2010北京崇文高三一模数学理(word版+答案+免费免点数)
2010年北京崇文区高三数学理科一模试题含答案
崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科） 2010.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B ⋂=ð（A ）{}|14x x -≤≤ （B ）{}|14x x -<< （C ）{}|23x x ≤< （D ） {}|23x x <≤（2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为(A) 5 (B) 10 （C ）15 （D ）50 （3）已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA=，AC 是O的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠=，则O 的半径为（A ）1 （B ）2（C（D ）（4）已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （A ）2 （B ）43 （C ） 32（D ）12（5）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为（A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n （C ）若,m n αα，则m n （D ）若,,m m αβ则αβ（6）设33,,2x yx y M N P ++===（其中0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为（A ）M N P << （B ）N P M << （C ）P M N << （D ）P N M << （7）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（A ）36 （B ）42 （C ） 48 （D ） 60（8）设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于（A ） 3 （B ）2 （C ）1b -- （D ）c第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．（10）若12)a x的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________． （11）将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别（131n nn S a S -⎧=⎨⎩若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；产品数量CA 此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．（14）定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==， 且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2010f=_________________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin 2A =，且A B C ∆的面积为2．（Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．（16）（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？（17）（本小题共14分）三棱柱111C B A A B C-中，侧棱与底面垂直，90=∠ABC ，12AB BC BB ===， ,M N 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求二面角11A C B M --的余弦值．（18）(本小题共14分）已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（Ⅰ）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求ANB ∆面积的最小值；（Ⅲ）当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：① 直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ② ANB ∆面积的最小值是多少？（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-． （Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（9）1- （10）1- （11）()2214x y -+= （12）13,21（13）11(1)(2)n nn T n b T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；()221(1)(2)1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（14）132三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分） 解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0 ∴cos25A =. ∴4sin 2sin cos 225A A A ==. ∵2sin 21==∆A bc S ABC ， ∴5=bc . --------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A ∴532sin21cos 2=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=∴52=a . -----------12分（16）（共13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）． ---------------- 6分（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],组内的人数分别为2，4，6, 5，3． 设选取这5人不在同组为B 事件，则5202465315()323P B C ⨯⨯⨯⨯==． 答：选取这5人不在同组的概率为15323． ---------------- 13分 （17）（共14分）（Ⅰ）证明： 连结1BC ，1AC ． 在1ABC 中，,M N 是AB ,C A 1的中点， ∴||MN 1BC ．又 MN ⊄平面11B BCC ，∴||MN 平面11B BCC ． --------------------4分（Ⅱ）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -1．则)0,0,0(1B ，(0,2,2)C ，1(2,0,0)A -，(1,0,2)M -，(1,1,1)N -∴1BC =(0,2,2)，)0,0,2(11=B A ，(0,1,1)NM =-． 设平面C B A 11的法向量为(,,)x y z =n ．111000B C x y z A B ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩n n 令1=z ，则0,1x y ==-，∴(0,1,1)=-n ．NM ∴n =．∴⊥MN 平面C B A 11． --------------9分（Ⅲ）设平面C MB 1的法向量为000(,,)x y z =m 1(1,0,2)B M =-． 001001200x z B C y z B M ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩m m令01z =，则002,1x y ==-∴(2,1,1)=-m ．∴cos ,||||⋅<>===⋅n m n m n m ． 所求二面角11A C B M --的余弦值为33． --------------------14分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0f x x ax a x a x a =-+=--<（1）当3a a =，即0a =时，2'()30f x x =>，不成立．（2）当3a a >，即0a <时，单调减区间为(3,)a a ．（3）当3a a <，即0a >时，单调减区间为(,3)a a ．-------------------5分 （Ⅱ）22'()31293()(3)f x x ax a x a x a =-+=--，()f x 在(0,)a 上递增，在(,3)a a 上递减，在(3,)a +∞上递增．（1）当3a ≥时，函数()f x 在[0,3]上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是(3)f ，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,3,f a ≤⎧⎨≥⎩解得a ∈∅．（2）当13a ≤<时，有33a a <≤，此时函数()f x 在[0,]a 上递增，在[,3]a 上递减，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a ，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,13,f a a ≤⎧⎨≤<⎩ 解得1a =．（3）当1a <时，有33a >，此时函数()f x 在[,3]a a 上递减，在[3,3]a 上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a 或者是(3)f ．由2()(3)(3)(43)f a f a a -=--， ①304a <≤时，()(3)f a f ≤， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,30,4f a ≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得3[1]4a ∈-．②314a <<时，()(3)f a f >， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,31,4f a a ≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 解得3(,1)4a ∈．综上所述，[1a ∈． -------------14分 （19）（共14分）解：（Ⅰ）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=．设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++==． 124y y ∴=-()1,0N -1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++． 又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 （Ⅱ）12NAB S y y ∆=-===4>． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． ----------------10分 （Ⅲ）推测：①NA NB k k =-；②ANB ∆面积的最小值为4 ---------------- 14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ， ∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-， 又111a S ==，∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩ ----------8分 （Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++， 又111293(3)(3)8a b a a ==++，∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++1138T b ==， 当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++171841n -=-+． 若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意．若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(详解版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M =（ ）(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}解析：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,2⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i解：点A （6,5）与B （-2,3）的中点C 的坐标为（2,4），所以答C.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ）（A ）45 (B)35 （C ）25(D)15 解：总的等可能事件有15种，其中满足b>a 的有三种（1,2），（1,3），（2,3） 所以所求事件的概率为51153=，故答D⑷若a ,b 是非零向量，a ⊥b ，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数解析：222()()()()()f x xa b xb a a b x b a x a b =+-=⋅+--⋅，如a ⊥b ，则有0a b ⋅=，如果同时有a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是一次函数，且为奇函数。
