0上单调递增，所以函数)(x f 的最小值0)0(=f ；…………………………5分（2）由（1）知，当0>x 时，0)(>x f ，∵y x >， ∴01)1ln()(>-+--=--y x ey x f yx ，)1ln(1+->--y x e y x ①……7分∵011)(ln)]1ln()1[ln()1ln(≥+++-=+-+-+-x x y x y y x y x ，∴)1ln()1ln()1ln(+-+≥+-y x y x ②………………………10分 由①②得)1ln()1ln(1+-+>--y x eyx …………………………12分52、(某某省某某市2008年上期末质量评估)已知函数f (x)＝x 2＋2ax ，g(x)＝3a 2lnx ＋b,其中a>0．设两曲线y ＝f (x)，y ＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同． (Ⅰ)用a 表示b ；(Ⅱ)求证：f (x)≥g(x)，(x>0)．53、(某某省某某九中2008年第三次模拟考试)已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值，（1）某某数a 的值；（2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间]2,0[上恰有两个不同的实数根，某某数b 的取值X 围.解：①11)(.)ln()(2--+='∴--+=x ax x f x x a x x f 又1.011,0)0(=∴=-='a a f 即…………4分 由023)ln(25)(2=-+-++-=b x x a x b x x f 得设23211)(,23)1ln()(2+-+='-+-+=x x x g b x x x x g 则即)1(2)1)(54()(+-+-='x x x x g(](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤-+-+=+<>-+-+=≥≤-=∴=+-=<'∈∴>'∈13ln 034)21ln()2(212ln 0231)21ln()1(00)0(2,00)(2,025)(8.)2,1()(,0)()2,1()1,0()(0)()1,0(b b g b b g b b g x g b x x f x g x g x x g x g x 恰有两个不同实数根在得于恰有两个不同实数根等在分上单调递减在当上单调递增在当212ln 13ln +<≤-b …………12分 54、(某某省某某三中2008年高三上期末)已知函数22),1(log 2,2)(232=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=-x x x x a e x f x 在处连续。
2019年四川成人高考专升本-《高等数学(一)》考试真题及答案!
2019年四川成人高考专升本-《高等数学(一)》考试真题及答案!本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.当x→0时，x+x²+x³+x⁴为x的【A】A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【考情点拨】，故x+x²+x³+x⁴是的等价无穷小.2. 【D】A.-e²B.-eC.eD.e²【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】3.设函数y=cos2x，则y'=【B】A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】y'=(cos2x)'=-sin2x·(2x)'=-2sin2x.4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，f'(x)>0，f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内零点的个数为【C】A.3B.2C.1D.0【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点.5.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=【B】A.0B.2C.x²D.x²+C【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知∫f(x)dx=2x+C，故f(x)=(∫f(x)dr)'=(2x+C)'=2.6.设函数f(x) =arctan x，则∫f'(x)dx=【C】A.-arctanx+CB.-(1/(1+x²))+CC.arctanx+CD.(1/(1+x²))+C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】∫f'(x)dx=f(x) +C=arctanx+C7.设则【A】A.I₁>I₂>I₃B.I₂>I₃>I₁C.I₃>I₂>I₁D.I₁>I₃>I₂【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间(0,1)内，有x²>x³>x⁴，由积分的性质可知。
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
高数半期考试题目及答案
高数半期考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在\( x = 1 \)处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 以下哪个选项是\( e^x \)的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \ln(e^x) + C \)答案：A3. 曲线\( y = x^3 \)在点\( (1,1) \)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)答案：A5. 函数\( y = \sin(x) \)的二阶导数是（）。
