2019-2020年中考数学考点总动员系列 专题25 一元二次方程

2019-2020年中考数学考点总动员系列专题25 一元二次方程聚焦考点☆温习理解一、一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．四、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．五、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系: A.增长率＝增长量基础量×100%；B.设a 为原来量，m 为平均增长率,n 为增长次数，b 为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有a(1-m)n=b. (2)利润等量关系: A.利润＝售价-成本； B.利润率＝利润成本×100%. (3)面积问题名师点睛☆典例分类考点典例一、解一元二次方程【例1】（2015.重庆市A 卷，第8题，4分）一元二次方程220x x -=的根是（ ） A.120,2x x ==- B. 121,2x x == C.121,2x x ==- D. 120,2x x ==【答案】D. 【解析】试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：0)2(=-x x ，因此0=x 或02=-x ，所以2,021==x x .故选：D. 考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. （1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解; （2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解. 【举一反三】 解方程:x 2＋4x －1＝0【答案】x1x2考点：解一元二次方程-配方法．考点典例二、配方法【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．【答案】证明见解析；34，-78.【解析】试题分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2（x-34）2-78，再根据非负数的性质得到-2（x-34）2-78＜0，即不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，易得当x=34时，这个代数式的值最大．试题解析：3x-2x2-2 =-2x2+3x-2=-2（x2-32x）-2=-2（x2-32x+916-916）-2=-2（x-34）2-78，∵（x-34）2≥0，∴-2（x-34）2≤0，∴-2（x-34）2-78＜0，∴不论x 取何值，3x-2x 2-2的值总是负数， 且当x=34时，这个代数式的值最大，最大值为-78． 考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别． 【举一反三】（山东滨州第5题，3分）用配方法解一元二次方程01062=--x x 时，下列变形正确的为( )A.1)32=+x （ B.1)32=-x （ C.19)32=+x （ D.19)32=-x （ 【答案】D考点：配方法解一元二次方程 考点典例三、一元二次方程根的判别式【例3】（2015.重庆市B 卷，第8题，4分）已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数D ．无实数根【答案】A 【解析】试题分析：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数解.根据题意可得：△=2(5)-－4×2×3=25－24=1＞0，则方程有两个不相等的实数根.考点：一元二次方程根的判别式.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【举一反三】1.（2015.山东滨州第3题，3分）一元二次方程2414x x +=的根的情况是( ) A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【答案】C考点：一元二次方程的根的判别式2.(2015·湖北荆门，7题，3分)若关于x 的一元二次方程2450x x a -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A．1a ≥ B．1a > C．1a ≤ D．1a < 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2450x x a -+-=有实数根，∴△=2(4)4(5)0a ---≥，∴1a ≥．故选A．考点：根的判别式．考点典例四、一元二次方程根与系数的关系【例4】（山东枣庄，第8题，3分）已知关于x 的一元二次方程x ²+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=－2，x 2=4.则m+n 的值是 A.－10 B.10 C.－6 D.2 【答案】B 【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系可得-2+4=-m,-2×4=n ，解得m=-2,n=-8,所以m+n=-10.故选B ．考点：一元二次方程根与系数的关系【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a【举一反三】1.(2015·湖北荆门，15题，3分)已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 ．【答案】﹣1或﹣3． 【解析】考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．2.(2015.山东日照，第15题，4分)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015= ． 【答案】2026 【解析】试题分析：解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3， 所以m，n是x 2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3， 又n 2=n+3， 则2n 2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．考点：根与系数的关系．考点典例五、一元二次方程的应用【例5】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A. （3+x）（4-0.5x）=15B. （x+3）（4+0.5x）=15C. （x+4）（3-0.5x）=15D. （x+1）（4-0.5x）=15【答案】A．【解析】试题分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15即可．试题解析：解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4-0.5x）=15，故选：A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．【举一反三】1.(2015.安徽省，第6题，4分)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4(1＋x)＝4.5 B．1.4(1＋2x)＝4.5C ．1.4(1＋x )2＝4.5D ．