2017届广州市普通高中毕业班综合测试(二)(理数)

2017届市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭， 则A B =∩（ ）A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x << 2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）6．已知2cos 423πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79-7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．352 B ．358 C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）A ．15B ．9C ．1D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值围为（ ）A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83 B ．163 C ．323D ．1612．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，m +=2，若点P 在y 轴上，则实数m = ． 14．《子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．（本小题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 21．（本小题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，数a 的取值围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为23,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，数a 的取值围.数学（理科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）A （2）B （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）C （9）B （10）C （11）B （12）D 二．填空题 （13）32（14）23 （15）2590 （16）27 三．解答题（17）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =．因为1238a a a =，所以32=8a ，解得22=a ．…………………………………1分 因为()1253123-++++=n n a a a a S ，所以123a S =，即1213a a a =+．…………………………………………………2分 因为22=a ，所以11=a ．…………………………………………………………3分 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ．……………………………………………4分（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11=a ，公比2q =，所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S ．……………………………………………6分 因为n n b nS =，所以()212n nn b n n n =-=⋅-．…………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321 ()()231222322123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++．………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯，则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯．所以()+1234222222n n n P n =⨯-+++++()1=122n n +-+．………………10分因为()11232n n n +++++=， …………………………………………………11分 所以()()111222n n n n T n ++=-+-． 所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-．………………12分 （18）（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以FD AC ⊥． (2)分因为D FD BD = ，所以⊥AC 平面BDF ．……………3分因为⊥EB 平面ABCD ，⊥FD 平面ABCD ，所以//EB FD ． 所以B ，D ，F ，E 四点共面．……………………………4分 因为⊂EF 平面BDFE ，所以AC EF ⊥．………………5分（Ⅱ）解法1：如图，以D 为坐标原点，分别以，DF 的方向 为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz D -．……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0，()0,,0a C ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a E 3,21,23．………………………………7分 所以()0,,0a =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a AF 23,21,23．……………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•,0,0n n 即0,10,222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩FEDCBA不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n ．…………………………10分 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a CE 3,21,23， 所以36cos ,8CE CE CE•==n n n ． 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8．……………………………12分 解法2：如图，设ACBD O =，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB 的方向为x轴，y 轴的正方向，建立空间直角 坐标系O xyz -．…………………………………………6分可以求得,0,0A a ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,22F a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………7分 所以1,,022ABa a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1,,222AF a a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………8分 设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•,0,0n n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()=n ．……………………10分 因为31,22CE a a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，所以36cos ,CE CE CE•==n n n所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8．………………………………12分（说明：若本题第（Ⅰ）问采用向量法证明正确，第（Ⅰ）问给6分，仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第（Ⅱ）问）（19）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为68.1，92.1，1.2，4.2，…………………1分 因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ，()30.05.06.092.11=⨯==ξP ， ()20.05.04.01.21=⨯==ξP ，()20.05.04.04.21=⨯==ξP ．………………………3分所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为68.1，8.1，24.2，4.2，………………………………5分 因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ，()18.06.03.08.12=⨯==ξP ， ()28.04.07.024.22=⨯==ξP ，()12.04.03.04.22=⨯==ξP ，……………………………7分所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯，……………8分……………………10分………………………9分……………4分2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯． 因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大．………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()，离心率为5．………1分 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =． 故椭圆C 的方程为1622=+y x ．………………………………………………………3分 （Ⅱ）因为2334>=MN ，所以直线MN 的斜率存在．………………………………4分 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为m kx y +=．代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k ．………………5分 因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ，所以2261k m +<．