A. \( \cos(x) \)B. \( -\sin(x) \)C. \( -\cos(x) \)D. \( \sin(x) \)答案：C6. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：C7. 函数\( y = \ln(x) \)的定义域是（）。
A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)答案：B8. 曲线\( y = x^2 \)在点\( (2,4) \)处的法线方程是（）。
A. \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2} \)B. \( y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} \)C. \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \)D. \( y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \)答案：A9. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B10. 函数\( y = \cos(x) \)的不定积分是（）。
高数II试卷级(有答案)
高等数学ＡII 期末考试题（2012级）一、填空题（每小题3分，共12分）1. (,)sin 2cos f x y x y =，则(,)2x f ππ= 。
解：()()(,)sin 2cos sin 2cos =2cos 2cos sin 2sin (,)22x f x y x y x y x y x yf ππ'''=+-∴= 2.设21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 是以2π为周期的函数，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 。
解：易见，x π=是函数的间断点，则在该点处傅里叶级数收敛于221[1(1)]22ππ++-=3.(,)(0,0)lim x y →= 。
解：2(,)(0,0)(,)(,)11lim lim lim 2x y x y x y →→→- 4. 设(2,1,2),b (4,1,10),c b ,a a λ==-=-且a c ⊥，则=λ 。
解：c b (42,1,102),02(42)(1)2(102)03a c a c a λλλλλλλλ=-=----⊥⇒⋅=⇒-+--+-=⇒=二、选择题（每小题3分，共12分）1.幂级数n n ∞=的收敛域是（ ） （Ａ）(1,1]- （Ｂ）(),-∞+∞ （Ｃ）(1,1)- （Ｄ）[1,1)-解：1lim 1n n n n a a ρ+→∞→∞=== 则收敛半径为1 当1x =-时，级数成为n n ∞=，由莱布尼兹审敛法知其收敛当1x =时，级数成为0n ∞=，发散 故收敛域为[1,1)- 选D 2.函数222z x y =+在点（1,1）处的梯度为（ ）（Ａ）42i j + （Ｂ）42i j -+ （Ｃ） 42i j - （Ｄ）42i j -- 解：(1,1)(1,1)(4,2)(4,2)gradf x y == 选A3. 以下命题不正确的是（ ） （Ａ）若11lim >=+∞→ρn n n u u ，则1n n u ∞=∑发散（Ｂ）若1n n u∞=∑收敛，则20131n n u ∞+=∑收敛（Ｃ）若级数1n n u∞=∑收敛，且(n 1,2,)n n u v ≥=L ，则级数1n n v ∞=∑也收敛 （Ｄ）若1(u)n n n v ∞=+∑收敛，则11u n n n n v ∞∞==∑∑，不一定都收敛 注意到C 是正项级数的审敛法。
(完整版)导数测试题(含答案)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之 成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.
高数(一)(极限,导数)
深圳科讯人才培训中心学历部高等数学（一）（极限，导数）单元测试题拟 题 人: 谢 合 垣 姓名: 总分 一、 选择题（每小题2分，共40分）1．设函数f(x)= ln(9 – x 2) ，则f(x)的连续区间是（ ） A ．（-∞, -3） B ．(3, +∞) C ．[-3, 3]D ．(-3, 3) 2. 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ）A ．y=sin |x|B ．y=3sin 2x+1C ．y= - x 3sin xD ．y=(.e x- e – x) / 23. 设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ ） A.2x 2B.x2xC.x 2 xD.2 2 x4. 设函数f (x) 满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ）是极值点。
A.x=x 0及x=x 1都，B.只有x=x 0C.只有x=x 1，D.x=x 0与x=x 1都有可能不 5. =+∞→xx )1x x (lim （ ） A.eB.e - 1C.∞D.16. 设2x 1x e )mx 1(lim =-→，则m =（ ）A.1 / 2B.2C.-2D. – 1 / 27. 当0x →时，2x + x 2 sinx1是x 的（ ）A.等价无穷小B.同阶但不等价的无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小 8. 设函数y =f (x )在点x 0的邻域V (x 0)内可导，如果∀x ∈V (x 0)有f (x )≥f (x 0)，则有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥， B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x f ， D ．