2010北京崇文高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)
崇文区2009—2010学年度第二学期统一练习㈡高三数学（理科） 2010.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．⑴“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“0≤a ＜1”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件⑵一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于A.12B.4C.563D.3⑶设函数f(x)=2lo g (1),(0),,(0).a x x x q xb x +>⎧⎨++≤⎩若f(3)=2，f(－2)=0，则a ＋b= A.－1 B.0 C.1 D.2⑷把函数y=sinx(x ∈R)的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为A.y=sin (2)3x π-，x ∈R B. y=1sin ()26x π+，x ∈RC. y=sin (2)3x π+，x ∈R D. y=1sin ()26x π-，x ∈R⑸已知点P 是抛物线22y x=上的一个动点，则点P 到点M(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为俯视图侧（左）视图正(主)视图A.3B. 292⑹若非零向量，a b 满足+=a b b，则（ ）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ．22<+b a b⑺用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为A.120B.72C.48D.36 ⑻已知圆的方程2225x y +=，过M(－4，3)作直线MA,MB 与圆交于点A,B ，且MA,MB 关于直线y=3对称，则直线AB 的斜率等于A.43- B.34- C.54- D.45-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．⑼函数的定义域为 .⑽如图，⊙O 中的弦AB 与直径相交于点P ，M 为DC 延长线一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN= .⑾甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表1x -，2x -，3x -分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则1x -，2x -，3x -的大小关系是 ；123,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则123,,s s s 的大小关系是 .⑿若直线l 的参数方程为31,545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数），则直线l 的斜率为 ；在极坐标系中，直线m的方程为sin ()42πρθ+=，则点A7(2,4π到直线m 的距离为 .⒀给定下列四个命题：①若110a b <<，则22b a >；②已知直线l ，平面,αβ为不重合的两个平面.若l ⊥α，且αβ⊥，则l ∥β； ③若－1，a ，b ，c ，－16成等比数列，则b=－4； ④若()52x -=5432543210a x a x a x a x a x a +++++，则12345a a a a a ++++=－1.其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号)⒁设不等式组*0,0,()4x y n y n x n>⎧⎪>∈⎨⎪≤-+⎩N 所表示的平面区域n D内的整点(横坐标，纵坐标都是整数的点）个数为na ，则2420101()2010a a a +++=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ⒂(本小题共12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.已知A，xB的横坐标分别为5，10. ⑴求tan ()αβ+的值； ⑵求2αβ+的值 ⒃正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 是1B B上一点，且1B E=12.⑴求证：1B D ⊥平面1D A C ；⑵求异面直线1D O与1A D所成角的余弦值；⑶求直线1D O与平面AEC 所成角的正弦值⒄（本小题13分）某学校高一年级开设了A,B ，C ，D ，E 五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.⑴求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； ⑵求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；⑶设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期望.⒅（本小题共14分）设函数()(2)ln()f x a x =--＋1x ＋2ax(a ∈R). ⑴当a=0时，求f(x)的极值； ⑵当a ≠0时，求f(x)的单调区间. EOCBADD 1C 1B 1A 1⒆（本小题共14分）已知椭圆22221xy ab+=（a ＞b ＞0)和圆O ：222x y b+=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A,B.⑴①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；②若椭圆上存在点P ，使得∠APB=90°，求椭圆离心率的取值范围； ⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222abO N O M+为定值⒇（本小题共13分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，对于ia ，ib ∈M ，记i i ia eb =且ia ＜ib ，由所有ie 组成的集合设为A={12,,e e …,ke }.⑴求k 的值；⑵设集合B={'ie |'ie =1ie ，i e ∈A}，对任意ie ∈A ，'je ∈B ，试求'i ji je e ≠∑；⑶设ie ∈A ，'je ∈B ，试求ie ＋'je ∈Z 的概率.xy王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱000whl777@11 / 11。
高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题-Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范。
2010年北京崇文数学一模答案
初三数学试題答樂第1页（共4页）数学试题参考答案及评分标准2010. S 崇文区2009-2010学年度第二学迎初三统一慈习（一）三■解答题（本18共30分.毎小卷5分）二.填空题（本題共16分■毎小题4分）】3.無= 3 *^"-2 x号-1 —5 ................................ .. ......................................... ………………，.… d 分=2矩・6. ........................................................................................................ .......... 5分14•解:去分酔■得3（3x・I）-2“3・ ........................................................... . ......................... .. 2分耕得工=2“ .............................................................................................................................. 4分经检验足原方程的解.•••原方廷的解足工=2 ......................................................................................................... 5分15. iE明匸ED1RD小乙0=90°□乙人•■•乙£+Z£CD=903. 又•••/1C丄CE”.乙ACB+ 乙ECD=90°・•••厶ACB 口」E・在LABC和ADCE中.厶ACB二乙E.BC^CE............................................................................................................................. 3分•••氐ABCMDCE.......................................................................................... ........................ 4分XAB^DC.............................................................................................................................. S分16.耶:由题意，可知点A的横坐标是2,白点A在正比^»y=2x的因象上.・••点4的燮标为（2.4）. ..................................................................................................... 2£又•••点人左反比例函数尸迂1的田線上，・・・4 口罟.即肮=9. ......................................................................................................... 5；?初三数学过題答牢第2英（共4页）17・嵌4 ■亡HU1 T -2 1 （x-lX^+I ）1 -X *1社 （*］）, T %3 + x - 1 =O f .\ -x 2 =x-1・ ......................... .. ............ ........... .... ........... .. ........ . ...... 4 分 •••更式" ................................ . .... ...... ........... 5 分13.無:设火车从北京到式汉的平均时速为z 公里每小时，提連后丈汉到广州依平均时嚏为y公里每小时. ..................................... . ................. 1分 依題意•有y =2x + 50t!5x=Lr + （15-8-4）y- ............................................................................... 3 分解方程组，得严冋 .............. .... ................ly » 350.答:火车从北京到餒汉的平均时速为15€公里部小吋•提速后武汉到广州的平均吋遠为 350公里每小时.四、解答題（本麵共20分，第19越5分，篇20翹5分•第21貶6分■第22題4分）19. ......................................................................................... 烬:作朋丄DC 于E.DF 丄BC 于F ・....................................................... 1分A AEj^DF. v AD//BC. Z.A£F = 90°.・・・四边形AEFD 是矩形.A £F = .W=3r A£=DF. ......................................................... 2 分V BD = CD 、D"BC.：・DF 是4BDC 的BC 边上的中我.v 厶BDC DF 士BC “F =4・ ...................................... 3 分 A A£=4,BE = BF-£F»4 -3 -1. ............................................................................................. 4 分 在 R1A.4BE 中.AB 2 ^AE l+〃尸20. 解:（1）・4C 与OO 棉切.证罚如下：•••OC 丄 AD{ 話）............................................................................................................................ 3 分 •••^=74r +r 3分 4 o BA Z.4OC+Z.1 =90°. ..............................................又丁厶C = /BED =乙1.••• ZAOC+^C=90U. ...............................................AB LACIP4C与QO相切. .......................初三数学过題答牢第2英（共4页）初三数学试題答案第3页(共4页〉(2〉解:连接在 Rt bAOC 中■厶 CAO 二 90。