………………………………………………………………………6分 设),(11y x M ，),(22y x N ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+．……………………7分则()212212212411x x x x k x x k MN -++=-+==因为334=MN3．………………8分 整理得()22421973918k k k m +++-=．……………………………………………………………………9分令112≥=+t k ，则12-=t k ．所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．…………10分等号成立的条件是35=t ，此时322=k ，253m =满足2261k m +<，符合题意．…………11分故m 的最大值为315．…………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）函数f x 的定义域为），（），（∞+110 ．因为ln xf xax b x，所以a xx x f --=2ln 1ln )('．……………………………1分 所以函数f x 在点e,e f 处的切线方程为e e e y a b a x ，即e y ax b ．…………………2分已知函数f x 在点e,e f 处的切线方程为2e y ax，比较求得e b．所以实数b 的值为e ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）解法1：由e x f +≤41)(，即e e ax x x +≤+-41ln ．……………………………4分 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在],[2e e 上有解．……………………………………5分 令()11ln 4h x x x=-],[2e e x ∈， 则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x xx x-=(22ln ln 4ln x x x x +-=． (7)分令()ln p x x =-所以当],[2e e x ∈时，有()10p x x '==<．……………………………8分所以函数()p x 在区间],[2e e 上单调递减．………………………………………9分所以()()e ln e 0p x p <=-<． ……………………………………………10分 所以()0h x '<，即()h x 在区间],[2e e 上单调递减． ……………………………11分所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-． 所以实数a 的取值围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41212e ．………………………………………12分 解法2：命题“存在],[2e e x ∈，满足e xf +≤41)(”等价于“当],[2e e x ∈时，有[]e x f +≤41)(min ”．…………………………4分由（Ⅰ）知，a x a x x x f -+⎪⎭⎫⎝⎛--=--=4121ln 1ln 1ln )('22． （1）当41≥a 时，0)('≤x f ，即函数f x 在区间],[2e e 上为减函数，…………5分 所以=min )]([xf 222e ee e 2f a ．由min )]([x f ≤1e 4，得41222≤+-e ae e e +，解得24121ea -≥．所以24121e a -≥．…………………………………………………………………6分 （2）当14a时，注意到函数a x x f -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4121ln 1)('2在区间],[2e e 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41,． ……………………………7分 ①0≤a ，)0('≥x f 在区间],[2e e 上恒成立，即函数f x 在区间],[2e e 上为增函数． 所以=min )]([xf e e e e =2e e f a a ． 由于min )]([x f ≤1e 4，所以e ae e +≤-412，解得1104ea ≥->，这与0a ≤矛盾． ………8分②若104a，由函数)('x f 的单调性（单调递增）和值域知，存在唯一的()20e,e x ∈，使0)('=x f ，且满足当),(0x e x ∈时，0)('0<x f ，即f x 为减函数；当),(0e x x ∈时，0)('0>x f ，即f x 为增函数．所以=min )]([x f 0f x 000e ln x ax x ．…………………………………………9分由≤min )]([x f 1e 4，得00e ln x ax x e ≤1e 4，即0001ln 4x ax x ≤． 因为0)('=x f ，即020ln 10ln x ax ，所以020ln 1ln x ax ．将020ln 1ln x ax 代入001ln 4x ax x 41≤，得41ln 020≤x x ，其中()20e,e x ∈．………………10分令2ln x h xx，则x x x h 3ln 2ln )('-=， 当],[2e e x ∈时，0)('≤x h ，即h x 在区间],[2e e 上为减函数．所以=≥)()(2e h h 22222e e 1e >44ln e hx ，与0201ln 4x x ≤矛盾， 所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使≤min )]([x f 1e 4成立．…………………………11分综上可知，实数a 的取值围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41212e ．………………………………12分 （说明：当104a时，也可转化为200ln 4x x ≥，其中()20e,e x ∈，从而构造函数()2ln x p x x=解答；还可转化为0041ln 1x x a -≥，从而构造函数11ln 4q x xx解答；还有其他解法均参照给分！）（22）（Ⅰ）解：曲线C 的普通方程为141222=+y x ．…………………………………1分 将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得，032=-x x ．………………2分 解得0=x 或3=x ．…………………………………………………………………3分 所以点()2,0-A ，()1,3B ，……………………………………………………………4分所以()()23210322=++-=AB ．……………………………………………5分（Ⅱ）解法1：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=．……………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得，()0436422=-++b bx x ． 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=，解得4±=b ．…………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ，解得3±=x ．易知当点P 的坐标为()1,3-时，△PAB 的面积最大．………………………………8分 且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d ．……………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………………………10分 解法2：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ，其中[)π2,0∈θ，………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ．……8分 因为[)π2,0∈θ，则6π136π6π<+≤θ， 所以当π6π=+θ，即65π=θ时，23max =d ．……………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-，△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．………………10分（23）（Ⅰ）证明1：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………1分 因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ………………………………2分()()22222c b a c b a ++-++≥，……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++．……………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………5分 证明2：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．………………………………………………………………1分 因为21293a a +≥，21293b b +≥，21293c c +≥，…………………………………3分 所以()2221233a b c a b c +++≥++．…………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．………………………………………………5分 证明3：因为()()21681193a a ++≥+，()()21681193b b ++≥+，()()21681193c c ++≥+，…………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦．…………………4分 因为1=++c b a ，所以()()()316111222≥+++++c b a ．……………………………………………5分 （Ⅱ）解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．……6分当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．………………7分 当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．……………………………………………8分当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．…………………9分 综上可知，实数a 的取值围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2523, ．…………………………10分。