0)('0>x f9. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--111)1(3sin x a x x x 在x = 1处连续. a 的值是 （ ）A.1B.-1C.2D.310. 设函数f (22-x ) = e x + 2, 则f ’(x+2) = ( )A.e x+2B.e x+4C.2e x+2D.2e2 x + 411. 下列函数中，在x = 0处不可导的函数f ( x )是（ ）（A ）xx )1l n (+0<≥x x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x 1sin x （C ）⎩⎨⎧+x x x 222 00<≥x x （D ）⎩⎨⎧-1cos sin x x 00<≥x x12. 设)()(x g x f ='，则=)(sin2x f dxd（ ）A. 2g (x ) sin xB. g (sin 2x ) sin2xC. g (sin 2x )D. g (x ) sin 2x 13. 当|x ∆|很小且f’(x 0)0≠,函数在x=x 0处改变量∆y 和微分dy 的关系是( ) A.∆y<dyB. ∆y>dyC. ∆y=dyD. ∆y ≈dy14．设函数y = 150 - 2x 2, 则其弹性函数ExEy =（ ）A ．221504x-， B ．221504xx - C ．150242-xx ， D ．1502422-xx15. =)x (d )x (ln d （ ） A.x2B.x2 C.xx2 D.xx2116. 下列曲线在区间（-∞,+∞）中为凹的是（ ）A. y=ln （1+x 2）,B.y = x 2 - x 3, C.y= cosx, D.y=e - x, 17. 下列等式中正确的是（ ）． A 3233x x x x e d d e =() B -=1d d xx x()12C ln ()x x x d d =1D 2d d x x x=()118． 在[]e ,1上满足拉格朗日中值定理条件的函数()x f 是（ ） A ()1ln -x B21x - C 12-x D ln x ln19. 满足下述何条件,级数∑∞=1n n U 一定收敛（ ）A.有界∑=n1i i UB.0U l i m n n =∞→ C.1r U U limn1n n <=+∞→D.∑∞=1n n |U |收敛20.下列级数中，收敛的是( )A.∑∞=+1n )n 1l n(1B.∑∞=-1)1(1n n n C.∑∞=+111sinn n D.∑∞=+1n 1n 2n二. 填空题(每小题2分,共40分)1. 已知极限14lim231-+--→x ax x x x 存在且有限，则a = ( )2. 极限 x x ox ln lim +→=（ ）3. 函数f(x)=⎩⎨⎧≥+≤≤-1x ,3x 1x 0,1x 2在x =1处间断是因为( )4. 设f(x)=x2x)-ln(1，当补充定义f (0 ) = ( )时，f(x)在x = 0点连续。
高数极限习题测验及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
《高等数学》08级半期测试题(极限导数)及答案1
《高等数学》08级半期测试题（极限导数）及答案1《高等数学ⅰ》半期练习题一、填空：（本题共10个子题，每题2分，总分20分）1、要使f(x)?arccos(cosx?1x2)在x?0处连续，应补充定义f(0)?23?.2.设置Y？f（x）？2x1？x、那么它的反函数f？1（x）[f？1（x）]？的导数？？2（x？2）2。
sinxe2ax1，当x?03、设f(x)??在x?0处连续，则a??1.x??a ，当x?04、若?x?0时?y?f(x0??x)?f(x0)与?x(tan?x?cos2?x)为等价无穷小,则f?(x0)??1.5.位于？0，1? 向上？？（x） ?？0，那么f？（0），f？（1），f（1）？F（0）的大小顺序是F？(0)? f（1）？f（0）？F(1).1 （x？2）阿尔克坦，x？2.6.设置f （x）？？那么左导数f（2）x？2.2.0 ，十、2. 7、 f（x）？2.三十二号？Ln（x？x）的定义是[？2,0]？（1,22]8、设?(x)?x?3x?2,?(x)?c(x?1),且x?1时?(x)~?(x),则c?3,n?2.9、设f(x可)导，则f(1?sinx?)flimx?0x?(1txan?)?2?f(1).n2210.集合f（arctanx）？1.x、那么f呢？（x） ?？2tanxsecx。
二．选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1.做f（x）？（2？x）？22? 2x2英寸X？如果0是连续的，f（0）应该另外定义吗？（a）。
？4.一(a)．0 (b)．e (c)．e (d)．e2.设f(x)?(x?x)(ex?x?1) (x),则f(x)(c).(a)是奇函数而不是偶函数(b)是偶函数而不是奇函数(c)是奇函数又是偶函数(d)非奇函数又非偶函数3.设数列的通项为xn?n?n2n??1?(?1)??，则当n??时，xn是(d).n(a)无穷大量(b)无穷小量(c)有界变量，但不是无穷小(d)无界变量，但不是无穷大4.设置Y？F（x）有一个连续的一阶导数，F（0）已知吗？0，f？(0)? 2，f（1）？2，f？(1)?? 1，f（2）？1，f？(2)? 1，f（3）？3，f？(3)? 1那么？F2.1.（x）？？|十、1.（c）。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
高等数学试题及答案分类
高等数学试题及答案分类一、选择题1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 已知函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 1，求f'(x)。
A. 6x^2 - 2xB. 6x^2 + 2xC. 6x - 2x^2D. 6x^2 - 2答案：A二、填空题1. 极限lim (x→0) (sin(x) / x) 的值为 _______。
