优秀教案23-直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程
教材分析
本节是在学习点斜式的基础上学习两点式方程，两点恰好在坐标轴上时，可表示成斜截式方程，斜截式方程可确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，在解决与直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时经常使用截距式.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要学习直线的两点式方程.
教学目标
重点: 直线的两点式方程.
难点：两点式方程推导过程的理解．
知识点：掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.
能力点：让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的知识，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.
教育点：认识事物之间的普通联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题. 自主探究点：两点式方程推导过程，将直线的两点式方程化为截距式. 考试点：会选择适当的形式求直线方程. 易错易混点：两点式方程的公式形式.
拓展点：直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题.
教具准备 多媒体课件和三角板. 课堂模式 一、引入新课
1．利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l 经过两点)2,1(1P ，)5,3(2P ，求直线l 的方程．
（2）已知两点),(111y x P ，),(22y x P （其中2121,y y x x ≠≠）， 求通过这两点的直线方程． 2．若点),(),,(222111y x P y x P 中有21
x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？
[设计意图] 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。

使学生在已有的知识基础上获得新结论．
二、探究新知
1．教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
（1）)1(2
3
2-=-x y
（2）)(11
21
21x x x x y y y y ---=
-
教师指出：当21
y y ≠时，方程可以写成
),(21211
21
121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式． 2. 若点),(),,(222111y x P y x P 中有21
x x =，或21y y =时，直线21P P 没有两点式方程．
当21x x =时，直线21P P 的方程为1x x =； 当21y y =时，直线21P P 方程为1y y =． 3．（课本例3）
已知直线l 与x 轴的交点为A
)0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程．
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
1=+b
y a x 教师指出：b a ,的几何意义和截距式方程的概念．
[设计意图]使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形．
三、理解新知
1.直线的两点式方程)(11
21
21x x x x y y y y
---=
-
2.直线的截距式方程
1=+b
y
a x ． [设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫．
四、运用新知
例1：已知三角形的三个顶点)0,5(-A ，)3,3(-B ，)2,0(C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
分析：教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程．在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较． 解：如图，过)3,3(-B ，)2,0(C 的两点式方程为
20
3230
y x --=
---， 整理得0635=-+y x ．
这就是BC 所在直线的方程．
BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为 (
3032
,
22
+-+)， 即(31,22
-)．
过)0,5(-A ，)2
1,23
(-M 的直线的方程为 05
130522
y x -+=
--+， 整理得1135
0222
x y ++=，
即0513=++y x ．
这就是BC 边上中线所在直线方程．
[设计意图] 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题． 练习1：课本97页1、2、3
例2：（课本100页9）求经过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线l 的方程． 解：当直线l 在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为
1=+a
y
a x （0≠a ）
， 将)3,2(P 代入上式，有
13
2=+a
a ，解得5=a ． ∴所求直线l 的方程为05=-+y x ．
当直线l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为kx y =． 将)3,2(P 代入方程得k 23=，即2
3
=k ． ∴所求直线的方程为023=-y x ．
综上所求直线l 的方程为05=-+y x ，或023=-y x ．
[设计意图]此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件a 、b 存在且都不为零，否则容易漏解．
练习2：（丛书161页11）直线l 经过点)3,4(P ，且在x 轴上的截距是y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．
分析：043=-y x ，或0102=-+y x ．
例3：（丛书160页例2）
一条直线经过点)2,2(-A ，并且与两坐标围成的三角形的面积为1，求此直线方程．
解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+-1
2
112
2b a b
a ，解得⎩⎨⎧==12
b a 或⎩⎨⎧-=-=21b a ．
∴所求的直线方程为
12=+y x 或12
1=-+-y
x ． 即022=-+y x 或022=++y x ． 解法2：显然，所求直线斜率存在且不为0． 设所求直线方程为)2(2+=-x k y ， 令0=y ，得k
x 2
2-
-=， 令0=x ，得22+=k y ，
由题意知
1222
221=+⋅--⋅k k
解得2-=k 或2
1
-
=k 即022=-+y x 或022=++y x 为所求．
[设计意图] 适当的选择直线方程形式，直线方程的截距式或点斜式解决三角形面积问题． 练习3：丛书165页18
五、课堂小结
教师提出：1．我们学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
2．要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
[设计意图] 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解．
六、布置作业
1．阅读教材: 97～99
2.书面作业：课本100页4
学案43页变式练习
[设计意图]使学生通过一定量的练习巩固所学的知识．
七、教后反思
学生在直线的点斜式方程的基础上，容易得到直线的两点式方程．已知两点的坐标时，可选择两点式方程，或先求出斜率然后利用点斜式方程．一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误．
八、板书设计
3.2.2直线的两点式方程
1.两点式方程)(11
21
21x x x x y y y y ---=
- 2.截距式方程
1=+b
y
a x ． 例1：已知三角形的三个顶点)0,5(-A ，)3,3(-B ，)2,0(C ，求BC 边所在直线的方程，
以及该边上中线所在直线的方程．
例2：求经过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线l 的方程．
例3：一条直线经过点)2,2(-A ，并且与
两坐标围成的三角形的面积为1，求此直线方程．。