崇文高三一模及答案数学文.doc
北京市崇文区2009—2010学年度第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）2010.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B ⋂=ð（ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|23x x ≤<C ． {}|23x x <≤D ．{}|14x x -<<2．已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则1()2f =（ ）AB ．12C ．14D．23．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为 （ ）A ．2324πcm ,12πcm B ．2315πcm ,12πcm C ．2324πcm ,36πcm D ．以上都不正确4．若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为（ ） A ．4±B ．2±C．D．±5．将函数x y 2sin 2=的图象向右平移6π个单位后，其图象的一条对称轴方程为（ ） A ．3π=x B ．6π=x B ．125π=x D ．127π=x6．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ B ．若,,m m αβ则αβC ．若,m n αα，则m nD ．若,,m n αα⊥⊥则m n7．若01a <<，函数()log a f x x =，()11(),(),342m f n f p f ===，则（ ）A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n m p >>D ．p m n >>8．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=. 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若),2(,53)2cos(ππααπ∈=-，则tan α= . 10．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________. 11．从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．14．关于平面向量有下列四个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30； ④()()0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ． 其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin2A =，且ABC ∆的面积为2．（Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值． 16．（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？17．（本小题共14分）三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，12AB BC BB ===， ,M N 分别是AB ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：||MN 平面11B BCC ；（Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求三棱锥-M C B A 11的体积． 18．（本小题共14分）已知函数322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点(D ，离心率12e =．过D作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求 OA OB ⋅的值．20．(本小题共13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+. 数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=(n *∈N )，且311b =，129153b b b +++=.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n kT >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),(),(2,),n n a n l l f n b n l l **⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—4 CDAB 5—8 CDBA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．34- 10．1-11．31312．13，2113．11(1)(2)n nn T n b T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；()221(1)(2)1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩14．②③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共12分）解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0∴cos25A =. ∴4sin 2sin cos 225A A A ==. ∵2sin 21==∆A bc S ABC ， ∴5=bc .--------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A ∴532sin21cos 2=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=.∴52=a . -----------12分 16．（共13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为 50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）． ---------------- 6分 （Ⅱ）根据直方图可知产品件数在 [)10,15，[)15,20，组内的人数分别为2，4.设这2位工人不在同一组为A 事件，则8()15P A =． 答：选取这2人不在同组的概率为815． ---------------- 13分 17．（共14分）（Ⅰ）证明： 连结1BC ，1AC ，,M N 是AB ，C A 1的中点∴||MN 1BC ．又 MN ⊄平面11B BCC ，∴||MN 平面11B BCC ． --------------------4分（Ⅱ） 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，∴四边形11B BCC 是正方形．11BC B C ∴⊥． 1MN B C ∴⊥．连结1,A M CM ，1AMA AMC ≅．1A M CM ∴=，又N 中1A C 的中点， 1MN AC ∴⊥． 1B C 与1A C 相交于点C ，∴⊥MN 平面C B A 11． --------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN 是三棱锥-M C B A 11的高．在直角MNC 中，1,MC AC ==MN ∴=又11A B CS=．11111433M A B C A B CV MN S-=⋅=． --------------------14分 18．（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0f x x ax a x a x a =-+=--< （1）当3a a =，即0a =时，2'()30f x x =>，不成立．（2）当3a a >，即0a <时，单调减区间为(3,)a a ．（3）当3a a <，即0a >时，单调减区间为(,3)a a ．--------------------5分 （Ⅱ）22'()31293()(3)f x x ax a x a x a =-+=--，()f x 在(0,)a 上递增，在(,3)a a 上递减，在(3,)a +∞上递增．（1）当3a ≥时，函数()f x 在[0,3]上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是(3)f ，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,3,f a ≤⎧⎨≥⎩解得a ∈∅．（2）当13a ≤<时，有33a a <≤，此时函数()f x 在[0,]a 上递增，在[,3]a 上递减，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a ， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,13,f a a ≤⎧⎨≤<⎩ 解得1a =．（3）当1a <时，有33a >，此时函数()f x 在[,3]a a 上递减，在[3,3]a 上递增，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a 或者是(3)f ． 由2()(3)(3)(43)f a f a a -=--，①304a <≤时，()(3)f a f ≤， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,30,4f a ≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得3[1,]94a ∈-． ②314a <<时，()(3)f a f >， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,31,4f a a ≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 解得3(,1)4a ∈．综上所述，[1a ∈． -------------14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知，2,a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=． -------------5分 （Ⅱ）设直线l方程为y kx =+0y =，得A k ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．由方程组223412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得(223412x k x +=，即()22340k x++=．所以M x =， 所以222,3434M k k ⎛--+ ++⎝，222,3434N k k ⎛- ++⎝． 所以34DNk k ==．直线DN 的方程为34y x k= 令0y =，得,03B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅=4=． ---------------- 14分 20．（共13分）解：（Ⅰ）当1n =时, 116a S == 当2n ≥时, 221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+. 而当1n =时, 56n +=∴5n a n =+又2120n n n b b b ++-+=即211n n n n b b b b +++-=-，∴{}n b 是等差数列，又311b =，129153b b b +++=，解得15,3b d ==．∴32n b n =+． ---------------- 4分（Ⅱ）3(211)(21)n n n c a b =--1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=-+-+…11()]2121n n +--+21n n =+ ∵11102321(23)(21)n n n nT T n n n n ++-=-=>++++∴n T 单调递增，故min 11()3n T T ==． 令1357k>，得19k <，所以max 18k =. ---------------- 9分 （Ⅲ）,(21,),(),(2,),n n a n l l f n b n l l **⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N（1）当m 为奇数时，15m +为偶数，∴347525m m +=+，11m =．（2）当m 为偶数时，15m +为奇数，∴201510m m +=+，57m *=∉N （舍去）．综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ----------1 3分。
崇文高三一模及答案数学文
6•已知m,n 是两条不同直线，〉，：，是三个不同平面，下列命题中正确的为( )北京市崇文区2009— 2010学年度第二学期统一练习（一）数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷选择题共40分）答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超岀答题区域作答的均不得分。