答案：12. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 4，求f(-1)。
答案：0三、计算题1. 计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,1] x^2 dx = [x^3 / 3] (从0到1) = (1/3) - 0 = 1/3。
2. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
解：首先求导 f'(x) = 6x + 2，令f'(x) = 0得x = -1/3。
由于f''(x) = 6 > 0，所以x = -1/3处为极小值点。
计算f(-1) = 0，f(2) = 17，f(-1/3) = -49/3。
因此，最大值为17，最小值为-49/3。
四、证明题1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x) dx 存在。
证明：由于f(x)在[a, b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a, b]上必定有界。
根据积分存在的条件，只需证明f(x)在[a, b]上的积分存在。
由于f(x)有界，可以将其分割为若干个小区间，使得在每个小区间上f(x)的总变化量很小。
根据积分的定义，将这些小区间的宽度趋于0，f(x)的积分将趋于一个确定的值，即定积分存在。
五、应用题1. 某工厂生产一批产品，其成本函数为C(x) = 100 + 30x + 0.05x^2，其中x表示生产的产品数量。
高等数学上册极限习题答案
高等数学上册极限习题答案高等数学上册极限习题答案高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是一个关键的概念。
在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到一些极限习题。
这些习题不仅能够帮助我们巩固和深化对极限的理解，还能够培养我们的分析和解决问题的能力。
在本文中，我将为大家提供一些高等数学上册极限习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)解：根据极限的定义，我们知道当x趋近于0时，sinx/x的极限应该是1。
这是因为sinx/x在x趋近于0时，可以近似地看作是1。
因此，答案是1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x解：这是一个经典的极限问题，我们可以利用自然对数的性质来求解。
首先，我们将(1+1/x)^x取对数，得到ln[(1+1/x)^x]。
然后，利用对数的性质，我们可以将指数移到前面，得到xln(1+1/x)。
接下来，我们可以利用极限的性质，将x 趋近于无穷大，得到lim(x→∞) xln(1+1/x)。
再利用极限的性质，我们可以将ln(1+1/x)的极限写成ln[(1+1/x)^x]的极限，即lim(x→∞) ln[(1+1/x)^x]。
由于ln[(1+1/x)^x]的极限是1，所以答案是1。
3. 求极限：lim(x→0) (e^x-1)/x解：这是一个常见的极限问题，我们可以利用泰勒展开来求解。
首先，我们将e^x-1展开成泰勒级数，得到x+x^2/2!+x^3/3!+...。
然后，我们可以将(e^x-1)/x展开成(x+x^2/2!+x^3/3!+...)/x，即1+x/2!+x^2/3!+...。
接下来，我们可以利用极限的性质，将x趋近于0，得到lim(x→0) (1+x/2!+x^2/3!+...)。
由于x趋近于0时，x的幂次越高，其值越接近于0，所以我们可以将剩余的项忽略不计，得到lim(x→0) (1+x/2!)。
因此，答案是1。
高数极限习题50题分步骤详解
高数极限习题50题分步骤详解1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞→n n n n解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝1212ln lim -+∞→n n n n＝12212ln lim -+-∞→n n n n ＝)1221ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，122~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n nn ＝12. 求极限xx x e x x sin 1lim 3202--→解：本题为0型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x所以 原式＝4201lim 2x x e x x --→＝30422lim 2x xxe x x -→ （洛必达法则）＝2021lim 2x e x x -→＝x xe xx 42lim 2∞→ （洛必达法则）＝2lim 20xx e →＝213. 求极限2sin 0cos )21(lim x xx x x -+→解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。
应先对算式适当变形，再求极限。
过程如下：原式＝2sin 0)1(cos ]1)21[(lim xx x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。
） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-201cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。