1.4(1＋x )＋1.4(1＋x )2＝4.5 【答案】C. 【解析】试题分析：设2014年与2015年这两年的平均增长率为x ，则2014年的业务量为1.4（1+x ）亿件，2015年的业务量为1.4（1+x ）2亿件，又因2015年的快递业务量达到4.5亿件，所以可列方程为1.4（1+x ）2=4.5，故答案选C. 考点：一元二次方程的应用.2.（2015.山东济南，第12题,3分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 3cm ，则原铁皮的边长为（ ） A ． 10cm B ． 13cmC ． 14cmD ． 16cm【答案】D考点：一元二次方程的应用． 课时作业☆能力提升 一、选择题1.（2015·辽宁丹东）若x=1是一元二次方程022=++a x x 的一个根，那么=a .【答案】-3. 【解析】试题分析：∵x=1是一元二次方程022=++a x x 的一个根，∴将x=1代入此方程得：1+2+a=0,∴a=-3.考点：一元二次方程根的意义. 2.（2015达州）方程21(2)04m x -+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A．52m >B．52m ≤且2m ≠ C．3m ≥ D．3m ≤且2m ≠ 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．3.(2015.宁夏，第5题，3分) 关于x 的一元二次方程20x x m ++=有实数根，则m 的取值范围是 （ ） A. m ≥14- B. m ≤14- C. m ≥14 D. m ≤14【答案】D. 【解析】试题分析：由关于x 的一元二次方程20x x m ++=有实数根可得△≥0，即1-4m ≥0，解得m ≤14，故答案选D. 考点：一元二次方程根的判别式.4. (2015.北京市，第14题，3分)关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值a ＝____，b ＝____.【答案】11a b =⎧⎨=⎩ (满足b 2＝a ，a ≠0即可，答案不唯一)考点：一元二次方程根的判别式5.(2015.上海市，第10题，4分)如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】4m <- 【解析】试题分析：由于方程没有实数根，故244()0m ∆=--<，解得4m <-. 考点：根的判别式.6．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．7.（2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12 B．9 C．13 D．12或9 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵27100x x -+=，∴(2)(5)0x x --=，12x =，25x =，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质． 9.（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ）A．2560(1)315x += B．2560(1)315x -= C．2560(12)315x -=D．2560(1)315x -= 【答案】B ． 【解析】试题分析：设每次降价的百分率为x ，由题意得：2560(1)315x -=，故选B． 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．二、填空题10.(2015·辽宁葫芦岛）（3分）已知k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根，且k ＞b ，则函数y kx b =+的图象不经过（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B． 【解析】试题分析：∵k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根，且k ＞b ，∴13k =，12b =-，∴函数1132y x =-的图象不经过第二象限，故选B．考点：1．一次函数图象与系数的关系；2．解一元二次方程-因式分解法． 二．填空题11．(2015·辽宁葫芦岛）（3分）若一元二次方程2(1)450m x x ---=没有实数根，则m的取值范围是 ．【答案】m ＜15． 【解析】试题分析：∵一元二次方程2(1)450m x x ---=没有实数根，∴△=16﹣4（m ﹣1）×（﹣5）＜0，且m ﹣1≠0，∴m ＜15．故答案为：m ＜15． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．12.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程28150x x -+=的根，则△ABC 的周长是 ． 【答案】8．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．13.(山东莱芜第15题，3分)某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元． 【答案】220 【解析】试题分析：根据题意可设每年比上一年盈利额增长的百分率为x ，所以有()22001242x +=，解得120.1, 2.1x x ==-（舍去），所以该公司在2010年的盈利额为200(10.1)220+=万元.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）14.（2015·黑龙江绥化）若关于x 的一元二次方程ax 2+2x-1=0无解 ，则a 的取值范围是____________. 【答案】a ＜-1 【解析】 试题分析：当0440a a ∆=+⎧⎨≠⎩＜时，一元二次方程无解，解得a ＜-1，且0a ≠，所以a 的取值范围是a ＜-1. 考点：一元二次方程.15.（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200． 【解析】试题分析：设每件童裝应降价x 元，可列方程为：（40﹣x ）（20+2x ）=1200．故答案为：（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．16.（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是 ． 【答案】2． 【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k++===，解得：k =2，故答案为：2． 考点：根与系数的关系．17.（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为． 【答案】27． 【解析】试题分析：∵1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，∴125x x +=，121x x =-，∴2212x x +=21212()2x x x x +-=25+2=27，故答案为：27．考点：根与系数的关系．三、解答题18.（2015·辽宁大连）解方程046x 2=--x 【答案】313,313x 21+-=+=x考点：解一元二次方程.19．