、本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列岀的四个选项中，选岀符合题目要求的一项. 1 •已知全集 U = R ，集合 A = {x| x —1 A 2}，B={X |X 2 —6X +8C 0}，则集合B • :x|2 乞 x ：：： 3?C .! x 12 ： x _ 3 fD •| 一1 ：： x ：： 4;2 •已知幕函数 y 二f （x ）的图象过（4，2）1点，则f （）二A .“ 2B •-2 1C •D •423•有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm )，该几何体的表面积和体积为( )2 3A • 24 n cm ,12 n cmB • 15 n cm 2,12 n cm 323C • 24 n cm ,36 n cmD •以上都不正确2 24 •若直线y 二x b 与圆x y =2相切，则b 的值为A • -4B • -2C • -、2D • 一2、、25•将函数y =、2sin2x 的图象向右平移JI个单位后，其图象的一条对称轴方程为（6)150分。
考试时间120分钟 2010.4考试结JI A • x =—3JIB • x = 一65兀B• X = 一127兀D • x =126•已知m,n是两条不同直线，〉，：，是三个不同平面，下列命题中正确的为( )C .若 mLk , n |.:，则 m L nD .若 m 丨■•, ,n 丨■•,,则 mL n1 17•若 Ocacl ，函数 f(x)=|log a x , m=f(?, n= f(?P=f(3 )，则()A . m n pB . m p nC . n m pD . p m n8.如果对于任意实数 x , lx ］表示不超过x 的最大整数.例如［3.271-3, ［0.61-0.第H 卷(共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3 二—a € (— n ) 5' (2')，210.如果复数m - i ：n ：1 - mi(其中i 是虚数单位)是实数，则实数 m 工11 •从52张扑克牌(没有大小王)中随机的抽一张牌，这张牌是 J 或Q 或K 的概率为 _________12 .某程序框图如图所示，该程序运行后输岀M , N 的值分别为 _____ ._L S |, (n = 1),13 •若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则a n =若数列｛b n ｝的前n 项积为T n ，类比S n - Si 丄(nA 2).上述结果，则b n = __________ ；此时，若T n = n 2 (n E N )，则b n = _____________ . 14. 关于平面向量有下列四个命题：① 若 a b = a c ，贝U b = c ；② 已知 a = (k,3) , b = ( -2,6).若 a I 丨 b ，则 k = -1 ；③ 非零向量a 和b ，满足|a|=|b|= | a-b |，则a 与a+b 的夹角为30 ；那么“ lx 丨-ly 1”是“ x - y <1"的A .充分而不必要条件 C .充分必要条件B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件9. 若 COS ( )25分，共30分.④(-b) ■(—b)=0 .I a | | b | | a | | b |其中正确的命题为_____________ .(写岀所有正确命题的序号)15 . 15 .解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写岀文字说明，演算步骤或证明过程.(本小题共12分)在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c，满足sin_A5，且ABC的面积为16 . 16 . 17 . 17 .18 . 18 . 19 . 19 .2 .(I)求bc的值；(H)若b・c=6，求a的值.(本小题共13分)为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15，15,20，120,25 , 125,30，［30,35］，频率分布直方图如图所示•已知生产的产品数量在 1.20,25之间的工人有6位.(I)求m ；(n)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？(本小题共14分)三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱与底面垂直，.ABC=90,，A^B^BB^2，M , N分别是AB，A,C的中点.(I)求证：MN ||平面BCC1B1；(n)求证：MN _平面A1B1C ;(皿)求三棱锥M - ABQ的体积.(本小题共14分)已知函数f (x) = x3 -6ax2• 9a2x ( a R ).(I)求函数f (x)的单调递减区间；(n)当a 0时，若对—x，〔0,3 1有f(x)—4恒成立，求实数a的取值范围.(本小题共14分)2 2 1已知椭圆^2 =1 a b 0短轴的一个端点D 0/ 3，离心率e二一.过D 作直线a b 2l与椭圆交于另一点M，与x轴交于点A (不同于原点O)，点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x 轴于点B .(I)求椭圆的方程；20.(本小题共13分)111已知数列 玄?的前n 项和为&且S nn 2 n .数列 ^b n /满足 b n 2 -2b n 1b^ = 0 (n • N ”)，且 4=11 , b •b 2 • |l( b 9 =153.(I ) 求数列 © n 的通项公式;(n)设C-(2an-1；)(2bn-1)，数列E 的前n项和为Tn ，求使不等式对一切(皿) n • N ”都成立的最大正整数 k 的值;i a n , (n =21 —1,丨 E N)设f (n)是否存在m 三N ，使得f (m 15) = 5 f (m)% (n =21 ,V N)若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.成立?参考答案一、 选择题(本大题共1 — 4 CDAB 5— 8 二、 填空题(本大题共 34 -1 3 139.10. 11 . 12.13.打T n8小题, CDBA6小题, (n=1) (n-2)每小题 每小题 b n5分，共 5分，共 1 n 240分) 30分)(n =1)2n -1(n -2)14•②③④三、解答题(本大题共 15. (共 12 分)6小题,80分)解：(I)： sinA 245 …cos —2 5A A 4 …sin A=2sin cos —2 2 5 1 .■ S A BC - bc s in A =2 , 二 be = 5..A V5(n)v sin ,2 52 A 3二cosA =1 -2sin2 5••• be =5, b c = 6,••• a2 =b2 +c2—2bccosA = (b + c)2 -2bc(1 +cosA) = 20.二a = 2 5 . .......... 12 分16. （共13 分）解：（i）根据直方图可知产品件数在 1.20,25内的人数为m 5 0.06 =6，则m =20 （位）. ......... 6 分（H）根据直方图可知产品件数在10,15 , 115,20，组内的人数分别为2, 4.8设这2位工人不在同一组为A事件，则p（A）=158答：选取这2人不在同组的概率为......... 13分1517. （共14 分）（I）证明：连结BC1, AC1,M , N是AB , A1C的中点MN || BC1.又MN 二平面BCC1B1,■MN ||平面BCC1B1 . ................................ 4 分(n)；三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱与底面垂直，-四边形BCC1B1是正方形.B® _ B1C .■MN _ DC .连结A1M ,CM , L AMA1 =_AMC .A,M =CM，又N中AC的中点，MN — AC/ B 1C 与AC 相交于点C , ，"” MN 丄平面 A i B i C .(皿)由(n)知 MN 是三棱锥M -ABQ 的高. 在直角 LMNC 中，MC =』5 , AAC =2、、3 ,又 S A 1B|C - 2- 2 .解：(i) f'(x) =3x 2 —12ax 9a 2 = 3(x -a)(x —3a) ：： 02(1)当 a =3a ，即 a =0时，f'(x)=3x 0，不成立.(2)当a 3a ，即a :: 0时，单调减区间为(3a, a).(3)当a :: 3a ，即a - 0时，单调减区间为 (a,3a) . (5)分(n) f'(x) =3x 2 -12ax 9a 2 =3(x _a)(x _3a)，f (x)在(0, a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,=)上递增.(1)当a_3时，函数f(x)在［0,3］上递增，所以函数f (x)在［0,3］上的最大值是f ⑶，r 】「f ⑶兰4若对—x ・0,3 1有 f(x)岂4恒成立，需要有解得a -.却3,(2)当1 _ a ：：： 3时，有a ：：： 3 一 3a ，此时函数f (x)在［0, a ］上递增，在［a,3］上递减，所以函数f (x)在［0,3］上的最大值是f(a)，11f (a)乞 4,若对—x • 0,3 J 有 f (x) _ 4恒成立，需要有解得a = 1 .(3)当a：:1时，有3 3a ，此时函数f (x)在［a,3a ］上递减，在［3a ,3］上递增,所以函数f (x)在［0,3］上的最大值是f (a)或者是f(3).18. = -MN 3S A IB -C....................... 14 分(共 14 分)所以M 8 - 3k 3 4k219 .由f(a) — f(3) =(a—3)2(4a—3),① 0 ：：：a ^3时，f(a) <f (3),4[f(3)兰4, 若对-x • 0,3 1有f (x)乞4恒成立，需要有3Oca —I 4解得.3②一::a ：1 时，f(a) - f (3),4若对-X • 0,3 1有f （x） _ 4恒成立，需要有f(a)E4,3 彳a :：1,4解得(-,1).4综上所述，a [1 ,1]. ............ 14分9（共14分）解：（i）由已知， a =2,b工.3 .2 2所以椭圆方程为—=1 .4 3.............. 5 分厂「为〕(H)设直线I方程为y=kx + j3 •令y = 0，得A———,0 .I k丿i y 二kx 、3 22由方程组可得3x 4 k 3 ^12即[3x2 +4y2 =123 4k2x28、、3kx =0 .所以8.3k3 4k28、3k23 4k28. 3k23 4k28.3k 2 3 4k 3直线DN 的方程为 y x • -、3 .4k 令 y = o ，得 B -±11^,0I 3(共 13 分)解：(i)当 n = 1 时，a<i = S r = 6当 n _2时，a . =S n _S n 」=(* n 2 号n) -[*(n-1)2 £(n-1)] = n 5.而当n=1时，n ，5=6• • a n = n 5又 b n 2 - 2b n 1 6 = 0 即 b n 2 _ b n b n 1 - b n , • "4 ｛是等差数列，又 b 3 =11 , d • b 2 V b g = 153，解得 R = 5,d = 3 .................... 4 分1--T n 单调递增，故(T n )min = T 1 = 3 •3 1 k令 ，得 k <19，所以 k max =18. .......... 9 分3 57 … J a n , (n =21-1,任『)，(皿)f(n )=I b n , (n =21,1 E N ),(1) 当m 为奇数时， m 15为偶数，• 3m 47 = 5m 25， m =11.(2) 当m 为偶数时，m 15为奇数，5••• m 20 =15m 10, m N (舍去).7 所以k DN34k所以 O A.................. 14 分20. (n) 3 (2a n -11)(2b n -1) 1 (2n -1)(2n 1) 12n 1• T n C 2 …C n 1 111 12[(1一3)(3一5)…F 12n 1n 2n 1 T n 1 -T n 2n 3 2n 1 1(2n 3)(2 n 1)k综上，存在唯一正整数m=11,使得f (m 15^5f (m)成立.。