） ＝20sin 2lim xx x x →-2202lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+21 ＝25 （注：当时0→x ，.2~1cos ,2~sin 2~1)21(22sin x x x x x x x---+）4. 求极限x xe e x x x cos 1320lim ----→解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为 )0(2~cos 12→-x x x 所以 原式＝23220lim x xe e x x x ---→ ＝x e e x x x 3220lim -+-→ （第一次运用洛必达法则）＝1420lim xx x e e -→- （第二次运用洛必达法则）＝35. 求极限)1ln(2)cos(sin 12lim x x x +-→ 解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。
微积分习题及答案
微积分习题及答案微积分习题及答案微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。
它是现代科学和工程领域中不可或缺的工具。
在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。
下面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。
一、极限习题1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。
二、导数习题1. 求函数f(x) = x^2的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。
所以函数f(x) = x^2的导数为2x。
2. 求函数f(x) = e^x的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。
所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。
三、积分习题1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。
解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。
2. 求∫(sinx + cosx)dx。
解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。
四、微分方程习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。
通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。
同时，通过解决实际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。
微积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。
《高等数学12》理工模拟试卷及答案
《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B）1n ∞=（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y为连续函数，则二次积分40d (,)d xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求V Ω.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题二一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、设2(,)x y f x y e +=，则在(0,1)P 处沿从(0,1)到(1,2)方向的方向导数为 ． 2、过点(1,1,0)-且与直线11223x y z -+==-垂直的平面方程为 . 3、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[),ππ-上的表达式为,0()1,0x e x f x x ππ⎧-≤<=⎨≤<⎩，当x π=-时，()f x 的傅里叶级数收敛于 . 4、已知2y x y z xe e +=+，则d z = .5、函数22z x y xy =+-在区域{}(,)1,0,0D x y x y x y =+≤≥≥上的最大值是 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1、直线132132x y z -+-==--与平面3290x y z -++=的位置关系是（ ）； （A ）平行； （B ）垂直； （C ）直线在平面上； （D ）成3π度角.2、如果函数(,)z f x y =的两个二阶偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x ∂∂∂在区域D 内连续，则这两个偏导数在该区域内的关系是（ ）；（A ）2z x y ∂∂∂2z y x ∂<∂∂； （B ）2z x y ∂∂∂2z y x ∂>∂∂； （C ）2z x y ∂∂∂2zy x ∂=∂∂； （D ）不能确定. 3、设ln 1d (,)de x I xf x y y =⎰⎰，(,)f x y 为连续函数，交换积分次序后，得（ ） （A ）ln 1d (,)de x I yf x y x =⎰⎰； （B) 1d (,)d ye eI y f x y x =⎰⎰； （C ）l 01n d (,)d x eI y f x y x =⎰⎰； （D ）10d (,)d ye e I yf x y x =⎰⎰.4、幂级数11(1)3nnn x n ∞=-∑的收敛域是（ ）． （A ）(3,3)-； （B ）[2,4)-；（C ）[3,3)-； （D ）[2,4]-.5、函数212x x x y C e C e xe -=++是下列哪个微分方程的通解（ ）．(A) 23x y y y xe '''--=； (B) 23x y y y e '''--=； (C) 23x y y y xe '''+-=； (D) 23x y y y e '''+-=． 