（2015·湖北鄂州，20题，8分）关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x +k 2+1=0有两个不等实根12,x x .（1）（4分）求实数k 的取值范围．（2）（4分）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值． 【答案】（1）k ﹥43；（2）2. 【解析】试题分析：(1) 方程有两个不相等的实数根,故Δ＞0，解不等式即可求出k 的取值范围； （2）由题意设方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0两根为x 1，x 2，利用根与系数的关系，代入求值即可.试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根∴ Δ=)1k 2(+2－k 4（2+1)=4k 2+4k+1－4k 2－4=4k －3﹥0 解得：k ﹥43 (2) ∵k ﹥43∴ x 1+ x 2 =－(2k+1)＜0 又∵ x 1·x 2 = k 2+1﹥0 ∴x 1＜0，x 2 ＜0∴｜x 1｜+｜x 2｜=－x 1－x 2 =－(x 1+x 2)=2k+1 ∵｜x 1｜+｜x 2｜= x 1·x 2 ∴2k+1=k 2+1∴ k 1=0, k 2=2 又 ∵k ﹥43 ∴k=2考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系．20.（2015南充）（8分）已知关于x 的一元二次方程2)4)(1(p x x =--，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，如：p =0，±1． 【解析】试题分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要是方程有整数解，那么2124x x p =-为整数即可，于是求得当p =0，±1时，方程有整数解．试题解析；（1）原方程可化为22540x x p -+-=，∵△=22(5)4(4)p --⨯-=2490p +>，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有整数解，∴2124x x p =-为整数即可，∴当p =0，±1时，方程有整数解．考点：1．根的判别式；2．开放型．21.（2015自贡）（10分）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m 2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米是宽为8米，当矩形长为50米是宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．22.（2015巴中）（8分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．【解析】试题分析：本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．试题解析：设小路的宽为xm，依题意有：（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得2721400x x-+=．解得12x=，270x=（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2019-2020年中考数学考点总动员系列专题26 解直角三角形(I) 聚焦考点☆温习理解一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc余切：tanA ＝∠A 的对边∠A的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形 解直角三角形的常用关系 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则： (1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边与角关系：sinA ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sinB ＝b c ，tanA ＝ab；(4)sin 2A ＋cos 2A ＝1四、解直角三角形的应用常用知识 1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角 2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角名师点睛☆典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a 2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b【答案】A.【解析】试题分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．试题解析：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是分清锐角三角函数的关系．【举一反三】(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若ta nB=，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．考点：解直角三角形．考点典例二、锐角三角函数的计算【例2】在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA-1|+（cosB-12）2=0，那么∠C=【答案】75°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．【举一反三】在△ABC中，若|cosA-12|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】【解析】试题分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．试题解析：由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选：C．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．考点典例三、解直角三角形【例3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=13，AD=1．求BC的长．【答案】．考点：解直角三角形；勾股定理．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出DC=1是解题的关键．将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．【举一反三】如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB的长．【答案】【解析】试题分析：过C 作CD ⊥AB 于D ，求出∠BCD=∠B ，推出BD=CD ，根据含30度角的直角三角形求出CD ，根据勾股定理求出AD ，相加即可求出答案． 试题解析：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD ，∵∠A=30°，，∴∴，由勾股定理得：，∴答：AB 的长是考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。