北京市海淀区2010届高三一模(数学理)word版含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2010.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）3．在四边形ABCD 中，AB DC = ，且AC·BD＝0，则四边形ABCD 是（）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ）A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭5．一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ） A ． B ．8C ．D ．126．已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．1-B ．1B AC DC ．2D ．128．已知数列()1212:,,,0,3n n A a a a a a a n ≤<<<≥ 具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题： ①数列0,1,3具有性质P ；②数列0,2,4,6具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列()123123,,0a a a a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=. 其中真命题有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 . 11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；A B③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥， 则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.18．（本小题满分13分）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.1A BCO A 1B 1C19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，32） 在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥. ………………1分又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC，且1AO ⊂平面11AA C C ， 所以1AO ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(0,1(1,1,0).AC AA AB ===………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有110000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n . ………………7分111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴==+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k-+=-⋅=++ .……………8分又||AB =即2212(1)||34k AB k +==+， .……………9分 又圆2F的半径r ==.……………10分所以22221112(1)12|||2234347AF Bk k S AB r k k ∆+==⨯==++ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -===.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以212121221||||||2437AF BS F F y y y y t ∆=⋅⋅-=-==+，解得21t =，所以r ==……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列. ∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分 证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>. 综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>， 满足（＊）式。
2010年北京西城区高考一模试题：数学(理科)
2010年北京崇文区高考一模试题：数学（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是A ．2πB ．2,2π-C ．πD ．2,π- 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。
2010北京西城高三一模数学理(word版 答案免点数)
北京市西城区2010届高三抽样测试（数学理）（高三一模）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是 A．π B ．2,2π-C．πD ．2,π-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。
北京崇文区2010届高三统一练习数学文
崇文区2009 — 2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1 •考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2.答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3 •答题卡上第I 卷必须用 2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第n 卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区 域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.e u A B2010.4(1) 已知全集UR ，集合 A X | X 1X |X 2 6X8 0，则集合(2) (3) (A ) x| 1(C )X |2已知幕函数yf （X ）的图象过（4, 2）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为 (A ) 24 n cm 2,12 n cm 3 (B ) (D )(B ) 15 n cm 2,12 n cm 3 (C ) 2324 n cm ,36 n cm (D ) 以上都不正确x|2 x| 1 f （1）正（主）视图侧（左）视图俯视图(4若直线y x b 与圆x 2 y 2相切，则b 的值为(A ) 4(B ) 2(C ) . 2(D ) 2：2(5)将函数y2sin2x 的图象向右平移 —个单位后，其图象的一条对称轴方程为6那么“ x y ”是“ x y 1”的 (A )充分而不必要条件 (D )既不充分也不必要条件(A )若，,则 P(B )若 m P , m P ,则 P(C )若 mP ,nP ，则 m Pn(D )若 m,n ,则 m Pn (7) 若0 a 1,函数f x log a X ，m1f ( ),n 41 f ( ), P 2f 3，则(A ) m n p (B ) m p n(C ) nm p(D ) p m n(8) 如果对于任意实数x ， x 表示不超过x 的最大整数 .例如 3.27 3， 0.6 0(6)已知m,n 是两条不同直线,是三个不同平面，下列命题中正确的为(A) x 3(B)x(C)5 7x72 (D)5(B )必要而不充分条件(C )充分必要条件崇文区2009 — 2010学年度第二学期统一练习高三数学(文科) 2010.4第H 卷(共110分)(11 )从52张扑克牌(没有大小王)中随机的抽一张牌，这张牌是(12)某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ,N 的值分别为 ___________________ .若数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,类比上述结果，贝U b n =________________________________________________ ；2此时，若 T n n (n N )，则 g = __________________ . (14) 关于平面向量有下列四个命题：①若 a b a c ，则 b c ;②已知 a (k,3),b(2,6).若 a Pb ，则 k 1 ；③非零向量a 和b ，满足|a|=|b| |a-b|，则a 与a+b 的夹角为30o；④(旦—)(——)0.|a| |b||a| |b|其中正确的命题为 ____________ .(写出所有正确命题的序号)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30 分. (9 )若 %)5,(-,)，则 tan(10 )如果复数 m 2i 1 mi (其中i 是虚数单位)是实数，则实数(13)若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则a nS ， (n 1),Si & 1, (n2)・J 或Q 或K 的概率为三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .(15) (本小题共12分)在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，满足si 丄5，且 ABC 的面2 5积为2 •(I)求bc 的值；(□)若b c 6，求a 的值.(16) (本小题共13分)为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15 , 15,20 , 20,25 , 25,30 , [30,35]，频率分布直方图如图所示•已知生产的产品数量在20,25之间的工人有6位.(I)求 m ；(n)工厂规定从生产低于 20件产品的工人中随机的选取 2位工人进行培训，则这 2位工人不在同一组的概率是多少?三棱柱ABC A ! B 1C 1中，侧棱与底面垂直,M,N 分别是AB , AC 的中点.(I)求证： MN ||平面 BCC 1B 1 ； (n)求证：MN 平面ABQ ；(川)求三棱锥 M A 1B 1C 的体积.(18)(本小题共14分)(17)(本小题共14分)ABC 90 , AB BC BB 1 2 ,人频率/组距BC(I)求数列 a n , b n 的通项公式;n N 都成立的最大正整数 k 的值;a n , (n 2l 1, l N ),是否存在 m N ，使得 f (m 15) 5 f (m)成b n , (n 2l ,l N ),立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.已知函数 f (x) x 3 6ax 2 9a 2x ( a R ).(I)求函数f(x)的单调递减区间； (n)当a 0时，若对 x 0,3有f(x)4恒成立，求实数 a 的取值范围.(19)(本小题共14分)已知椭圆b 2A1 a b 0短轴的一个端点D 0, , 3，离心率e -.过D2作直线I 与椭圆交于另一点 M ，与x 轴交于点 A (不同于原点 点为N ，直线DN 交x 轴于点B .(I)求椭圆的方程; (n)求(20)(本小题共13分)1 2 11已知数列a n 的前n 项和为S n ,且S n n n .2 2数列 b n 满足 b n 2 2b n 1 b n 0( nN )，且 b 3 11 , b 1 b 2 L b 9 153.(n)设c n3(2 a n 11)(2b n 1)数列C n 的前n 项和为T n ,求使不等式T n—对一切57(川)设f (n)的值.O )，点M 关于x 轴的对称(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)崇文区2009 —2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）参考答案及评分标准2010.4、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 答案C D A B C D B A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(9) 3(10) 1(11) 3(12) 13, 21 413T1(n1)1(n1)(13 ) b n T n;b n n2（14）②③④(n2)2(n2)Tn 1n 1三、解答题（本大题共6小题，共80分）(15)(共12 分)A 屈解：(I)：sin , 0 A2 5A 2亦二cos2 5A A 4二si nA 2sin —cos—2 2 51T S ABC—bcsin A 2 ,2••• bc 5. --------------- 6 分A V5(n)：sin ,2 52 A 3•- cosA 1 2sin2 5bc5, b c 6 ,a2b2 c22bc cos A2(b c) 2bc(1 cosA) 20.a 2.5.------ 12 分（16）（共13 分）解：（I）根据直方图可知产品件数在20,25内的人数为m 5 0.06 6，则m 20 （位）. ---------- 6 分（n）根据直方图可知产品件数在设这2位工人不在同一组为A事件，则p（A）—.158答：选取这2人不在同组的概率为 --------- 13分15（17）（共14 分）（I）证明：连结BC1, AC1,M,N是AB , A1C的中点MN || BC1.又MN 平面BCC1B1,MN ||平面BCC1B1 . ----------------------------- 4 分（n）三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱与底面垂直，四边形BCC1B1是正方形.BC1 RC .MN B1C .连结A,M ,CM , VAMA1 VAMC .A1M CM，又N中AC的中点，MN AC .Q B1C与AC相交于点C ,MN 平面A1B1C . -----------------9 分（川）由（n）知MN是三棱锥M A S B1C的高.在直角VMNC中，MC5,AC 2 3,MN . 2r.又S VA1B,C2-2 .VM A1B1C 1匚MN SVA1B1C343 .----------- 14分(18) （共14分）10,15 , 15,20，组内的人数分别为2, 4.解：（I) f'(x)3x2 12ax9a23(x a)(x3a) 0(1 )当a 3a，即a0时, f '(:x) 3x20 ,不成立.(2 )当a 3a，即a0时, 单调减咸区间为(3a, a).(3 )当a 3a，即a0时, 单调减咸区间为(a,3a). ------------- ---- 52 2(n) f'(x) 3x 2 12ax 9a 23(x a)(x 3a),f(x)在(0, a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,)上递增.