三、计算与证明题（本题共5小题，1题6分， 2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分）1、设3a →=，5b →=，试确定常数k ，使a k b →→+垂直于a k b →→-；2、设(,)z z x y =由方程22lnz x z y +=确定，求z x ∂∂，zy∂∂；3、设f 是可微的函数，试证曲面()y z xf x=上任意一点(0)x ≠处的切平面都过原点；4、设区域22{(,)1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分222d d 1Dx yx y ++⎰⎰.5、计算三重积分22()d x y V Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面221x y +=、z =及0z =所围成的立体.四、判断题（本题8分）判定级数15!nn n n n ∞=∑的敛散性.五、综合题（本题共3小题，1题8分，2、3题每题7分，满分22分）1、试将函数2()ln(3)f x x =+展开成x 的麦克劳林级数,并讨论级数的收敛域.2、求微分方程23(1)y y x '+=-满足初始条件10x y==的特解.3、求微分方程(sin )d d 0y x x x x y -+=的通解.《高等数学12》理工类试题三一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知{1,1,1},{1,0,1}a b →→==-，则(2)()a b a b →→→→+⋅-= ．2、已知曲线为23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩,问曲线上哪些点的切线平行于平面24x y z ++= .3、将2()1(0)f x x x π=-≤≤偶延拓为周期为2π的周期函数展开成余弦级数时，傅里叶系数中的0a 值为 .4、已知函数(,)f x y 连续，交换积分次序2120d (,)d yy y f x y x -=⎰⎰.5、函数22(,)4()f x y x y x y =---在(2,2)-点处取得极 值(2,2)f -=8（填“大”或“小”）．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、方程220x y z +-=表示的二次曲面是（ ）；（A ）椭球面； （B ）圆锥面； （C ）柱面； （D ）旋转抛物面.2、设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（ ）（A）0(,)d xx f x y y ； （B) 0(,)d x f x y y ；（C）0(,)d yy f x y x ； （D）0(,)d y f x y x .3、若幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为4，则幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛半径是（ ）（A ）16； （B)4； （C ）2； （D ）1.4、设级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数11(1)n n n u n ∞=+∑的敛散性是（ ）；(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D) 敛散性无法判定．5、求方程3432x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) 3()x Ax B e y *=+； (B) 3*()x x Ax B e y =+； (C) *()x y Ax B e =+； (D) *()x y x Ax B e =+．三、计算与证明题（本题共5小题，1、2、3、4、5题每题8分，满分40分） 1、已知直线11:121x y zl -+==-和平面:23410x y z π+-+=，试判定直线l 与平面π的位置关系.2、设(,)z f x y =由方程ln()0ze xy x z -+=+确定，求z x∂∂.3、设2()3y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，证明：220z zx xy y x y∂∂-+=∂∂；4、计算二重积分2d Dxy y ⎰⎰，其中D 是由曲线21y x =+、直线2y x =和y 轴所围成的闭区域.5、某工件是在一半径为R 的球体内，以某条直径为中心，轴用半径为r 的圆柱形钻孔机打一个孔()r R <，求剩余部分的体积.四、判断题（本题8分）判定级数11n n -∞=是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分，2、3题每题7分，满分22分）1、试将函数()x f x e -=展开成(2)x -的幂级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程0yyy xe '+=的通解.3、求微分方程3(1)(1)y x xy x ++=+'的通解.《高等数学12》理工类试题四一、填空：（每题3分，共15分）1．点M(2,-3,1)关于XOY 平面的对称点是_________________;2．设a =｛1,2,1｝,b =｛-2,-1,1｝,则cos<b a,>=________________;3．函数623),(y x xy y x f +=在点(1,1)的全微分是______________; 4．设D:10,11≤≤≤≤-y x ,则σd y D⎰⎰=___________________;5．设2lim 1=+∞→nn n a a ,则级数∑∞=+112n n n x a 的收敛半径为_______________;二、判断正误：（每题2分，共10分）1．已知,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n n u 一定收敛。
高数试卷2(导数及应用)及答案
高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→ha f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x x x f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++=何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<<.)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q .8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(1000020003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim)sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解 .6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eee elim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim )arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim)(2)()(lim)(')(''.2000020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→ )A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学Ⅰ》半期练习题一．填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)2cos 1()arccos()0(0) .x f x x f x -===1、要使在处连续，应补充定义 2、112()()()] 1xy f x f x f x x --'===+设 ，则其反函数的导数[.2sin 103()0 .0ax x e x f x x a xa x ⎧+-⎪≠===⎨⎪=⎩，当、设在处连续，则 ，当 0000()()(tan cos 2),() .x y f x x f x x x x f x ∆→∆=+∆-∆∆-∆'=4、若时与为等价无穷小则 []01()0(0)(1)(1)(0)f x f f f f ''''>-5、设在，上，则，，的大小顺序为 ；1(2)arctan 2()(2) 202x x f x f x x -⎧⎪-≠'==⎨-⎪=⎩，，6、设 则左导数. ，，27()ln() .f x x x x=+-、定义域为3()32,()(1)1()~(), , .n x x x x c x x x x c n αβαβ=-+=-→==8、设,且时则0(1s i n )(1t a n )9()l i m.x f x f x f x x→--+=、设可导，则 210(arctan )1, () .f x x f x '=+=、设则二．选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1．下列函数弹性不为常数的是（ ），其中a ，b ，μ均为常数.A ．y ax b =+B ．y ax =C ．ay x=D ．y x μ=()()(1)(),()( ).() () () ()x xF x x x e x F x A B C D -=+--∞<<+∞2.设 则是奇函数而不是偶函数是偶函数而不是奇函数是奇函数又是偶函数非奇函数又非偶函数21(1)( ).() () () ()n n n nx n x nA B C D ⎡⎤--⎣⎦=→∞3.设数列的通项为，则当时，是无穷大量无穷小量有界变量，但不是无穷小无界变量，但不是无穷大4．已知()f x '=,则df dx =( )(A) -2(B) (C)2xx(D)25. ()[0,1],(1)( ).() [1,0] () [2,1][1,2] () [1]) [1,1]f x f x A B C D ------ 设的定义域为则的定义域为三．计算：(本题共9小题.各6分,共54分)1 n →∞、x →2、求极限232lim()1.1x x ax b a b x →∞+-+=+3、设，求，1xx +→4、求极限．(),()x f x x f x '=5、设 计算．6.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.7. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数b a ,. 3()8()()(),().n f x f x af x f x '=、设满足求219. 2()(),().f x f x f x x'+=设求四、应用：(共1小题，4分)2ln y ax y x a ==设与相切,求及切线方程.五、证明：(本题共2小题，每题6分，共12分)574(12)x x -=1.证明方程在区间，内至少有一个实根．0()lim ()0lim0lim ()0()x x x x x x f x f x A g x g x →→→==≠=2.若，且，证明：．《高等数学Ⅰ》半期练习题答案一．填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)2cos 12()arccos()0(0) .3x f x x f x π-===1、要使在处连续，应补充定义 2、11222()()()] 1(2)x y f x f x f x x x --'===+-设 ，则其反函数的导数[. 