(1 )当a 3时，函数f (x)在［0,3］上递增， 所以函数f (x)在［0,3］上的最大值是f ⑶，f (3) 4,—若对x 0,3有f (x) 4恒成立，需要有解得a •a 3,(2)当1 a 3时，有a 3 3a ，此时函数f (x)在［0,a ］上递增，在［a,3］上递 减，所以函数f (x)在［0,3］上的最大值是f (a)，(19)(共 14 分)2x所以椭圆方程为 一(n)设直线l 方程为y kx .3 . 令y0，得 A 一,0 .k若对 x 0,3有f (x) 4恒成立，需要有f(a) 4解得 a 1 . 1 a 3,(3)当 a1时，有3 3a ，此时函数f(x)在［a,3a ］上递减，在［3a,3］上递增,所以函数 f(x)在［0,3］上的最大值是 f (a)或者是f (3).由 f (a)2f (3) (a 3) (4 a 3), 3一时,f (a)4f(3),若对0,3 有 f(x)4恒成立，需要有解得a [1 孕,4]. 9 41 时，f (a)f(3),f(3)4,一J4若对 x0,3 有 f (x)4恒成立，需要有f (a)3 a 44,解得1,(弓,1).4综上所述,2罷a [1L ].14解：(1)由已知,a 2,b x3 .由方程组y kx .3 2 23x 4y2可得 3x 412kx . 3 2 12，即所以 X M所以所以3 4k 28.3k 3 4k 2 8.3k 3 4k 2，8 , '3k 8.3k 22,23 4k 3 4k8、、3k 34k4k 2直线DN 的方程为「3.令y 0,得B4,3k丁，° .4. 所以 14分(i)当n 1时， a 〔 S 1 6 当n 2 时，a n S n S n 1/1才而当n 1 时，n 56 …a nn 5又b n 2 2b n 1 b n 0即b n 2 b n 二 b n 是等差数列， 又b 3 11 ,•- b n 3n 2 .■)C n3(2a n 11)(2b n 1) (2n •- T n11 C 1 C2 … C n-[(1-(20)(共 13 分) 2 1 1解: bi 11n) Q(n 2 2 1)2珈1)] n5.b n 1b n， 153, 解得 b i5,d1)(2n 1) 2(2n 1 2n 1)1 )(3 1 5)1(2n 12n 12n 3 2n 1 (2n 3)(2 n 1)1二T n 单调递增，故(「)min h 3 •1 k令 ，得 k 19，所以 k max 18. ------------- 3 57 ••• 3m 47 5m 25, m 11. (2)当m 为偶数时， m 15为奇数，• m 20 15m 10， m N (舍去). 7 综上，存在唯一正整数 m 11，使得 f(m 15) 5f (m)成立. ----- 1 3 分a n , (n 2l 1, l N ),b n , (n 2l ,l N ),(出)f(n)(1)当m 为奇数时，m 15为偶数,。
10年高考模拟试题北京市崇文区2010高三一模(文科)
10年高考模拟试题北京市崇文区2010高三一模（文科）测试题 2019.91,在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则.2,某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则 .（填“”、“”或“＝”）3,已知向量a=)0,1(，b=)1,(x ，若，则 ； .4,已知数列满足，（N ），则的值为 .5,在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为 .6,给定集合，映射满足： ①当时，；②任取若，则有. .则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”.（1）已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这0(,)3A πρ00ρ≠2cos ρθ=0ρ=1s 2s 1s 2s ><a b 2=x =a b +={}n a 11a =12nn n a a +=n ∈*910a a +ABC ∆A B C a b c sin a c A =a bc+{1,2,3,...,}n A n =:n n f A A →,,n i j A i j ∈≠()()f i f j ≠,n m A ∈2m ≥m {(1),(2),..,()}f f f m ∈f n n A A →f 33A A→f 44A A →f 1010A A →()f i i =样的“优映射”的个数是_____.7,记等差数列的前n 项和为，已知. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n 项和. 8,已知全集，集合，，则集合（A ） （B ） （C ） （D ）9,已知幂函数的图象过（4，2）点，则（A（B ） （C ） （D）10,有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：），该几何体的表面积和体积为（A ） （B ） （C ）（D ）以上都不正确测试题答案{}n a n S 2446,10a a S +=={}n a 2nn n b a =⋅*(N )n ∈{}n b n T U =R {}|12A x x =->{}2|680B x x x =-+<()U A B ⋂=ð{}|14x x -≤≤{}|23x x ≤<{}|23x x <≤{}|14x x -<<()y f x =1()2f =1214cm 2324πcm ,12πcm 2315πcm ,12πcm 2324πcm ,36πcm1, 1 2,3, 24, 486, ；84.7, 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，由，可得 ，………………………2分即， 解得，………………………4分∴，故所求等差数列的通项公式为. （Ⅱ）依题意，，∴， ………………………7分又， 两式相减得，<{}n a 2446,10a a S +==11246434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩1123235a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩()111(1)n a a n d n n =+-=+-={}n a n a n =22n nn n b a n =⋅=⋅12n nT b b b =+++231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-∴.8, C 9, D 10, A1(1)22n n T n +=-⋅+。
北京市崇文区2009-2010学年度第一学期期末统一练习高三数学(理科)
P (η = 200) = P(ξ = 1) = 0.4 P (η = 250) = P(ξ = 2) + P(ξ = 3) = 0.2 + 0.2 = 0.4 ， P (η = 300) = 1 − P(η = 200) − P(η = 250) = 1 − 0.4 − 0.4 = 0.2 ．
3 ． 3
--------------------14 分
P ( A) = (1 − 0.4)3 = 0.216 P ( A) = 1 − P( A) = 1 − 0.216 = 0.784 ．
---------------- 6 分
（Ⅱ）η 的可能取值为 200 元， 250 元， 300 元．
2010.1
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 答案 （1） D （2） B （3） A （4） C （5） D （6） D （7） B （8） A
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 24 + 2 3 （12） 3 3 （10） π （13）1， 30o （11）84，82；84，84 （14） 9
P
A
O
（17） （本小题共 13 分）
C
B
1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1
一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数 ξ 的分布列为：
ξ
P
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；采用 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元； 采用 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元．η 表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款的概率； （Ⅱ）求η 的分布列及期望 Eη ．
2010北京西城高三一模数学理(word版 答案 免费免点数)
北京市西城区2010届高三抽样测试（数学理）（高三一模）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是 A．π B ．2,2π-C．πD ．2,π-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(详解版)(word版)
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M =（ ）(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}解析：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,2⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i 解：点A （6,5）与B （-2,3）的中点C 的坐标为（2,4），所以答C.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25(D)15解：总的等可能事件有15种，其中满足b>a 的有三种（1,2），（1,3），（2,3） 所以所求事件的概率为 51153=，故答D⑷若a ,b 是非零向量，a ⊥b ，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ） （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数 解析：222()()()()()f x xa b xb a a b x b a x a b=+-=⋅+--⋅，如a ⊥b ，则有0a b ⋅=，如果同时有a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是一次函数，且为奇函数。
北京市崇文区高三数学统一练习(文)(崇文一模) 新人教版
俯视图崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B ⋂=ð（A ）{}|14x x -≤≤ （B ）{}|23x x ≤< （C ） {}|23x x <≤ （D ）{}|14x x -<< （2）已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则1()2f =（D ）（A （B ）12 （C ）1（3）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为 （A ）2324πcm ,12πcm （B ）2315πcm ,12πcm （C ）2324πcm ,36πcm （D ）以上都不正确侧（左）视图（4）若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为（A ）4± （B ）2± （C ）（D ）± （5）将函数x y 2sin 2=的图象向右平移6π个单位后，其图象的一条对称轴方程为 (A) 3π=x (B) 6π=x (C) 125π=x (D) 127π=x （6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为（A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ （B ）若,,m m αβ则αβ （C ）若,m n αα，则m n （D ）若,,m n αα⊥⊥则m n （7）若01a <<，函数()log a f x x =，()11(),(),342m f n f p f ===，则（A ）m n p >> （B ）m p n >> （C ）n m p >> （D ）p m n >> （8）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=. 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）若),2(,53)2cos(ππααπ∈=-，则tan α= . （10）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________.（11）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．（12输出,M N 的值分别为 ．（13）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________； 此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________． （14）关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ，则1k =-； ③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30； ④()(0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ． 