2sin 103()0 1 .0ax x e x f x x a xa x ⎧+-⎪≠===-⎨⎪=⎩，当、设在处连续，则 ，当 0000()()(tan cos 2),() 1 .x y f x x f x x x x f x ∆→∆=+∆-∆∆-∆'=-4、若时与为等价无穷小则 []01()0(0)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(1)f x f f f f f f f f ''''''>-<-<5、设在，上，则，，的大小顺序为.1(2)arctan 2()(2) 2202x x f x f x x π-⎧⎪-≠'==-⎨-⎪=⎩，，6、设 则左导数. ，，27()ln() [ f x x x =+-、定义域为3()32,()(1)1()~(), 3 , 2 .n x x x x c x x x x c n αβαβ=-+=-→==8、设,且时则0(1s i n )(1t a n )9()l i m2(1) .x f x fx f x fx→--+'=-、设可导，则 2210(arctan )1, () 2tan sec .f x x f x x x '=+=、设则二．选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1．下列函数弹性不为常数的是（ A ），其中a ，b ，μ均为常数.A ．y ax b =+B ．y ax =C ．a y x=D ．y x μ=()()(1)(),()( C ).() () () ()x xF x x x e x F x A B C D -=+--∞<<+∞2.设 则是奇函数而不是偶函数是偶函数而不是奇函数是奇函数又是偶函数非奇函数又非偶函数21(1)( D ).() () () ()n n n n x n x nA B C D ⎡⎤--⎣⎦=→∞3.设数列的通项为，则当时，是无穷大量无穷小量有界变量，但不是无穷小无界变量，但不是无穷大4．已知()f x '=,则df dx =( C ) (A) -2(B) (C)2xx(D)25. ()[0,1],(1)( C ).() [1,0] () [2,1][1,2] () [1]) [1,1]f x f x A B C D ------设的定义域为则的定义域为三．计算：(本题共9小题.各6分,共54分)1 lim limlimn n n n →∞=====、x →2、求极限200202200 lim11sin cos lim 21sin 1cos 3[lim lim ]24x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→=+-=-=+=232lim()1.1x x ax b a b x →∞+-+=+3、设，求，222232 lim()132lim 1(3)()2lim 1303114x x x x ax b x x ax ax bx b x a x b a x b x a a b a b a b a →∞→∞→∞+-+++--++=+-+-++=+-≠→∞=--==+=当时，上式,矛盾当时，上式=由，得10xx +→4、求极限．1lim xx+→12lim[(1xe+→-=+=(),()xf x x f x'=5、设 计算．11,(ln1)x xy x y x x'==+设则22221ln[ln22ln(1)ln arctan]3212]1(1)arctany y x x xyx x x=+--'=+--+设221()2](ln1)1(1)arctanxf x x xx x x'=+-++-+6.arctan'"yxe y x y y=确定是的函数,求与.解：arctan221'1()yxy x yey xx-=⋅⋅+arctan((')'yxx yy e y x yx yyx y+=-+∴=-化简得22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy yyx y x yx yy yx y+--+--==--+=-又将代入上式化简得7. 已知arccos,0(),0x xf xax b x≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数ba,.解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以00lim()lim()(0)x xf x f x f-+→→==2bπ=得又因为f(x)在x = 0处可导，所以()(0)limxf x fx→-存在000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－3()8()()(),().n f x f x af x f x '=、设满足求2252437(4)3639()3()()3()()35()()35()()357()()35()f x af x f x a f x f x a f x f x a f x f x a f x f x a f x '''==''''=⋅=⋅'=⋅⋅=⋅()(21)()(21)!!()n n n f x n a f x +=-219. 2()(),().f x f x f x x'+=设求222223112()()2113()2, ()342()33f f x x xx f x x f x xx x f x x+==-=-'=+四、应用：(共1小题，4分)2ln y ax y x a ==设与相切,求及切线方程.2200000000111(,),ln , 2, ln , 2211), 22x y ax x ax ax x x a x e k y x =======-=设切点为则所以切点为斜率切线五、证明：(本题共2小题，每题6分，共12分)574(12)x x -=1.证明方程在区间，内至少有一个实根．55()74,()(,)(1)100, (2)140(1,2)()0,()074f x x x f x f f f f x x x ξξ=---∞+∞=-<=>==-=设则在连续,又由零值定理知在至少存在一点使即方程即有实根.0()lim ()0lim0lim ()0()x x x x x x f x f x A g x g x →→→==≠=2.若，且，证明：．000000()()1()1lim0lim , (0)()()()()()(), lim ()0,lim 0,0lim (),lim ()000Ax x x x x x x x x x x x f x g x g x A g x f x A f x Af xg x f x f x Ag x g x αααα→→→→→→=≠==+→=+⋅===+⋅=由，得存在所以从而因根据极限运算法则知存在且。