其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）11CA10 15 20 25 30 35产品数量0 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin 2A =，且ABC ∆的面积为2．（Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．（16）（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？（17）（本小题共14分）三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，90=∠ABC ，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1AC 的中点． （Ⅰ）求证：||MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求三棱锥-M C B A 11的体积．（18）(本小题共14分）已知函数322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点(D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 OA OB ⋅的值．（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+. 数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=(n *∈N )，且311b =，129153b b b +++=.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),(),(2,),n n a n l l f n b n l l **⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（文科）参考答案及评分标准 2010.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（9）34-（10）1- （11）313（12）13，21 （13）11(1)(2)n nn T n b T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；()221(1)(2)1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（14）②③④三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分） 解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0 ∴cos2A =. ∴4sin 2sin cos 225A A A ==. ∵2sin 21==∆A bc S ABC ， ∴5=bc . --------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A ∴532sin21cos 2=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=.∴52=a . -----------12分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）． ---------------- 6分（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在 [)10,15，[)15,20，组内的人数分别为2，4.设这2位工人不在同一组为A 事件，则8()15P A =． 答：选取这2人不在同组的概率为815． ---------------- 13分 （17）（共14分）（Ⅰ）证明： 连结1BC ，1AC ，,M N 是AB ，C A 1的中点 ∴||MN 1BC ．又 MN ⊄平面11B BCC ，∴||MN 平面11B BCC ． --------------------4分（Ⅱ） 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，∴四边形11B BCC 是正方形． 11BC BC ∴⊥． 1MN B C ∴⊥．连结1,A M CM ，1AMAAMC ≅． 1A M CM ∴=，又N 中1AC 的中点，1MN AC ∴⊥． 1B C 与1AC 相交于点C ， ∴⊥MN 平面C B A 11． --------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN 是三棱锥-M C B A 11的高．在直角MNC 中，1,MC AC =MN ∴又11A B CS=11111433M A B C A B CV MN S-=⋅=． --------------------14分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0f x x ax a x a x a =-+=--<（1）当3a a =，即0a =时，2'()30f x x =>，不成立．（2）当3a a >，即0a <时，单调减区间为(3,)a a ．（3）当3a a <，即0a >时，单调减区间为(,3)a a ．--------------------5分（Ⅱ）22'()31293()(3)f x x ax a x a x a =-+=--，()f x 在(0,)a 上递增，在(,3)a a 上递减，在(3,)a +∞上递增．（1）当3a ≥时，函数()f x 在[0,3]上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是(3)f ，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,3,f a ≤⎧⎨≥⎩解得a ∈∅．（2）当13a ≤<时，有33a a <≤，此时函数()f x 在[0,]a 上递增，在[,3]a 上递减，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a ，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,13,f a a ≤⎧⎨≤<⎩ 解得1a =．（3）当1a <时，有33a >，此时函数()f x 在[,3]a a 上递减，在[3,3]a 上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a 或者是(3)f ．由2()(3)(3)(43)f a f a a -=--， ①304a <≤时，()(3)f a f ≤， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,30,4f a ≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得3[1]4a ∈． ②314a <<时，()(3)f a f >， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,31,4f a a ≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 解得3(,1)4a ∈．综上所述，[1a ∈． -------------14分 （19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，2,a b =．所以椭圆方程为 22143x y +=． -------------5分 （Ⅱ）设直线l方程为y kx =．令0y =，得A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．由方程组223412y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 可得(223412x k x +=，即()22340k x ++=．所以234M x k =-+，所以M ⎛ ⎝，N ⎛ ⎝．所以34DNk k ==． 直线DN 的方程为34y x k=+ 令0y =，得B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅=4=． ---------------- 14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）当1n =时, 116a S ==当2n ≥时, 221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+. 而当1n =时, 56n +=∴5n a n =+又2120n n n b b b ++-+=即211n n n n b b b b +++-=-，∴{}n b 是等差数列，又311b =，129153b b b +++=，解得15,3b d ==．∴32n b n =+． ---------------- 4分（Ⅱ）3(211)(21)n n n c a b =--1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=-+-+…11()]2121n n +--+21n n =+∵11102321(23)(21)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++ ∴n T 单调递增，故min 11()3n T T ==． 令1357k >，得19k <，所以max 18k =. ---------------- 9分 （Ⅲ）,(21,),(),(2,),n n a n l l f n b n l l **⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N （1）当m 为奇数时，15m +为偶数，∴347525m m +=+，11m =．（2）当m 为偶数时，15m +为奇数， ∴201510m m +=+，57m *=∉N （舍去）． 综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ----------1 3分。
北京市海淀区2010届高三一模(数学理)word版含答案.doc
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2010.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log a y x =，x y a =，y x a =+的图象，可能正确的是（ ）3．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ）A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭5．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ） A ． B ．8C ．D ．126．已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．1-B ．1B AC DC ．2D ．128．已知数列()1212:,,,0,3nn A a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ；②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列()123123,,0a a a a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=. 其中真命题有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 . 11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件； ②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；xB③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A =，则A B ⊆.其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥， 则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.18．（本小题满分13分）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.1A BCO A 1B 1C19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，32） 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x = ………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分 16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥.………………1分又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ， 所以1A O ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B - 则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).A C AA AB =-==………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有110000AA y x y AB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-=所以(1,1,=-n . ………………7分 11121cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=- ………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴==+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k-+=-⋅=++ .……………8分又||AB ==即22212(1)||3434k AB k k +==++， .……………9分 又圆2F的半径r ==.……………10分所以2221112(1)||2234AF Bk S AB r k ∆+==⨯==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -==243t =+.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以21212121||||||27AF BS F F y y y y ∆=⋅⋅-=-==，解得21t =，所以r ==……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列.∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ， 当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分 证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>. 综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>， 满足（＊）式。
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北京市崇文区2009—2010学年度第二学期统一练习（一）数 学 试 题（理）2010．4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()UA B ⋂=ð（ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|14x x -<<C ．{}|23x x ≤<D ． {}|23x x <≤2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．503．已知PA 是 O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是 O的直径，PC 交 O 于点B ，30PAB ∠=，则 O 的半径为 （ ）A ．1B ．2 CD．4．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （ ）A ．2B ．43C ．32D ．45 5．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβB ．若,,m n αα⊥⊥则m nC ．若,m n αα ，则m nD ．若,,m m αβ 则αβ6．设33,,2x yx y M N P ++===0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A ．36 B ．42 C ． 48 D ． 608．设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于 （ ）A ． 3B ．2C ．1b --D ．c第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．10．若12)a x的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________． 11．将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________； 此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．14．定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2010f =_________________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin2A =，且ABC ∆的面积为2．（Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值． 16．（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ； （Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？17．（本小题共14分）三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，90=∠ABC ，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求二面角11A C B M --的余弦值．18．(本小题共14分）已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（Ⅰ）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求ANB ∆面积的最小值；（Ⅲ）当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB ∆面积的最小值是多少？20．(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-． （Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—4 DCCA 5—8 BDCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．1-11．()2214x y -+=12．13,2113．11(1)(2)n nn T n b T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；()221(1)(2)1n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩14．132三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0∴cos2A =. ∴4sin 2sin cos 225A A A ==. ∵2sin 21==∆A bc S ABC ， ∴5=bc .--------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A ∴532sin21cos 2=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=∴52=a . -----------12分 16．（共13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）． ---------------- 6分（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],组内的人数分别为2，4，6, 5，3．设选取这5人不在同组为B 事件，则5202465315()323P B C ⨯⨯⨯⨯==． 答：选取这5人不在同组的概率为15323． ---------------- 13分 17．（共14分）（Ⅰ）证明： 连结1BC ，1AC ．在1ABC 中，,M N 是AB ,C A 1的中点， ∴||MN 1BC ．又 MN ⊄平面11B BCC ，∴||MN 平面11B BCC ． --------------------4分（Ⅱ）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -1．则)0,0,0(1B ，(0,2,2)C ，1(2,0,0)A -，(1,0,2)M -，(1,1,1)N -∴1BC = (0,2,2)，)0,0,2(11=B A ，(0,1,1)NM =-． 设平面C B A 11的法向量为(,,)x y z =n ．111000B C x y z A B ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩n n 令1=z ，则0,1x y ==-，∴(0,1,1)=-n ．NM ∴n =．∴⊥MN 平面C B A 11． --------------------9分（Ⅲ）设平面C MB 1的法向量为000(,,)x y z =m1(1,0,2)B M =-． 001001200x z B C y z B M ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩ m m 令01z =，则002,1x y ==-∴(2,1,1)=-m ．∴cos ,||||⋅<>===⋅n m n m n m ． 所求二面角11A C B M --的余弦值为33． --------------------14分 18．（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0f x x ax a x a x a =-+=--<（1）当3a a =，即0a =时，2'()30f x x =>，不成立．（2）当3a a >，即0a <时，单调减区间为(3,)a a ．（3）当3a a <，即0a >时，单调减区间为(,3)a a ．-------------------5分 （Ⅱ）22'()31293()(3)f x x ax a x a x a =-+=--，()f x 在(0,)a 上递增，在(,3)a a 上递减，在(3,)a +∞上递增．（1）当3a ≥时，函数()f x 在[0,3]上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是(3)f ， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,3,f a ≤⎧⎨≥⎩解得a ∈∅．（2）当13a ≤<时，有33a a <≤，此时函数()f x 在[0,]a 上递增，在[,3]a 上递减，所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a ， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,13,f a a ≤⎧⎨≤<⎩ 解得1a =．（3）当1a <时，有33a >，此时函数()f x 在[,3]a a 上递减，在[3,3]a 上递增， 所以函数()f x 在[0,3]上的最大值是()f a 或者是(3)f ． 由2()(3)(3)(43)f a f a a -=--， ①304a <≤时，()(3)f a f ≤， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有(3)4,30,4f a ≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩解得3[1,]94a ∈-． ②314a <<时，()(3)f a f >， 若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，需要有()4,31,4f a a ≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 解得3(,1)4a ∈．综上所述，[1a ∈． -------------14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=．设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．124y y ∴=-()1,0N -1212221212441144NA NB y y y y k k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++． 又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分（Ⅱ）12NAB S y y ∆=-===4>． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． ----------------10分（Ⅲ）推测：①NA NB k k =-；②ANB∆面积的最小值为4 ---------------- 14分20．（共13分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠，∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==， ∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩----------8分 （Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++， 又111293(3)(3)8a b a a ==++， ∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++1138T b ==， 当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++ 171841n -=-+． 若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意． 若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+λ 是整数，∴141n -+是5的因数．,514,21≥+≥-n n 时∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立．…………13分。